Mô hình hoá bài toán bằng các QHTT
Phần lớn các bài toán tối ưu hoá tổ hợp đều có thể mô tả (hình thức hoá) bằng các QHTT. Từ đó, do mối quan hệ gần gũi giữa phương án tối ưu và phương án nguyên tối ưu, lẽ tự nhiên ta có thể thiết kế thuật toán xấp xỉ bắt đầu từ những hiểu biết về các QHTT (hoặc rộng hơn là các quy hoạch toán học). Giả sử là bài toán cực tiểu hoá tổ hợp được mô hình hoá bằng QHN IP và dẫn tới QHTT làm yếu LP. Gọi D là tập các thể hiện của . Ta đặt d D
OPT d OPT IntGap LP IP , sup , thế
thì nếu dựa trên đánh giá OPTLP (ví dụ như sử dụng phương pháp gốc-đối ngẫu),
IntGap sẽ là tỷ suất hiệu quả tốt nhất mà ta có thể hy vọng tìm được. Vì vậy, nếu muốn tìm thuật toán xấp xỉ tốt hơn thì ta phải tìm một mô hình QHTT khác cho . Như ta đã bàn ở các chương 1, 2, 3, cho đến giờ các QHTT của các bài toán thiết kế mạng đều được lập theo mô hình lát cắt. Gần đây, Raghavan và Magnanti trong [MR02], trên cơ sở kết hợp kỹ thuật luồng và lát cắt có hướng (dựa trên định lý Nash-Williams để định hướng cho đồ thị) đã đề xuất một số mô hình QHTT tốt hơn. ứng dụng của các mô hình này hiện còn chưa được nghiên cứu đầy đủ và NVLV cho rằng đây có thể là một hướng nghiên cứu triển vọng.
Vai trò của thuật toán chính xác trong thiết kế thuật toán xấp xỉ
Cũng như thiết kế thuật toán chính xác, thiết kế thuật toán xấp xỉ cũng đòi hỏi việc phân tích, nắm bắt được quan hệ tổ hợp của cấu trúc bài toán và từ đó tìm ra lược đồ thuật toán thích hợp để tận dụng các tính chất của cấu trúc đó. Bởi vậy, thiết kế thuật toán xấp xỉ có thể bắt đầu từ việc mở rộng, tổng quát hoá các kỹ thuật dùng trong thiết kế thuật toán chính xác hoặc sử dụng chính những thuật toán này như những tư vấn. Có thể kể ra một số thuật toán xấp xỉ đi theo cách tiếp cận này mà ta đã xét: ở mục 3.3, thuật toán 2-xấp xỉ của Melkonial-Tardos giải bài toán DND dựa trên giải thuật Frank; ở mục 5.2, thuật toán 2-xấp xỉ của Khuller-Vishkin giải bài
toán MW k-EC dựa trên giải thuật Edmonds; hay thuật toán Cheriyan-Thurimella giải xấp xỉ bài toán k-VC dựa trên thuật toán giải chính xác bài toán b-cặp ghép ở chương 6. Như vậy, việc khảo sát kỹ lưỡng hơn các bài toán liên quan đến tính liên thông của đồ thị mà giải được trong thời gian đa thức, hoặc sử dụng chúng một cách khéo léo có thể dẫn đến những gợi mở nhất định.
Cận dưới của giá trị tối ưu.
Như ta đã biết, việc tìm chính xác phương án tối ưu là bài toán NP-khó. Do vậy, để biện luận được sai số của phương án tìm được (từ thuật toán xấp xỉ), thuật toán xấp xỉ phải bao hàm cả nhiệm vụ xác định một cận dưới của phương án tối ưu trong thời gian đa thức. Cận dưới này càng tốt thì tỷ suất hiệu quả của thuật toán càng cao. Như ta đã thấy trong bài toán k-VC ở chương 6, điểm quan trọng của thuật toán Cheriyan-Thurimella là tìm ra được một cận dưới tốt của EOPT , vì vậy nâng được tỷ suất hiệu quả từ
k
2 1 lên
k
1
1 . Nói chung, để tìm được những cận dưới không tầm thường, ta phải tiếp cận được một đặc trưng tổ hợp tương đối riêng của bài toán. Trong những trường hợp như vậy, NVLV cho rằng việc tìm kiếm nên bắt đầu từ việc khai thác các tính chất đã biết trong lý thuyết đồ thị, đặc biệt là các kết quả về phân rã đồ thị. Ví dụ: Cheriyan, Sebo và Szigeti, xem [CSS01], sử dụng các định lý Whitney, Lovasz, Frank về phân rã tai (ear decomposition) để tìm một cận dưới mới về số cạnh trong đồ thị 2-EC, từ đó đề xuất thuật toán
12 17
-xấp xỉ cho bài toán MC 2-EC.
So sánh phương pháp gốc-đối ngẫu và kỹ thuật làm tròn liên tiếp.
Trong phần 1, NVLV đã đề cập đến 2 phương pháp xây dựng thuật toán xấp xỉ cơ bản dựa trên lý thuyết QHTT là phương pháp gốc-đối ngẫu và kỹ thuật làm tròn liên tiếp. Kỹ thuật làm tròn liên tiếp tỏ ra ưu việt hơn so với phương pháp gốc-đối ngẫu nếu xét trên phương diện tỷ suất hiệu quả. Trong các bài toán SND, element connectivity (bài toán này là một cách dung hoà giữa bài toán liên thông cạnh và
liên thông đỉnh), tỷ suất hiệu quả đều là 2 nếu áp dụng kỹ thuật làm tròn liên tiếp, xem [FJW01], [Jan01], còn nếu thiết kế theo phương pháp gốc-đối ngẫu, xem [GGPSTW94], [JMVW02], thì tỷ suất hiệu quả cùng là 2H fmax . Mặc dù vậy, phương pháp gốc-đối ngẫu vẫn thu hút được sự quan tâm bởi 2 lý do: nó là thuật toán tổ hợp, nên trên thực tế nó sẽ hiệu quả hơn kỹ thuật làm tròn, do đòi hỏi phải giải QHTT. Thứ hai, cũng vì là thuật toán tổ hợp nên nó còn phụ thuộc nhiều vào cấu trúc tổ hợp của bài toán, nên với từng bài toán người thiết kế thuật toán có thể có những sáng tạo dựa trên những đặc thù riêng của chúng. Như vậy, việc tìm ra được một “phiên dịch” tổ hợp cho thuật toán Jain của bài toán SND sẽ không chỉ có ý nghĩa về mặt lý luận mà còn có giá trị thực tiễn.
Tài liệu tham khảo
1. [AKR91] Ajit Agrawal, Philip N. Klein, R. Ravi (1991), “When Trees Collide: An Approximation Algorithm for the Generalized Steiner Problem on Networks”,STOC 1991, pp. 134-144.
2. [Cai93] Mao-cheng Cai (1993), "The number of vertices of degree k in a minimally k-edge-connected graph," J. Combinatorial Theory Series B (58), pp. 225-239.
3. [CR98] J.Cheriyan, R.Ravi (1998), “Lecture Notes on Approximation Algorithms for Network Problems”.
4. [CSS01] Joseph Cheriyan, Andras Sebo, Zoltan Szigeti (2001), “Improving on the 1.5-Approximation of a Smallest 2-Edge Connected Spanning Subgraph”,
SIAM J. Discrete Math, 14(2), pp. 170-180.
5. [CT00] Joseph Cheriyan, Ramakrishna Thurimella (2000), ”Approximating Minimum-Size k-Connected Spanning Subgraphs via Matching”, SIAM J. Comput, 30(2), pp. 528-560.
6. [CVV01a] Joseph Cheriyan, Santosh Vempala (2001), “Edge Covers of Setpairs and the Iterative Rounding Method”, IPCO 2001, pp. 30-44.
7. [CVV01b] Joseph Cheriyan, Santosh Vempala (2001), ”Network Design via Iterative Rounding of Setpairs Relaxations”.
8. [CVV02] Joseph Cheriyan, Santosh Vempala, Adrian Vetta (2002), “Approximation algorithms for minimum-cost k-vertex connected subgraphs”,
STOC 2002, pp. 306-312.
9. [D00] Reinhard Diestel (2000), Graph theory (Electronic Edition), Ed. Springer- Verlag.
10. [Fer98] Cristina G. Fernandes (1998), “A Better Approximation Ratio for the Minimum Size k-Edge-Connected Spanning Subgraph Problem”, J. Algorithms
28(1), pp. 105-124.
11. [Fra93] Andras Frank (1993), "Submodular functions in graph theory," Discrete Mathematics (111), pp. 231-243.
12. [FJW01] Lisa Fleischer, Kamal Jain, David P. Williamson (2001). “An Iterative Rounding 2-Approximation Algorithm for the Element Connectivity Problem”,
FOCS 2001, pp. 339-347.
13. [Gab03] Harold N. Gabow (2003), “Better performance bounds for finding the smallest k-edge connected spanning subgraph of a multigraph”, SODA 2003, pp. 460-469.
14. [Goe01] Michel X. Goemans (2001), “Linear Programming”, 18.415J/6.854J Advanced Algorithms, Fall 2001.
15. [GGPSTW94] Michel X. Goemans, Andrew V. Goldberg, Serge A. Plotkin, David B. Shmoys, Eva Tardos, David P. Williamson (1994), “Improved Approximation Algorithms for Network Design Problems”, SODA 1994, pp. 223-232.
16. [GSS93] Naveen Garg, Vempala S. Santosh, Aman Singla (1993), “Improved Approximations for Finding Minimum 2-connected Subgraphs via Better Lower-Bounding Techniques”, SODA 1993, pp. 103-111.
17. [GW92] Michel X. Goemans, David P. Williamson (1992), “A General Approximation Technique for Constrained Forest Problems”, SODA 1992, pp. 307-316.
18. [Hoc96] Dorit S. Hochbaum (1996), Approximation Algorithms for NP-Hard Problems, PWS Publication.
19. [Jan01] Kamal Jain (2001), “A Factor 2 Approximation Algorithm for the Generalized Steiner Network Problem”, Combinatorica 21(1), pp. 39-60.
20. [JMVW02] Kamal Jain, Ion I. Mandoiu, Vijay V. Vazirani, David P. Williamson (2002), “A primal-dual schema based approximation algorithm for the element connectivity problem”, J. Algorithms 45(1), pp. 1-15.
21. [JRV03] Raja Jothi, Balaji Raghavachari, Subramanian Varadarajan (2003), “A 5/4-approximation algorithm for minimum 2-edge-connectivity”, SODA 2003, pp. 725-734.
22. [KR96] Samir Khuller, Balaji Raghavachari (1996), “Improved Approximation Algorithms for Uniform Connectivity Problems”, J. Algorithms 21(2), pp. 434- 450.
23. [KV94] Samir Khuller, Uzi Vishkin (1994), “Biconnectivity approximations and graph carvings”, JACM 41(2), pp. 214-235.
24. [MR02] Thomas L. Magnanti, S. Raghavan (2002), “Strong Formulation for Network Design Problems with Connectivity Requirements”.
25. [MT99] Vardges Melkonian, Eva Tardos (1999), “Approximation Algorithms for a Directed Network Design Problem”, IPCO 1999, pp. 345-360.
26. [NI92] Hiroshi Nagamochi, Toshihide Ibaraki (1992), “A Linear-Time Algorithm for Finding a Sparse k-Connected Spanning Subgraph of a k- Connected Graph”, Algorithmica 7(5&6), pp. 583-596.
27. [PS88] C. H. Papadimitriou, K. Steiglitz (1988). Combinatorial Optimization Algorithms and Complexity. Dover Publications, Inc.
28. [RW95] R. Ravi, David P. Williamson (1995), “An Approximation Algorithm for Minimum-Cost Vertex-Connectivity Problems”, SODA 1995, pp. 332-341. 29. [RW02] R. Ravi, David P. Williamson (2002), “Erratum: An Approximation
Algorithm for Minimum-Cost Vertex-Connectivity Problems”, Algorithmica
30. [Vaz01] V.V. Vazirani (2001), Approximation Algorithms. Springer Publications.
31. [Vet01] Adrian Vetta (2001), “Approximating the minimum strongly connected subgraph via a matching lower bound”, SODA 2001, pp. 417-426.
32. [VV00] Santosh Vempala, Adrian Vetta (2000), “Factor 4/3 approximations for minimum 2-connected subgraphs”, APPROX 2000, pp. 262-273.
33. [WGMV93] David P. Williamson, Michel X. Goemans, Milena Mihail, Vijay V. Vazirani (1993), “A primal-dual approximation algorithm for generalized Steiner network problems”, STOC 1993, pp. 708-717.