– nghiệm
3.3.1. Nghiệm chính tắc
Các nghiệm u không chỉ thỏa mãn định lý cơ bản (C) u C([0, T); Hs),
mà còn thỏa mãn điều kiện phụ u s, ví dụ (A) u Lr((0, T); Lq, s), 1 q + 2 mr = 1 2, 1 2 – 1 m < 1 q 1 2,
với một vài sự biến đổi khi m = 1. Ta sẽ gọi nghiệm như vậy là Hs
– nghiệm chính tắc.
Định lý 3.1.1 nói rằng dƣới những điều kiện nhẹ chắc chắn với bất kỳ thuộc Hs, tồn tại một nghiệm chính tắc duy nhất Hs
– nghiệm u với u(0) = trên một khoảng [0, T). Định lý 2.1 kéo theo rằng một nghiệm u là chính tắc nếu nó thỏa mãn (C) và (A) với một cặp đơn (q, r) (2, ) nhƣ đã chỉ ra. Các nghiệm xây dựng trong [3] cũng là chính tắc.
3.3.2. Định lý duy nhất cho Hs
- nghiệm
Định lý 3.3.2. Dưới những giả thiết của Định lý 3.1.1, giả sử v là một nghiệm của (NLS) sao cho
v s ,
([0, T); H ) rloc((0, ); q s)
C L T L
với một cặp đơn (q, r) (2, ) như trong (A). Khi đó v là nghiệm chính tắc duy nhất (kết quả này là không thú vị nếu vấn đề này được biết như là đặt chỉnh vô điều kiện chẳng hạn như trường hợp (3.1.5)).
Để chứng minh ta cần một Bổ đề về sự phụ thuộc liên tục của nghiệm chính tắc vào các dữ kiện ban đầu.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn - 49 -
Bổ đề Dưới các giả thiết của Định lý 3.1.1, cho u là Hs
– nghiệm chính tắc của (NLS) trong khoảng đóng hữu hạn [0, T].
Cho {n} là dãy thỏa mãn n → = u(0) trong Hs. Khi đó có T' > 0 sao cho nghiệm chính tắc un với un(0) = n tồn tại trong [0, T'] thỏa mãn với n lớn, và un → u trong C([0, T']; Hs'
) khi n → , với bất kỳ s' < s. Nếu s = 0 hoặc 1, ta có thể lấy T' = T, s' = s.
Chứng minh
Điều này đã đƣợc chứng minh trong [11, 12] với s = 0 và 1, và trong [3] cho s tổng :Quát "lũy thừa đơn" các thế vị F.
Để ý rằng ngoài các trƣờng hợp chung, dòng chú giải sau trong trƣờng hợp (ib) phần chứng minh Định lý 3.1.1–2 là đủ. Nghiệm u đƣợc xây dựng bởi Định lý ánh xạ co, trong đó, không gian với metric của L(Pk) đã đƣợc sử dụng. Vì vậy, dễ thấy rằng n → trong Hs kéo theo un tồn tại trong và un → u trong L(Pk) nếu || Pk|| là nhỏ đều theo n (tất cả trên các khoảng (0, T')). Nhƣng điều này là đúng nếu T' là nhỏ và n là lớn, vì ||n Pk|| là nhỏ với T' nhỏ và ||
(n – ) Pk|| c||n – ||Hs. Điều này đã chứng minh sự phụ thuộc liên tục trong L(Pk) – metric vào (0, T') với T' đủ nhỏ.
Với những lập luận đã sử dụng trong chứng minh tồn tại, dễ thấy rằng
những kết quả giống nhƣ vậy đúng trong L(Pk) đƣợc thay thế bởi L(B) = C([0, T']; L2) (có thể với T' đƣợc làm nhỏ đi một chút).
Tuy nhiên, do un theo cách xây dựng là bị chặn đều trong C([0, T']; Hs). Nó kéo theo un → u đạt đƣợc trong C([0, T']; Hs') với bất kỳ s' < s.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn - 50 - Trong Định lý 3.1.1 và Định lý 2.1 (áp dụng với giá trị ban đầu > 0), v là nghiệm chính tắc trong [, T – ) với > 0 nhỏ, vì v ,
((0, ); ) r q s loc L T L kéo theo v Lr((, T – ); Lq, s). Nếu ta đặt v(t) = v(t + ) với 0 < < T 4 thì v() là nghiệm chính tắc trong [0, T 2] với v(0) = v().
Cho u là Hs – nghiệm chính tắc với u(0) = v(0); ta sẽ chỉ ra rằng v = u. Vì v(0) = v() → v(0) = u(0) trong Hs khi → 0 nên nó kéo theo bởi Bổ đề là v → u trong C([0, T']; L2) với T' > 0. Vì v → v trong C([0, T
2]; H
s
), mặt khác, ta đã chứng minh đƣợc rằng v = u trong [0, T' T
2 ] nên suy ra v = u.
Mở rộng kết quả tới tất cả t [0, T) là tầm thƣờng, do định lý duy nhất 2.1 đƣợc áp dụng cho T > 0. ■
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn - 51 - Trong luận văn này chúng tôi đã trình bày về phƣơng trình Schrodinger phi tuyến (NLS) với một thế tổng :Quát F(u), với nó không có một quy luật bảo toàn chung nào cả. Giả thiết chính là tốc độ tăng của hàm F(u) nhƣ |u|k
khi |u| lớn, thêm vào đó là tính trơn của F :Phụ thuộc vào vấn đề xem xét. Định lý duy nhất đƣợc chứng minh với giả thiết về tính trơn nhỏ nhất có thể của F và u và sử dụng năm công thức từ CT1 đến CT5, điều đó rất hữu ích cho việc bớt đi những điều kiện phụ trong nhiều trƣờng hợp. Một định lý về sự tồn tại nghiệm địa phƣơng trong không gian Hs
đã đƣợc chứng minh sử dụng một không gian phụ trợ thuộc loại không gian Lebesgue (chứ không phải là không gian Besov); ở đây, giả thiết chính là k 1 + 4
2 m s nếu s < 2 m ; k < nếu s = 2 m (không cần giả thiết s > 2 m
). Hơn nữa,, định lý tồn tại tổng :Quát đã đƣợc chứng minh cho Hs – nghiệm toàn cục với điều kiện ban đầu nhỏ, với điều kiện thêm vào chính là F(u) = O(|u|1 + 4/m). Kết quả là đúng với tất cả các giá trị s 0 nếu m 6, Tuy nhiên, vẫn còn có một vài hạn chế nếu m 7 và nếu F(u) không phải là đa thức của u và u .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn - 52 - [1] J. Bergh and J. Löfström (1976), Interpolation Spaces, Springer, Berlin.
[2] H.Brezis (1994), Remarks on the preceding paper by M. Ben–Artzi "Global solutions of two – dimensional Navier–Stokes and Euler equations", Arch. Rational Mech. Anal. 128, 359–360.
[3] T.Cazenave and F. B. Weissler (1990), The Cauchy problem for the critical nonlinear Schrödinger equation in Hs, Nonliner Analysis 14, 807–836.
[4] F. M Christ and M. I. Weinstein (1991), Dispersion of small amplitude solutions of generalized Korteweg–de Vries equation, J. Funct. Anal 100, 87–109.
[5] R. R. Coifman and Y.Meyer (1986), Nonliear harmonic analysis, operator theory and P.D.E., Beijing Lectures in Harmonic Analysis, Princeton, pp. 3–45. [6] Y. Giga, T. Miyakawa and H. Osada (1988), Two–dimensional Navier– Stokes flow with measures as initial velocity, Arch. Rational Mech. Anal. 104, 223–250.
[7] J. Ginibre and G. Velo (1984), Théorie de la diffusion dans l'énergie pour une classe d'equations de Schrödinger non linéaires, C. R. Acad. Sci. Paris 298, 137–141.
[8] J. Ginibre and G. Velo (1985), Global Cauchy prblem for the nonlinear Schrödinger equation revisited, Ann. Inst. Henri Poincaré, analyse non linéaires 2, 309–327.
[9] A. Gulisashvili and M. A. Kon (1994), Smoothness of Schrödinger semigroups and eigenfunctions, International Math. Res. Notices, 193–199. [10] T. Kato (1984), Strong Lp solutions of the Navier–Stokes equation in m
, with applications to weak solutions, Math. Z. 187, 471–480.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn - 53 - [11] T. Kato (1987), On nonlinear Schrödinger equations, Ann. Inst. Henri Poincaré, Phys. Théor. 46, 113–129.
[12] T. Kato (1989), Nonlinear Schrödinger equations, Lecture Notes in Physics, Vol. 345, Springer, Berlin, pp. 218–263.
[13]. G.Staffilani (1995), The initial value problem for some dispersive differential equations, Dissertation, University of Chicago.
[14]. Y. Tsutsumi (1987), L2–solutions for nonlinear Schrödinger equations and nonliear groups, Funkcial Ekvac. 30, 115–125.
[15] Y. Tsutsumi (1987), Global strong solutions for nonlinear Schrödinger equations, Nonlinear Analysis 11, 1143–1154.
[16] T. Kato (1995), On nonlinear Schrödinger equations, II. Hs-solutions and unconditional well-posedness, Journal D'analyse Mathesmatique, Vol. 67, 281–305.