9 ; 2 9. 3 x y x y Suy ra x81; y36.
Đề 7 (Đệ thập thất đề, [A1], trang 57) Kim hữu sa nhị thập cửu thất bạch thập thất sơ cộng giá ngân tam bách ngũ thập nhất nguyên, hựu hữu sa nhị thập tam sơ bạch tam thập tam thất, cộng giá ngân tứ bách nhất thập ngũ nguyên. Vấn: sa bạch mỗi thất giá các thiên?
Đáp: Sa mỗi thất giá ngân bát nguyên bạch mỗi thất giá ngân thất
nguyên.
Dĩ sa nhị thập tam thất tƣơng thừa bạch nhất thập thất thất, hựu dĩ sa nhị thập cửu thất tƣơng thừa bạch tam thập tam thất đắc số các thiên tƣơng giảm trừ số (ngũ bách lục thập lục) trí vi pháp tái dĩ sa nhị thập tam sơ tƣơng thừa cộng giá tam bách ngũ thập nhất nguyên, dĩ sa nhị thập cửu sơ tƣơng thừa cộng giá tứ bách nhất thập ngũ nguyên đắc số các thiên diệc tƣơng giảm trừ số (tam thiên cửu bách lục thập nhị nguyên) vi thực dĩ pháp (ngũ lục lục) quy chi đắc bạch giá, mỗi sơ thất nguyên dĩ bạch thập thất sơ thừa chi đắc ngân nhất bách nhất thập cửu nguyên trí cộng giá tam bách ngũ thập nhất nguyên, dĩ nhất bách nhất thập cửu nguyên, giảm chi trừ ngân nhị bách tam
thập nhị nguyên, dĩ sa nhị thập cửu sơ quy chi đắc sa giá mỗi sơ bát nguyên nhƣợc tiên cầu sa giá án dĩ nhị bạch số tƣơng thừa nhị cộng giá tƣơng giảm vi thực nhƣng dĩ (ngũ lục lục) vi pháp quy trừ cầu chi diệc kiến.
Dịch: Nay có 29 tấm the lụa, 17 tấm tơ lụa, cộng lại giá tiền là 351
đồng. Lại có 23 tấm the, 33 tấm lụa cộng lại giá 415 đồng. Hỏi: the và lụa mỗi tấm giá bao nhiêu?
Đáp: The mỗi tấm giá 8 đồng, lụa mỗi tấm giá 7 đồng.
Lấy 23 tấm the nhân với 17 tấm lụa. lại lấy 29 tấm the nhân với 33 tấm lụa đƣợc số các thiên. Cùng giảm trừ số (566), đặt làm phép, lại lấy 23 tấm lụa nhân cùng với giá 351 đồng. Lấy 29 tấm the nhân cùng với giá 415 đồng đƣợc số các thiên. Lại nhân giảm trừ số (3962 đ) làm thực. lấy phép (566) quy ra đƣợc giá lụa mỗi tấm là 7 đ Lấy 17 tấm lụa nhân ra đƣợc 119 đ Đặt cộng giá 351 đ, lấy 119 đ giảm đi, dƣ số tiền là 232 đ Lấy 29 tấm lụa quy ra đƣợc giá mỗi tấm lụa là 8 đồng Đầu tiên tìm giá lụa, sau đó lấy 2 số lụa nhân với nhau, cộng giá của chúng lại với nhau, giảm làm thực Nhƣng lấy (566) làm phép quy trừ, tìm nó có thể thấy.
Giải thích: Gọi x là số tiền một tấm the, y là số tiền một tấm lụa. Theo bài ra ta có hệ phƣơng trình
29 17 351; 23 33 415. x y x y Suy ra x8,y7.
Đề 8 (Đệ thập tam đề, [A1]) Trà nhị tƣơng, tƣơng trữ các nhất bách ngũ
thập cân bính nhất tƣơng trị tiền nhị thiên thất bách quan nhất tƣơng trị tiền nhị thiên nhất bách quan. Kim hữu nhân dĩ tiền nhị thiên quan mãi trà nhất bách cân tƣ dục mỗi cân thủ lợi tiền tam quan nhị mạch. Nhiên tắc mại thụ hà khoản nhƣợc thiên cân.
Đáp: Nhất khoản thất thập cân, nhị khoản tam thập cân (bình phân thừa
số nhất thiên cửu bách nhị thập quan tốn ƣ hiện số nhị thiên quan cố nhất khoản đa nhi nhị khoản thiểu). Trí nhị thiên thất bách quan vi thực dĩ nhất khoản nhất bách ngũ thập cân vi pháp quy chi đắc mỗi cân trị tiền thập bát quan trí nhị thiên nhất bách quan vi thực, dĩ nhị khoản nhất bách ngũ thập cân vi pháp quy chi, đắc mỗi cân trị tiền thập tứ quan nhị trị tƣơng tính, hợp cộng tam thập nhị quan.chiết bán tồn thập lục quan, dĩ lợi tiền mỗi cân tam quan nhị mạch gia chi hợp thành nhất thập cửu quan nhị mạch, dĩ trà nhất mạch cân thừa chi đắc bình phân số nhất thiên cửu bách nhị thập quan trí tiền nhị thiên quan giảm trừ chi đắc sai phân lợi số bát thập quan, hựu trí lƣỡng giá tƣơng giảm đắc sai phân tứ quán vi pháp quy trừ thặng số bát thập quan đắc số nhị thập tức dĩ nhị thập gia bát nhất khoản trà nhất bán ngũ thập cân vi thất thập cân, hựu dĩ nhị thập giảm nhị khoản trà nhất bán ngũ thập cân vi tam thập cân. Hậu các dĩ ì giá thừa chi tƣơng tính giảm tiền nhất thiên lục bách bát thập quan, gia nhất bách cân lợi tiền tam mạch nhị thập quan cộng thành tiền nhị thiên quan (Hợp vấn).
Dịch: Đề 13 Có hai hộp trà, trong mỗi hộp đựng 150 cân. Một hộp trị
giá là 2700 quán, Một hộp trị giá là 2100 quán Nay có ngƣời dùng số tiền 2000 quán mua 100 cân trà. Muốn mỗi cân lãi số tiền 3 quán 2 mạch thì bán mỗi khoản bao nhiêu cân?
Đáp: Khoản thứ nhất 70 cân, khoản thứ hai 30 cân (chia đều thừa số
1920 quán, kém hiện số là 2000 quán. Cho nên khoản 1 nhiều, khoản 2 ít). Đặt 2700 quán làm thực. Lấy khoản thứ nhất là 150 cân làm phép quy ra đƣợc mỗi cân trị giá 18 quán Đặt 2100 quán làm thực, lấy khoản thứ 2 là 150 cân làm phép quy ra đƣợc mỗi cân trị giá 14 quán. Cộng 2 giá tiền với nhau đƣợc 32 qn Tách đơi số cịn lại là 16 qn. Lấy tiền lãi mỗi cân là 3 quán 2 mạch thêm vào hợp thành 19 quán 2 mạch. Lấy 100 cân trà nhân ra đƣợc bình phân số là 1920 quán Đặt tiền 200 quán giảm trừ đi đƣợc sai phân
thặng số là 80 quán. Lại đặt 2 giá trừ nhau đƣợc sai phân 4 quán làm phép quy trừ, số dƣ là 80 quán, đƣợc số 20 thì lấy 20 thêm 8, khoản trà thứ nhất là 1 nửa 50 cân là 70 cân. Lại lấy 20 giảm. khoản trà thứ 2 là 1 nửa 50 cân là 30 cân Sau đó lấy giá của mỗi thứ nhân ra tính thành tiền 1680 quán, thêm 100 cân, tiền lãi là 320 quán cộng thành tiền 2000 quán (hợp với câu hỏi).
Giải thích Giá tiền một cân trà ở hộp thứ nhất là: 2700 quán:150
cân=18 quán.
Giá tiền một cân trà ở hộp thứ hai là: 2100 quán:150=14 quán. Số tiền gốc 100 cân trà là: 2000 quán-3,2 quán x100=1680 quán.
Gọi x và y là số cân trà loại I và loại II. Theo bài ra ta có hệ phƣơng trình: 100; 18 14 1680. x y x y Đáp số: x=70 cân; y=30 cân.
Đề 9 (Đệ thập tứ đề, [A1], trang 52-53) Hựu hữu dĩ tiền nhất thiên bát
bách tứ thập bát quan mãi trà nhất bách cân diệc yếu thủ lợi nhƣ tiền tắc mại thụ hà khoản nhƣợc thiên?
Đáp Nhất khoản tam thập nhị cân, nhị khoản lục thập bát cân (bình
phân thừa số nhất thiên cửu bách nhị thập quan thắng ƣ hiện số nhất thiên bát bách tứ thập bát quan, cố nhất khoản thiểu nhi nhị khoản đa Trí bình phân thừa số nhất thiên cửu bách nhị thập quan Dĩ hiện tiền nhất thiên bát bách tứ thập bát quan, giảm trừ chi đắc sai phân thất thập nhị quan diệc dĩ lƣỡng giá sai phân tứ quan vi pháp quy chi đắc số thập bát tức dĩ thập bát giảm nhất khoản trà nhất bán ngũ thập cân vi tam thập nhị cân. Hựu dĩ thập bát gia nhân nhị khoản trà nhất bán ngũ thập cân vi lục thập bát cân dƣ dĩ giá tƣơng thừa gia nhân lợi tiền quân đồng tiền pháp.
Dịch: Đề 14 Lại có ngƣời dùng số tiền 1848 quán mua trà 100 cân.
Cũng cần lấy lãi nhƣ trƣớc thì bán các khoản nhƣ thế nào?
Đáp Khoản thứ nhất 32 cân, khoản thứ 2 là 68 cân (bình phân thừa số
1920 quán, hơn hiện tại là 1848 quán. Cho nên khoản 1 ít mà khoản 2 nhiều). Đặt bình phân thừa số 1920 quán. Lấy số tiền hiện tại 1848 quán giảm trừ đi đƣợc sai phân 72 quán, lại lấy hai giá tiền sai phân 4 quán làm phép quy nó đƣợc số 18 thì lấy 18 giảm, khoản trà thứ nhất 1 nửa 50 cân là 32 cân. Lại lấy 18 thêm 8, khoản trà thứ hai 1 nửa 50 cân là 68 cân. Lấy giá tiền nhân với nhau thêm 8, tiền lãi đều giống phép tính trƣớc.
Giải thích Số tiền vốn là: 1848 quán-3,2 quán x 100 cân=1528 quán.
Theo bài ra ta có hệ phƣơng trình
100; 18 14 1528. x y x y Đáp số: x=32 cân; y=68 cân.
2.5 Phƣơng tr nh nghi m nguyên
Một số bài tốn trong sách Hán Nơm có lời giải theo ngơn ngữ hiện đại là các bài tốn phƣơng trình nghiệm ngun Dƣới đây là một số ví dụ.
Bài 1 Mai anh đi hợ
G i một quan tiền Mua lấy thanh yên Vừa cam vừa quýt Cam a đồng một Quýt một đồng năm
Thanh yên một tr i năm đồng
Chẳng nhiều chẳng ít một trăm hẵn chịi.
Giải thích ài này đƣợc coi là của Nguyễn Hữu Thận (xem [B1]). Tuy nhiên, chúng tơi chƣa có điều kiện so sánh và kiểm chứng xem bài tốn trên có trong sách của Nguyễn Hữu Thận hay đây là bài tốn của Nguyễn Hữu Thận đã đƣợc dân gian hóa.
Giải Gọi , ,x y z tƣơng ứng là số cam, quýt và thanh yên ( , ,x y zlà các số ngun khơng âm). Vì 1 quan tiền=10 tiền=100 trự (đồng) nên theo bài ra ta có: 100; 3 5 100. 5 x y z y x z Suy ra x20,y75,z5 quả.
Bài 2 (Đệ bát đề, [A1]) Kim hữu đấu mã hội thƣởng ngân nhị tiêu. Phân hứa thất nhân tắc nhị tiêu ngân số. Hợp tận phân hứa bát nhân tắc đệ nhất tiêu, thứ ngân nhất nguyên đệ nhị tiêu, dƣ nhất nguyên. Vấn mỗi tiêu ngân số các thiên? Đáp: đệ nhất tiêu ngân lục thập nhị nguyên, đệ nhị tiêu ngân tứ thập nhị nguyên Cái đệ nhất tiêu phân hứa thất bát tắc thất cửu vi lục thập tam, mỗi nhân đắc cửu nguyên. Cố số thích tận nhƣợc bát nhân tắc bát bát vi lục thập tứ. thị thứ nhất nguyên dã, đệ nhị tiêu phân hứa thất nhân tắc thất thất vi tứ thập cửu, mỗi nhân đắc thất nguyên số. Diệc thích tận nhƣợc bát nhân tắc lục bát vi tứ thập bát thị dƣ nhất nguyên dã.
Dịch: Đề 8 Nay có hội đấu ngựa thƣởng tiền 2 giải thƣởng, chia cho 7
ngƣời thì số tiền hai giải thƣởng vừa hết, chia cho 8 ngƣời thì giải thứ nhất thiếu số tiền là 1 đồng, giải thứ hai thừa 1 đồng. Hỏi số tiền mỗi giải là bao nhiêu?
Đáp Số tiền giải thứ nhất là 63 đồng, số tiền giải thứ hai là 49 đồng.
Giải thứ nhất chia cho 7 ngƣời thì 7x9=63, mỗi ngƣời đƣợc 9 đồng cho nên số vừa hết C n 8 ngƣời thì 8x8=64, thiếu 1 đồng. Phiếu thứ 2 chia cho 7 ngƣời thì 7x7=49, mỗi ngƣời đƣợc 7 đồng thì cũng vừa hết C n 8 ngƣời thì 6x8=48 thì dƣ 1 đồng.
Giải thích Số tiền giải thứ nhất là x chia hết cho 7 nên là bội của 7, tức là x7 .q Vì x1 chia hết cho 8 nên 7q 1 8 ,p hay 8p7q1, tức là
7(q p) p 1. Do 1 7
p
p q
là số nguyên nên p1 phải chia hết cho 7, tức là p 7t 1,q p t. Số tiền giải thứ hai là y chia hết cho 7 và chia cho 8 ngƣời thừa 1 đồng nên y7m và y 1 8 .n Suy ra 7m 1 8n hay
7 m n n 1, do đó n 1 7k hay n7k1 và m n k 8k1. Vậy 56 7 x t và y56k7. Chọn t và k nhỏ nhất là t k 1 thì x63 và 49. y
Nhận xét: Nếu chọn t2 thì x119 cũng thỏa mãn đầu bài.
Bài toán dƣới đây thƣờng đƣợc ghi chú là bài toán cổ hoặc bài tốn dân gian Tuy nhiên chúng tơi nghĩ rằng chúng xuất phát từ những bài toán trong các sách Hán Nôm, mặc d chúng tôi chƣa tra cứu đƣợc rõ nguồn gốc.
2.6 M phƣơng trong Ý trai toán pháp nhất đắc lục củ Nguyễn Hữu Thận
Theo nhận xét đánh giá của Hoàng Xuân Hãn: guyễn Hữu Thận là một người nướ ta, trướ thời Ph p thuộ , trình độ to n họ kh ao. Ta i t vậy, qua không những p dụng phép lị h Hiệp Kỷ, mà n qua một to n thư mà ông để lại: Ý Trai toán pháp ( ị h và lị h Việt am, Hoàng Xuân
Hãn, [B11]).
Nguyễn Hữu Thận tự Chân Nguyên, tên hiệu Ý Trai sinh vào tháng 3 năm Đinh Sửu (tức tháng 4/1757) tại làng Đại Hòa, tổng An Dã, huyện Hải Lăng, phủ Triệu Phong, nay thuộc xã Triệu Đại, huyện Triệu Phong, tỉnh Quảng Trị. Gia phả họ Nguyễn Hữu (trƣớc là Nguyễn Phú) c n đƣợc một ngƣời cháu trực hệ, đời thứ 15 c n lƣu giữ ghi rõ: thân phụ ông là Nguyễn Phú Điêu, làm Huấn đạo (chức quan chuyên trông coi việc học) say mê cửu chƣơng toán pháp và ham nghiên cứu những chuyển động của thời tiết.
Ảnh thờ Cụ guyễn Hữu Thận tại nhà thờ d ng họ guyễn Hữu, xã Triệu Đại, huyện Triệu Phong, tỉnh Quảng Trị (Ảnh do PGS Tạ Duy Phƣợng
chụp 2015).
Ý trai to n ph p nhất đắ lụ là tên bộ sách toán nổi tiếng của nƣớc ta
đầu thế ỷ XIX ộ sách này gồm 8 quyển, nghiên cứu về toán pháp cửu chƣơng nhƣ phép phƣơng điền (đo diện tích ruộng đất, tức là hình học phẳng), phép sai phân (chia một tổng thành nhiều phần), phép hai bình phƣơng (tức tìm căn bậc hai), phép câu cổ (tính các chiều trong tam giác vng), phép phƣơng trình (đại số học), phép lập phƣơng (tìm thể tích và căn bậc ba), giải 47 bài toán để minh họa và nghiên cứu ma phƣơng,
Xuất thân trong gia đình có iến thức về tốn học, Nguyễn Hữu Thận đã nhanh chóng tiếp thu tinh hoa của tốn học Là một ngƣời tài giỏi ấy vậy mà ông hông tha thiết với hoa cử Có lẽ do lối thi cử nặng huôn mẫu giáo điều của Tứ thƣ, ngũ inh Do đó ơng dồn hết tâm huyết vào việc tự nghiên cứu toán học Việt Nam
ng bƣớc vào đời với chân lễ sinh (giúp học quan giữ việc tế tự ở các miếu) là để có điều iện đọc sách và nghiên cứu ng viết: Đ i với to n ph p,
tơi qu thí h thành nghiện, mắt thấy sự vật và s h vở gì mang on s thì tìm phương ph p suy to n, ngày đêm t m trí khơng rời ra đượ , hưa tìm ra
thì khơng để xu ng, tìm ra đượ điều gì thì ghi hép lại (Trích lời tựa Ý Trai to n ph p nhất đắ lụ ) Niềm đam mê, đầu óc mẫn tuệ và sự miệt mài đã
giúp ơng tích lũy đƣợc vốn iến thức tốn học hơng nhỏ để phát huy đúng sở trƣờng của mình
Hai chiếc ấn vua ban và bài tựa Ý Trai toán pháp của Nguyễn Hữu Thận.
Cuộc đời của ông - hoặc đƣợc sử sách chép lại, hoặc đƣợc lƣu truyền - đều là sự ngƣỡng mộ của ngƣời đời đối với một tài năng xuất chúng Sách
Đại am hính iên liệt truyện ghi lại việc ơng tính ngay ra năm âm lịch c ng
Trong suốt quá trình làm quan đến hi về hƣu ơng đã có đƣợc những tập ản thảo đồ sộ để bắt tay duyệt lại, sung những hỗ khuy t lượ , làm s ng những hỗ hưa rõ để hoàn tất bộ Ý Trai to n ph p nhất đắ lụ [A22].
ộ sách này gồm 8 quyển, nghiên cứu về toán pháp cửu chƣơng nhƣ phép phƣơng điền (đo diện tích ruộng đất, tức hình học phẳng), phép sai phân (chia một tổng thành nhiều phần), phép hai bình phƣơng (tức tìm căn bậc hai), phép câu cổ (tính các chiều trong tam giác vng), phép phƣơng trình (đại số học), phép lập phƣơng (tìm thể tích và căn bậc ba), giải 47 bài toán để minh họa và nghiên cứu ma phƣơng
Ma phƣơng là một hình vng, chia đều ra từng ơ, trong đó đặt những con số sao cho tổng mỗi hàng ngang, dọc và chéo đều bằng nhau Nó đƣợc ứng dụng trong một số vấn đề quan trọng liên quan đến việc tính tốn Lý thuyết này trƣớc đó đƣợc nhiều nhà toán học trên thế giới nghiên cứu và xác lập; nhƣng ở Việt Nam cho đến lúc bấy giờ thì hồn tồn lạ lẫm Nguyễn Hữu Thận đã bƣớc vào thế giới bí ẩn của những con số và phần nào hám phá đƣợc mối liên hệ giữa chúng, Hoàng Xuân Hãn đã viết: ần đầu tiên, một nhà
to n họ Việt am là ông àn tới ma phương Không chỉ bàn tới mà Nguyễn