2 Bài toán biên Hilbert
2.2 Các dạng bài toán biên Hilbert
2.2.2 Bài tốn khơng thuần nhất
Định lý 2.3. Bài tốn biên khơng thuần nhất(2.1)với điều kiện biên
Re F(t) a(s) +ib(s) = c(s), (2.18)
tương đương với bài tốn có điều kiện biên
Re F(t) tκeiγ(t) =|t|−κeω1(s)c(s). (2.19) Chứng minh.Xét các trường hợp: 1. κ = 0.
Trường hợp này điều kiện biên (2.19) là điều kiện của bài toán Dirichlet. Áp dụng toán tử Schwarz vào cả hai vế ta tìm được hàm F(z)như sau:
F(z) = eiγ(z)[S(eω1(s)c(s)) +iβ0]. (2.20) trong đó β0 là một hằng số tùy ý.
2. κ > 0.
Điều kiện biên (2.19) là điều kiện của bài tốn A, theo kết quả của (1.3.2) ta có
trong đó Q(z)được xác định như đối với bài toán thuần nhất.
Từ công thức (2.20) và (2.21) cho thấy nghiệm tổng quát của bài toán thuần nhất tương ứng chứa trong nghiệm tổng qt của bài tốn khơng thuần nhất.
3. κ < 0.
Tiếp tục thực hiện như trên ta được
F(z) = zκeiγ(z)[S(|t|−κeω1(s)c(s)) +iC]. (2.22) Ta thấy thừa số zκ trong hàm F(z) có thể có một cực điểm cấp −κ. Để có được một nghiệm giải tích ta đặt C = 0 trong cơng thức (2.22) và địi hỏi hàm
S(|t|−κeω1(s)c(s))
có một 0-điểm bội |κ|tại gốc tọa độ. Bằng tính tốn trực tiếp, ta thu được −2κ −1điều kiện giải được cần thỏa mãn để bài tốn có nghiệm.
Vì khơng có biểu thức tường minh cho tốn tử Schwarz đối với chu tuyến tùy ý nên khơng thể tìm dạng tường minh của điều kiện giải được trong trường hợp tổng quát. Khi biểu thức này được xác định thì những điều kiện tương ứng có thể viết được dưới dạng hiển.
Từ các kết quả thu được ở trên ta có phát biểu sau:
Mệnh đề 2.1. Nếu chỉ số của hàm phứca(s) +ib(s)làκ ≥ 0thì bài tốn biên Hilbert thuần nhất(2.14) và bài tốn khơng thuần nhất (2.18)là giải được tuyệt đối. Bài tốn thuần nhất có2κ +1nghiệm độc lập tuyến tính (dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các nghiệm tổng quát giống như một tổng các số hạng).
Nếu κ < 0thì bài tốn thuần nhất khơng giải được, bài tốn khơng thuần nhất giải được nếu và chỉ nếu các số hạng tự do thỏa mãn−2κ−1điều kiện giải được.
Khẳng định này chứng tỏ rằng thực chất nghiệm của bài toán Hilbert được rút gọn từ nghiệm của ba bài toán Dirichlet. Bài toán đầu tiên là xác định thừa số chính quy hóa, bài thứ hai là tìm nghiệm riêng của bài tốn khơng thuần nhất và cuối cùng xác định hàm Q(z)cho một miền tùy ý được quy về việc tìm hàm ánh xạ bảo giác trên một đường trịn, tương đương với giải bài tốn Dirichlet.