3 Mơ hình thị trường chứng khốn với thời gian liên tục
3.1.7 Công thức Ito
3.2.7 Định giá phái sinh lãi suất
Trong phần này, chúng ta xét một dạng phái sinh lãi suất phổ biến là các quyền chọn viết trên trái phiếu. Giả sử v(t, τ)là giá ở thời điểm t của trái phiếu chiết khấu khơng bị mất vì phá sản đáo hạn vào thời điểm τ và xét một quyền chọn kiểu châu Âu viết trênv(t, τ)với thời điểm đáo hạn T < τ. Gọih(x) là hàm thu hoạch của quyền chọn. Theo phương pháp trung hòa định trước (3.42), giá của quyền chọn ở thời điểm t là
C(t) = v(t, T)ET[h(v(T, τ))|Ft], t ≤T < τ.
Do đó, chúng ta chỉ cần xác định phân phối của v(T, τ) dưới độ đo xác suất trung hòa định trước PT.
Giả thiết rằng thị trường khơng có các cơ hội có độ chênh thị giá và giá của trái phiếu chiết khấu thỏa mãn phương trình
dv(t, τ)
v(t, τ) =r(t)dt+σ(t, τ)dz
∗, 0≤t ≤τ, (3.57) dưới độ đo xác suất trung hịa rủi roP∗ cho trước, ở đó r(t)là lãi suất giao ngay và {z∗(t)} là chuyển động Brown tiêu chuẩn dướiP∗. Ký hiệu giá định trước của trái phiếu là
vT(t, τ) = v(t, τ)
v(t, T), t≤T < τ.
Vìv(t, T)cũng thỏa mãn(3.57) với độ biến độngσ(t, τ) được thay bởi σ(t, T)nên theo quy tắc chia Ito ta có:
dvT(t, τ)
vT(t, τ) =µT(t)dt+ [σ(t, τ)−σ(t, T)]dz∗, 0≤t ≤T,
ở đó µT(t)≡ −σ(t, T)(σ(t, τ)−σ(t, T)). Để q trình {vT(t, τ)} là một martingale dưới PT thì
µT(t)dt+ [σ(t, τ)−σ(t, T)]dz∗ = [σ(t, τ)−σ(t, T)]dzT, ở đó {zT(t)} là chuyển động Brown tiêu chuẩn dưới PT. Khi đó:
dvT(t, τ)
Vì v(T, τ) = vT(T, τ) nên chúng ta có thể xác định được phân phối của v(T, τ) dưới PT từ phương trình (3.58).
Ví dụ 3.2.6. (Mơ hình affine) Xét mơ hình affine (3.50). Từ (3.54) ta có vT(t, τ) = v(t, τ) v(t, T) =e aτ(t)−aT(t)+(bτ(t)−bT(t))r(t). Ngồi ra, ta có: dvT(t, τ) vT(t, τ) = (bτ(t)−bT(t))σ(t, r(t)){−bT(t)σ(t, r(t))dt+dz∗}. Biến đổi độ đo sao cho
−bT(t)σ(t, r(t))dt+dz∗ =dzT, và do đó
dvT(t, τ)
vT(t, τ) = (bτ(t)−bT(t))σ(t, r(t))dzT, 0≤t ≤T.
Nói riêng, trong trường hợp hệ số khuếch tán σ(t)là hàm tất định của t, β1(t) = σ2(t) và β2(t) = 0. Khi đó, từ (3.55) ta có: bτ(t)−bT(t) =− Z τ T eRtsα2(u)duds. Do đó dvT(t, τ) vT(t, τ) =θ(t)dz T, 0≤t≤T, ở đó θ(t) = −σ(t) Z τ T e Rs t α2(u)du ds là hàm tất định của t. Đặt σ2F = Z T 0 θ2(t)dt. Theo mệnh đề 3.2.3 ta có: ET {vT(T, τ)−K}+|Ft =vT(t, τ)Φ(d)−KΦ(d−σF) với d= ln[vT(t, τ)/K] σF + σF 2 .
Vì vT(T, τ) =v(T, τ) và vT(t, τ) =v(t, τ)/v(t, T) nên phí quyền chọn mua là C(t) =v(t, τ)Φ(d)−Kv(t, T)Φ(d−σF), t≤T < τ.
KẾT LUẬN
Luận văn đã giải quyết được các cơng việc chính sau:
• Chỉ ra ứng dụng một số kết quả của lý thuyết quá trình ngẫu nhiên trong mơ hình thị trường chứng khốn với thời gian rời rạc và liên tục.
• Trình bày mơ hình nhị thức dựa trên cơ sở lý thuyết du động ngẫu nhiên.
• Xây dựng cơng thức Black-Scholes để tính giá quyền chọn mua kiểu châu Âu.
• Trình bày phương pháp trung hòa rủi ro và phương pháp trung hịa định trước để tính giá của chứng khốn phái sinh.
• Định giá trái phiếu chiết khấu và phái sinh lãi suất.
Tuy nhiên, do thời gian thực hiện luận văn khơng nhiều và kiến thức cịn hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận được sự góp ý của thầy cơ và bạn đọc để luận văn hồn chỉnh hơn.
Tài liệu tham khảo
[1] Nguyễn Văn Hữu, Vương Quân Hoàng (2007), Các phương pháp tốn học trong tài chính, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.
[2] Trần Hùng Thao (2009), Nhập mơn tốn học tài chính, Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật.
[3] Trần Hùng Thao (2013), Tốn tài chính căn bản, Nhà xuất bản Văn hóa Thơng tin.
[4] Đặng Hùng Thắng (2006), Q trình ngẫu nhiên và tính tốn ngẫu nhiên, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.
[5] Đặng Hùng Thắng (2012), Xác suất nâng cao, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.
[6] Nguyễn Duy Tiến (2001), Các mơ hình xác suất và ứng dụng, Phần III: Giải tích ngẫu nhiên, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.
[7] Elliott R.J., Kopp P.E. (2005), Mathematics of financial markets, 2nd edi- tion, Springer.
[8] Hull J.C. (2012),Options, Futures, and Other Derivatives, 8th edition, Pear- son Education.
[9] Kijima M. (2003), Stochastic processes with applications to finance, Chap- man & Hall/CRC.