5. Cấu trúc của luận án
1.2.5 Hàm hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình
Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số định nghĩa và các tính chất cơ bản về các hàm hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov dựa trên các tài liệu tham khảo [5, 25, 40, 42, 75].
Định nghĩa 1.2.18. ChoX là không gian Banach. Hàm liên tụcf : R→ X được gọi làhầu tuần hoàn nếu với mọi ε >0, tồn tại một số thực Lε >0 sao cho với mọi a∈R có thể tìm được T ∈[a, a+Lε] thỏa mãn
kf(t+T)−f(t)kX < ε, ∀t∈R.
Ta kí hiệu tập các hàm hầu tuần hoàn từ R → X bởi AP(R, X). Dễ thấy
AP(R, X) là một không gian Banach với chuẩn sup: kfkAP(R,X) = sup
t∈R
kf(t)kX.
Nhận xét 1.2.19. Không gian các hàm hầu tuần hoàn bao gồm các hàm tuần hoàn. Tuy nhiên, một hàm hầu tuần hoàn chưa chắc là hàm tuần hoàn. Hàm
f(t) = sint+ sin√
2t là một ví dụ cổ điển cho trường hợp này.
Chú ý 1.2.20. Trong luận án này, chúng tôi xem xét khái niệm hàm hầu tuần hoàn theo định nghĩa của Bohr (xem [23]), đây là lớp các hàm hầu tuần hoàn đều. Chúng ta có thể thấy lớp các hàm hầu tuần hoàn đều là tập trù mật tương đối của tập các hàm hầu tuần hoàn. Hơn nữa, lớp các hàm này cũng là bao đóng của tập các đa thức lượng giác theo chuẩn sup (xem [24]).
Tiếp theo, ta nhắc lại một số tính chất căn bản của hàm hầu tuần hoàn. Tính chất 1.2.21. Với f, f1 và f2 ∈AP(R, X), ta có các khẳng định sau đây:
ii) λf ∈AP(R, X), với mỗi hằng số thực λ.
iii) fτ(t) :=f(t+τ) ∈AP(R, X), với mọi t∈R và với mỗi τ ∈R cố định.
iv) f(αt) ∈AP(R, X), với mọi t∈R và với mỗi α ∈R cố định.
v) f˜(t) :=f(−t) ∈AP(R, X), với mọi t ∈R.
vi) Hàm φ(t)f(t) là hầu tuần hoàn với φ là hàm vô hướng và hầu tuần hoàn. vii Hàm f liên tục đều trên R.
viii) Nếu (fn) là một dãy các hàm hầu tuần hoàn nhận giá trị trong X thỏa mãn fn −→f đều trên R thì f ∈AP(R, X).
ix) Tập Rf := {f(t) : t∈R} là compact tương đối trong X.
x) Nếu tồn tại f0 liên tục đều trên R thì f0 ∈AP(R, X).
xi) Với X là không gian Banach lồi đều, ta có F(t) =
t
R
0
f(s)ds ∈ AP(R, X)
khi và chỉ khi sup
t∈R
f(t) <∞.
Tiếp theo, chúng tôi sẽ nhắc lại định nghĩa và một số tính chất của hàm hầu tự đồng hình. Khái niệm hàm hầu tự đồng hình được giới thiệu đầu tiên bởi Bochner trong các công trình nghiên cứu sự liên kết giữa các nhóm rời rạc và cấu trúc của đa tạp hình học trong hình học vi phân (xem [38, 39]). Sau đó, khái niệm hàm hầu tự đồng hình được mở rộng nghiên cứu và ứng dụng sang lý thuyết chuỗi Fourier và nghiệm của các phương trình đạo hàm riêng (xem [40, 41, 42, 43]).
Định nghĩa 1.2.22. Hàm liên tục f : R → X được gọi là hầu tự đồng hình nếu với mọi dãy số thực (σn0), tồn tại một dãy con (σn) sao cho
lim
m→∞ lim
n→∞f(t+σn −σm) =f(t), (1.1) với mỗit∈R. Giới hạn (1.1) được hiểu theo nghĩa tồn tại một hàmg(t) sao cho
g(t) = lim
n→∞f(t+σn) và f(t) = lim
n→∞g(t−σn) (1.2) xác định với mỗi t∈R.
Ta kí hiệu tập các hàm hầu tự đồng hình từ R → X bởi AA(R, X). Khi đó
AA(R, X) là một không gian Banach với chuẩn sup :
kfkAA(R,X) = sup
t∈R
kf(t)kX.
Chú ý 1.2.23. Khái niệm hàm hầu tự đồng hình là mở rộng của hàm hầu tuần hoàn bởi vì các giới hạn (1.1) và (1.2) trong Định nghĩa 1.2.22 là hội tụ điểm, điều này có nghĩa là hàmg chỉ cần đo được mà không cần liên tục. Chú ý rằng nếu các giới hạn này đều theo t thì hàm f là hầu tuần hoàn. Điều này chỉ ra sự tồn tại dãy con σn của dãy σ0n bất kỳ trong định nghĩa 1.2.22 sao cho các giới hạn (1.1) và (1.2) tồn tại (tính chất của bao đóng tương đối).
Ví dụ 1.2.24. Với hàmf(t) = cos 1 2 + sint+ sin√ 2t thìf ∈AA(R,R)nhưng f /∈ AP(R,R). Tính chất 1.2.25. Cho f, f1 và f2 là các hàm hầu tự đồng hình từ R −→X. Các khẳng định sau đây là đúng. i) f1 +f2 là hầu tự đồng hình.
ii) λf là hầu tự đồng hình với mỗi hằng số thực λ.
iii) fτ(t) :=f(t+τ), t ∈R là hầu tự đồng hình với mỗi τ ∈R cố định.
iv) f˜(t) :=f(−t), t ∈R là hầu tự đồng hình.
v) φ(t)f(t) là hầu tự đồng hình với φ(t) là hàm vô hướng và hầu tự đồng hình. vi) Nếu (fn) là một dãy các hàm hầu tự đồng hình nhận giá trị trong X thỏa
mãn fn −→f đều trên R thì f ∈AA(R, X).
vii) Rf :={f(t) :t ∈R} là compact tương đối và nếu g xác định bởi (1.2) thì
kfk∞ =kgk∞ và Rg ⊂Rf.
viii) Nếu tồn tại f0 liên tục đều trên R thì f0 ∈AA(R, X).
ix) Nếu F : R 7−→ X được xác định bởi F(t) =
t
R
0
f(s)ds thì F ∈ AA(R, X)
Tiếp theo, chúng tôi nhắc lại định nghĩa hàm hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov. Trước hết, ta gọi Lploc(R, X) là không gian các hàm p−khả tích địa phương f : R→ X.
Định nghĩa 1.2.26. Hàm f ∈Lploc(R, X) được gọi là bị chặn p-Stepanov nếu
kfkSp := sup t∈R t+1 Z t kf(s)kpds 1/p <∞.
Kí hiệu tập các hàm bị chặn p−Stepanov từ R→ X bởi Lps(R, X).
Định nghĩa 1.2.27. Hàm f ∈ Lps(R, X) gọi là hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov nếu với mọi dãy số thực (σ0n), tồn tại dãy con (σn) và hàm g ∈
Lploc(R, X) sao cho
1 Z 0 kf(t+s+σn)−g(t+s)kpXds 1/p −→ 0, và 1 Z 0 kg(t+s−σn)−f(t+s)kpXds 1/p −→0
khi n → ∞ với mọi t∈R.
Kí hiệu tập các hàm hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov từ R → X bởi
SpAA(R, X). Khi đó SpAA(R, X) là không gian Banach với chuẩn: kfkSp = sup t∈R t+1 Z t kf(s)kpds 1/p . Chú ý 1.2.28.
i) Chúng ta có thể định nghĩa hàm hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov thông qua phép biến đổi Bochner của nó.
Phép biến đổi Bochner của hàm f ∈Lps(R, X) được xác định như sau:
fb : R →Lp((R,([0,1], X)), t7→ fb(t)
cho bởi
Khi đó hàm f ∈ Lps(R, X) là tựa hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov nếu
fb ∈ AA(R;Lp(R,([0,1], X)).
ii) Khái niệm hàm hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov tiếp tục mở rộng hàm hầu tự đồng hình do chỉ đòi hỏi sự hội tụ điểm của các giới hạn trong không gian Lp.