Định lý 1.3 cho ta phương pháp tìm hàm điều khiển u(k) = −Kx(k) để làm ổn định hệ thống. Ở phương pháp này nhất thiết phải biết dữ liệu về biến trạng tháix(k). Nhưng trong thực tế nhiều thành phần của véc tơ trạng tháix(k) có thể khơng xác định được. Trong trường hợp đó, thay cho thơng tin về x(k), ta sẽ sử dụng thông tin ước lượng z(k), xác định qua y(k) và u(k) như số liệu xấp xỉ cho x(k). Trở lại hệ quan sát (1.12)
x(k+ 1) =Ax(k) +Bu(k), y(k) = Cx(k).
Để xấp xỉ x(k) ta xây dựng một biến ước lượng n - chiều là z(k), sao cho biến này là quan sát được
z(k+ 1) =Az(k) +E(y(k)−Cz(k)) +Bu(k). (1.15) Ở đây,E là một ma trận cỡ n×r, sẽ được xác định sau. Chú ý rằng khác vớix(k), các thành phần củaz(k)là hoàn tồn xác định. Để thấy điều đó ta viết lại phương trình (1.15) như sau
z(k+ 1) = (A−EC)z(k) +Ey(k) +Bu(k). (1.16) Lưu ý rằng, đầu vào u(k) và biến quan sát y(k) là xác định được qua số liệu quan sát được. Câu hỏi còn lại là làm sao để trạng thái quan sát được z(k) là một ước lượng tốt cho trạng thái gốcx(k). Để đánh giá chất lượng của ước lượng ta xét sai số
e(k) =z(k)−x(k).
Nếu sai số dần đến 0 khi k → ∞ thì phép ước lượng được coi là tốt. Để đánh giá được điều đó ta lập phương trình cho biến e(k). Từ hệ phương trình (1.12) và phương trình (1.15) ta có
z(k+ 1)−x(k+ 1) =Az(k) +Ey(k)−ECz(k)) +Bu(k)−Ax(k)−Bu(k)
=Az(k) +ECx(k)−ECz(k)−Ax(k)
= (A−EC)(z(k)−x(k)), hay
e(k+ 1) = (A−EC)e(k). (1.17) Như vậy, sai số được xác định như là nghiệm của phương trình sai phân (1.17).
Phép ước lượng là tốt nếu e(k) → 0 khi k → ∞ hay nghiệm 0 của phương trình
(1.17) là ổn định tiệm cận. Để phương trình
e(k+ 1) = (A−EC)e(k)
là ổn định tiệm cận, ta cần xác định được ma trận E sao cho có tính chất này. Ta sẽ quay về bài tốn tìm E để σ(A−EC)⊂B(0,1). Định lý 1.5. Nếu hệ (1.12) x(k+ 1) =Ax(k) +Bu(k), y(k) = Cx(k),
là quan sát được hồn tồn thì có thể xây dựng phương trình (1.16) cho biến ước lượng
z(k+ 1) = (A−EC)z(k) +Ey(k) +Bu(k)
sao cho phép ước lượng là tốt, theo nghĩa sai số e(k) xác định bởi
e(k) =z(k)−x(k)
dần tới 0 khi k→ ∞.
Chứng minh. Đầu tiên, ta cần chỉ ra rằng với giả thiết của định lý thì tồn tại
E sao cho các giá trị riêng của (A−EC) có thể chọn tùy ý từ trước. Cặp(A, C) là quan sát được hoàn toàn nên cặp (AT, CT) là điều khiển được hồn tồn. Do đó, theo Định lý 1.3, có thể chọn E hay ET sao cho σ(AT −CTET)⊂B(0,1). Lại có
σ(AT −CTET) =σ(A−EC).
Vậy có thể chọn E để σ(A−EC)⊂B(0,1), khi đó phương trình
e(k+ 1) = (A−EC)e(k) là ổn định tiệm cận. Sai số e(k) xác định bởi
e(k) =z(k)−x(k)
dần tới 0 khi k → ∞. Phép ước lượng x(k) bởi z(k) được coi là tốt.