Chƣơng 1 : Mở đầu
3.3 Otomat thời gian
3.3.4 Các bảng chuyển trạng thái thời gian
Định nghĩa 3.4 một bảng chuyển trạng thái thời gian là một bộ (∑,S,S0,C,E) với ∑ là các ký tự hữu hạn.
S là tập hữu hạn các trạng thái.
S0 ⊆ S là tập các trạng thái khởi tạo.
C là tập hữu hạn các đồng hồ.
E ⊆ S x S x ∑ x 2C x Φ(C) tập các bƣớc chuyển trạng thái. Mỗi cung (s, s’, a ,λ , δ) mô tả một bƣớc chuyển từ trạng thái s đến s’ với ký tự đầu vào a. Tập λ ⊆ C là các đồng hồ đƣợc thiết lập lại trong bƣớc chuyển trạng thái, và δ là các
ràng buộc trên C [3].
Cho một từ thời gian (σ, τ) bảng chuyển thời gian A bắt đầu bằng một trong những trạng thái khởi tạo tại thời điểm 0 với tất cả các đồng hồ đƣợc khởi tạo 0. Giá trị của các đồng hồ thay đổi bằng hàm thiết lập thời gian. Tại thời điểm τi Otomat A thay đổi trạng thái từ s đến s’ nếu các giá trị hiện tại của đồng hồ thỏa mãn các ràng buộc δ. Với bƣớc chuyển trạng thái các đồng hồ trong 𝜆 đƣợc thiết lập về 0 và bắt đầu
tiếp tục đếm thời gian. Hành vi đƣợc giữ bởi định nghĩa “run” của các bảng chuyển trạng thái thời gian. Một thực hiện “run” ghi lại trạng thái với giá trị của các đồng hồ tại các điểm chuyển trạng thái. Cho trình tự thởi gian τ = τ1 τ2 τ3… với định nghĩa τ0 = 0.
Định nghĩa 3.5 Một thực hiện r biễu diễn (𝑠 , 𝑣 ) của bảng chuyển trạng thái thời gian (∑,S,S0,C,E) trên từ thời gian (σ,τ) là một trình tự vơ hạn với dạng:
r: (s0, v0) 𝜎1
𝜏1> (s1, v1) 𝜎2𝜏2> (s2, v2) 𝜎3
𝜏3> …
với si Є S và vi Є [C → R), cho tất cả i ≥ 0 thỏa mãn những yêu cầu sau:
Khởi tạo: s0 Є S0 và v0(x) = 0 cho tất cả x Є C
Cho tất cả i ≥ 1 có một cung trong E với dạng (si-1, si, σi ,λi , δi) sao cho (vi-1 + τi – τi-1 ) thỏa mãn δi và vi bằng [λi → 0] (vi-1 + τi – τi-1 )
Để thiết lập inf(r) bao gồm các trạng thái s Є S để s = si cho vô hạn lần i ≥ 0. Ví dụ 3.6: Xem xét bảng chuyển trạng thái thời gian của ví dụ 3.5.
(a,2) → (b,2.7) ) → (b,2.8)) → (b,5) → …
Dƣới đây ta đƣa ra một đoạn khởi tạo của thực hiện. Một đồng hồ biên dịch đƣợc trình diễn bởi danh sách các giá trị [x,y].
(s0, [0,0]) 𝑎
2> (s1, [0,2]) 𝑏
2.7> (s2, [0.7,0]) 𝑐
2.8> (s3,[0.8,0.1]) 𝑑
5> (s0, [3,2.3]) … Một thực hiện r = (𝑠 , 𝑣 ) trên (σ, τ) , các giá trị của đồng hồ tại thời điểm t giữa τi và τi+1 đƣợc cho bởi biên dịch (vi + t – τi). Khi đó bƣớc chuyển trạng thái từ si đến si+1 xảy ra. Ta sử dụng giá trị (vi + τi+1 – τi) để kiểm các ràng buộc đồng hồ, tuy nhiên tại thời điểm τi+1 giá trị của đồng hồ nhận đƣợc và thiết lập lại về 0.
Để ý bảng chuyển trạng thái (∑, S, S0 , E) có thể đƣợc xem nhƣ một bảng chuyển trạng thái thời gian A’. Ta chọn tập các đồng hộ đƣợc thiết lập rỗng và thay thế các cung (s,s’,a) bởi (s,s’,a ,Ø,true). Thực hiện A’ rõ ràng tƣơng ứng với các thực hiện của A.
3.3.5 Ngơn ngữ hình thức thời gian
Ta có thể nhóm mục chấp nhận với các bảng chuyển trạng thái thời gian và sử dụng bảng chuyển trạng thái thời gian để định nghĩa ngôn ngữ thời gian.
Định nghĩa 3.6: Otomat Buchi thời gian (viết tắt TBA) là một bộ (∑, S, S0 ,C, E,F) với bộ (∑, S, S0 ,C ,E) là bảng chuyển trạng thái thời gian và F ⊆ S là tập các
Một thực hiện r = (𝑠 , 𝑣 ) của TBA trên từ thời gian (σ, τ) đƣợc gọi là thực hiện chấp nhận đƣợc nếu inf(r) Λ F ≠ Ø.
Cho một TBA A , ngôn ngữ L(A) là các từ thời gian mà TBA chấp nhận đƣợc định nghĩa bằng cách thiết lập {(σ, τ) | A có một thực hiện chấp nhận trên (σ, τ) }.
Tƣơng tự với lớp các ngôn ngữ đƣợc chấp nhận bởi Otomat Buchi, ta gọi lớp ngôn ngữ thời gian đƣợc chấp nhận bởi ngơn ngữ hình thức TBA.
Hình 3.5: Otomat Buchi thời gian chấp nhận Lcrt
Định nghĩa 3.7 Ngôn ngữ thời gian L là ngơn ngữ hình thức thời gian nếu L = L(A) cho các TBA A.
Ví dụ 3.7: Ngơn ngữ L3 của ví dụ 3.5 là ngôn ngữ hình thức thời gian. Bảng chuyển trạng thái thời gian của hình 3.4 đƣợc nhóm với tập chấp nhận bao gồm tất cả các trạng thái.
Cho tất cả các ngơn ngữ hình thức ω trên ∑ , ngơn ngữ thời gian {(σ, τ) | σ Є L} là hình thức. Ví dụ điển hình của ngơn ngữ thời gian khơng hình thức là ngơn ngữ L2 của ví dụ 3.3 yêu cầu sự khác biệt thời gian giữa các cặp liên tiêp a và b với trình tự tăng.
Một ngơn ngữ khơng hình thức là {(aω, τ) | ∀i (τi = 2i) (3.7) Otomat của ví dụ 3.7 kết hợp điều kiện chấp nhận Buchi với ràng buộc thời gian để đặc tả tính chất:
Ví dụ 3.8: Otomat hình 3.5 chấp nhận ngơn ngữ thời gian Lcrt với các ký tự {a,b} Lcrt = {((ab)ω, τ) | ∃ i ∀ j ≥ i. (τ2j < τ2j-1 +2)} (3.8) Trạng thái khởi tạo là s0, trạng thái chấp nhận là s2 và có một đồng hồ x. Otomat bắt đầu trạng thái s0 và chu kỳ giữa trạng thái s0 và s1 . Sau đó di chuyển đến trạng thái s2 thiết lập đồng hồ x đến 0. Chu kỳ giữa trạng thái s2 và s3, Otomat thiết lập đồng hồ trong khi đọc ký tự a và đảm bảo ký tự b kế tiếp trong 2 đơn vị thời gian. Otomat mơ hình hệ thống với thời gian đáp ứng hội tụ, thời gian đáp ứng cuối cùng luôn bé hơn 2 đơn vị thời gian.
a, x:= 0 a S1 S0 b a, x:=0 S3 b, (x<2) S2
Ví dụ kế tiếp chỉ Otomat thời gian có thể chỉ định hành vi xác định. Ví dụ 3.9 Otomat của hình 6 chấp nhận ngơn ngữ sau với các ký tự {a,b}
{(σ, τ) | ∀i. ∃j. (τj= 3i Λ σj = a)} (3.9) Otomat có một trạng thái s0 và một đồng hồ x. Đồng hồ thiết lập với với chu kỳ 3 đơn vị thời gian. Otomat yêu cầu khi đồng hồ bằng 3 thì có ký tự đầu vào a. Vì vậy mơ hình mơ tả tính chất a xảy tại các thời điểm giá trị thời gian là bội số của 3.
Hình 3.6: Otomat thời gian mơ hình hóa hành vi lặp định kỳ