2 .CÁC PHƢƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG
3. PHƢƠNG PHÁP HÀM GREEN
3.3. Hàm Green cho điện tử trong tinh thể
Điều này dẫn đến phƣơng trình đặc trƣng:
Ở đó, và là: - i (3.41) (3.42) Do đó, điều kiện det = 0 (3.43) phải đƣợc thỏa mãn
3.3. Hàm Green cho điện tử trong tinh thể 3.3.1. Phương trình tích phân 3.3.1. Phương trình tích phân
Trong phần trƣớc, chúng ta xây dựng hàm sóng cho các electron tán xạ bằng việc sử dụng hàm Green trong không gian tự do. Trong phần này, hàm Green cho điện tử trong tinh thể sẽ đƣợc xây dựng nhƣ sau:
(3.44) = f (3.45) Cuối cùng, G đƣợc biểu diễn nhƣ sau:
3.3.2. Phương trình Dyson
Hàm Green trong khơng gian tự do đƣợc khai triển nhƣ sau
trong đó,
(3.49) tƣơng tự, đƣợc biểu diễn
(3.51) (3.52) Khi đặt cơng thức này vào các phƣơng trình tích phân sẽ mang lại các hệ số khai triển :
3.3.3.Điều kiện biên tuần hoàn
Khi tâm tán xạ đƣợc sắp xếp một cách tuần hoàn nhƣ trong tinh thể, ta sử dụng các biến đổi Fourier cho và nhƣ sau:
Cuối cùng, ta tìm đƣợc phƣơng trình
3.3.4. Mật độ trạng thái điện tử
Đóng góp của mật độ electron đƣợc tìm thấy trực tiếp từ hàm Green của hệ.Nó đƣợc chỉ ra từ khai triển hàm riêng của hàm Green.
Hàm riêng của phƣơng trình Shrodinger mà liên kết với trị riêng và hàm Green của hệ thỏa mãn
(3.58) (3.59)
Khai triển bằng với hệ số khai triển ta đƣợc
Nhân vế trái của phƣơng trình (3.60) với , ta đƣợc
(3.61) Nhân phƣơng trình (3.61) với và tích phân khối dẫn đến
(3.62)
Do đó
đƣợc xác định. Sử dụng đồng nhất thức
Từ (3.65) ta nhận đƣợc biểu thức của mật độ electron
Do đó, một khi biết đƣợc hàm Green của tinh thể, chúng ta sẽ xác định đƣợc một cách chính xác mật độ electron bằng cách lấy phần ảo của nó
3.3.5. Tích phân chu tuyến
Biết phân bố mật độ đƣợc tính theo hàm Green cho tinh thể. Để tìm phân bố mật độ điện tử, chúng ta cần lấy tích phân hàm Green và chú ý đến năng lƣợng một cách đúng đắn.Tuy nhiên, điều này là khó hơn bởi các đỉnh trong cấu trúc của mật độ trạng thái.Để khắc phục những khó khăn này, phƣơng pháp tích phân chu tuyến thƣờng đƣợc sử dụng
(3.67)
Ở đây, G(z) là phân tích trong toàn bộ mặt phẳng phức trừ trục thực. Nên
chúng ta có thể biến đổi tùy ý đƣờng tích phân trong mặt phẳng phức:
Tích phân chu tuyến có thể đƣợc biểu diễn một cách chính xác vì đỉnh của mật độ trạng thái có thể làm trơn. Tại , G(z) bằng: