2 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN FRED-
2.1.2 Nghiệm của phương trình tích phân:
Bây giờ chúng ta phát biểu và chứng minh định lý sau: Định lý 2.1. Nếu
(i) K(x, y), x, y ∈ [a, b] là hạt nhân Fredholm mà |b − a| max và |K(x, y)|< 1
(ii) g(x, y) với x ∈ [a, b], ω ∈ Ω là hàm ngẫu nhiên bậc hai thỏa mãn các điều kiện đã nêu. Khi đó, hàm ngẫu nhiên f(x, w) được định nghĩa bởi:
f(x, w) = g(x, w)−
Z b
a
Γ(x, y)g(y, w)dy (2.2)
x ∈ [a, b] ω ∈ Ω là nghiệm của phương trình Fredholm (2.1) trên [a, b]×Ω Chứng minh: Đối ứng từ phương trình (2.1) là: g(x, w) = f(x, w)− Z b a Γ(x, y)g(y, w)dy (2.3) Trong đó, Γ(x, y), giải thức liên kết của K(x, y) được xác định như sau:
Γ(x, y) = −
∞
X
n=1
K(n)(x, y) (2.4) Trong đó K(1)(x, y), K(2)(x, y), . . . được quy nạp như sau:
K(1)(x, y) = K(x, y) K(2)(x, y) = Z b a K(x, z)K(z, y)dz Và tổng quát là: K(n)(x, y) = Z b a K(n−1)(x, z)K(z, y)dz n= 3,4, . . .
Dưới giả thiết là hạch nhỏ (b− a) lớn nhất |K(x, y)| < 1 loại Neumann (2.4) hội tụ tuyệt đối, so sánh với cấp số nhân. Từ g(x, w) là một hàm ngẫu nhiên bậc hai.
Z b
a |g(x, w)|2dx < ∞ (2.5)
hầu như chắc chắn. Cũng từ giải thức Γ(x, y) là một hạch L2 trên [a, b]. Z b a |Γ(x, y)|2dy < ∞ ∀x ∈ [a, b] Do đó tích phân: Z b a Γ(x, y)g(y, w)dy
tồn tại trên [a, b]×Ω. Từ đó chúng ta có thể kết luận rằng:
f(x, w) = g(x, w)−
Z b
a
Γ(x, y)g(y, w)dy là định nghĩa tốt trên [a, b]×Ω. Bây giờ chúng ta biểu diễn:
Z b
a |Γ(x, y)g(y, w)|dy ∈ L2[a, b]
với hầu hết ∀w ∈ Ω. Một ứng dụng của bất đẳng thức Holder’s: Z b a |Γ(x, y)g(y, w)|dy 2 ≤ Z b a |Γ(x, y)|2dy Z b a |g(y, w)|2dy Do đó: Z b a Z b a |Γ(x, y)g(y, w)|dy 2 dx ≤ Z b a Z b a |Γ(x, y)|2dy Z b a |g(y, w)|2dydx = Z b a |Γ(x, y)|2dxdy Z b a |g(y, w)|2dy < ∞
hầu như chắc chắn. Cuối cùng, chúng ta chỉ ra rằng hàm ngẫu nhiên
f(x, w) được định nghĩa bởi thỏa mãn phương trình ngẫu nhiên Fredholm (2.1) trên [a, b]×Ω hầu như chắc chắn. Xét sự độc lập:
K(x, y) + Γ(x, y)−
Z b
a
Nếu chúng ta nhân (2.6) với g(y, w) và tích phân trên khoảng [a, b], chúng ta thu được: Z b a g(y, w)K(x, y) + Γ(x, y)− Z b a K(x, z)Γ(x, z)dzdy = 0 Mà khi sắp xếp lại, kết quả là:
Z b a g(y, w)K(x, y)dy− Z b a Z b a K(x, z)Γ(z, y)g(y, w)dzdy (2.7) = − Z b a Γ(x, y)g(y, w)dy (2.8) Từ Rb
a |Γ(z, y)g(y, w)|2dy ∈ L2[a, b] hầu như chắc chắn và từ |K(x, z)| ∈
L2[a, b] ∀x ∈ [a, b], chúng ta có: Z b
a |K(x, z)|dz
Z b
a |Γ(z, y)g(y, w)|dy < ∞
hầu như chắc chắn. Một ứng dụng của định lý Tonelli để giới hạn thứ hai trên phía bên tay phải của kết quả (2.7)
Z b a Z b a K(x, z)Γ(z, y)g(y, w)dzdy = Z b a K(x, z) Z b a Γ(z, y)g(y, w)dydz (2.9) Nếu bây giờ chúng ta đổi biến của tích phân ở giới hạn đầu ở phái bên tay phải của (2.7) từ y sang z và sau đó sử dụng (2.9), chúng ta viết lại (2.7) như sau: Z b a K(x, z)g(z, w)− Z b a Γ(z, y)g(y, w)dydz = − Z b a Γ(x, y)g(y, w)dy Sử dụng định nghĩa của f(x, w), cho bởi (2.2),biểu thức trên trở thành:
Z b a K(x, z)f(z, w)dz = − Z b a Γ(x, y)g(y, w)dy (2.10) Viết lại (2.10) là: Z b a K(x, z)f(z, w)dz = g(x, w)−g(x, w)− Z b a Γ(x, y)g(y, w)dy
Và sử dụng định nghĩa của f(x, w), chúng ta quan sát (2.10) là tương đương với phương trình Fredholm ngẫu nhiên (2.2) Kết quả trên có thể dễ dàng đặc biệt với trường hợp trong đó K(x, y)là một hạch Volterra. Trong
trường hợp này, phương trình (2.2) có dạng:
f(x, w)−
Z x
a
K(x, y)f(y, w)dy = g(x, w) (2.11) Và nghiệm của phương trình Volterra ngẫu nhiên là:
f(x, w) = g(x, w)−
Z x
a
Γ(x, y)g(y, w)dy (2.12) Chúng ta phát biểu, không chứng minh kết quả sau:
Hệ quả 2.1. Nếu K(x, y) là một hạch Volterra trên [0, r]×[0, r] r ⋗0 và nếu g(x, w) là một hàm ngẫu nhiên bậc hai trên [0,∞]×Ω thỏa mãn phương trình Volterra ngẫu nhiên mà liên tục trên hình vng, sau đó hàm ngẫu nhiên f(x, w) được định nghĩa bởi (2.12) trên [0,∞)×Ω thỏa mãn phương trình ngẫu nhiên (2.11) trên [0,∞)×Ω.
2.1.3 Nghiệm của hàm hiệp phương sai:
Để
Rf(x1, x2) =E{f(x1, w)f(x2, w)} x1, x2 ∈ [a, b] (2.13) là hàm hiệp phương sai của nghiệm f(x, w) của phương trình tích phân ngẫu nhiên (2.2). Thiết lập sự tồn tại của Rf(x1, x2), chúng ta biểu diễn E{|f(x, w)|2} 6 ∞,∀x ∈ [a, b] nghĩa là f(x, w) là hàm ngẫu nhiên bậc hai. Dưới đây từ bất đẳng thức Holder:
| Z b a Γ(x, y)g(y, w)dy|2 ≤ Z b a |Γ(x, y)|2dy Z b a |g(y, w)|2dy Và: E{| Z b a Γ(x, y)g(y, w)dy|2} ≤ Z b a |Γ(x, y)|2dy E{ Z b a |g(y, w)|2dy}< ∞
∀x ∈ [a, b], từ g(x, w)là liên tục trong hình vng. Như vậy, nó theo sau từ (2.2) là E{|f(x, w)|2} < ∞,∀x ∈ [a, b], thiết lập sự tồn tại của hàm hiệp phương sai Rf(x1, x2). Phép tính của Rf(x1, x2) là trực tiếp. Từ (2.13) và (2.2) chúng ta có: Rf(x1, x2) = = E{(g(x1, w)− Z b a Γ(x1, y)g(y, w)dy)(g(x2, w)− Z b a Γ(x2, y)g(y, w)dy)} = E{g(x1, w)g(x2, w)} −E{g(x1, w) Z b a Γ(x2, y)g(y, w)dy} −E{g(x2, w) Z b a
Γ(x1, y), g(y, w)dy}
+E{ Z b a Γ(x1, y)g(y, w)dy Z b a Γ(x2, y)g(y, w)dy} Rf(x1, x2) = Rg(x1, x2)− Z b a
(Γ(x2, y)E{g(x1, w)g(y, w)dy})
−
Z b
a
(Γ(x1, y)E{g(y, w)g(x2, w)})dy
−
Z b
a
Z b
a
(Γ(x1, y1)Γ(x2, y2)E{g(x1, w)g(x2, w)})dy1dy2 = Rg(x1, x2) Z b a Γ(x2, y)Rg(x1, y)dy− Z b a Γ(x1, y)Rg(y, x2)dy − Z b a Z b a
Γ(x1, y1)Γ(x2, y2)Rg(y1, y2)dy1dy2
Đặt:
H(x1, x2) =Rg(x1, x2)−
Z b
a
Γ(x2, y)Rg(x1, y)dy (2.14) Phép tính đơn giản dưới đây biểu diễn choRf(x1, x2)của hàm hiệp phương sai Rg(x1, x2) đặt trong hàm ngẫu nhiên g(x, w):
Rf(x1, x2) = H(x1, x2)−
Z b
a
Γ(x2, y)Rg(x1, y)dy (2.15) Với g(x, w) là liên tục trong hình vng, hàm hiệp phương sai của nó
định lý của Mercer: Rg(x1, x2) = ∞ X n=1 λnφn(x1)φn(x2) (2.16)
Nơi hội tụ hàng loạt và thống nhất trên [a, b]×[a, b]. Trong (2.16), φn(x)
là trình tự của hàm số đặc trưng bình thường củaRg(x1, x2) vàλn là trình tự của liên kết khơng âm các giá trị riêng cho tất cả các số nguyên m và
n. λnφn(x) = Z b a Rg(r, x)φn(r)dr x ∈ [a, b] = Z b a φm(x)φn(x)dx = δm×n Ở đó, δxm×n là delta Kronecker. Đặt: ξn(w) = Z b a g(x, w)φn(x)dx n = 1,2, . . . (2.17) Biến ngẫu nhiên ξn(w) được định nghĩa từ Rb
a |g(x, w)|2dx < ∞ hầu như chắc chắn và hàm đặc trưng liên tục trên [a, b]. Trình tự ξn(w)∞n=1 là trực giao trên Ω và ∀x ∈ [a, b]:
∞ X n=1 λ 1 2 nξn(w)φn(x) (2.18)
là đại diện cho g(x, w) với nghĩa sau: lim n→∞E{|g(x, w)− N X n=1 λ 1 2 nξn(w)φn(x)|2} = 0
Để ψn(x), n = 1,2, . . . là nghiệm của phương trình tích phân (xác định):
ψn(x)− Z b a K(x, y)ψn(y)dt= φn(x)ψn(x) = φn(x)− Z b a Γ(x, y)ψn(y)dy (2.19) Như trước,Γ(x, y) là giả thức của Fredholm (hoặc Volterra) hạch K(x, y).
giao. f(x, w) = ∞ X n=1 λ 1 2 nξn(ω)ψn(x) x ∈ [a, b] (2.20) Mà theo sau nó là hàm hiệp phương sai Rf(x1, x2) nhận làm đại diện trực giao. Rf(x1, x2) = ∞ X n=1 λnψn(x1)ψn(x2) (2.21)
2.1.4 Sự liên tục bình phương trung bình của nghiệm:
Bây giờ chúng ta biểu diễn hàm ngẫu nhiên f(x, w) là liên tục trong bình phương trung bình nếu hạch K(x, y) của tốn tử tích phân là liên tục.
Định lý 2.2. Để K(x, y) là hạch Fredholm trên [a, b]×[a, b] và để Γ(x, y) biểu thị cho liên kết giải thức. Nếu K(x, y) liên tục trên [a, b] × [a, b],
nghiệm f(x, w) của phương trình tích phân (2.1) là liên tục trong bình phương trung bình trên [a, b].
Chứng minh
Đặt x0 ∈ [a, b]. Từ (2.2) và ứng dụng của bất đẳng thức Minkowski: (E{|f(x, w)−f(x0, w)|2})12 = (|g(x, w)−g0(w) + Z b a g(y, w)[Γ(x, y)−Γ(x0, y)]2dy|2)12 < (E{|g(x, w)−g(x0, w)|2})12 + (E{| Z b a g(y, w)[Γ(x, y)−Γ(x0, y)]dy|2})12
Từ g(x, w) là liên tục trong bình phương trung bình. lim
x→x0E{|g(x, w)−g(x0, w)|2}= 0 Từ đây, nó biểu diễn là:
lim x→x0 Z b a g(y, w)[Γ(x0, y)−Γ(x, y)]dy 2 = 0 (2.22)
Ứng dụng của bất đẳng thức Holder: | Z b a g(y, w)[Γ(x0, y)−Γ(x, y)]dy|2 < Z b a |g(y, w)|2dy Z b a |Γ(x0, y)−Γ(x, y)|2dy
Từ g(y, w) là liên tục trong bình phương trung bình, E{ Z b a |g(y, w)|2dy} = M <∞ Do đó: E Rb a g(y, w)[Γ(x0, y)−Γ(x, y)]dy 2 ≤M Z b a |Γ(x−0, y)−Γ(x, y)|2dy
Bởi vậy, nó cịn được biểu diễn là: lim
x→x0
Z b
a |Γ(x0, y)−Γ(x, y)|2dy = 0
Vớiǫ⋗0, giả thuyếtK(x, y)liên tục trên[a, b]×[a, b], do đó gải thứcΓ(x, y) cũng liên tục trên [a, b]×[a, b]. Từ Γ(x, y) liên tục đều trên [a, b]×[a, b], chúng ta có thể chọn δ ⋗0 mà:
Z b
a |Γ(x, y)−Γ(x0, y)|2dy < ǫ
với |x−x0| < δ. Điều này thiết lập (2.22).
2.1.5 Phương trình tích phân Volterra với đầu vào Wiener:
Trong chủ đề này, chúng ta xét một ví dụ cụ thể của loại phương trình tích phân nghiên cứu trong phần này, phương trình tích phân Volterra đặt vào q trình Wiener. Xét phương trình tích phân (2.1) trên [0,1] với hạch:
K(x, y) =
−1 với x > y
0 với x < y (2.23)
Trong trường hợp này, phương trình (2.1) có dạng:
f(x, w) + Z x
0
Giải thức Γ(x, y) là phép tính đơn giản được cho bởi chuỗi Neumann: − ∞ X n=1 K(n)(x, y) = Γ(x, y) = e−(x−y) với x > y 0 với x < y
Tiếp theo từ định lý (2.1), hàm ngẫu nhiên f(x, w) trên [0,1] thỏa mãn phương trình (2.24) là:
f(x, w) = g(x, w)−
Z x
0
e−(x−y)g(y, w)dy (2.25) Để mà tính tốn hàm hiệp phương sai Rf(x1, x2), chúng ta sử dụng (2.14) và hàm hiệp phương sai Rg(x1, x2) của quy trình Wiener g(x, w) là
Rg(x1, x2) = min(x1, x2), x1, x2 ∈ [0,1]. Từ (2.14) và (2.25) chúng ta có: H(x1, x2) = x1 −R0x1exp[−(x2−ξ)]ξdξ −x1Rx2 x1 exp[−(x2 −ξ)]dξ với x1 < x2 x2 −R0x2exp[−(x2−ξ)]ξdξ với x1 > x2
Sự thay thế biểu thị trên của H(x1, x2) trong (2.15) là:
Rf(x1, x2) = 1
2exp−|x1−x2| − 1
2exp−(x1 −x2) (2.26)
2.2 Hạch K(x, y, ω) là ngẫu nhiên suy biến
Xét phương trình
K(x, y, ω)f(y)dy−λf(x) = g(x) (2.27)
Với hạch suy biến ngẫu nhiên:
K(x, y, z) =
n
X
i=1
αi(x, w)βi(y) (2.28)
Trong (2.28) αi(x, ω)ni=1 là họ gần như độc lập L2(0,1)- những hàm ngẫu nhiên và βi(y)ni=1 là một bộ độc lập L2(0,1)-những hàm xác định. Rõ ràng, mọi x, y ∈ (0,1) cố định, hạch K(x, y, w) là hàm đo được của w. Đặt:
ξi = Z 1
0
Vậy thì tranh luận trong trường hợp xác định này, phương trình Fredholm: Z 1
0
K(x, y, ω)f(y)dy−λf(x) = g(x) (2.30) với hạch suy biến ngẫu nhiên K(x, y, w) được đưa ra ở (2.28) dẫn đến hệ phương trình đại số tuyến tính ngẫu nhiên:
n X j=1 aij(ω)ξj −λξi = bi i = 1,2, . . . , n. (2.31) Trong (2.31): aij(w) = Z 1 0 αj(x, w)βi(x)dx i, j = 1,2, . . . , n. (2.32) bi = Z 1 0 βi(x)g(x)dx i = 1,2, . . . , n. (2.33) Tích phân trong (2.32) và (2.33) là định nghĩa tốt và tính khả tích Riemann củaβi(x1)βi(x2)Rj(x1, x2) ở đó Rj(x1, x2)là hàm hiệp phương sai của q trình αj(x, w), đủ chắc chắn rằng tích phân trong (2.32) tồn tại trong bình phương trung bình và định nghĩa cho mọi cặp i, j một giá trị thực biến ngẫu nhiên aij(w).
Phương trình (2.31) có thể được viết lại như phương trình tốn tử ngẫu nhiên:
(A(w)−λI)ξ = b (2.34) Với A(w) là ma trận ngẫu nhiên cỡ n×n với phần tử aij(w) được định nghĩa bởi (2.32),ξ vàblànvecto. Chúng ta chú ý rằng phương trình (2.34) giải như phương trình tốn tử ngẫu nhiên trong không gian Euclidean
Rn hoặc không gian Hilbert l2(n), Sự tồn tại duy nhất và đo được của
nghiệm ξ(w) của định lý thu gọn Banach. Tuy nhiên, ứng dụng kết quả của Bharucha-Reid và Hans trên sự đảo ngược của toán tử ngẫu nhiên tuyến tính cảu dạng L(w)−λI cho phép chúng ta nhận kết quả sau đây của phương trình (2.34).
Định lý 2.3. : Cho λ khác 0 là số thực
µ(Ω(λ)) = µω[X
i,j=1
na2ij(ω)]12 < |λ| = 1
Khi đó ma trận ngẫu nhiên A(w)−λI là đảo ngược và nghiệm:
ξ(ω) = (A(ω)−λI)−1b
2.3 Hạch K(x, y, ω) là biến ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian các hàm gián đoạn vừa phải
Xét phương trình Fredholm: Z b
a
K(x, y)f(y)dy−λf(x) = g(x) (2.35) trong C[a, b] không gian của những hàm tiếp diễn xác định trên khoảng [a,b]. Với quy tắc ||f|| = maxx∈[a,b]|f(x)|, không gian C[a, b] trở thành một khơng gian Banach khả ly. Giả sử L kí hiệu là toán tử Fredholm trên
C với hạch K(x, y).
L[f(x)] = Z b
a
K(x, y)dy f ∈ C (2.36) Trong phần này chúng ta xét sự tồn tại, tính duy nhất, tính đo được của nghiệm phương trình (2.35) khi hạch K là hạch ngẫu nhiên K(x, y). Vấn
đề đầu tiên chúng ta xét là tính đo được của tốn tử Fredholm:
L(w)[f(x)] = Z b
a
K(x, y, w)f(y)dy (2.37) Chúng ta giả sử K(x, y) bị chặn ∀x, y ∈ [a, b] và liên tục trừ khi tại điểm trên số hữu hạn của đường cong liên tục y = φi(x), x ∈ [a, b], i = 1,2, . . . , n. Với giả thuyết trên K(x, y), tốn tử Fredholm là hồn tồn liên
tục trên C. Chúng ta chú ý rằng hạch với tính chất trên đơi khi được gọi là "nhẹ khơng liên tục ".Như ở ví dụ, hạch Volterra trên [0, b]×[0, b]mà liên tục vớiy < x và biến mất với y > x là nhẹ không liên tục trên[0, b]×[0, b]. Trong trường hợp này, chúng ta có thể lấy n= 1 và φ1(x) = x.
Giả sử cho R chứng tỏ không gian của tất cả các hạch gián đoạn ít K
định nghĩa trên [0, b]×[0, b] và ∀x ∈ [a, b], y ∈ [a, b] và mọi trình tự của số thực b > δ1 > δ2 > . . . > deltan −→0
(i)K(x,0) = lim
n→inf tyK(x, δn) (ii)K(x, y) = lim
n→inf tyK(x, y −δn) δ1 ≤ y
R không gian tất cả các hàm bị chặn trên [a, b] ×[a, b] với những tính chất trên chắc chắn là một khơng gian tuyến tính và với chuẩn ||K|| =
sup|K(x, y)|, ở đó cận trên đúng thực hiện trên x ∈ [a, b] và y ∈ [a, b]. R trở thành một quy tắc có thể phân chia khơng gian tuyến tính. Cho B(R) chỉ ra σ-đại số của tập hợp con của R. Bây giờ chúng ta có thể định nghĩa hạch ngẫu nhiên như là một U- ánh xạ đo được K của Ω vào R.
Mối quan hệ giữa tính đo được của tốn tử Fredholm với hạchK(x, y, w) và tính đo được hạch của nó được thiết lập bởi kết quả sau:
Định lý 2.4. Cho K là ánh xạ của Ω vào R và cho sự biến đổi L(w) của Ω×C vào C được định nghĩa ∀w ∈ Ω và ∀f ∈ C bởi (2.37). Khi đó, L(w)
là tốn tử tuyến tính liên tục hồn tồn trên C,∀w ∈ Ω. Ngồi ra, những
nhận định sau là tương đương:
(i) L(w) là toán tử ngẫu nhiên trên C.
(ii) ω : K(x, yω) < ξ ∈ U ∀x, y ∈ [a, b],∀ξ ∈ R
(iii)K(x, yω) là hạch ngẫu nhiên.
(iv)L(ω) là biến ngẫu nhiên với giá trị tốn tử. Chứng minh:
Tính liên tục hồn tồn của L(ω),∀ω ∈ Ω dưới đây từ lớp kết quả. Từ những nhận định (i)-(iv) là những xác nhận của tính đo được, chúng ta sẽ căn cứ vào chứng minh của tính tương đương của chúng trong phần ánh xạ x(ω) của Ω vào khơng gian Banach X có thể phân chia là biến ngẫu nhiên tổng quát nếu và chỉ nếu mọi hàm tuyến tính bị chặn x∗ thuộc vào bộ mà tổng số trên X ánh xạx∗(x(ω)) là một biến ngẫu nhiên giá trị thực.
∀x, y ∈ [a, b], f ∈ C và K ∈ R, đặt:
hx,f(K) = Z b
a
K(x, y)f(y)dy (2.39) Do đó, nó chắc chắn rằng bộ gx,y(K) :x, y ∈ [a, b] và
hx,f(K) : x, y ∈ [a, b], f ∈ C là tổng các bộ hàm tuyến tính bị chặn trên R. Hơn nữa, nếu ∀x ∈ [a, b] và f ∈ C chúng ta đặt:
rx(f) = f(x) (2.40)
Khi đó, tập rx(f) : x ∈ [a, b] là tập các hàm tuyến tính bị chặn trên C. Giả sử: E0 = L : L[f] = Z b a K(x, y)f(y)dy K ∈ R, f ∈ C (2.41) Nếu ∀x ∈ [a, b] và f ∈ C, chúng ta đặt: sx,f(L) = rx(L[f]) (2.42) khi đó tập sx,f(L) : x ∈ [a, b], f ∈ C là tập các hàm tuyến tính bị chặn trên E0. Từ E0 là khơng gian con của L(C), đại số của tốn tử tuyến tính bị chặn trên C, nó là một quy tắc khơng gian tuyến tính và ∀L ∈ E0
||L||= sup||L[f]|| = sup|| Z b a K(x, y)f(y)dy|| (2.43) = supmax|| Z b a K(x, y)f(y)dy|| (2.44) ≤ supmax(b−a)||K||||f|| (2.45) = (b−a)||K|| (2.46)
ở đó sup được lấy trên f : ||f|| = 1 và max x ∈ [a, b]. Vì vậy, sự phân chia của R tức là sự phân chia của E0.
Tính tương đương của (i)-(iv) có thể áp dụng được cho sự phân chia của các không gian C, E0 và R. Thực tế là những bộ hàm tuyến tính bị chặn được định nghĩa từ (2.38)-(2.42) là lần lượt trên K, C, E0. (E0,B(E0)) có thể phân chia khơng gian đo được, B(E0) = E0T
B(L(C)) và:
∀x ∈ [a, b], f ∈ C và ∀K ∈ R, L ∈ E0, ở đó L(ω)[f] được định nghĩa bởi (2.37).
Chúng ta quay về vấn đề sự tồn tại, tính duy nhất và tính đo được của nghiệm của phương trình tích phân ngẫu nhiên.
(L(ω)−λ)f = g(x) (2.47) với L(ω) là tốn tử Fredholm ngẫu nhiên được đưa ra bởi (2.37) và g(ω)
là một biến ngẫu nhiên C[a, b]. Việc thiết lập sự tồn tại, tính duy nhất và tính đo được của nghiệm phương trình (2.47) khi g(ω) là biến ngẫu nhiên tổng quát với giá trị trong C[a, b], chúng ta có thể sử dụng kết quả của sự tồn tại, tính đo được của ngịch đảo của toán tử ngẫu nhiên (L(ω)−λI). Cho ρ(L) chỉ ra bộ cặp (ω, λ) ∈ Ω × R của tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính (L(ω) − λI) có nghịch đảo tuyến tính bị chặn và gọi lại là:ω : (ω, λ) ∈ ρ(L) ∈ U.
Bây giờ chúng ta phát biểu và chứng minh định lý mà thiết lập đủ điều kiện tính nghịch đảo của (L(ω)−λI).
Định lý 2.5. Cho L(ω) là toán tử Fredholm ngẫu nhiên trênC được đưa ra bởi (2.37) và để số thựcλ thỏa mãn bất đẳng thức (b−a)||K(x, y, ω)||< |λ|
với xác suất một. Khi đó, tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính (L(ω)−λI) là khả nghịch.
Chứng minh:
Chúng ta có nghịch đảo của (L(ω)−λI) tồn tại ∀λ 6= 0 như
µ(ω :||L(ω)|| < |λ|) = 1. Với giả thiết:
(b−a)||K(x, y, ω)||< |λ|
hầu như chắc chắn. Do đó, sử dụng (2.43) chúng ta có:
||L(ω)|| ≤(b−a)||K(x, y, ω)|| < |λ|
hầu như chắc chắn. Theo quan điểm trên, từ định lý (2.4) và (2.5) cơng thức nghiệm của phương trình tích phân ngẫu nhiên (2.47) với hạch Fredholm
được đưa ra bởi:
f(x, ω) = (L(ω)−λI)−1[g(x, ω)] = R(L(ω), λ)[g(x, ω)] (2.48) Từ toán tử Volterra là trường hợp đặc biệt của toán tử Fredholm, định lý (2.4) áp dụng cho toán tử Volterra:
L(ω)[f(x)] = Z x
a
K(x, y, ω)f(y)dy (2.49) Bây giờ chúng ta phát biểu và chứng minh tương tự định lý (2.5) cho phương trình tích phân với hạch ngẫu nhiên Volterra.
Định lý 2.6. Để L(ω) là toán tử ngẫu nhiên Volterra trên C[a, b] và để hạch K(x, y, ω) thỏa mãn điều kiện µ(ω :K(x, y, ω) = 0) = 1 ∀a ≤
x⋖ y ≤ b. Khi đó, mọi số thực λ khác 0 tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính (L(ω)−λI) là nghịch đảo.
Chứng minh:
Như ở định lý xác định của phương trình Volterra loại hai, ước tính thu được sử dụng hạch lặp K(n)(x, y, ω) dẫn đến bất đẳng thức:
||L(n)(ω)|| ≤ |λ(b−a)|n||K(x, y, ω)||n/n! (2.50) hầu như chắc chắn và ∀n= 1,2, . . . suy ra (L(ω)−λI) là nghịch đảo.
Chương 3
MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN PHI
TUYẾN
3.1 Phương trình vi phân phi tuyến ngẫu nhiên
3.1.1 Thiết lập phương trình tích phân của một số các phương trình vi phân phi tuyến ngẫu nhiên
Xét phương trình vi phân:
dx(t, ω)/dt = f(t, x(t, ω), ω) x(t0, ω) = x0(ω) (3.1) Trước hết chúng ta xét ba bài tốn của phương trình có dạng (3.1). T được