Trong phần này, chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản và kết quả quan trọng về lý thuyết đường cong đại số hữu tỷ được dùng trong Chương 4. Nội dung chính của phần này được tham khảo từ tài liệu [32].
Định nghĩa 1.54. Cho F ∈ C[x, y] là một đa thức hai biến. Tập hợp
C(F) ={(a, b) ∈ C2|F(a, b) = 0} (1.4) là một đường cong đại số trên C.
Định nghĩa 1.55. Một phép tham số hóa hữu tỷ của đường cong đại số F(x, y) = 0 là một cặp hàm hữu tỷ x(t), y(t) ∈ C(t) sao cho
1. với hầu hết t0 ∈ C trừ một số hữu hạn điểm, ta có (x(t0), y(t0)) ∈ C(F);
2. với hầu hết (x0, y0) ∈ C(F) trừ một số hữu hạn điểm, tồn tại t0 ∈ C
sao cho
(x(t0), y(t0)) = (x0, y0).
Định nghĩa 1.56. Một đường cong đại số F(x, y) = 0 được gọi là hữu tỷ
nếu nó có ít nhất một phép tham số hóa hữu tỷ.
Chẳng hạn, đường tròn với phương trình x2+y2 = 1 là đường cong đại số hữu tỷ được tham số hóa hữu tỷ bởi(x(t), y(t)) =
2t t2 + 1, t2 −1 t2 + 1 trừ tại điểm (0,1) vì không có giá trị nào của t có thể biểu diễn điểm (0,1).
Định nghĩa 1.57. Giả sử x(t) = xn(t)
xd(t) ∈ C(t) có dạng tối giản. Khi đó, bậc của hàm x(t), ký hiệu degx(t), được định nghĩa như sau
Chẳng hạn, chox(t) = xn(t)
xd(t) =
3t2 +t+ 2001
5t4 +t3 −9 ∈ C(t). Ta códegxn(t) = 2, degxd(t) = 4, suy ra degx(t) = max{degxn(t),degxd(t)}= 4.
Định nghĩa 1.58. Cho P(t) = (x(t), y(t)) là một phép tham số hóa của một đường cong hữu tỷ. Khi đó ta gọi max{degx(t),degy(t)} là bậc của P(t), ký hiệu là deg(P(t)). Chẳng hạn, cho P(t) = (x(t), y(t)) = 2t t2 + 1, t2 −1 t2 + 1 ∈ C2(t) là một phép tham số hóa của đường tròn có phương trình x2 + y2 = 1. Ta có x(t) = 2t
t2 + 1 và y(t) =
t2 −1
t2 + 1, suy ra degx(t) = 2, degy(t) = 2, do đó deg(P(t)) = max{degx(t),degy(t)} = 2.
Định nghĩa 1.59. Phép tham số hóa hữu tỷ (x(t), y(t)) của đường cong đại số F(x, y) = 0 được gọi là thực sự (proper) nếu với hầu hết (x0, y0)
thuộc đường cong này trừ một số hữu hạn điểm, tồn tại duy nhất t0 ∈ C
sao cho (x(t0), y(t0)) = (x0, y0).
Định lý 1.60. Cho P(t) = (x(t), y(t)) là một phép tham số hóa hữu tỷ của đường cong đại số F(x, y) = 0. Khi đó P(t) là thực sự nếu và chỉ nếu
deg(P(t)) = max{degxF,degy F}.
Hơn nữa, nếu P(t) là thực sự và x(t) khác không thì degx(t) = degyF; tương tự nếu P(t) là thực sự và y(t) khác không thì degy(t) = degxF.
Định lý 1.61. Cho (x1(t), y1(t)) là một phép tham số hóa hữu tỷ thực sự của đường cong đại số F(x, y) = 0. Khi đó với bất kỳ phép tham số hóa hữu tỷ (x2(t), y2(t)) của F(x, y) = 0, tồn tại hàm hữu tỷ R(t) ∈ C(t) sao cho
Hơn nữa, nếu (x2(t), y2(t)) là thực sự thì R(t) = at+b
ct+d với a, b, c, d ∈ C
và ad−bc 6= 0.
Ví dụ 1.62. Xét đường cong đại số
F(x, y) =−4x2 + y−5 = 0
và các phép tham số hóa hữu tỷ P(t) = (x(t), y(t)) = 1 2t, 1 + 5t2 t2 ∈ C2(t), Q(t) = (x(t), y(t)) = t2 −1 t , 4t4 −3t2 + 4 t2 ∈ C2(t).
i) Ta có deg(P(t)) = 2 và max{degxF,degyF} = 2. Do đó P(t) là một phép tham số hóa hữu tỷ thực sự.
ii) Ta códeg(Q(t)) = 4 6= 2 = max{degxF,degyF}. Do đó Q(t) không phải là một phép tham số hóa hữu tỷ thực sự.
Trong trường hợp này, đặt R(t) = t
2(t2 −1), ta có P(R(t)) = Q(t). Chú ý 1.63. Các vấn đề sau đây về đường cong đại số hữu tỷ đều đã được giải quyết bằng các thuật toán, và được trình bày chi tiết trong [32].
1. Đặc trưng tính tham số hóa hữu tỷ được của đường cong thông qua giống của đường cong: Đường cong đại số F(x, y) = 0 là hữu tỷ khi và chỉ khi giống của nó bằng không.
2. Thuật toán tìm một phép tham số hóa hữu tỷ thực sự của đường cong hữu tỷ.
3. Nếu phép tham số hóa hữu tỷ là không thực sự thì ta có thể tham số hóa lại để được một phép tham số hóa thực sự.
Chương 2
Phép biến đổi tương đương trên các phương trình vi phân đại số cấp
một
Trong chương này, chúng tôi trình bày tổng quan về các phép biến đổi tương đương trên các phương trình vi phân đại số cấp một; và tập trung nghiên cứu phép biến đổi tương đương tương ứng với một phép biến đổi M¨obius. Chúng tôi đưa ra một tính chất bất biến về bậc tổng thể vi phân. Đây là một bất biến quan trọng mà chúng tôi sử dụng ở chương sau để đưa ra một chặn bậc mới cho nghiệm tổng quát đại số của phương trình vi phân đại số cấp một thuộc lớp autonom. Một số kết quả của chương này được tác giả đăng trong bài báo [6].
2.1 Phép biến đổi tương đương
Khi nghiên cứu các phương trình vi phân, điều cốt lõi là ta muốn biết liệu hai phương trình đã cho có thể biến đổi qua lại bằng một kiểu phép
đổi biến thích hợp. Trong trường hợp có một phép biến đổi như vậy ta nói hai phương trình là tương đương qua kiểu phép biến đổi đó.
Thông thường ta xét một tập các phép biến đổi tương đương sao cho chúng lập thành một nhóm đối với phép hợp thành các ánh xạ. Khi đó, tác động của nhóm các phép biến đổi tương đương này tạo ra một phép phân hoạch tập tất cả các phương trình vi phân thành các lớp tương đương. Việc giải một phương trình riêng lẻ trong lớp tương đương có thể được tổng quát hóa để giải toàn bộ các phương trình trong lớp tương đương đó. Cụ thể, ta xét các phép biến đổi điểm (point transformation) có dạng
x = φ(t, u), y = ψ(t, u),
trong đó φ, ψ là các hàm khả vi. Khi đó phương trình F(x, y, y0) = 0, với các biến độc lập và biến phụ thuộc tương ứng là x, y, được biến đổi thành phương trình G(t, u, u0) = 0 với các biến độc lập và biến phụ thuộc mới là t, u. Vấn đề đặt ra là với một tập nào đó các phương trình vi phân F(x, y, y0) = 0, các phép biến đổi điểm có thể xét có dạng như thế nào để phương trình biến đổi vẫn thuộc tập hợp đó?
Khi đề cập đến các vấn đề này, F. Schwarz đã trình bày các định nghĩa về nhóm bất biến cấu trúc, bất biến tuyệt đối, dạng chuẩn tắc hữu tỷ trong tài liệu [31] cho các phương trình vi phân với cấp tùy ý, chúng tôi trình bày lại các vấn đề đó cho các phương trình vi phân đại số cấp một.
Mệnh đề 2.1. Tập các phương trình Riccati
với ai ∈ C(x) với mọi i = 0,1,2, là ổn định qua các phép biến đổi x = t, y = a(t)u+b(t) c(t)u+d(t), với a, b, c, d ∈ C(t) và ad−bc 6= 0. Chứng minh. Ta có y0 = ad−bc (cu+d)2u0+ (a 0u+ b0)(cu+d)−(au+b)(c0u+ d0) (cu+d)2 . Suy ra phương trình Riccati đã cho được biến đổi thành
u0 = ˜a2(t)u2 + ˜a1(t)u+ ˜a0(t)
với các hệ số được xác định như sau
˜ a2 = 1 ad−bc(a2a 2 +a1ac+a0c2 + (ac0 −a0c)), ˜ a1 = 1 ad−bc(2a2ab+a1(ad+bc) + 2a0cd+ (ad 0−a0d) + (bc0 −b0c)), ˜ a0 = 1 ad−bc(a2b 2 + a1bd+a0d2 + (bd0 −b0d)). (2.1) Đây rõ ràng là một phương trình Riccati. Vậy tập hợp các phương trình Riccati là đóng dưới tác động các phép biến đổi trên.
Lập luận tương tự ta có ngay mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.2. Tập hợp các phương trình Abel loại một và loại hai
y0 = a3y3 +a2y2 +a1y +a0, y0 = a3y
3 +a2y2 +a1y +a0 y +b0
là ổn định qua các phép biến đổi
x = t, y = a(t)u+b(t)
c(t)u+d(t),
Nếu ta chỉ xét tập hợp các phương trình Abel loại một, tức là các phương trình dạng y0 = a3y3+a2y2+a1y+a0, thì tập hợp này là ổn định qua các phép biến đổi dạng x = t, y = a(t)u+b(t).
Tổng quát hơn, ta có thể xét tập các phương trình vi phân đại số cấp một tựa tuyến tính (quasilinear) dạng
y0 = R(x, y),
trong đó R(x, y) là một hàm hữu tỷ theo y với các hệ số phụ thuộc vào x. Trong tập hợp này chúng ta đã hạn chế điều kiện về bậc của đạo hàm luôn bằng 1. Một tập hợp khác lớn hơn bao gồm các phương trình vi phân đại số cấp một F(y, y0) = 0 trên C(x) sao cho đường cong đại số tương ứng F(y, w) = 0 có giống bằng 0, tức là đường cong hữu tỷ. Trong tập hợp này chúng ta không hạn chế lên bậc của đạo hàm mà hạn chế lên tính chất tham số hóa hữu tỷ được của đường cong đại số tương ứng.
Trong luận án này, chúng tôi xét các phương trình vi phân thường đại số (algebraic ordinary differential equations-AODEs) cấp mộtF(y, y0) = 0
trên một trường vi phân K, với K là một mở rộng hữu hạn của C(x); và nghiên cứu các nghiệm (tổng quát) đại số của chúng, từ đó đưa ra các thuật toán để tính toán tường minh một nghiệm như thế. Mỗi phương trình như vậy được liên kết với đường cong đại số xác định bởi phương trình F(y, w) = 0,tức là phương trình nhận được từ phương trình vi phân ban đầu bằng cách xem biến hàm và biến đạo hàm là độc lập với nhau. Do đó, chúng tôi xét các phép biến đổi giữa các phương trình vi phân sao cho chúng bảo toàn cấp của phương trình, bảo toàn lũy thừa cao nhất của đạo hàm, bảo toàn tính chất có nghiệm đại số (tổng quát), bảo toàn giống
của đường cong đại số tương ứng.
Khi xét các phương trình vi phân hữu tỷ y0 = R(x, y), P. Appell [1] đã xét các phép biến đổi tương đương có dạng
x = F(t), y(x) = P(t)u(t) +Q(t)
trong đó t và u(t) lần lượt là các biến độc lập và biến phụ thuộc mới, F, P và Q là các hàm tùy ý thỏa mãn F0 6= 0 và P 6= 0. Với các phép biến đổi tương đương như vậy một nghiệm đại số của phương trình này có thể tương ứng với một nghiệm không đại số của phương trình kia và ngược lại. Chẳng hạn, xét phép biến đổi x = et, y(x) = u(t). Khi đó nghiệm y(x) = x2, đại số trên C(x), tương ứng với nghiệm u(t) = e2t không đại số trên C(t).
Vì vậy, trong luận án này chúng tôi xét một nhóm khác các phép biến đổi có dạng
x = t, y(x) = a(x)w+b(x)
c(x)w+d(x), ad−bc 6= 0
và xét tác động của các phép biến đổi như vậy trên các phương trình vi phân đại số cấp một.
Khi đã xác định các phép biến đổi tương đương trên các phương trình vi phân được xét, vấn đề tiếp theo là xác định liệu hai phương trình đã cho có tương đương qua một phép biến đổi được xét hay không. Đây là bài toán về sự tương đương (equivalence problem). Một vấn đề tương tự là một phương trình đã cho có thuộc vào một lớp tương đương đã cho nào đó hay không (bài toán thành viên - membership problem).
trình vi phân dưới tác động của các phép biến đổi được xét. Định nghĩa sau về các bất biến được trình bày trong [31].
Định nghĩa 2.3. Cho F(x, y, y0) = 0 là một phương trình vi phân đại số cấp một với các hệ số a1, . . . , aN phụ thuộc vào x. Giả sử ˜a1, . . . ,˜aN là các hệ số của phương trình được biến đổi thành qua phép biến đổi đã xét. Một biểu thức Φ thỏa mãn
Φ(˜a1, . . . ,˜aN) = Φ(a1, . . . , aN)
được gọi là một bất biến của phương trình vi phân F(x, y, y0) = 0.
Một phương trình vi phân autonom là phương trình có tất cả các hệ số đều là hằng. Việc tìm nghiệm của một phương trình autonom thường là dễ hơn rất nhiều so với các phương trình không autonom. Do đó, một phương trình không autonom thường được biến đổi về dạng “gần autonom” nhất có thể.
Định nghĩa 2.4. Một dạng chuẩn tắc hữu tỷ (rational normal form) của một phương trình vi phân đại số là một phương trình với số các hệ số khác hằng là nhỏ nhất mà phương trình này có thể nhận được từ phương trình đã cho bằng một phép biến đổi theo biến phụ thuộc và biến độc lập.
Như vậy các phương trình vi phân autonom là dạng chuẩn tắc hữu tỷ của lớp tương đương autonom.
2.2 Phép biến đổi M¨obius
Trong phần này chúng tôi đưa ra tác động của các phép biến đổi M¨obius lên các phương trình vi phân đại số cấp một. Các kết quả trong phần này
được tác giả đăng trong bài báo [6].
Cho C(x) là trường vi phân các hàm hữu tỷ theo biến x với phép đạo hàm thông thường d
dx =
0. Ký hiệu K là một mở rộng trường hữu hạn của trường C(x). Khi đó có duy nhất một phép đạo hàm trên K mở rộng phép đạo hàm 0 để K trở thành một trường vi phân. Ta ký hiệu
AODE(1)K = {F(y, y0) = 0 | F ∈ K[y, w]}
là tập tất cả các phương trình vi phân đại số cấp một trên trường K. Một phép biến đổi M¨obius trên K là một hàm hữu tỷ có dạng
M(u) = au+b cu+d, trong đó a, b, c, d ∈ K và ad−bc 6= 0. Đặt ∂M(u) ∂x = (a0u+b0)(cu+ d)−(au+b)(c0u+d0) (cu+d)2 =(a 0c−ac0)u2 + (a0d−ad0 +b0c−bc0)u+ (b0d−bd0) (cu+d)2 =Au 2 +Bu+C (cu+d)2 , trong đó 0 ≤ degu(Au2 + Bu+ C) ≤ 2, A = a0c −ac0, B = a0d−ad0 + b0c−bc0, C = b0d−bd0 và ∂M(u) ∂u = ad−bc (cu+d)2. Lưu ý rằng A = 0 khi c = 0 hoặc a
c là hằng số.
Tương ứng với M(u) ta có một ánh xạ hữu tỷ ΦM : K2 99K K2 được định nghĩa bởi ΦM(u, v) = M(u),∂M(u) ∂x + ∂M(u) ∂u v .
Khi đó, ánh xạ đồng nhất Φ(u, v) = (u, v) thuộc dạng này (tương ứng với M(u) =u) và ΦM là một ánh xạ song hữu tỷ và nghịch đảo của nó là ánh xạ song hữu tỷ liên kết với M−1(u) = du−b
−cu+a, tức là Φ−M1(u, v) = M−1(u),∂M −1(u) ∂x + ∂M−1(u) ∂u v . Ta có ngay mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.5. Tập hợp GK(1) tất cả các phép biến đổi song hữu tỷ dạng
ΦM lập thành một nhóm đối với phép hợp thành các ánh xạ song hữu tỷ. Nhóm này đẳng cấu với nhóm các phép biến đổi M¨obius trên K.
Tiếp theo, chúng tôi xét một tác động của nhóm GK(1) lên tập hợp
AODE(1)K và khảo sát các lớp tương đương của các phương trình vi phân đại số cấp một, đặc biệt là lớp tương đương của các phương trình với hệ số hằng. Chú ý rằng qua phép nghịch đảo y 7→ 1
y, một phương trình vi phân với hệ số hằng được biến đổi thành một phương trình vi phân với hệ số hằng. Do đó khi xét các phương trình này ta xét chúng dưới tác động của các phép biến đổi M¨obius trên K với hệ số c 6= 0, tức là các phép biến đổi thực sự là một phân thức.
Để biểu diễn tác động của nhóm GK(1) lên tập hợp AODE(1)K , ta định nghĩabậc tổng thể vi phân (differential total degree) của một phần tử trong
AODE(1)K như sau.
Định nghĩa 2.6 (Bậc tổng thể vi phân của F). Cho F ∈ AODE(1)K và giả sử
trong đó m ∈ N∗, Ai ∈ K[y] với mọi i = 0, . . . , m, A0 6= 0. Số δF := max{2(m−i) + degyAi | i = 0, . . . , m}
được gọi là bậc tổng thể vi phân (differential total degree) của F.
Nhắc lại rằng bậc tổng thể (total degree) của F được định nghĩa bởi dF := max{(m−i) + degyAi | i = 0, . . . , m}.
Do đó, dF ≤ δF.
Với đa thức vi phân bất khả quy F(y, y0) = Q(x, y)y0 −P(x, y) ta có δF = max{2 + degQ,degP}. Đặc biệt, bậc tổng thể vi phân của đa thức vi phân Riccati y0 −A(x)y2 −B(x)y −C(x) bằng 2.
Bậc tổng thể vi phân cũng có tính chất thông thường của bậc tương ứng với phép nhân của các đa thức vi phân, cụ thể như sau.
Mệnh đề 2.7. Cho F, G ∈ AODE(1)K khác không. Khi đó δF·G = δF +δG. Chứng minh. Giả sửF = P i,jbijyiy0j vàG = P k,lcklyky0l thuộcAODE(1)K và khác không. Khi đó δF = max{2j+i | bij 6= 0}, δG = max{2l +k | ckl 6= 0}. Ta có F ·G = X i,j,k,l bijcklyi+ky0j+l. Do đó δF·G = max{2(j +l) +i+k | bijckl 6= 0} = max{(2j +i) + (2l +k) | bijckl 6= 0} =δF + δG. Mệnh đề được chứng minh.
Định nghĩa 2.8. Tác động của nhóm GK(1) lên tập hợp AODE(1)K được định nghĩa bởi
ΦM •F = (−cy +a)δF(F(ΦM−1(y, y0))), với mọiΦM ∈ GK(1) xác định bởi M(u) = au+b
cu+d và với mọi F ∈ AODE(1)K . Các tính chất sau được suy ra trực tiếp từ định nghĩa trên.
Mệnh đề 2.9. Ta có
1. ΦM •(ΦN •F) = ΦM◦N •F;