5. Cấu trúc của luận án
1.2.6 Hàm tựa hầu tuần hoàn, tựa hầu tự đồng hình có trọng
Trong phần này, chúng tôi sẽ nhắc lại định nghĩa về một số lớp hàm có trọng: Hàm tựa hầu tuần hoàn có trọng, hàm tựa hầu tự đồng hình có trọng và hàm tựa hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov có trọng (xem [32, 46, 75]).
Trước tiên, ta kí hiệu
U := {ρ: R →R+|ρ khả tích địa phương}. Với r > 0và ρ∈ U, ta đặt m(r, ρ) := r R −r ρ(x)dx và U∞ := nρ ∈ U : lim r→∞m(r, ρ) =∞o.
Với ρ∈ U∞, không gian P AA0(R, ρ) các hàm có trọng ρ xác định bởi:
P AA0(R, ρ) := φ ∈BC(R, X) : lim r→∞ 1 m(r, ρ) r Z −r kφ(s)kXρ(s)ds = 0 .
Định nghĩa 1.2.29. Hàm liên tục f : R → X được gọi là tựa hầu tuần hoàn có trọng ρ nếu f =g+φ với g ∈AP(R, X) và φ ∈P AA0(R, ρ).
Kí hiệu W P AP(R, X) là tập hợp các hàm từ R→ X tựa hầu tuần hoàn có trọng ρ.
Đặc biệt, nếu ρ(x) = 1với mọi x ∈R thì ta gọi f là hàm tựa hầu tuần hoàn
và kí hiệu P AP(R, X) là tập các hàm tựa hầu tuần hoàn từ R →X.
Định nghĩa 1.2.30. Hàm liên tục f : R → X được gọi là tựa hầu tự đồng hình có trọng ρ (tương ứng tựa hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov có trọng ρ) nếu
Kí hiệu W P AA(R, X) là tập các hàm tựa hầu tự đồng hình có trọng ρ và
W SpAA(R, X) là tập các hàm tựa hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov có trọng ρ.
Đặc biệt, nếu ρ(x) = 1 với mọi x ∈ R thì ta gọi f là hàm tựa hầu tự đồng hình và kí hiệu P AA(R, X) là tập các hàm tựa hầu tự đồng hình từ R →X. Mệnh đề 1.2.31.Các không gianW P AP(R, X),W P AA(R, X)vàW SpAA(R, X))
là các không gian Banach với chuẩn sup :
kfk = sup
t∈R
kf(t)kX.
Chú ý 1.2.32. Khi hàm trọng ρ(x) = 0 thì các không gian W P AP(R, X),
W P AA(R, X)vàW SpAA(R, X)trở thành các không gian tương ứngAP(R, X),
AA(R, X) và SpAA(R, X).
Mệnh đề 1.2.33. Ta có các mối quan hệ bao hàm sau: i) AP(R, X)⊂ P AP(R, X) ⊂W P AP(R, X).
ii) AP(R, X)⊂ AA(R, X)⊂ SpAA(R, X) ⊂ W SpAA(R, X).
iii) AP(R, X)⊂ AA(R, X)⊂ P AA(R, X)⊂ W P AA(R, X).
Xem chứng minh Mệnh đề 1.2.33 trong tài liệu [5, 25]. Để minh họa cho các quan hệ bao hàm này, ngoài những ví dụ đã đề cập trong các định nghĩa về hàm hầu tuần hoàn và hàm hầu tự đồng hình, ta xét thêm một số ví dụ sau:
Ví dụ 1.2.34.
i) Để xây dựng ví dụ hàm hầu tự đồng hình tựa Stepanov, trước hết ta nhắc lại định nghĩa dãy hầu tự đồng hình. Một dãy (a(n))n∈Z ⊂X được gọi là dãy hầu tự đồng hình nếu với mọi dãy (σ0(m))m∈N ⊂ Z, tồn tại dãy con
(σ(m))m∈N ⊂ Z sao cho các giới hạn
lim
m→∞a(n+σ(m)) = b(n) và lim
m→∞b(n−σ(m)) = a(n)
tồn tại với mỗi n ∈Z.
Ta xây dựng hàm hầu tự đồng hình tựa Stepanov dựa trên dãy (an)
hầu tự đồng hình và ε0 ∈ 0, 1 2 như sau: f(t) = ( an, với t∈(n−ε0, n+ε0) 0, với t /∈(n−ε0, n+ε0)
Khi đó f ∈ SpAA(R,R) nhưng f /∈ AA(R,R). ii) Vớif(t) = sint+sin√
2t+ 1
1 +t2 thìf ∈P AP(R,R)nhưngf /∈ AP(R,R). iii) Với f(t) = cos
1 2 + sint+ sin√ 2t + 1 1 +t2 thì f ∈ P AA(R,R) nhưng f /∈AA(R,R). iv) Vớif(t) = sin
1 2 + cost+ cos√ 2t +e−t|α|, (α6= 0)thìf ∈W P AA(R,R) nhưng f /∈P AA(R,R).
Chương 2
SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA TRÊN
KHÔNG GIAN NỘI SUY
Trong chương này, chúng tôi xét phương trình tiến hóa nửa tuyến tính tổng quát dạng
u0(t) +Au(t) =BG(u)(t), t ∈R, (2.1) trong đó −A là toán tử sinh của C0-nửa nhóm (e−tA)t≥0 và B là “toán tử liên kết” giữa các không gian phát sinh trong phương trình.
Phương trình tuyến tính tương ứng của (2.1) có dạng:
u0(t) +Au(t) =Bf(t), t∈R. (2.2) Các phương trình (2.1) và (2.2) đã được nghiên cứu trong một số bài báo gần đây của Nguyễn Thiệu Huy & các cộng sự (xem [7, 27, 76]). Trong các công trình này, các tác giả đã đưa ra hệ tiên đề tổng quát mà trong chương này chúng tôi sẽ tiếp tục sử dụng (Giả thiết 2.1.1). Sau đó, các tác giả đã xây dựng các điều kiện ban đầu để chỉ ra sự tồn tại và duy nhất của một số lớp nghiệm như: Nghiệm tuần hoàn (xem [7]), nghiệm hầu tuần hoàn (xem [27]). Trong công trình [76], các tác giả cũng chỉ ra được tính ổn định của nghiệm đủ nhỏ trên nửa trục thời gian R+.
Chúng tôi kế thừa kết quả trong các công trình này vào việc nghiên cứu phương trình (2.1) và (2.2) trong bài toán sau:
BÀI TOÁN 1.
i) Chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình, hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov và một số lớp nghiệm có trọng cho các phương trình (2.1) và (2.2).
iii) Áp dụng các kết quả của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính dạng tổng quát vào một số luồng thủy khí.
Chúng tôi đã gặp phải một số khó khăn khi nghiên cứu phương trình tổng quát. Một là, nửa nhóm (e−tA)t≥0 không ổn định mũ mà chỉ ổn định cấp đa thức. Hai là, để chỉ ra sự tồn tại nghiệm có tính chất hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình, hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov và các tính chất của hàm có trọng, chúng tôi cần chứng minh toán tử nghiệm của phương trình tuyến tính bảo toàn các tính chất này cũng như bảo toán tính chất tiệm cận của các trọng. Chúng tôi giải quyết những khó khăn này bằng cách nghiên cứu các phương trình (2.1) và (2.2) trên không gian nội suy thông qua việc kế thừa và phát triển các kỹ thuật trong một số công trình nghiên cứu gần đây của Nguyễn Thiệu Huy & các cộng sự [7, 27, 28, 30]. Cụ thể, do tính trơn của nửa nhóm (e−tA)t≥0
(xem Giả thiết2.1.1) nên chúng tôi có thể xây dựng các không gian nội suy phù hợp và sau đó áp dụng các định lý nội suy để chỉ ra tính bị chặn của nghiệm đủ tốt thỏa mãn tính chất hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình, hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov, tựa hầu tuần hoàn có trọng và tựa hầu tự đồng hình có trọng. Tiếp đó, chúng tôi sử dụng bất đẳng thức đối ngẫu, bất đẳng thức nội suy và nguyên lý hội tụ bị chặn để chỉ ra rằng toán tử nghiệm bảo toàn tính chất của các hàm và tính tiệm cận của các trọng (nghĩa là chứng minh nguyên lý dạng Massera). Tiếp theo đó, chúng tôi sử dụng nguyên lý điểm bất động để mở rộng các kết quả của phương trình tuyến tính (2.2) cho phương trình nửa tuyến tính (2.1) với giả thiết toán tử phi tuyến Nemytskii G liên tục Lipschitz địa phương. Cuối cùng, sử dụng nguyên lý điểm bất động và các đánh giá Lp−Lq chúng tôi chứng minh được tính ổn định cấp đa thức của nghiệm.
Kết quả chính trong chương này là các định lý: Định lý 2.1.5, Định lý 2.1.8, Định lý 2.2.3, Định lý 2.2.5 và toàn bộ các định lý trong phần ứng dụng cho một số luồng thủy khí.
2.1 Tính chất nghiệm của phương trình tuyến tính