Chƣơng 2 CƠ SỞ TOÁN HỌC TRONG BẦU CỬ ĐIỆN TỬ
2.1. Lý thuyết toán học
2.1.1. Số nguyên tố. ƢCLN. BCNN
a) Số nguyên tố: là số chỉ chia hết cho 1 và chính nó. b) Ƣớc chung lớn nhất (ƢCLN):
Cho hai số nguyên a và b, . Nếu có một số nguyên q sao cho a=b*q, thì ta nói rằng a chia hết cho b (b\a). Khi đó b là ƣớc của a và a là bội của b.
Số nguyên d đƣợc gọi là ƣớc chung của các số nguyên nếu nó là ƣớc của tất cả các số đó.
d đƣợc gọi là ƣớc chung lớn nhất của nếu d > 0 và là số lớn nhất trong tập hợp các ƣớc chung của các số đó. Ký hiệu d = gcd ( hay d = UCLN (
c) Bội chung nhỏ nhất (BCNN):
Số nguyên m đƣợc gọi là bội chung của các số nguyên nếu nó là bội của tất cả các số đó.
m đƣợc gọi là bội chung nhỏ nhất của nếu m > 0 và là số nhỏ nhất trong tập hợp các bội chung của các số đó. Kí hiệu m = lcm( hay m = BCNN(
Hai số nguyên tố p và q đƣợc gọi là nguyên tố cùng nhau nếu ƣớc chung lớn nhất của chúng bằng 1. Kí hiệu: UCLN (m, n) = 1
2.1.2. Nhóm. Vành. Trƣờng. Trƣờng hữu hạn a) Phép toán hai ngôi a) Phép toán hai ngôi
Cho G là một tập hơp. Phép toán hai ngôi (*) là một ánh xạ: (*):
,
Ví dụ: G = Z. Phép toán (*) là phép (+)
b) Nhóm
Một tập , với một phép toán hai ngôi * trên G đƣợc gọi là một nhóm nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
- Tồn tại phần tử trung lập e G: e * x = x * e = x,
- Tồn tại phần tử nghịch đảo : * x = x * = e
Cấp của nhóm G là số phần tử của nhóm, ký hiệu |G|. Cấp của nhóm có thể là nếu G có vô hạn phần tử.
Nhóm Cyclic: Nhóm (G, *) đƣợc gọi là nhóm Cyclic nếu nó đƣợc sinh ra bởi một trong các phần tử của nó. Tức là có phần tử g G mà với mỗi a G, đều tồn tại số n N để gn = a. Khi đó g là phần tử sinh hay phần tử nguyên thủy của nhóm G.
Ví dụ: (Z+
,*) gồm các số nguyên dƣơng là nhóm Cyclic có phần tử sinh là 1.
Cấp của nhóm Cyclic: Cho (G,*) là nhóm Cyclic với phần tử sinh là g, và phần tử trung lập e. Nếu tồn tại số tự nhiên nhỏ nhất n mà gn = e thì G sẽ chỉ gồm có n phần tử khác nhau: e, g, g1, g2,…, gn-1. Khi đó G đƣợc gọi là nhóm Cyclic hữu hạn cấp n. Nếu không tồn tại số tự nhiên n để gn = e thì G có cấp vô hạn.
c) Vành
Vành là một tập R với 2 toán tử + (cộng) và * (nhân)thỏa mãn các điều kiện sau: <R,+> là nhóm Abel
<R,*> là nửa nhóm
Phép nhân phân phối đối với phép cộng: với các phần tử tùy ý x, y, z X ta có: x(y + z) = xy + xz và
(y + z) x = yx + zx
Nếu phép nhân là giao hoán thì R đƣợc gọi là vành giao hoán
d) Trƣờng
Giả sử F là tập hợp khác rỗng, trên đó có hai phép toán đóng hai ngôi bất kỳ, chẳng hạn ký hiệu là + (cộng) và * (nhân). F là một trƣờng nếu và chỉ nếu:
(F,+) là nhóm giao hoán với phần tử đơn vị là "0" (F\{0},*) là nhóm giao hoán với phần tử đơn vị là "1" Các phép toán cộng và nhân có tính chất phân phối:
a(b+c) = ab + ac
Số phần tử của một trƣờng đƣợc gọi là bậc của một trƣờng. Một trƣờng có số phần tử hữu hạn đƣợc gọi là trƣờng hữu hạn, một trƣờng có số phần tử vô hạn đƣợc gọi là trƣờng vô hạn.
Trƣờng hữu hạn là trƣờng chứa hữu hạn các phần tử. Mọi trƣờng hữu hạn có một số nguyên tố là đặc số của trƣờng. Một trƣờng F có đặc số thì với mọi , ⏞
e. Trƣờng hữu hạn Trƣờng hữu hạn Fp:
Cho p là số nguyên tố. Trƣờng hữu hạn Fp bao gồm tập các số nguyên {0,1,2,..,p- 1}cùng với các phép toán:
Phép cộng: Nếu a, b Fp , ta có a + b = r, với r là phần dƣ khi chia a + b cho p và
. Đây gọi là phép cộng modulo p.
Phép nhân: Nếu a, b Fp , ta có a.b = s, với s là phần dƣ khi chia a.b cho p và
. Đây gọi là phép nhân modulo p.
Phép nghịch đảo: Nếu a Fp (a 0), phép nghịch đảo của a modulo p, ký hiệu là a-1, nếu tồn tại duy nhất số nguyên c Fp sao cho a.c = 1.
Trƣờng hữu hạn :
Trƣờng , kí hiệu , đƣợc gọi là trƣờng hữu hạn nhị phân. Khi đó tồn tại m phần từ trong sao cho mỗi phẩn tử
có thể viết duy nhất dƣới dạng:
với
Một bộ đƣợc gọi là cơ sở của trên F2. Với mỗi cơ sở nhƣ vậy thì một phần tử của trƣờng có thể biểu diễn dƣới dạng xâu bit ( ).
2.1.3. Định lý Euler
Hàm Euler: Cho số nguyên dƣơng n, số lƣợng các số nguyên dƣơng bé hơn n và nguyên tố cùng nhau với n đƣợc ký hiệu là và đƣợc gọi là hàm Euler.
Nhận xét: Nếu p là số nguyên tố thì
Định lý về hàm Euler:
Nếu n là tích của hai số nguyên tố n = p.q, thì:
2.1.4. Định lý Ferma
Định lý Ferma: Nếu p là số nguyên tố, a là số nguyên thì . Nếu p không chia hết a, thì .
Định lý Euler:
Nếu gcd(a, n) = 1 thì .
Trƣờng hợp m là số nguyên tố, ta có định lý Ferma.
Hệ quả 1:
Nếu gcd(c, n) = 1 và với a, b là các số tự nhiên thì
và suy ra .
Hệ quả này giúp giảm nhẹ việc tính toán đồng dƣ của luỹ thừa bậc cao.
Hệ quả 2:
Nếu các số nguyên e, d thoả mãn thì với mọi số c nguyên tố cùng nhau với n, ta có .
2.1.5. Hàm một phía và cửa sập một phía
Một hàm một phía là hàm mà dễ dàng tính toán ra quan hệ một chiều nhƣng rất khó để tính ngƣợc lại.
Ví dụ: biết giả thiết x thì có thể dễ dàng tính ra f(x), nhƣng nếu biết f(x) thì rất khó tính ra đƣợc x. Trong trƣờng hợp này khó có nghĩa là để tính ra đƣợc kết quả thì phải mất rất nhiều thời gian để tính toán.
f(x) đƣợc gọi là hàm một phía có cửa sập nếu tính xuôi y = f(x) thì dễ nhƣng tĩnh x = f-1(x) thì khó tuy nhiên nếu có “cửa sập” thì vấn đề tính ngƣợc trở nên dễ dàng. Cửa sập đây là một điều kiện nào đó giúp chúng ta dễ dàng tính ngƣợc.
Ví dụ: y = f(x) =xb
mod n tính xuôi thì dễ nhƣng tính ngƣợc x = ya mod n thì khó vì phải biết a với a*b ≡ 1 (mod (mod(ϕ(n))) trong đó ϕ(n) = (p-1)(q-1). Nhƣng nếu biết cửa sập p, q thì việc tính n = p*q và tính a trở nên dễ dàng.