Xét bài toán dao động một chiều trên sợi dây đàn hồi với điều kiện là các biên gắn chặt thì phương trình truyền sóng trên dây có dạng:
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2− 𝜕2𝑢
𝑣2𝜕𝑡2 = −𝑔(𝑥, 𝑡) (4.1)
Trong đó:
- u ≡ u(x,t) là dao động tại vị trí x ở thời điểm t. - v là vận tốc truyền biến dạng trên dây.
- g(x,t) là mật độ ngoại lực tác dụng lên dây tại vị trí x.
Để giải được nghiệm tường minh thì cần có điều kiện ban đầu và điều kiện biên.
Điều kiện biên được sử dụng là điều kiện hai đầu dây gắn chặt. Đặt hệ trục tọa độ như hình 4.12, trong đó L là chiều dài của sợi dây, biểu thức toán học của điều kiện biên là:
𝑢(0, 𝑡) = 𝑢(𝐿, 𝑡) = 0 (4.2)
Điều kiện ban đầu – hình dạng ban đầu của sợi dây - được mô tả bởi hàm số f(x) và vận tốc ban đầu của các điểm trên dây được mô tả bởi hàm số F(x). Ta có: 𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥) ; 𝜕𝑢(𝑥, 0) 𝜕𝑡 = 𝐹(𝑥) (4.3) O u x L x u
Ta giải phương trình truyền sóng một chiều với các điều kiện biên và ban đầu bằng phương pháp Fourier trong trường hợp không có ngoại lực tác động hoặc có ngoại lực nhưng rất nhỏ so với các lực liên kết khác (g(x,t) = 0). Nghiệm của phương trình có dạng là: → 𝑢(𝑥, 𝑡) = ∑ 𝑢𝑘(𝑥, 𝑡) 𝑘 = ∑ 𝐶𝑘. cos (𝑘. 𝑣. 𝜋. 𝑡 𝐿 + 𝜑𝑘) . 𝑠𝑖𝑛 ( 𝑘. 𝜋. 𝑥 𝐿 ) 𝑘 (4.4)
Như vậy có thể thấy rằng: sóng trên dây là sự chồng chập của vô số các
sóng hình sin với các tần số là bội của tần số cơ bản 𝑓 = 𝑣 2𝐿⁄ .
Như vậy với một sợi dây dài L, có vận tốc truyền sóng trên dây là v thì
dây có vô số các tần số dao động riêng. Tần số dao động riêng nhỏ nhất 𝑓 =
𝑣 2𝐿⁄ được gọi là tần số cơ bản, các tần số khác có giá trị bằng số nguyên lần giá
trị tần số cơ bản được gọi là họa âm.
Theo lý thuyết dao động sóng [96], nếu có ngoại lực tuần hoàn tác dụng thì dao động trên sợi dây là dao động cưỡng bức. Khi đó tần số dao động của sợi dây là tần số dao động của ngoại lực cưỡng bức. Biên độ dao động cưỡng bức có dạng:
𝐴 = 𝐹0
𝑚√(𝜔02− Ω2)2+ 4𝜀2Ω2
(4.5)
Biên độ của dao động cưỡng bức đạt giá trị lớn nhất (cộng hưởng ly độ)
khi tần số của ngoại lực có giá trị: Ω = √𝜔02− 2𝜀2. Nếu coi lực cản của môi
trường là đủ nhỏ (𝜀 ≪ 1) thì giá trị Ω ≈ 𝜔0 (tần số của ngoại lực gần bằng tần số
dao động riêng của sợi dây)
Từ các kết quả tính toán lý thuyết của quá trình truyền sóng trên sợi dây, chúng ta có thể giải thích chính xác các kết quả thu được về sự ảnh hưởng của kích thước của vật liệu từ-điện hình chữ nhật đến tần số cộng hưởng
Thật vậy, với các mẫu hình chữ nhật ta có thể coi đó như một sợi dây với chiều dài L là chiều dài của hình chữ nhật. Khi đó ta có thể bỏ qua dao động theo phương dọc theo chiều rộng. Do đó, các mẫu hình chữ nhật có chiều dài như
nhau nhưng chiều rộng khác nhau có cùng một tần số cơ bản, vì vậy chúng cùng cộng hưởng tại những giá trị tần số giống nhau. Nhận xét trên rất phù hợp với kết quả thực nghiệm thu được. Theo lý thuyết trên khi một mẫu hình chữ nhật có chiều dài là L thì tần số dao dộng cơ bản là:
𝑓 = 𝑣
2𝐿 (4.6)
Sử dụng biểu thức trên kết hợp với kết quả thực nghiệm xác định tần số cộng hưởng trên các mẫu hình chữ nhật, giá trị vận tốc truyền sóng trên vật liệu
áp điện PZT đã được ngoại suy với giá trị v 2800 (m/s)
Cũng theo lý thuyết về sóng cơ học [96] thì vận tốc truyền pha trong chất rắn được xác định bởi công thức:
𝑣 = √𝐸
𝜌
(4.7)
Trong đó:
* E là suất Young theo phương truyền sóng * ρ là mật độ khối của vật liệu
Từ thông số kỹ thuật của vật liệu PZT (APCC - 855) do nhà sản xuất cung cấp [104] chúng ta có:
* E11 = 5,9.1010 (N/m2) là suất Young theo phương 11
* ρ = 7,6 (g/cm3) là mật độ khối lượng của PZT (APCC - 855)
Vì vậy có thể tính được vận tốc truyền pha trong vật liệu PZT (APCC - 855) là: v = 2786 (m/s).
Kết quả tính toán vận tốc truyền sóng trên vật liệu áp điện PZT từ kết quả thực nghiệm phù hợp với kết quả thu được từ các thông số do nhà sản xuất cung cấp (hình 4.13). Do đó có thể kết luận rằng: mô hình truyền sóng một chiều là phù hợp với các vật liệu tổ hợp từ-điện có dạng hình chữ nhật (chiều dài lớn hơn chiều rộng).
Mô hình này không chỉ giải thích được hiện tượng cộng hưởng tần số của các vật liệu tổ hợp hình chữ nhật, tính toán được tần số cộng hưởng của chúng mà còn được dùng để giải thích cho hiện tượng có nhiều đỉnh cộng hưởng khác với đỉnh cộng hưởng chính và các đỉnh cộng hưởng phụ này có độ lớn nhỏ hơn rất nhiều so với đỉnh cộng hưởng chính.
Hình 4.13: So sánh tần số cộng hưởng thu được từ thực nghiệm với mô phỏng lý thuyết của các mẫu hình chữ nhật có cùng chiều dài
Hình 4.14: Các đỉnh cộng hưởng của mẫu hình chữ nhật tương ứng với các trạng thái dao động khác nhau
Thực vậy, nghiệm của phương trình truyền sóng là chồng chập của vô số
sóng hình sin có tần số 𝑓𝑘 = 𝑘. (𝑣 2𝐿⁄ ) (k = 1: ứng với trường hợp tần số cơ bản,
k > 1: ứng với trường hợp tần số của các họa âm). Cộng hưởng với âm cơ bản luôn có biên độ lớn nhất, cộng hưởng với họa âm thì có biên độ nhỏ hơn rất nhiều so với cộng hưởng của âm cơ bản. Vì vậy hiện tượng cộng hưởng tần số
trên vật liệu tổ hợp có dạng hình chữ nhật có nhiều đỉnh cộng hưởng, trong đó có một đỉnh cộng hưởng lớn nhất ứng với cộng hưởng của âm cơ bản và các đỉnh cộng hưởng khác nhỏ hơn là ứng với cộng hưởng của các họa âm (hình 4.14).