TIỄN VỀ CHỦ ĐỀ TỔ HỢP – XÁC SUẤT NHẰM TẠO CƠ HỘI ĐỂ HỌC SINH TRẢI NGHIỆM, ÁP DỤNG TOÁN HỌC VÀO THỰC TIỄN.
Điều 3 Luật Giáo dục năm 2019 xác định nguyên lý của giáo dục Việt Nam hiện nay là “Học đi đôi với hành, lý luận gắn liền với thực tiễn, giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội”. Lý luận gắn liền với thực tiễn đòi hỏi nội dung giáo dục phải gắn với thực tiễn cuộc sống xã hội, phục vụ sự phát triển kinh tế - xã hội của đất nước. Chương trình giáo dục phổ thông 2018 đã tiếp cận gần hơn với nguyên lý đó. Bản thân giáo viên trong quá trình giảng dạy, cũng cần giúp học sinh liên hệ những nội dung bài học với thực tiễn cuộc sống. Qua đó giúp học sinh thấy rằng Toán học rất gần gũi với cuộc sống xung quanh, toán học rất thực tế và việc tiếp thu các kiến thức toán ở trường phổ thông không chỉ mục đích thi cử mà nó còn là công cụ đắc lực để giúp các em giải quyết nhiều tình huống trong cuộc sống hàng ngày. Từ nhận thức đó học sinh sẽ tích cực, chủ động và hứng thú hơn trong học tập môn toán, yêu nó hơn và học tập tốt hơn, góp phần phát triển năng lực vận dụng kiến thức toán học vào thực tiễn.
Cách thực hiện: giáo viên đưa ra các tình huống thực tế, hướng dẫn học sinh phát biểu bài toán, đưa về các mô hình đã biết hoặc tương tự các mô hình đã biết và giải bài toán này.
Tình huống 1: Một bạn học sinh quan niệm rằng, bài thi môn Toán gồm có 50 câu hỏi theo hình thức trắc nghiệm nên không cần học, đánh tùy ý cũng có thể đạt được 3 – 4 điểm, kết hợp với điểm tổng kết thì có thể đủ điều kiện để tốt nghiệp. Suy nghĩ đó đúng hay không, hãy phát biểu bài toán và giải quyết bài toán đó.
Giáo viên hướng dẫn học sinh tìm hiểu đề thi THPT môn Toán hiện tại, mỗi câu đúng điểm tính như thế nào, xác suất đúng mỗi câu bao nhiêu, từ đó xây dựng bài toán.
39
Ví dụ 4.1. (Bài toán điểm thi trắc nghiệm) Bạn Lộc tham gia kì thi tốt nghiệp THPT. Đề thi môn Toán gồm 50 câu trắc nghiệm, mỗi câu có 4 phương án trả lời trong đó chỉ có một phương án đúng; trả lời đúng mỗi câu được 0,2 điểm. Điểm tổng kết lớp 12 của Lộc là 7,0. Để đậu tốt nghiệp, Lộc cần có điểm trung bình các bài thi là 4.2. Tính xác suất để bạn Lộc thi môn Toán đạt 4,2 điểm biết Lộc không thích học và không học Toán.
Lời giải:
- Để đạt được 4,2 điểm thì học sinh cần trả lời đúng 4,2 ∶ 0,2 = 21 câu và sai
50 − 21 = 29 câu.
- Xác suất trả lời đúng mỗi câu là 0,25 nên xác suất để bạn Lộc đạt 4,2 là:
(0,25)21. (0,75)29 ≈ 5,4. 10−17(0,000000000000000054)
Nhìn vào kết quả để thấy được xác suất đậu tốt nghiệp của ban Lộc là một con số rất rất nhỏ. Vì vậy, qua ví dụ này, giáo viên nhấn mạnh vào con số rất nhỏ đó, chấn chỉnh ý thức học tập cho học sinh.
Ví dụ trên đã cho thấy một mặt ứng dụng của xác suất trong thực tế. Tìm hiểu kỹ hơn, chúng ta thấy xác suất còn có nhiều ứng dụng khác trong đời sống.
Tình huống 2. Có một đoàn thanh tra về trường để kiểm tra chất lượng học
Toán và Tiếng Anh tại một trường THPT và đề xuất vào một lớp để khảo sát. Biết số lượng học sinh giỏi các môn của hai lớp khá nhất, hiệu trưởng nên mới đoàn thanh tra vào lớp nào để thu được kết quả khả quan hơn.
Giáo viên gợi ý bài toán đặt ra cần tính đại lượng nào? Muốn tính đại lượng đó thì cần biết những số liệu nào của học sinh hai lớp.
Ví dụ 4.2. Lớp 11𝐴 có 45 học sinh, lớp 11𝐴1 có 43 học sinh. Số lượng học sinh giỏi Toán và Tiếng Anh của hai lớp được cho bằng bảng sau. Có một đoàn thanh tra kiểm tra chất lượng về môn Toán và Tiếng Anh tại trường. Hiệu trưởng nên mời vào lớp nào để khả năng gặp được một em giỏi ít nhất một môn là cao nhất.
Lớp Môn
𝟏𝟏𝑨 𝟏𝟏𝑨𝟏
Toán 25 22
Tiếng Anh 15 18
Toán và Tiếng Anh 12 5
Lời giải:
- Gọi T là biến cố học sinh giỏi Toán, A là biến cố học sinh giỏi Tiếng Anh. - Xác suất để chọn được một học sinh giỏi Toán hoặc Tiếng Anh ở lớp 11𝐴 là:
40 𝑃(𝑇 ∪ 𝐴) = 𝑃(𝑇) + 𝑃(𝐴) − 𝑃(𝑇 ∩ 𝐴) =25 45+ 15 45− 12 45 = 28 45 = 0,6(2)
- Xác suất để chọn được một học sinh giỏi Toán hoặc Tiếng Anh ở lớp
11𝐴1 là: 𝑃(𝑇 ∪ 𝐴) = 𝑃(𝑇) + 𝑃(𝐴) − 𝑃(𝑇 ∩ 𝐴) =22 43+ 18 43− 5 43 = 35 43 ≈ 0,814 - Vậy nên chọn lớp 11𝐴1.
Tình huống 3. Một mạch điện tử được lắp từ các linh kiện điện tử. Giữa mắc
nối tiếp và mắc song song, cách mắc nào khả năng hư hỏng ít hơn.
Ví dụ 4.3. Có 3 linh kiện điện tử xác suất hỏng tại cùng một thời điểm tương ứng là 0,01; 0,015; 0,025. Tìm xác suất để dòng điện chạy qua mạch trong trường hợp:
a) Mắc nối tiếp; b) Mắc song song;
Ở đây học sinh phải hiểu được bản chất của dòng điện đi qua mạch mắc nối tiếp thì tất cả các linh kiện điện tử phải không hỏng, còn dòng điện muốn đi qua mạch mắc song song thì chỉ cần ít nhất một linh kiện điện tử không hỏng.
Lời giải:
- Gọi 𝐴𝑖 là biến cố “Linh kiện thứ 𝑖 tốt” (𝑖 = 1,2,3).
- Gọi 𝐴 là biến cố “Dòng điện chạy qua mạch mắc nối tiếp”. - Gọi 𝐵 là biến cố “Dòng điện chạy qua mạch mắc song song”. - Ta có: 𝐴 = 𝐴1𝐴2𝐴3, 𝐵̅ = 𝐴̅̅̅. 𝐴1 ̅̅̅2. 𝐴̅̅̅3.
a) Vì các biến cố 𝐴𝑖 là độc lập nên xác suất của biến cố 𝐴 là:
𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐴1). 𝑃(𝐴2). 𝑃(𝐴3)
= (1 − 0,01)(1 − 0,015)(1 − 0,025) ≈ 0,951
b) Vì các biến cố 𝐴𝑖 là độc lập nên các biến cố 𝐴̅𝑖 độc lập. Xác suất của biến cố 𝐵 là:
𝑃(𝐵) = 1 − 𝑃(𝐵̅) = 1 − 𝑃(𝐴̅̅̅). 𝑃(𝐴1 ̅̅̅). 𝑃(𝐴2 ̅̅̅)3 = 1 − 0,01.0,015.0,025 = 0,99999625.
Tình huống 4. Một cặp vợ chồng muốn sinh 3 người con. Họ muốn biết khả năng sinh được cả trai và gái là bao nhiêu, khả năng sinh được 2 và 1 gái, … là bao nhiêu để có kế hoạch sinh hợp lý. Thiết lập bài toán xác suất trong trường hợp này như thế nào?
Ví dụ 4.4. Một cặp vợ chồng dự kiến sinh 3 người con.
a) Nếu họ muốn sinh 2 người con trai và 1 người con gái thì khả năng thực hiện mong muốn đó là bao nhiêu?
41 b) Tìm xác suất để trong 3 lần sinh họ có được cả trai và gái.
Ở đây học sinh phải nắm được mỗi lần sinh là một sự kiện độc lập và có hai khả năng xảy ra: trai hay gái với xác suất bằng nhau và bằng 1
2.
Lời giải:
- Số khả năng xảy ra trong 3 lần sinh là: 2.2.2 = 8.
a) Có 3 trường hợp sinh 2 trai, 1 gái là: TTG, TGT, GTT.
- Xác suất để cặp vợ chồng thực hiện được mong muốn là: 𝑃 = 3 8 . b) Xác suất sinh 1 trai, 2 gái là: 𝑃 = 3
8. - Xác suất sinh có cả trai và gái là: 𝑃 = 3
8+3 8 = 3
4.
Tình huống 5. Dịch bệnh Covid – 19 là vấn đề đang được toàn thế giới quan
tâm trong những năm gần đây. Đã có nhiều bài toán trong các đề thi đã đề cập đến nhiều vấn đề xung quanh tình hình đó như đề thi vào 10 Nghệ An năm học 2020 – 2021, đề thi học sinh giỏi tỉnh Nghệ An năm học 2021 – 2022. Qua đó học sinh thấy được rằng toán học không xa rời thực tiễn, nó gần gũi với cuộc sống hàng ngày của mỗi con người.
Ví dụ 4.5. (Đề thi học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Nghệ An năm học 2021 – 2022)
Trong quá trình truy vết lịch sử tiếp xúc của bệnh nhân Covid – 19 ở một trường học, trung tâm y tế xác định được 3 giáo viên và một số học sinh có sự liên quan đến bệnh nhân đó. Người ta chọn ngẫu nhiên 10 người trong số các giáo viên và học sinh liên quan để làm xét nghiệm gộp. Biết rằng xác suất để trong 10 người được chọn có 3 giáo viên bằng 6 lần xác suất trong 10 người được chọn đều là học sinh. Tính xác suất để trong 10 người được chọn làm xét nghiệm có nhiều nhất 2
giáo viên.
Lời giải:
- Gọi số học sinh liên quan đến bệnh nhân Covid – 19 là 𝑛(𝑛 ≥ 10). - Ta có: 𝑛(Ω) = 𝐶𝑛+310 .
- Xác suất để chọn 10 người trong đó có 3 giáo viên bằng:
𝐶33. 𝐶𝑛7 𝐶𝑛+310 =
𝐶𝑛7 𝐶𝑛+310
- Xác suất để chọn 10 người đều là học sinh là:
𝐶𝑛10 𝐶𝑛+310
42 𝐶𝑛7 𝐶𝑛+310 = 6. 𝐶𝑛10 𝐶𝑛+310 ⇔ 𝐶𝑛 7 = 6. 𝐶𝑛10 ⇔ 𝑛! 7! (𝑛 − 7)!= 6. 𝑛! 10! (𝑛 − 10)! ⇔ 1 (𝑛 − 7)(𝑛 − 8)(𝑛 − 9) = 6 8.9.10 ⇔ (𝑛 − 7)(𝑛 − 8)(𝑛 − 9) = 120 = 6.5.4 ⇒ 𝑛 = 13.
- Vậy xác suất để trong 10 người được chọn có nhiều nhất 2 giáo viên là:
𝑃 = 1 − 𝐶13 7 𝐶1310 =
11 14
Các ví dụ trên phần nào giúp học sinh thấy được ứng dụng của toán học trong thực tiễn, là công cụ đắc lực để giúp các em giải quyết nhiều tình huống trong cuộc sống hàng ngày. Từ đó, học sinh sẽ có động lực khám phá thêm thêm các ứng dụng khác của toán học trong thực tiễn, góp phần phát triển năng lực vận dụng kiến thức toán học vào thực tiễn.