Đối với hệ chuyển mạch, chuyển mạch có thể gây nên sự thay đổi khơng dự đoán được của hệ chuyển mạch. Tính ổn định của từng hệ con khơng suy ra tính ổn định của hệ. Có khi các hệ con riêng biệt đều ổn định nhưng hệ chuyển mạch có thể vẫn không ổn định. Điều này được minh chứng qua các ví dụ sau. Ví dụ 1.5.1. Giả sử hệ chuyển mạch có hai hệ con riêng biệt ổn định tiệm cận, với quỹ đạo được minh họa trong Hình 1.2(a) và (b). Khi đó, hệ chuyển mạch có thể ổn định (Hình 1.2(c)) hoặc khơng ổn định (Hình 1.2(d)).
Hình 1.2: Chuyển mạch giữa các hệ ổn định.
Giả sử hệ chuyển mạch gồm hai hệ con trong đó một hệ con liên tục là ổn định và một hệ con rời rạc không ổn định, với quỹ đạo được minh họa trong Hình 1.3(a) và (b). Khi đó, hệ chuyển mạch có thể ổn định (Hình 1.3(c)) hoặc khơng ổn định (Hình 1.3(d)).
Hình 1.3: Chuyển mạch giữa một hệ liên tục ổn định và một hệ rời rạc không ổn định.
Giả sử hệ chuyển mạch gồm hai hệ con trong đó một hệ con liên tục không ổn định và một hệ con rời rạc ổn định, với quỹ đạo được minh họa trong Hình 1.4(a) và (b). Khi đó, hệ chuyển mạch có thể ổn định (Hình 1.4(c)) hoặc khơng ổn định (Hình 1.4(d)).
Trong trường hợp này, để đảm bảo hệ tiếp tục làm việc, hệ phải ổn định dưới chuyển mạch tùy ý. Xét hệ chuyển mạch
x∆(t) =fσ(t)(x(t)), (1.13)
trong đó x(t)∈Rn là trạng thái liên tục, σ(t)∈M := {1, . . . , m} là trạng thái rời rạc, và fi(x) = f(x, i), i ∈ M, f(Rn × M) 7→ Rn là một trường véctơ với f(·, i) liên tục Lipschitz với bất kỳ i∈ M.
Để nghiên cứu tính ổn định của hệ chuyển mạch (1.13). Đầu tiên ta giả sử rằng
(1) fi(0) = 0 với mọi i∈ M, tức là gốc tọa độ là trạng thái cân bằng.
(2) Hệ là liên tục Lipschitz toàn cục, tức là tồn tại hằng số L dương sao cho |fi(x)−fi(y)| ≤L|x−y| ∀x, y ∈ Rn, i ∈ M, (1.14) điều này đảm bảo tính hồn tồn xác định của hệ chuyển mạch.
Ký hiệu φ(t;t0, x0, σ) là chuyển động trạng thái liên tục của hệ (1.13) tại thời điểm t với điều kiện ban đầu x(t0) = x0 và quỹ đạo chuyển mạch σ. Nếu t0 = 0, ta cũng ký hiệu φ(t;x0, σ) là nghiệm của hệ. Ký hiệu d(x, y) là khoảng cách Euclid giữa hai véctơ x và y. Cho tập Ω ⊂ Rn và véctơ x ∈ Rn, đặt |x|Ω = infy∈Ωd(x, y).
Định nghĩa 1.5.2 ([8]). Trạng thái cân bằng tầm thường x trùng 0 của hệ (1.13) được gọi là
(1) hút toàn cục nếu lim
t→+∞|φ(t;x, σ)| = 0 ∀x∈ Rn, σ ∈ S
(2) hút toàn cục đều nếu với bất kỳ δ >0 và ε >0, tồn tại T >0 sao cho |φ(t;x, σ)| < ε ∀t ∈ TT,|x| ≤δ, σ ∈ S,
(3) ổn định nếu với bất kỳ ε >0 và σ ∈ S, tồn tại δ >0 sao cho |φ(t;x, σ)| ≤ ε ∀t ∈T0,|x| ≤ δ,
(4) ổn định đều nếu tồn tại δ >0 và hàm γ thuộc lớp K sao cho |φ(t;x, σ)| ≤ |γ(|x|)| ∀t ∈T0,|x| ≤ δ, σ ∈ S, (5) ổn định tiệm cận tồn cục nếu nó ổn định và hút tồn cục,
(6) ổn định tiệm cận đều toàn cục nếu vừa ổn định đều vừa hút đều toàn cục, (7) ổn định mũ toàn cục nếu với bất kỳ σ ∈ S, tồn tại α > 0 và β > 0 sao
cho
|φ(t;x, σ)| ≤ βe−αt|x| ∀t ∈T0, x∈ Rn (8) ổn định mũ đều toàn cục nếu tồn tại α >0 và β > 0 sao cho
|φ(t;x, σ)| ≤ βe−αt|x| ∀t∈ T0, x∈Rn, σ ∈ S. Ví dụ 1.5.3 ([8]). Cho hai hệ con tuyến tính vơ hướng:
˙ x =A1x = " 0 1 −1 −1 # x và ˙ x =A2x= " 0 1 −1−3a −1−a # x, trong đó a là một tham số thực khơng âm.
Rõ ràng, các giá trị riêng của cả hai hệ con đều có phần thực âm nên chúng đều ổn định mũ. Khi a = 0 thì hai hệ con trùng nhau và hệ chuyển mạch là ổn định mũ. Khi a≈ 36.512 thì hệ chuyển mạch là ổn định biên nhưng khơng ổn định tiệm cận. Khi a >36.512 hệ chuyển mạch không ổn định.
Chương 2
Tính ổn định của một lớp các hệ chuyển mạch tuyến tính trên thang thời gian
Trong chương này, chúng tơi trình bày các kết quả về tính ổn định của hệ chuyển mạch tùy ý trên thang thời gian không đều T = Pak,bk. Ba điều kiện được đưa ra để đảm bảo tính ổn định mũ của lớp hệ này dưới điều kiện hàm hạt bị chặn khi các hệ con là ổn định mũ. Các kết quả này được mở rộng khi khảo sát trường hợp hệ con rời rạc không ổn định hoặc hệ con liên tục không ổn định. Tài liệu tham khảo chính là [9].
2.1 Phát biểu bài tốn
Trong luận văn này, lý thuyết thang thời gian được giới thiệu để nghiên cứu tính ổn định của một lớp hệ chuyển mạch đặc biệt mà trong đó hệ động lực chuyển đổi giữa hệ một hệ con tuyến tính liên tục và một hệ con tuyến tính rời rạc trong một khoảng thời gian nhất định (ví dụ có thể tương ứng với thời gian cần thiết cho bước nhảy hay sự gián đoạn trong truyền thông tin).
Cho {t0, t1, t2, t3, . . .} là dãy các thời điểm đơn điệu tăng khơng có điểm tụ hữu hạn. Trong luận văn này chúng ta sẽ xét thang thời gianTđược định nghĩa như sau Ptσk,tk+1 = ∞ [ k=0 [tσk, tk+1] (2.1)
với tσ0 =t0 = 0 tk < tσk < tk+1, tk ∈R,∀k ∈ N∗. Khai triển Ptσk,tk+1, ta được
Ptσk,tk+1 = [tσ0, t1]∪[tσ1, t2]∪. . .∪[tσk, tk+1]∪. . . = [t0, t1]∪[tσ1, t2]∪. . .∪[tσk, tk+1]∪. . . = [0, t1]∪[tσ1, t2]∪. . .∪[tσk, tk+1]∪. . . Nếu t∈ ∞ S k=0 [tσk, tk+1) = [0, t1)∪[tσ1, t2)∪. . .∪[tσk, tk+1)∪. . . thì tốn tử nhảy tiến σ(t) = inf{s∈ Ptσk,tk+1 : s > t}= t. Hàm hạt thỏa mãn µ(t) =σ(t)−t = 0. Nếu t∈ ∞ S k=0
{tk+1} ={t1, t2, t3, . . .} thì tốn tử nhảy tiến thỏa mãn ∀k ∈ N∗, σ(tk) = inf{s∈ Ptσk,tk+1 : s > tk} = inf{tσj : j ≥ k}= tσk.
Hàm hạt thỏa mãn µ(tk) = σ(tk)−tk =tσk −tk,∀k = 1,2, . . . ,∞.
Định nghĩa 2.1.1 ([9]). Hệ chuyển mạch tuyến tính dưới chuyển mạch tùy ý là một bao hàm thức động lực và điều kiện ban đầu có dạng
x∆ ∈ {Aix}i∈M, x(t0) =x0,
trong đó Ai ∈ Mn(R) và M là tập chỉ số. Khi ta muốn nhấn mạnh mơ hình chuyển mạch, ta ký hiệu hệ chuyển mạch bởi
x∆ =Ai(t)x, x(t0) = x0,
trong đó i(t) : T →M là tín hiệu chuyển mạch liên tục từng phần.
Gọi {Ac, Ad} là tập hai ma trận hồi quy hằng với cấp thích hợp. Luận văn này sẽ đi nghiên cứu bài toán hệ chuyển mạch trên thang thời gianT =Ptσk,tk+1
được cho trong dạng x∆(t) = Acx(t) với t ∈S∞k=0[tσk, tk+1) Adx(t) với t ∈S∞k=0{tk+1}. (2.2)
Phương trình đầu tiên của (2.2) miêu tả hệ động lực tuyến tính liên tục của hệ và phương trình thứ hai biểu diễn trạng thái bước nhảy. Do đó, hệ động lực chuyển đổi giữa một hệ con tuyến tính liên tục có thể khơng ổn định và một hệ con tuyến tính rời rạc có thể khơng ổn định trong một khoảng thời gian xác định. Nó cũng có thể được xem như mở rộng của hệ impulsive trong đó trạng thái nhảy khơng phải là tức thời và phụ thuộc vào hàm hạt. Minh họa cho lớp hệ được nghiên cứu được trình bày ở Hình 2.1.
Hình 2.1: Minh họa lớp hệ chuyển mạch được khảo sát trên thang thời gian Ptσk,tk+1 với Ac ổn định và Ad không ổn định.
Trong phần tiếp theo, ta thảo luận tính ổn định của hệ (2.2) trong ba trường hợp.