2 Độ sâu
3.2 Cách xây dựng Phức Koszul bằng cách lấy tenxơ các phức
Ta sẽ xây dựng phức Koszul theo quy nạp như sau
(1) Cho M là một môđun và x là một phần tử của R. Phức Koszul của x với hệ số trên M được định nghĩa là
G•(x;M) : 0→ M −→x M →0 Khi M = R, phức G•(x;R) cịn được kí hiệu là G•(x).
(2) Nếu x1, . . . , xn là một dãy các phần tử thuộc R, thì phức Koszul của x1, . . . , xn với hệ số trên M, kí hiệu G•(x1, . . . , xn;M), được định nghĩa theo quy nạp bằng G•(x1, . . . , xn−1;M)⊗G•(xn;R).
Ví dụ 3.4. Trong Ví dụ 1.13, cách xây dựng G•(x, y;M) chính là cách xây dựng phức Koszul của hai phần tửx, y với hệ số trong M theo phương pháp lấy tenxơ các phức.
Mệnh đề 3.5. K•(x1, . . . , xn) ∼= G
•(x1, . . . , xn), ∀x := x1, . . . , xn ∈ R.
Chứng minh. Với n = 1, theo định nghĩa ta có K•(x1) ∼= G
•(x1). Giả sử kết luận đúng với n−1. Đặt x’ := x1, . . . , xn−1. Khi đó
K•(x’) ∼= G
•(x’). Ta có K•(x’)⊗K•(xn) ∼= K
•(x). Thật vậy, theo định nghĩa tích tenxơ hai phức ta có
(K•(x’)⊗K•(xn))i = R(n−1i ) ⊕R(n−1i−1) ∼= R(n i), trong đó đẳng cấu fi : R(n−1i )⊕R(n−1i−1) →R(ni),
X
xj1...jiej1∧· · ·∧eji+Xyh1...hi−1eh1∧· · ·∧ehi−1 7→Xxj1...jiej1∧· · ·∧eji
+Xyh1...hi−1eh1 ∧ · · · ∧ehi−1 ∧ en. Khi đó ta có biểu đồ giao hốn sau với hàng trên là phức K•(x’)⊗K•(xn), hàng dưới là phức K•(x). . . . −−→ R(n−1i ) ⊕ R(n−1i−1) gi −−→ R(n−1i−1) ⊕ R(n−1i−2) −−→ . . . fi y fi−1 y . . . −−→ R(ni) ∂x i −−→ R(i−1)n −−→ . . . Do vậy K•(x) ∼= K •(x’)⊗K•(xn) ∼= G •(x’)⊗G•(xn) ∼= G •(x).
Nhận xét 3.6. Do tích tenxơ của hai phức thỏa mãn C•⊗K• ∼= K
•⊗C•, nên phức Koszul là bất biến (sai khác đẳng cấu) với mọi hoán vị của x1, x2, . . . , xn. Do đó, theo Mệnh đề 1.9, thì đồng điều của phức Koszul cũng là bất biến với mọi hoán vị của x1, x2, . . . , xn.
3.3 Một số tính chất cơ bản của phức Koszul
Tiếp theo, chúng tôi nêu một số kết quả quan trọng liên quan đến phức Koszul mà sẽ cần dùng ở các phần sau.
Mệnh đề 3.7. Cho (C•, ∂•) là một phức trên R và K• = K•(x) là phức Koszul của x ∈ R. Khi đó ta có dãy khớp ngắn của các phức như sau
0 →C• → (C• ⊗K•) →C•[−1] →0, (3.3)
trong đó Cn[−1] = Cn−1, và các đồng cấu ở cấp thứ n được định nghĩa như sau
δn : Cn →(Cn⊗R)⊕(Cn−1 ⊗R) ∼= C
n⊕Cn−1, a 7→(a,0), γn : Cn⊕Cn−1 →Cn[−1],(a, b) 7→ b.
Chứng minh. Với các đồng cấu được định nghĩa như trên thì các hàng
ngang của 0 → C• → (C• ⊗ K•) → C•[−1] → 0 luôn là các dãy khớp ngắn. Ta cần kiểm tra tính giao hốn của biểu đồ. Theo cách xây dựng C• ⊗K•, với mọi n ta có
gn :Cn ⊕Cn−1→Cn−1 ⊕Cn−2
(a, b) 7→(∂n(a) + (−1)n−1bx, ∂n−1(b)).
Với mỗi n và ∀a ∈ Cn, ta có (gn ◦ δn)(a) = gn(a,0) = (∂n(a),0), và (δn ◦∂n)(a) =δn(∂n(a)) = (∂n(a),0). Suy ra, gn◦δn = δn ◦∂n.
Mặt khác, ∀(a, b) ∈ Cn ⊕ Cn−1, ta có (∂n−1 ◦ γn)(a, b) = ∂n−1(b), và (γn−1 ◦gn)(a, b) = γn−1(∂n(a) + (−1)n−1bx, ∂n−1(b)) = ∂n−1(b). Suy ra, ∂n−1 ◦γn = γn−1 ◦gn.
Hệ quả 3.8. Với giả thiết như trên, ta có một dãy khớp dài
. . . −→x Hn(C•) →Hn(C• ⊗K•) →Hn−1(C•) −→x Hn−1(C•) →. . . (3.4)
Chứng minh. Chú ý rằng, với mọi n, ta có Hn−1(C•) = Hn(C•[−1]). Áp dụng Định lý 1.11 cho dãy khớp ngắn (3.3), ta được dãy (3.4). Hơn nữa, khơng khó để kiểm tra rằng các đồng cấu nối ở đây thực chất là phép nhân bởi x. Do đó, ta có điều phải chứng minh.
Nhận xét 3.9. Dãy khớp dài trong hệ quả trên được phân tích thành các dãy khớp ngắn
0→ Hn(C•)
xHn(C•) → Hn(C• ⊗K•) → AnnHn−1(C•)(x) →0, với mọi n, và AnnM(N) ={m ∈ M | mn = 0,∀n∈ N}.
Chương 4
Ứng dụng của phức Koszul
Phức Koszul có mối liên hệ mật thiết với các dãy chính quy, ta có thể sử dụng phức Koszul để kiểm tra khi nào một dãy các phần tử cho trước là một dãy chính quy. Trong thực tế, phức Koszul được dùng để tính độ sâu của các iđêan. Ngồi ra, phức Koszul cịn có ứng dụng trong việc tạo ra một dãy phức mà đồng điều tại vị trí 0 đẳng cấu với đại số đối xứng của một iđêan. Nội dung chương này dựa trên các tài liệu [3], [6], [5]c, [13], [9].
4.1 Phức Koszul và dãy chính quy
Phức Koszul của một dãy chính quy cho ta một dãy giải tự do của iđêan sinh bởi dãy đó.
Định lý 4.1. Nếux1, . . . , xn là mộtR-dãy thì phức Koszul K•(x1, . . . , xn)
cho ta một dãy giải tự do của R/(x1, . . . , xn).
Chứng minh. Ta chứng minh bằng quy nạp theo n. Lưu ý rằng tất cả các môđun của phức Koszul đều là tự do và hữu hạn sinh, do đó ta chỉ cần chứng minh rằng Hi(x1, . . . , xn) = 0,∀i ≥ 1 (ta đã biết H0(x1, . . . , xn) = R/(x1, . . . , xn)).
Với n = 1, K•(x) = 0 → R →−x R → 0 là giải tự do của R/(x) khi x không là ước của không trên R/(x), do đó kết luận đúng với n= 1.
Giả sử kết luận đúng với n = k, tức C• := K•(x1, . . . , xk) là dãy giải tự do củaR-dãyx1, . . . , xk, hayHi(C•) = 0,∀i ≥ 1vàH0(C•) = R/(x1, . . . , xk).
Với n = k + 1, ta đã biết K•(x1, . . . , xk, xk+1) ∼= C
dụng Hệ quả 3.8, ta có dãy khớp dài
. . . −→x Hi(C•) →Hi(C• ⊗K•(xk+1)) →Hi−1(C•) →. . .
Theo giả thiết quy nạp, ta có Hi(C•) = 0,∀i ≥ 1. Do đó ∀i > 1, dãy khớp trên trở thành
· · · → 0→ Hi(C• ⊗K•(xk+1)) →0 →. . ., cho nên Hi(x1, . . . , xk, xk+1) =Hi(C• ⊗K•(xk+1)) = 0. Với i = 1, sử dụng Nhận xét 3.9, ta có dãy khớp ngắn
0 → H1(C•)
xk+1H1(C•) = 0 → H1(C• ⊗K•(xk+1)) → AnnR/(x1,...,xk)(xk+1) → 0. Hơn nữa, do xk+1 không là ước của không trên R/(x1, . . . , xk) (theo định nghĩa của R-dãy), nên AnnR/(x1,...,xk)(xk+1) = 0. Do vậy
H1(x1, . . . , xk, xk+1) =H1(C• ⊗ K•(xk+1)) = 0
Trong vành địa phương, ta có kết quả mạnh hơn.
Định lý 4.2. Một dãy các phần tử x1, . . . , xn trong iđêan cực đại m của vành địa phương (R,m) là một R-dãy khi và chỉ khi H1(x1, . . . , xn) = 0.
Chứng minh. ⇒) Điều kiện cần là một hệ quả trực tiếp của Định lý 4.1.
⇐) Giả sử H1(x1, . . . , xn) = 0, ta cần chứng minh x1, . . . , xn là một R- dãy. Dox1, . . . , xn ∈ m, nên(x1, . . . , xn) ⊆ m ( R, do đó(x1, . . . , xn) 6= R, tức dãy x1, . . . , xn thỏa mãn điều kiện (i) trong Định nghĩa 2.1. Do vậy ta chỉ cần chứng minh dãy này thỏa mãn điều kiện (ii) trong Định nghĩa 2.1. Ta sẽ chứng minh điều này bằng quy nạp.
Với n = 1, ta có 0 =H1(x) = (0 :R x), do đó x không là ước của không trên R.
Giả sử kết luận đúng với n = k, tức dãy x1, . . . , xk ∈ m sao cho H1(x1, . . . , xk) = 0 thỏa mãn điều kiện (ii) trong Định nghĩa 2.1.
Với n = k + 1, xét một dãy các phần tử x1, . . . , xk, xk+1 ∈ m với H1(x1, . . . , xk+1) = 0. Theo Hệ quả 3.8, ta có dãy khớp dài trên đồng điều như sau
→ Hi(x1, . . . , xk) −−→xk+1 Hi(x1, . . . , xk) → Hi(x1, . . . , xk+1) →
cấu, do đó
H1(x1, . . . , xk) =xk+1H1(x1, . . . , xk) ⊆(xk+1)H1(x1, . . . , xk) Do H1(x1, . . . , xk) là một R-môđun, nên
H1(x1, . . . , xk) = (xk+1)H1(x1, . . . , xk)
Sử dụng bổ đề Nakayama, ta được H1(x1, . . . , xk) = 0 . Áp dụng giả thiết quy nạp, ta có dãyx1, . . . , xk thỏa mãn điều kiện (ii) trong Định nghĩa 2.1.
Hơn nữa, theo Nhận xét 3.9, ta có dãy khớp ngắn sau H1(x1, . . . , xk+1) → AnnH0(x1,...,xk)(xk+1) →0 Do H1(x1, . . . , xk+1) = 0, nên
AnnH0(x1,...,xk)(xk+1) = AnnR/(x1,...,xk)(xk+1) = 0, hay xk+1 không là ước của không trên R/(x1, . . . , xk).
Do đó dãy x1, . . . , xk, xk+1 thỏa mãn điều kiện (ii) trong Định nghĩa 2.1.
Một hệ quả rút ra từ chứng minh của định lý trên.
Hệ quả 4.3. Cho M là một môđun trên vành địa phương (R,m) và một dãy các phần tửx1, . . . , xn trong iđêan cực đạim. Nếu Hi(x1, . . . , xn;M) = 0 thì Hi(x1, . . . , xn−1;M) = 0, với i ≥1.
4.2 Phức Koszul và độ sâu
Ta có thể xác định độ dài chung của mọi M-dãy cực đại được chứa trong một iđêan trong một vành Noether địa phương.
Bổ đề 4.4. Cho M là một môđun, và x = x1, . . . , xn là một dãy các phần tử trong R. Giả sử I = (x1, . . . , xn) chứa một M-dãy y = y1, . . . , ym. Khi đó
Hn+1−i(x;M) = 0 với i = 1,2, . . . , m, và Hn−m(x;M) ∼= HomR(R/I, M/yM) ∼= Extm
R(R/I, M).
Định lý 4.5. Cho R là vành Noether địa phương, M là một môđun hữu hạn sinh, và I = (x1, . . . , xn) ⊂ R sao cho IM 6= M, thì mọi M-dãy cực đại được chứa trong I đều có độ dài là inf{k | Hn−k(x1, . . . , xn;M) 6= 0}.
Chứng minh. Theo Định lý 2.10, mọiM-dãy cực đại được chứa trong iđêan I = (x1, . . . , xn) ⊂R đều có cùng độ dài. Ta giả sử y = y1, . . . , ym là một M-dãy cực đại được chứa trong iđêan I = (x1, . . . , xn). Ta cần chỉ ra rằng m = inf{k | Hn−k(x1, . . . , xn;M) 6= 0}.
Áp dụng Bổ đề 4.4, ta đượcHn−k(x1, . . . , xn;M) = 0,∀0≤ k ≤ m−1. Hơn nữa, Hn−m(x1, . . . , xn;M) ∼= Extm
R(R/I, M) 6= 0. Thật vậy, giả sử
ngược lại, tức Hn−l(K•(x1, . . . , xn;M)) = 0, theo Nhận xét 4.3, ta có Hn−l(K•(x1, . . . , xl;M)) = 0. Điều này không đúng khi l = n.
Như vậy, l = inf{k | Hn−k(K•(x1, . . . , xn;M)) 6= 0}.
Định lý trên cho ta cách xác định depth(I, M) như chiều dài của mọi M-dãy cực đại trong iđêan I sao cho IM 6= M. Nếu IM = M, ta qui ước depth(I, M) = ∞.
Định lý 4.5 chỉ ra rằng, với một iđêan thực sự I ⊂ R được sinh bởi n phần tử thì depth(I, R) ≤ n, do đồng điều thứ0của phức Koszul là không tầm thường khi I 6= R.
4.3 Phức Koszul và dãy giải tự do của đại số đối xứng
Cho I là một iđêan của vành R. Ta có thể thu được một số thơng tin của I thơng qua việc nghiên cứu đại số đối xứng S(I) của nó. Khi đại số đối xứng S(I) có một dãy giải tự do thì khá nhiều thơng tin về S(I) và do đó về I có thể thu được thơng qua dãy giải này. Trong phần này chúng tôi xin giới thiệu thêm một ứng dụng khác của phức Koszul trong việc xây dựng một loại phức mà trong một số trường hợp chúng là một dãy giải tự do của S(I).
đồng cấu u :R[T1, . . . , Tn]n−−−−−→R[T(x1,...,xn) 1, . . . , Tn] (a1, . . . , an) 7−→ n X i=1 aixi, v :R[T1, . . . , Tn]n−−−−−→R[T(T1,...,Tn) 1, . . . , Tn] (a1, . . . , an) 7−→ n X i=1 aiTi,
ta xây dựng hai phức Koszul K•(x;R[T]), K•(T;R[T]) với các đồng cấu tương ứng là dx, dT. Ta có thể kiểm tra rằng các đồng cấu này thỏa mãn
dx◦dT+dT◦dx = 0.
Từ tính chất này, ta có thể xây dựng được một phức mới, được gọi là phức xấp xỉ, với các môđun là kerdx, các đồng cấu là dT, và được kí hiệu là Z•
Z• = (kerdx;dT).
Phức này có phần cuối là keru −→v R[T1, . . . , Tn] →0. Do đó H0(Z•) = R[T1, . . . , Tn] v(ker(u)) , trong đóv(ker(u)) = ( n X i=1 fiTi f1, . . . , fn ∈ R[T1, . . . , Tn]và n X i=1 fixi = 0 ) .
Hơn nữa, theo Hệ quả 1.36, ta có
H0(Z•) = R[T1, . . . , Tn] v(ker(u))
∼
= S(I).
Ví dụ 4.6. Cho R := k[s, t]là vành đa thức với phân bậc chuẩn, deg(s) = deg(t) = 1. Giả sử f1, f2, f3 là các đa thức thuần nhất bậc d trong R. Ta xây dựng phức Koszul phân bậc của f1, f2, f3
0→ R[−3d] d3
−→ R[−2d]3 d2
−→R[−1d]3 d1
−→ R → 0, (4.1) trong đó R[−i] là một vành phân bậc với (R[−i])k = Rk−i. Ta cần thực hiện sự dịch chuyển bậc như vậy để các đồng cấu đều là các đồng cấu phân bậc.
Các vi phân d3, d2, d1 được xác định như sau d3(e1 ∧e2 ∧e3) =f1e2 ∧e3 −f2e1 ∧e3 +f3e1 ∧e2, d2(e1∧e2) = f1e2−f2e1;d2(e1∧e3) = f1e3−f3e1;d2(e2∧e3) =f2e3−f3e2, d1(e1) = f1;d1(e2) = f2;d1(e3) = f3. Do đó, các vi phân d3, d2, d1 có các ma trận là d3 = f3 −f2 f1 ! , d2 = −f2 −f3 0 f1 0 −f3 0 f1 f2 ! , d1 = (f1 f2 f3).
Ta lấy tenxơ của phức (4.1) với R[T1, T2, T3] trên R ta thu được một phức, kí hiệu (K•(f1, f2, f3), u•), có dạng
0→ R[T1, T2, T3][−3d] −u3→R[T1, T2, T3][−2d]3 −u2→
u2
−→R[T1, T2, T3][−1d]3 −u1→ R[T1, T2, T3] → 0, trong đó các ma trận của các vi phân ui là giống với các ma trận của di với mọi i.
Lưu ý rằng, vành R[T1, T2, T3] là một vành phân bậc kép, có một phân bậc từ R = k[s, t] và một phân bậc khác từ k[T1, T2, T3] với deg(T1) = deg(T2) = deg(T3) = 1. Ta sử dụng kí hiệu (-) cho sự thay đổi bậc trong k[T1, T2, T3]. Ta có một phức Koszul phân bậc khác trên R[T1, T2, T3] liên kết với dãy T1, T2, T3, kí hiệu (K•(T1, T2, T3), v•), có dạng
0→ R[T1, T2, T3](−3) −→v3 R[T1, T2, T3](−2)3 −v2→
v2
−→ R[T1, T2, T3](−1)3 v1
−→R[T1, T2, T3] →0, (4.2) trong đó các vi phân vi được cho bởi
v3 = T3 −T2 T1 ! , v2 = −T2 −T3 0 T1 0 −T3 0 T1 T2 ! , v1 = (T1 T2 T3).
Hơn nữa, theo Định lý 4.1, do T1, T2, T3 là một dãy chính quy trong R[T1, T2, T3] nên phức (4.2) là một dãy khớp.
Phức xấp xỉ Z• của hai phức (K•(f1, f2, f3), u•) và (K•(T1, T2, T3), v•) có các mơđun thành phầnZi ∼= ker(di)⊗RR[T1, T2, T3](đẳng thức có được
là do ta tenxơ một mơđun trên R với một mơđun tự do) và các đồng cấu thành phần chính là vi, với i = 0,1,2,3.
(Z•, v•) : 0→ Z3(−3) −→ Zv3 2(−2) −→ Zv2 1(−1) −→ Zv1 0 = R[T1, T2, T3] → 0. Đặt I = (f1, f2, f3) là iđêan của R[T1, T2, T3]. Ta đã biết H0(Z•) ∼= S(I).
Để minh họa, ta kiểm tra rằng có thể dùng vi phân v2 để ánh xạ
Z2 vào Z1. Sử dụng vi phân v2 của (K•(T1, T2, T3), v•), ta có thể ánh xạ Z2 vào R[T1, T2, T3](−1)3. Hơn nữa, u1 ◦ v2 + v1 ◦ u2 = 0, thật vậy,
∀ α β γ ! ∈ R[T1, T2, T3]3, ta có (u1 ◦v2) α β γ ! + (v1 ◦u2) α β γ ! = (f1 f2 f3) −T2 −T3 0 T1 0 −T3 0 T1 T2 ! α β γ ! +(T1 T2 T3) −f2 −f3 0 f1 0 −f3 0 f1 f2 ! α β γ ! = 0. Do đó, ta có v2(Z2) ⊂ Z1.
Ví dụ 4.7. Cho R = k[s, t, u]là vành đa thức phân bậc chuẩn với deg(s) = deg(t) = deg(u) = 1 và f1, f2, f3, f4 là các đa thức thuần nhất bậc d. Ta xây dựng phức Koszul phân bậc của f1, f2, f3, f4
0→ R[−4d] −d4→ R[−3d]4 −d3→R[−2d]6 −d2→ R[−1d]4 −d1→ R → 0, (4.3) trong đó các vi phân được cho bởi
d4 = −f4 f3 −f2 f1 , d3 = f3 f4 0 0 −f2 0 f4 0 0 −f2 −f3 0 f1 0 0 f4 0 f1 0 −f3 0 0 f1 f2 , d2 = −f2 −f3 −f4 0 0 0 f1 0 0 −f3 −f4 0 0 f1 0 f2 0 −f4 0 0 f1 0 f2 f3 , d1 = (f1 f2 f3 f4). Ta lấy tenxơ của phức (4.3) với R[T] = R[T1, T2, T3, T4] trên R ta thu được một phức, kí hiệu (K•(f1, f2, f3, f4), u•), có dạng
0→ R[T][−4d] u4
−→ R[T][−3d]4 u3
−→R[T][−2d]6 u2
−→R[T][−1d]4 u1
trong đó các ma trận của các vi phân ui là giống với các ma trận của các di với mọi i.
VànhR[T1, T2, T3, T4]có một phân bậc khác từk[T1, T2, T3, T4]với deg(T1) = deg(T2) = deg(T3) = deg(T4) = 1. Ta sử dụng kí hiệu (-) cho sự thay đổi bậc trong k[T1, T2, T3, T4]. Ta có một phức Koszul phân bậc khác trên R[T1, T2, T3, T4]liên kết với dãyT1, T2, T3, T4, kí hiệu(K•(T1, T2, T3, T4), v•), có dạng
0→ R[T](−4) −v4→R[T](−3)4 −→v3 R[T](−2)6 −→v2
v2
−→ R[T](−1)4 v1
−→ R[T] →0, (4.4) trong đó các vi phân vi được cho bởi
v4 = −T4 T3 −T2 T1 , v3 = T3 T4 0 0 −T2 0 T4 0 0 −T2 −T3 0 T1 0 0 T4 0 T1 0 −T3 0 0 T1 T2 , v2 = −T2 −T3 −T4 0 0 0 T1 0 0 −T3 −T4 0 0 T1 0 T2 0 −T4 0 0 T1 0 T2 T3 , v1 = (T1 T2 T3 T4). Hơn nữa, do T1, T2, T3, T4 là dãy chính quy trong R[T] nên phức (4.4) là khớp.
Phức xấp xỉZ• của hai phức(K•(f1, f2, f3, f4), u•)và(K•(T1, T2, T3, T4), v•) có các mơđun thành phầnZi ∼= ker(di)⊗RR[T1, T2, T3](đẳng thức có được là do ta tenxơ một mơđun trên R với một môđun tự do) và các đồng cấu thành phần chính là vi, với i = 0,1,2,3,4.
(Z•, v•) : 0→ Z4(−4) −→ Zv4 3(−3) −→ Zv3 2(−2) −→ Zv2 1(−1) −→ Zv1 0 = R[T] → 0. Đặt J = (f1, f2, f3, f4) là iđêan của R[T]. Ta đã biết H0(Z•) ∼= S(J).
Kết luận
Nội dung chính của luận văn là trình bày lại một số kiến thức cơ bản về dãy chính quy, độ sâu của một iđêan, phức Koszul và một vài ứng dụng cơ bản của phức Koszul. Luận văn được trình bày một cách hệ thống và tương đối đầy đủ các cách xây dựng phức Koszul, và đưa ra một số tính chất cơ bản của phức Koszul. Luận văn cũng đã đề cập đến được một số ứng dụng của phức Koszul.Vì thời gian và khả năng có hạn nên luận văn khơng tránh khỏi những thiếu sót. Tơi rất mong nhận được sự đóng góp, phê bình và bổ sung của quý Thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn chỉnh hơn.
Tài liệu tham khảo
[1] M. F. Atiyah and I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addision-Wesley Publishing Company, Inc.: Reading, Mas-
sachusetts, 1969.
[2] N. Bourbaki, Algebra I Chap. 1 - 3: Elements of Mathematics, Her-
mann, Paris, 1974.
[3] W. Bruns and J. Herzog, Cohen-Macaulay rings, Cambridge studies
in advanced mathematics, No. 39, Cambridge University Press: Cam-
bridge, 1993.
[4] D. A. Buchsbaum and D. Eisenbud, Some structure theorems for Fi- nite Free Resolutions, Advances in Mathematics 12(1), 84-139, 1974.