4. Những nội dung nghiên cứu chính:
1.4.2.1. Phương pháp của Popescu và Kichner
Đầu tiên A.C. Popescu và H. Farid [15,16] trình bày phương pháp kiểm tra xem ảnh A có bị lấy mẫu lại hay không bằng cách sử dụng ma trận hệ số D kích thước (2×M+1) ( 2×M+1) với M là hệ số, trong [14] gọi D là bộ dự báo (the prediction). Từ D xác định giá trị dự báo tại (i,j) theo công thức:
Hiệu giá trị dự báo và giá trị cho trước:
gọi là sai số dự báo. Tiếp đó, tính Pij=P(aij=bij) là xác suất để bij bằng
aij. Các xác suất này tỷ lệ nghịch với sai số dự báo, nghĩa là eij càng nhỏ thì Pij
càng lớn và ngược lại. Ma trận P gồm các phần tử Pij gọi là bản đồ xác suất (p-map). Các tác giả cũng chỉ ra rằng nếu A là ảnh bị lấy mẫu lại (resampled), thì tồn tại bộ dự báo D, sao cho các phần tử Pij xấp xỉ bằng 1 xuất hiện một
cách tuần hoàn. Để xác định D và P như vậy, Popescu và Farid sử dụng
phương pháp EM (Expectation Maximization). Tính tuần hoàn của P được
nhận ra bằng cách sử dụng phổ của phép biến đổi Fourier rời rạc (DFT- Discrete Fourier Transform) đối với P. Trên phổ xuất hiện các điểm sáng
nhọn (peaks) đối xứng xung quanh tâm là dấu hiệu chứng tỏ ảnh (hay vùng ảnh) đã bị lấy mẫu lại. Độ phức tạp của thuật toán xác định D và P trong [15] là lớn vì phải thực hiện các vòng lặp xác định hai ma trận này. Trong [14], Kirchner chỉ ra rằng D đóng vai trò không cao, nên để giảm thời gian tính
toán, Kirchner đã chọn trước một ma trận hệ số D và tính ma trận bản đồ xác suất P theo D được chọn. Tuy nhiên, cả hai phương pháp [14] và [15] đều dựa
trên sự quan sát các điểm sáng nhọn nên khó xác định được vùng giả mạo, vì vậy tính hiệu quả vẫn còn rất hạn chế.