Trong chƣơng này, tôi trình bày tổng quan một số kết quả sau:
- Đƣa ra các thuộc tính cấu trúc mã – constacyclic có độ dài tùy ý trên với
bất kỳ .
- Cung cấp mã tự đối ngẫu trên vành chuỗi hữu hạn và vành
Galois .
- Khoảng cách Hamming của mã – constacyclic trên vành chuỗi hữu hạn là một chủ đề thú vị trong tƣơng lai.
KẾT LUẬN CHUNG VÀ KIẾN NGHỊ
Kết luận chung
Bài nghiên cứu về mã trên trƣờng hữu hạn, cụ thể là mã constacyclic
nghiệm lặp có độ dài trƣờng , mã và mã đối ngẫu
của chúng trên vành chuỗi hữu hạn. Các kết quả đạt đƣợc trong đề tài khóa luận tốt nghiệp này là tổng quan các kết quả sau:
1. Chỉ ra các tính chất cơ bản của trƣờng , phân loại các phần tử khả nghịch
của nó; Mô tả cấu trúc mã ; Tính
toán các đại lƣợng nhƣ số lƣợng từ mã, mã đối ngẫu cùng điều kiện để tồn tại mã tự đối ngẫu, công thức xác định khoảng cách Hamming.
2. Chỉ ra cấu trúc mã độ dài , đồng thời tính toán số các từ mã
và mô tả mã đối ngẫu .
3. Chỉ ta thuộc tính cấu trúc mã , mã đối ngẫu của nó trên vành chuỗi hữu hạn.
Kiến nghị
Trong thời gian tới, tôi mong muốn tiếp tục nghiên cứu các vấn đề sau:
1. Nghiên cứu mã độ dài trên trƣờng hữu hạn, cụ thể là
trƣờng và mã và có độ dài trên trƣờng .
2. Tiếp tục chỉ ra các tính chất của mã constacyclic và tính toán các đại lƣợng liên
quan nhƣ khoảng cách Hamming, lƣợng Hamming.
3. Tiếp tục nghiên cứu về điều kiện để mỗi mã tuyến tính là mã constacyclic
Tài liệu tham khảo
[1] M.C.V. Amarra, F.R. Nemenzo, On (1 − u)-cyclic codes over F pk + uF pk
, Appl. Math. Lett. 21 (2008) 1129–1133.
[2] S. D. Berman (1967), Semisimple cyclic and Abelian codes. II, Kibernetika (Kiev) 3, 21-30 (Russian). English translation: Cybernetics 3, 17-23.
[3] T. Blackford, Negacyclic codes over Z4 of even length, IEEE Trans. Inform. Theory 49 (2003) 1417–1424.
[4] T. Blackford, Cyclic codes over Z4 of oddly even length, in: International Workshop on Coding and Cryptography, WCC 2001, Discrete Appl. Math. 128 (2003) 27–46.
[5] A.R. Calderbank, N.J.A. Sloane, Modular and p-adic codes, Des. Codes Cryptogr. 6 (1995) 21–35.
[6] H.Q. Dinh, Negacyclic codes of length 2s over Galois rings, IEEE Trans. Inform. Theory 51 (2005) 4252–4262.
[7] H. Q. Dinh (2007), Complete distances of all negacyclic codes of length over , IEEE Trans. Inform. Theory 53, 147-161.
[8] H.Q. Dinh, On the linear ordering of some classes of negacyclic and cyclic codes and their distance distributions, Finite Fields Appl. 14 (2008) 22–40.
[9] H.Q. Dinh, Constacyclic codes of length 2s over Galois extension rings of F2 +
uF2 , IEEE Trans. Inform. Theory 55 (2009)
1730–1740.
[10] H. Q. Dinh (2009), On linear codes over finite rings and modules, East West J. of Mathematics, Vol.11, No 1, 1 - 149.
[11] H.Q. Dinh, Constacyclic codes of length ps over Fpm + uFpm , J. Algebra 324 (2010) 940–950.
[12] H.Q. Dinh, S.R. López-Permouth, Cyclic and negacyclic codes over finite chain rings, IEEE Trans. Inform. Theory 50 (2004) 1728–1744.
[13] H.Q. Dinh, Repeate-root constacyclic codes of length , Finite Fields and Their
[14] G. Falkner, B. Kowol, W. Heise, E. Zehendner (1979), On the existence of cyclic optimal codes, Atti Sem. Mat. Fis. Univ. Modena 28, 326-341.
[15] W.C. Huffman, V. Pless, Fundamentals of Error - Correcting Codes, Cambridge University Press, Cambridge, 2003.
[16] S. Jiman, P. Udomkavanich, The Gray image of codes over finite chain rings, Int. J. Contemp. Math. Sci. 5 (2010) 449–458.
[17] X. Kai, S. Zhu, P. Li, (1 + λu)-constacyclic codes over F p [u]/ um , J. Franklin Inst. 347 (2010) 751–762.
[18] X. Kai, S. Zhu, Negacyclic self-dual codes over finite chain rings, Des. Codes Cryptogr. 62 (2012) 161–174.
[19] P. Kanwar, S.R. López-Permouth, Cyclic codes over the integers modulo pm , Finite Fields Appl. 3 (1997) 334–352.
[20] J. L. Massey, D. J. Costello and J. Justesen (1973), Polynomial weights and code constructions, IEEE Trans. Information Theory 19, 101-110.
[21] B. R. McDonald (1974), Finite rings with identity, Pure and Ap- plied Mathematics, Vol. 28, Marcel Dekker, New York.
[22] F.J. MacWilliams, N.J.A. Sloane, The Theory of Error-Correcting Codes, 10th impression, North-Holland, Amsterdam, 1998.
[23] A.A. Nechaev, Kerdock code in a cyclic form, Diskr. Math. (USSR) 1 (1989) 123–139 (in Russian); English translation in: Discrete Math. Appl. 1 (1991) 365–384. [24] V. Pless and W. C. Huffman (1998), "Handbook of coding theory", Elsevier, Amsterdam.
[25] J.F. Qian, L.N. Zhang, S.-X. Zhu, (1 + u)-constacyclic and cyclic codes over F 2 + uF 2 , Appl. Math. Lett. 19 (2006) 820–823.
[26] R. M. Roth and G. Seroussi (1986), On cyclic MDS codes of length q over GF(q), IEEE Trans. Inform. Theory 32, 284-285.
[29] L. Rudolf, N. Harald and P. M. Cohn (2003), Finite fields, Ency- clopedia of mathematics and its applications, Cambridge university press.
Discrete Appl. Math. 154 (2006) 413–419.
[29] H. Tapia-Recillas, G. Vega, Some constacyclic codes over Z 2k and binary quasi-cyclic codes, Discrete Appl. Math. 128 (2003) 305-316.
[30] Yonglin Cao, On constacylic codes over finite chain rings, Finite Fields and Their Applications 24 (2013) 124-135.