3 Quyết định Bayes trong mơ hình chuỗi thời gian
3.1.2 Suy luận theo tiên nghiệm đều
3.2.2 Mơ hình trung bình trượt MA
Một dạng thứ hai của mơ hình chuỗi thời gian vẫn phụ thuộc tuyến tính và biểu hiện dạng đóng là mơ hình trung bình trượt M A(q), nó xuất hiện như một phiên bản kép của mơ hình AR(p).
Một quá trình M A(1) : (xt)t∈Z có điều kiện trên quá khứ (t ∈ T) cho bởi cơng thức
xt = µ+εt −ϑεt−1 (3.10) Trong đó (εt)t∈T là một tiếng ồn trắng. Do đó
E(xt) =µ, V (xt) = 1 +ϑ2σ2, γx(1) = ϑσ2 và γx(h) = 0 (h >1).
Một tính chất quan trọng của (3.10) là mơ hình khơng phải định danh cho mỗi gia nhập. Thật vậy, chúng ta có thể viết lại xt như sau:
xt = µ+ eεt−1 − 1
ϑεet , εe∼N 0, ϑ2σ2.
Vì vậy, cả hai cặp (ϑ, σ) và ϑ1, ϑσ là đại diện tương đương của mơ hình trên. Để đạt được tính đồng nhất, khơng gian tham số của q trình
M A(1) bị hạn chế bởi|ϑ| < 1.Quá trình này được gọi là nghịch đảo. Cũng như tính nhân quả, tính nghịch đảo khơng là một đặc tính của q trình duy nhất (xt)t∈Z mà là của liên kết giữa hai quá trình (xt)t∈T và (εt)t∈T.
Tổng quát của mơ hình M A(1) để tăng sự phụ thuộc vào quá khứ là mơ hình M A(q) xác định bởi t∈ T
xt = µ+ εt q
X
i=1
ϑiεt−i (3.11)
Trong đó (εt)t∈T là tiếng ồn trắng. Điều kiện “đồng nhất” tương ứng trong mơ hình này là tất cả nghiệm của đa thức
Q(u) = 1− q
X
i=1 ϑiui,
Đều nằm bên ngồi hình trịn đơn vị trong mặt phẳng phức.
Một khác biệt lớn giữa mơ hình M A(q) và AR(p) là cấu trúc của
M A(q) khơng là Markov. Trong trường hợp Gauss, tồn bộ các véc tơ quan sát x1:T là một biến chuẩn ngẫu nhiên thực, với hằng số trung bình
µ và ma trận hiệp phương sai P. Do đó, nó cung cấp một hàm hợp lý rõ ràng. Tuy nhiên, việc tính tốn hàm hợp lý này là khá tốn kém vì nó liên quan đến ma trận nghịch đảo của P
(khá lớn).
Một biểu hiện khác của hàm hợp lý M A(q) là sử dụng hàm hợp lý của
x1:T có điều kiện trên tiếng ồn trắng ε0, ..., ε−q+1 :
lc(µ, ϑ1, ..., ϑq, σ|x1:T, ε0, ..., ε−q+1) ∝ σ−T T Y t=1 exp xt −µ+ q X j=1 ϑjεbt−j 2 /2σ2 (3.12) Trong đó: (t > 0) : εbt = xt−µ+ q P j=1 ϑjεbt−j và εb0 = ε0, ...,εb1−q = ε1−q.
Định nghĩa đệ quy này của hàm hợp lý là vẫn tốn kém vì nó liên quan đến tổng T của q số hạng. Tuy nhiên, mặc dù vấn đề xử lý các giá trị điều kiện (ε0, ..., ε−q+1) phải được xử lý riêng thông qua một bước MCMC, sự phức tạp của biểu hiện này là dễ quản lý hơn so với biểu hiện chính xác chuẩn ở trên.
Chú ý rằng, phân phối có điều kiện của (ε0, ..., ε−q+1) cho cả hai x1:T và các tham số là một phân phối chuẩn. Với cả hai x1:T và tiếng ồn quá khứ
(ε0, ..., ε−q+1), phân phối có điều kiện của các tham số (µ, ϑ1, ..., ϑq, σ) là rất gần với hậu nghiệm kết hợp với một phân phối hậu nghiệm AR(q).
Vì thế, chúng ta có thể tái xử dụng thuật tốn (3.2). Tiếng ồn quá khứ
ε−i(i = 1, ..., q) là được mô phỏng trên xt, trên các tham số µ, σ và ϑ = (ϑ1, ..., ϑq). Trong khi phân phối chính xác:
0
Y −ε2/2σ2
T
tơ (ε0, ..., ε−q+1). Tính tốn của nó là q tốn kém cho các biến với giá trị thực của T. Do đó, chúng ta sẽ sử dụng một thuật tốn hỗn hợp Gibbs ở đó tiếng ồn biến mất ε = (ε0, ..., ε−q+1) là được mô phỏng từ một đề nghị hoặc dựa trên giá trị mô phỏng trước của(ε0, ..., ε−q+1)hoặc dựa trên phân phối có điều kiện của (ε0, ..., ε−q+1) và các tham số là một phân phối chuẩn.
Thuật toán 3.3[10]: Nhảy ngược M A(q)
Khởi tạo: Chọn λ(0), ε(0), µ(0) và σ(0) tùy ý. Lặp đi lặp lại t(t ≥ 1) :
1. Chạy các bước từ 1 đến 4 của thuật toán (3.2) với điều kiện trênε(t−1)
với hàm hợp lý có điều kiện chính xác tương ứng.
2. Mơ phỏng ε(t) bởi một bước Metropolis-Hasting.
Ví dụ 3.2[10] (tiếp): Chúng ta xem xét 350 điểm đầu tiên của chuỗi
Air Liquide trong Eurostoxx50. Kết quả đại diện cho q = 9 và 10000 lần lặp lại trong thuật toán (3.3), với ước lượng như sau:
Hàng trên cùng: biểu đồ bên trái là trình tự của các nghiệm phức (dao động từ 0 đến 8); biểu đồ ở giữa và phải là chuỗi của µ và σ2.
Hàng giữa là trình tự ước lượng của các ϑi(i = 1,2,3).
Hàng dưới cùng : biểu đồ bên trái là trình tự hàm hợp lý được quan sát; biểu đồ ở giữa là biểu hiện của đám mây của các nghiệm phức với ranh giới của hình trịn đơn vị; biểu đồ bên phải là phát triển của mô phỏng
ε−t.