Chương 3 Phương trình hàm trong lớp đa thức
3.1. Đa thức xác định bởi phép biến đổi đối số
3.1.2. Phép biến đổi vi phân hàm
Bài toán 3.6. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một đa thức P(x) dạng
P(x) =xn +a1xn−1+· · ·+an
thỏa mãn điều kiện
n(n−1)P(x) = (x−a)(x−b)P00(x), ∀x∈R.
Giải. Chứng minh trực tiếp bằng phương pháp so sánh hệ số của cùng lũy thừa ở hai vế.
Bài tốn 3.7. Cho số k ∈Z+. Tìm tất cả các đa thức P(x) thỏa mãn điều kiện
P(P(x)) = (P(x))k ∀x∈R. (3.7) Giải. NếuP(x)≡cthìc=ck.Do vậy, nếu k= 1 thì mọi đa thức hằng đều thỏa mãn. Khik chẵn thì sẽ có hai đa thức hằng P(x)≡0 và P(x)≡1 thỏa mãn. Khi k lẻ (k > 1) thì có ba đa thức hằng P(x)≡0 và P(x)≡ ±1.
là một giá trị tùy ý của P(x). Khi đó từ (3.7) ta sẽ được P(y) = yk ứng với vô số giá trị của y. Suy ra phương trình P(x)−xk = 0 có vơ số nghiệm. Điều này tương đương với P(x)≡xk. Thử lại, ta thấy nghiệm này thỏa mãn.
Bài tốn 3.8. Tìm tất cả các đa thức P(x) bậcn thỏa mãn điều kiện sau
(1−x2)[P0(x)]2=n2[1−P2(x)], ∀x∈R.
Giải. Giả sử
P(x) = anxn+an−1xn−1+· · ·+a0 (an 6= 0)
Từ các đặc trưng của hàm cost ta thấy hai đa thức P(x) =±cos(n arccos x).
thỏa mãn điều kiện bài ra. Ta chứng minh ngồi ra khơng cịn nghiệm nào khác nữa. Thật vậy, theo điều kiện bài ra ta được
P2(1) = 1, [(1−x2)(P0(x))2]0 =n2[1−P2(x)]0. hay P2(1) = 1, P0(x)[n2P(x)−xP0(x) + (1−x2)P00(x)] = 0, ∀x∈R. Vì đa thức P(x) chỉ có hữu hạn nghiệm nên suy ra
n2P(x)−xP0(x) + (1−x2)P00(x)≡0.
So sánh các hệ số trong đẳng thức trên, ta được an−1= 0 và
k(k−2n)an−k = (n−k+ 2)(n−k+ 1)an−k+2.
Do vậy, theo công thức truy hồi ta được
an−1 =an−3=an−5 =· · ·= 0.
Các hệ số an−2, an−4, . . . được xác định duy nhất theo an. Mà P(1) =±1 nên chỉ có hai giá trị ứng với an.
Bài tốn 3.9. Tìm tất cả các đa thức f(x)∈Z[x]bậcn thỏa mãn điều kiện sau [f(x)]2 = 16f(x2), ∀x∈R
Giải. Giả sử
f(x) = anxn+an−1xn−1+· · ·+a0 (an 6= 0).
Khi đó, với x = 0 ta thu được 16a0 = (a0)2. Suy ra a0 = 0 hoặc a0 = 16. Thay biểu thức của f(x) vào điều kiện bài toán và so sánh hệ số của x2n ta thu được
16an = 22n(an)2.
Do an 6= 0 nên ta có ngay an = 416n. Từ đó n = 0, n = 1 hoặc n= 2. Với n= 0 thì f(x)≡16 và f(x)≡0.
Với n= 1 thì f(x) = 4x và f(x) = 4x+ 16. Tuy nhiên chỉ có đa thứcf(x) = 4x thỏa mãn điều kiện bài ra.
Với n = 2 thì f(x) =x2+a1x và f(x) =x2+a1x+ 16. Thế vào điều kiện của bài ra ta thu được a1= 0 và chỉ có đa thức f(x) = x2 là thỏa mãn điều kiện bài toán.
Kết luận: Các đa thức sau đây
f(x)≡16, f(x)≡0, f(x) = 4x, f(x) =x2 là nghiệm của phương trình hàm
[f(x)]2= 16f(x2), ∀x∈R.