jAxnk −→0, khi n−→ ∞.
(2.33) Vì dãy {xn} bị chặn nên tồn tại một dãy con {xnk} ⊂ {xn} sao cho xnk * bx.
Do tính nửa liên tục dưới yếu của hàm lồi qj và (2.33) ta thu được
qj(Abx)≤ lim k−→∞infqj(Axnk)≤0. Khi đó Abx∈Qj, j = 1,2, . . . , r, hay Abx∈ ∩r j=1Qj. Đặt unk =xnk−λnkOpnk(xnk) ta có kunk −xnkk=λnkkOpnk(xnk)k ≤ 4pnk(xnk) kOpnk(xnk)k −→0, khi k−→ ∞. (2.34) Do kunk−pk ≤ kxnk −pk. Theo Bổ đề 1.2 ta có t X i=1 ωikPCnk i (unk)−unk||2≤ ||unk−p||2− t X i=1 ωi||PCnk i (unk)−p||2 =||xnk −p||2− ||xnk+1−p||2 −→0, khi k −→ ∞. (2.35) Do đó với mỗi i∈ {1,2, . . . , t} ta có k(I−PCnk i )(unk)k −→0, khi k −→ ∞. (2.36) Chú ý rằng dưới vi phân∂ci bị chặn trên các tập bị chặn, theo (2.34) và (2.36) ta biết rằng
ci(xnk)≤Dξnk, xnk−PCnk i (unk)
≤ kξnk
i k ||xnk−unk||+||unk −PCnk
i (unk||
−→0, khi k−→ ∞, (2.37) Từ tính nửa liên tục dưới yếu của hàm lồi ci ta thu được
ci(bx)≤ lim
k−→∞infci(xnk)≤0.
Suy ra bx ∈ Ci, i = 1,2, . . . , t. Do đó ta có thể áp dụng Bổ đề 1.5 cho K := Ω ta nhận được dãy lặp {xn} hội tụ yếu tới một nghiệm của bài toán (MSSFP). Do đó ta có điều phải chứng minh.
Kết luận
Luận văn đã trình bày lại một cách khá chi tiết và hệ thống về các vấn đề sau:
• Một số tính chất đặc trưng của không gian Hilbert, ánh xạ không giãn và nửa nhóm ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert;
• Các kết quả của Wen và các cộng sự trong tài liệu [7] về các phương pháp lặp xoay vòng và phương pháp lặp đồng thời giải bài toán chấp nhận tách đa tập trong không gian Hilbert.