Chomlà một số nguyên dương lớn hơn 1.
Định nghĩa 3.3.1. (a) Phân số tối giản0< a/b <1được gọi là có tính chấtm-Midy
nếua/b =0.A1· · ·Am có chu kỳm·k, ở đây mỗiAicókchữ số vàA1+· · ·+Am =
10k−1.
(b) Phân số tối giản0 < a/b < 1được gọi là có tính chấtm-khốinếu nếu a/b =
0.A1· · ·Am có chu kỳ m·k, ở đây mỗi Aicókchữ số và A1+· · ·+Am chia hết cho
Chú ý 3.3.2. (i) Hiển nhiên tính chất m-Midy suy ra tính chấtm-khối.
(ii) Theo mục trước ta thấy tính chất2-khối tương đương với tính chất 2-Midy. Nói chung, đối vớim ≥3thì tính chấtm-khối không suy ra tính chấtm-Midy. Ví dụ
3
7 =0.428571
có tính chất3-khối: 42+85+71=198 chia hết cho99, nhưng không có tính chất 3-Midy. (iii) Phân số tối giản hoàn toàn tuần hoàn0<a/b <1, với3- b, luôn có tính chất
m-khối, vớim=`(b), tức là nếua/b=0.a1· · ·ak thì9| a1+· · ·+ak. Thật vậy, ta có
a
b =0.a1· · ·ak =
a1· · ·ak 10k−1.
Suy rab·(a1· · ·ak) = a(10k−1). Ta suy ra9| 10k−1| b·(a1· · ·ak). Vì3- b, nên ta suy ra9 là ước của số a1· · ·ak. Từ tiêu chuẩn chia hết cho 9, ta suy ra a1+· · ·+ak
cũng chia hết cho 9.
Một số kết quả trong mục trước cho 2-khối có thể được mở rộng lên chom-khối.
Mệnh đề 3.3.3. Cho trước số nguyên dươngmvà số nguyên dươngbvớigcd(b, 10) =1. Giả sửordb(10) = m·k. Cho số nguyên dươngavới0<a<bvàgcd(a,b). Khi đó phân
số tối giảna/bcó tính chấtm-khối nếu và chỉ nếub| 10
mk−1 10k−1 .
Chứng minh. Vìordb(10) = mknên phân số hoàn toàn tuần hoàna/bcó chu kỳmk. Ta viếta/b =0.A1A2· · ·Am, ở đây mỗi Ailà một số cókchữ số. Khi đó
a b = A1A2· · ·Am 10mk−1 = 10k(m−1)A1+10k(m−2)A2+· · ·+Am 10mk−1 . Do đó a b · 10mk−1 10k−1 = 10k(m−1)A1+10k(m−2)A2+· · ·+Am 10k−1 = 10k(m−1)−1 10k−1 A1+ 10k(m−2)−1 10k−1 A2+· · ·+ 10k−1 10k−1Am−1 + A1+A2+· · ·+Am 10k−1 .
Vì10k(m−i)−1chia hết cho10k−1với mọi1≤i<m, nên ta suy ra
a/bcó tính chấtm-khối⇔10k−1 | A1+· · ·+Am ⇔ a b · 10mk−1 10k−1 là số nguyên ⇔ b| a· 10 mk−1 10k−1 ⇔ b| 10 mk−1 k− (vìgcd(a,b) = 1).
Ta có ngay hệ quả sau nói rằng tính chấtm-khối không phụ thuộc vào tử sốacủa phân số tối giảna/b.
Hệ quả 3.3.4. Cho trước số nguyên dươngb với gcd(b, 10) = 1. Các khẳng định sau là tương đương.
(i) Phân số1/bcó tính chấtm-khối.
(ii) Phân sốa/bcó tính chấtm-khối vớianào đó mà0<a <bvàgcd(a,b) =1. (iii) Phân sốa/bcó tính chấtm-khối với mọi0<a <bvàgcd(a,b) =1.
Hệ quả 3.3.5. Cho trước số nguyên dươngm>1và số nguyên dươngbvớigcd(b, 10) =
1. Giả sửordb(10) = m·k. Nếu gcd(b, 10k−1) = 1 thì 1/b có tính chất m-khối. Nói riêng, nếublà số nguyên tố lớn hơn 5 thì1/bcó tính chấtm-khối.
Chứng minh. Vìordb(10) = mknên phân số hoàn toàn tuần hoàna/bcó chu kỳmk. Ta viếta/b =0.A1A2· · ·Am, ở đây mỗi Ailà một số cókchữ số. Khi đó
a b =
A1A2· · ·Am 10mk−1 .
Ta suy rab·A1A2· · ·Am = a·(10mk−1). Vìgcd(a,b) = 1nênb | 10mk−1. Lại do
gcd(b, 10k−1) = 1 nên b chia hết 10
mk−1
10k−1 . Theo Mệnh đề 3.3.3, 1/b có tính chất
m-khối.
Bây giờ ta giả sửb = pnguyên tố lớn hơn 5. Ta sẽ chứng minhgcd(p, 10k−1) =
1. Giả sử ngược lại, p | 10k−1. Ta suy ra m·k = ordp(10) | k, vô lý. Như vậy
gcd(p, 10k−1) = 1và1/pcó tính chấtm-khối.
Ví dụ 3.3.6. Trong ví dụ này chúng ta chỉ tập trung vào tính chấtm-khối vớim >2, vì tính chất 2-khối đã được nghiên cứu khá kỹ ở mục trước.
Với p =13, phân số 1 13 =0.076923có tính chất 3-khối, 6-khối 07+69+23=99; 0+7+6+9+2+3 =27. Với p = 17, phân số 1 17 =0.0588235294117647với chu kỳ `(17) = 6có tính chất 3-khối, 6-khối: 07+69+23=99; 0+7+6+9+2+3 =27.
Với p = 19, phân số 1 19 =0.052631578947368421với chu kỳ`(19) = 18, có tính chấtm-khối vớim=3, 6, 9, 18: 052631+578947+368421=999999; 052+631+578+947+368+421=2997 =3·999; 05+26+31+57+89+47+36+84+21 =396=4·99; 0+5+2+6+3+1+5+7+8+9+4+7+3+6+8+4+2+1=81.
Hệ quả 3.3.7. Cho trước số nguyên dươngm>1và số nguyên dươngbvớigcd(b, 10) =
1. Giả sửordb(10) = m·k, vớiknguyên dương. Khi đó, nếu với mọi ước nguyên tố pcủa
b,ordp(10)không là ước củak, thì1/bcó tính chấtm-khối.
Chứng minh. Theo Mệnh đề 3.3.3, ta cần chứng minh rằngbchia hếtNm−1+Nm−2+
· · ·+N+1, ở đây N = 10k. Ta có Nm = 10mk ≡ 1 (modb). Do vậyb | Nm−1 = (N−1)(Nm−1+Nm−2+· · ·+N+1).
Ta xét p là một ước nguyên tố bất kỳ củab và gọi pi là lũy thừa cao nhất của p
mà là ước củab. Vìkkhông chia hết choordp(10), nênN = 10k 6≡ 1 (mod p). Như vậygcd(p,N−1) = 1. Kết hợp với pi | b | (N−1)(Nm−1+Nm−2+· · ·+N+1), ta suy rapi | (Nm−1+Nm−2+· · ·+N+1). Điều này đúng với mọi ước nguyên tố
p củab, nên ta suy ra b | Nm−1+Nm−2+· · ·+N+1, và do vậy 1/b có tính chất
m-khối.
Ví dụ 3.3.8. (1) Xétb=91=7·13. Ta có`(7) =6,`(13) = 6và`(91) =6 =3·2. Ta có`(7) -2và`(13) -2. Do vậy theo hệ quả trên1/91có tính chất 3-khối. Thực tế,
1 91 =0.010989, và01+09+89 =99. (2) Xétb =77=7·11. Ta có`(7) = 6,`(11) = 2và`(77) = 6=3·2. Ta có`(11)| 2 và phân số 1 77 =0.012987
không có tính chất 3-khối: 01+29+87=117 không chia hết cho 99.
Định lý sau có thể xem là một tượng tự của Định lý Midy cho trường hợp chu kỳ của phân số dạng1/p(pnguyên tố) chia hết cho 3.
Định lý 3.3.9(3k-tương tự của định lý Midy). Choplà số nguyên tố và giả sử khai triển thập phân của1/pcó chu kỳ3k, và viết
1
ở đây là mỗi khối A,B,Ccók-chữ số. Khi đóA+B+C =10k−1.
Chứng minh. Theo Hệ quả 3.3.5, A+B+C
10k−1 là một số nguyên dương. Vì mỗiA,B,C ≤ 10k−1(và không thể cùng bằng10k−1), nên ta có A+B+C 10k−1 =1, (3.3) hoặc A+B+C 10k−1 =2. (3.4) Ta giả sử A+B+C 10k−1 =2.
Trường hợp 1: A =0. Trong trường hợp này ta cóB+C =2(10k−1). Ta suy ra
B = C = 10k−1(vì B,C ≤ 10k−1vì chúng không thể vượt quá độ dài k-chữ số). Ta có 1 p =0.ABC = ABC 103k−1 = 10kB+C 103k−1 = 10k(10k−1) +10k−1 103k−1 = (10k+1)(10k−1) (10k−1)(102k+10k+1) = 10k+1 102k+10k+1. Do đó p = 102k+10k+1 10k+1 =10 k+ 1 10k+1.
Điều này là mâu thuẫn vì plà số nguyên nhưng 1
10k+1 không là số nguyên.
Trường hợp 2: A6=0. Điều này nghĩa là A≥1. Ta có 1 p =0.ABC= ABC 103k−1 = 102kA+10kB+C 103k−1 .
Suy ra103k > 103k−1 = 102kpA+10kpB+pC > 102kpA. Do vậy pA < 10k. Như vậyA < 10k p . Kết hợp vớiB ≤10 k−1, ta có C=2(10k−1)−(A+B) >2(10k−1)− 10 k p +10 k−1 ! =10k−10 k p −1.
Do đó
10kp−10k−p<Cp≤(10k−1)p. (3.5)
Mặt khác
Cp+1=103k−102kpA−10kpB=10km,
ở đâym=102k−10kpA−pB. Thay vào (3.5), ta được
10kp−10k−p <10km−1≤(10k−1)p. Do đó p−1− p−1 10k <m≤ p− p−1 10k . Nhận xét rằng vìpA <10k vàA ≥1nên p <10k. Do đó p−1 10k < 1, và từ bất đẳng trên ta suy ra p−2 <m< p.
Như vậym= p−1. Điều này có nghĩa làCp+1 =10k(p−1), hay tương đương,
Cp=10kp−10k+1.
Từ đẳng thức này, ta suy ra10k+1=10kp−Cpchia hết chop. Mặt khác
m=102k−10kpA−pB = p−1.
Ta suy ra102k+1=10kpA+pA−pchia hết chop. Như vậy2=102k+1−(10k− 1)(10k+1)cũng chia hết cho p, vô lý vì plà số nguyên tố khác 2.
Như vậy ta không thể có A+B+C = 2(10k−1). Do vậy A+B+C = 10k− 1.
Ví dụ 3.3.10. (1) Vớip=31, phân số1/31=0.0.032258064516129, có chu kỳ`(31) =
15và 03225+80645+16129=99999. (2) Với p=43, phân số 1 43 =0.023255813953488372093, có chu kỳ`(43) = 21và 0232558+1395348+8372093=9999999.
Ta kết thúc chương này bằng ví dụ sau.
Ví dụ 3.3.11. Giả sử một bạn học sinh chép (từ trang wolframalpha.com) khai triển
thập phân của phân số1/211như sau
1/211=0.004739336492790995260663507109.
Biết rằng bạn học sinh này chép sai đúng một chữ số. Hãy tìm vị trí chữ số bị sai cũng như giá trị đúng của nó.
Ta có thể trả lời câu hỏi trên như sau. Số 211 là nguyên tố và theo khai triển thập phân của1/211 ở trên, ta thấy`(211) = 30. Phân số 1/211 có tính chất 2-Midy và 3-Midy. Ta có
004739336492790+995260663507109 =999999999999899.
Giá trị này sai lệch với giá trị chính xác (theo tính chất 2-Midy) là
999999999999999−999999999999899 =100
Như vậy chữ số bị sai sẽ nằm ở vị trí ở thứ hàng trăm ở một trong hai số hạng ở tổng trên (và giá trị bị sai này bé hơn 1 đơn vị so với giá trị đúng). Tức là số bị sai ở vị trí thứ 13 hoặc thứ 28 trong dãy tuần hoàn của phân số.
Mặt khác, ta có
0047393364+9279099526+0663507109=9989999999.
Giá trị này sai lệch với giá trị chính xác (theo tính chất 3-Midy) là
9999999999−9989999999=10000000
Như vậy chữ số bị sai sẽ nằm ở vị trí ở thứ hàng mười triệu ở một trong ba số hạng ở tổng trên (và giá trị bị sai này bé hơn 1 đơn vị so với giá trị đúng). Tức là số bị sai ở vị trí thứ 3, hoặc thứ 13, hoặc thứ 23 trong dãy tuần hoàn của phân số.
Kết hợp với phần trên ta thấy số bị sai ở ví trí thứ mười ba, số này đang là số 7 và số đúng phải là 8, và khai triển thập phân của1/211là
Kết luận
Luận văn đã trình bày những vấn đề chính sau đây.
• Trình bày về đồng dư, định lý Euler, cấp của số nguyên modulon.
• Trình bày một số tính chất và chu kỳ của phần số tuần hoàn.
Tài liệu tham khảo
[1] Ginsberg B. D. (2004), "Midy’s (nearly) secret theorem - an extension after 165 years",College Math. J.,35, pp.26-30.
[2] Hardy G. H and Wright E. M. (2008),An introduction to the theory of numbers, 6th ed., Oxford University Press, Oxford.
[3] Leavitt W. G. (1967), "A theorem on repeating decimals",Amer. Math. Monthly,
74, pp. 669-673.
[4] Leavitt W. G. (1984), "Repeating decimals",College Math. J.,15, pp. 299-308.
[5] Lyons C. (2016), "The secret life of1/n: A journey far beyond the decimal point",
The Mathematics Enthusiast,Vol. 1, pp. 189-216.
[6] Martin H. W. (2007), "Generalization of Midy’s theorem on repeating decimals",
Integers: Electronic Journal of Combinatorial Number Theory,7, # A03, pp. 1-7. [7] Rosen K. H. (2005), Elementary number theory and its applications, Pear-
son/Addison Wesley.
[8] Ross K. A. (2010), "Repeating decimals: a period piece", Math. Mag. , 83, pp. 33-45.