Hai định lý trên cho phương trình autonom (1.1) với điều kiện (2.5) trong Rn
x(k+ 1) =f(x(k)),
f(0) = 0,
là các điều kiện đủ để nghiệm cân bằng tầm thường của (1.1), thỏa mãn (2.5) là ổn định hoặc ổn định tiệm cận. Với mỗi hệ ổn định hoặc ổn định tiệm cận việc có tồn tại hàm Lyapunov hay khơng, cách xây dựng chúng ra sao là những câu hỏi chưa được giải quyết cho trường hợp tổng quát. Như vậy việc tìm hàm Lyapunov cho một hệ đã biết nói chung là khó, trừ một số hệ có dạng đặc biệt. Một cách để việc xây dựng hàm Lyapunov được dễ hơn là: nghiên cứu từng bộ phận của hệ trên các không gian con bất biến hoặc thậm chí trên các tập con bất biến của Rn. Để chuẩn bị cho phần mở rộng này ta cần một số khái niệm và ký hiệu sau đây:
Định nghĩa 2.4. • Tập G ∈ Rn được gọi là một tập bất biến dương của (1.1)
(hay của f) nếu mọi x∈G thì f(x)∈G hay f(G)⊂G.
• Tập G được gọi là bất biến âm nếu G⊂f(G).
• Tập G được gọi là bất biến nếu f(G) =G.
Khi G là một tập bất biến dương của (1.1) thì có thể thấy, nếu x0 ∈ G thì fk(x0)∈G,∀k ∈Z+.
Ta ký hiệu:
L+(x0) :={u∈Rn/∃dãyki:fki(x0)→ukhiki→+∞.}
L+(x0) được gọi là tập ω-giới hạn của điểm x0 đối với hệ (1.1).
Định nghĩa 2.5. Giả sử D, chứa 0 là một tập bất biến dương của hệ (1.1) và A
là tập hút về 0. Khi đó, giao
AD :=A ∩D được gọi là tập hút tương đối về điểm 0 của hệ (1.1).
Định nghĩa 2.6. Giả sử D, chứa 0 là một tập bất biến dương của hệ (1.1). Nói điểm cân bằngx= 0 của (1.1) là D-ổn định nếu
∀ >0,∃δ >0/f+(Bδ(0)∩D)⊆B(0).
Nói x= 0 là D-ổn định tiệm cận nếu nó là D-ổn định và D-hút về 0, nghĩa là
x0∈D∩Bδ(0)⇒ lim
k→+∞fk(x0) = 0.
Giả sử V(x) là một hàm Lyapunov (lỏng hoặc chặt) trên lân cận U(0) nào đó của hệ (1.1). Ký hiệu:
G0:={x∈U(0)/V(x) = 0}.
G:={x∈U(0)/∆V(x) = 0}.
GọiG∗ là tập bất biến dương rộng nhất chứa trong G. Có thể kiểm tra rằng G0 là một tập bất biến dương của (1.1) và
G0⊆G∗ ⊆G. Ta có các kết quả mở rộng
Định lý 2.8. Nếu tồn tại một lân cậnΩ⊂Uchứa điểm 0và một hàmV ∈C0(Ω,R)
sao cho
(1) V(x)≥0 với ∀x∈Ω và V(0) = 0,
(2) ∆V(x) =V(f(x))−V(x)≤0 với ∀x∈Ω,
(3) Nghiệm 0 là G0 ổn định tiệm cận, trong đó G0 ={x∈Ω :V(x) = 0}
thì nghiệm 0 là ổn định.
Chứng minh. Giả sử rằng nghiệm 0 không ổn định Lyapunov. Khi đó tồn tại
>0 sao cho có thể xây dựng một dãy các véc tơ ban đầu
sao cho
lim
k→∞xk = 0.
Với mỗi k ∈Z+ quĩ đạo dương f+(xk) không nằm trong B. Tức là
{fh(xn), h∈Z+}*B.
Nói cách khác với điều kiện ban đầuxk, tồn tại một tập số nguyên dương Kk ⊂Z+ sao cho fh(xk) ∈/ B,∀h ∈ Kk. Gọi hk là phần tử nhỏ nhất của Kk thì hk đơn giản là thời điểm đầu tiên mà nghiệm xuất phát từ xk rời khỏi quả cầu B. Dãy
(hk)k∈Z+ ⊂Z+ thỏa mãn {xh, f(xh), ..., fhk−1(xk)⊂B và
kfhk(xk)k ≥ với∀k ∈Z+. (1)
Từ (1) ta có tính chất sau đây
kfh(xk)k< ,∀h∈0, ..., q ⇔q < hk. (2)
Ở đây cần lưu ý rằng việc xác định hk khơng cho bất kỳ thơng tin gì về fh(xk) với h > hk, có thể fh(xk)∈ B hoặc fh(xk)∈/ B. Lấy đủ nhỏ sao cho B¯∩G0 ⊂ AG0. Điểm 0 là G0 ổn định tiệm cận vì vậy tồn tại N0 ∈ Z+ sao cho nghiệm của (2.1)
thỏa mãn:
kfh(y)k<
2,∀h≥N0, và
∀y∈B¯∩G0. (3)
Do tính liên tục của nghiệm theo điều kiện ban đầu nên tồn tại δ >0 sao cho
∀(x, y)∈B¯ ×B,¯ kx−yk< δ ⇒ kfh(x)−fh(y)k<
2,∀h≤N0. (4)
Dãy (xk)k∈Z+ → 0 khi k → ∞ do đó tồn tại k0 ∈ Z+ sao cho kxkk< δ với ∀k ≥k0. Vì vậy từ (4) ta có
kfm(xk)k<
2,∀m∈ {0, ..., M},∀k ≥k0. Vì(2) kéo theo N0 < hk với ∀k ≥k0 do đó ta có
0< hk −N0< hk,∀k ≥k0.
Kết hợp với (1), ta có
Vì vậy, dãy (uk)k≥k0 định nghĩa bởi uk = fhk−N0(xk) có chứa một dãy con hội tụ (uφ(k))k≥k0. Đặt Z = lim k→∞uφ(k) ∈B¯ (vì uφ(k) ∈B). Do hàm V liên tục nên ta có 0≤V(Z) = lim k→∞V(uφ(k)) = lim k→∞V(fhk−N0(xφ(k)))≤ lim k→∞V(xφ(k)) = 0.
Do đó Z phụ thuộc vào B¯∩G0 và (3) thỏa mãn với Z nên
kfN0(Z)k<
2. (5)
Bởi vì Z = lim
k→∞fhφ(k)−N0(xφ(k)) nên tồn tại p≥k0 sao cho
kZ−fhp−N0(xp)k< δ. Khi đó do (4) ta có kfN0(Z)−fN0(fkp−N0(xp))< 2. (6) Cuối cùng, kết hợp (5) và (6), ta có đánh giá kfhp(xp)k< .
Điều này mâu thuẫn với (1). Định lý được chứng minh xong.
Kết quả sau là một mở rộng của định lý Lyapunov về ổn định tiệm cận.
Định lý 2.9. Nếu tồn tại một lân cận Ω⊂U chứa gốc 0 và một hàm V ∈C0(Ω,R)
sao cho
(1) V(x)≥0 với ∀x∈Ω và V(0) = 0,
(2) ∆V(x) = V(f(x))−V(x)≤0,∀x∈Ω,
(3) Nghiệm 0 là G∗ ổn định tiệm cận, trong đó G∗ là tập bất biến dương lớn nhất
chứa trong G={x∈Ω :V(f(x))−V(x) = 0} thì nghiệm tầm thường x(k)≡0 là ổn
định tiệm cận.
Chứng minh. Tập G0 = {x ∈ Ω : V(x) = 0} là bất biến dương vì vậy nó chứa
trong G∗. Do đó tất cả các giả thiết của Định lý(2.6) được thỏa mãn và nghiệm 0
của (2.1) là ổn định tức là với δ > 0 bất kỳ, tồn tại γ >0 sao cho mọi nghiệm của (2.1) xuất phát từ Bγ không ra khỏi Bδ với mọi số nguyên n.
Gọi AG∗ là tập hút về G∗. Chọn δ >0 sao cho: B¯δ∩G∗⊂AG∗.
Để chỉ ra tính hút về 0 của nghiệm ta sẽ chứng minh Bγ chứa trong miền hút tức là
∀x∈Bγ, lim
h→∞fh(x) = 0. (7).
Thật vậy, với x0 ∈ Bγ và là số thực dương bất kì. Bởi vì nghiệm 0 ổn định nên tìm được η >0 sao cho:
fk(Bη)⊂B,∀k ∈Z+. (8)
Bởi vì B¯δ ∩G∗ ⊂AG∗, tồn tại M0 ∈Z+ sao cho:
kfk(y)k< η/2,∀k ≥M0,∀y ∈B¯δ∩G∗. (9)
Do các nghiệm phụ thuộc liên tục vào giá trị ban đầu nên tồn tại α >0 sao cho:
∀(x, y)∈B¯δ×B¯δ,kx−yk< α→ kfk(x)−fk(y)k< η/2,∀k ≤M0. (10)
Giả sử y∈L+(x0), theo nguyên lý bất biến Lasalle (xem [9]), ta có
y∈B¯δ∩G∗. (11) Từ (10) ta có kfk(y)k< η/2,∀k ≥M0. (12) Mặt khác y∈L+(x0) nên ∃p∈Z+ :kfp(x0)−yk< α. (13) Kết hợp (11), (12), (13) ta có kfM0+p(x0)k< η/2 +η/2 = η. (14) Từ (8) ta có kfk(fM0+p(x0))k< ,∀k∈Z+. Điều này chứng tỏ lim
k→∞fk(x0) = 0. Vì vậy chúng ta có thể chỉ ra rằng tồn tại số
Ví dụ 2.1. Xét hệ x(k+ 1) =y(k), y(k+ 1) = 1+xy(k)2(k), (x(k), y(k))∈R2. Tuyến tính hóa hệ trên với
f1(x, y) =y, f2(x, y) = y(k) 1 +x2(k), khi đó ta có A= ∂f1 ∂x ∂f1 ∂y ∂f2 ∂x ∂f2 ∂y ! (0,0) = 0 1 −2xy (1+x2)2 1 1+x2 (0,0) = 0 1 0 1 . Hệ trên xấp xỉ hệ tuyến tính z(k+ 1) =Az(k), trong đó z(k) = x(k) y(k) . Ở đây A = 0 1 0 1 ; σ(A) ={0,1}.
Trường hợp tới hạn vì có |λ2| = 1 nên chưa thể nói gì về tính ổn định của hệ có nhiễu. Ta sẽ dùng phương pháp khác để xét tính ổn định của hệ có nhiễu.
Xét hàm,
V(x, y) =y2. Ta có
∆V =V(z(k+ 1))−V(z(k)) = y2(k)[ 1
(1 +x2(k))2 −1]≤0.
Như vậy V là hàm Lyapunov không âm. Hơn nữa, ta lại có
G0 ={(x,0)/V(x, y) = 0},
G={(x,0)/∆V(x, y) = 0},
do đó
G∗=G0.
Mà nghiệm 0 của hệ có nhiễu là G∗ ổn định tiệm cận vì trên G∗=G={(x,0)} chỉ có nghiệm tầm thường
(
x(k+ 1) =y(k) = 0, y(k+ 1) = 1+xy(k)2(k) = 0.
Vậy nghiệm 0 là G∗ ổn định tiệm cận. Theo định lý Lyapunov, nghiệm x= 0 của hệ có nhiễu là ổn định tiệm cận.