2.3.1 Các khái niệm
Thuật toán xấp xỉ là các thuật toán tìm lời giải xấp xỉ cho các bài toán tối ưu hóa. Thuật toán xấp xỉ thường được sử dụng cho các bài toán NP - khó, hoặc các bài toán có thuật toán đa thức nhưng quá chậm cho dữ liệu lớn [1].
Người ta cho rằng ngày nay máy tính với tốc độ rất lớn, không cần quan tâm nhiều tới thuật toán nhanh nhưng với sự kiểm chứng sau đây: Bài toán xử lý với n đối tượng, có 3 thuật toán với 3 mức phức tạp khác nhau, sau 1 giờ xử lý sẽ chịu 3 hậu quả khác nhau.
Thuật toán Độ phức tạp Xử lý/1 giờ
A O(n) 3,6 triệu đối tượng
B O(nlog2n) 0,2 triệu đối tượng
27
Trong khi đó nhiều bài toán có ý nghĩa thực tế lại thuộc lớp các bài toán NPC và rất quan trọng. Nếu một bài toán là NPC ta ắt không tìm một thuật toán thời gian đa thức. Vì vậy, có hai cách tiếp cận để có thể khắc phục tính NPC.
1. Nếu dữ liệu đầu vào thực tế là nhỏ thì một thuật toán có thời gian thực hiện hàm mũ có thể hoàn toàn thoả mãn.
2. Tìm các giải pháp gần tối ưu trong thời gian đa thức.
* Một thuật toán trả về các kết qủa gần tối ưu được gọi là một thuật toán xấp xỉ.
Ta có các khái niệm sau đây:
Thuật toán tối ưu nhanh: Là thuật toán tìm nghiệm tối ưu, nhưng nhanh (độ phức tạp thời gian là đa thức).
Thuật toán tối ưu chậm: Là thuật toán tìm nghiệm tối ưu nhưng chậm (độ phức tạp thời gian là hàm mũ).
Thuật toán xấp xỉ nhanh: Là các thuật toán tìm ra nghiệm gần đúng của bài toán với độ chính xác nào đó nhưng đủ nhanh. Thuật toán như vậy còn được gọi là “Thuật toán xấp xỉ đa thức”.
Ví dụ 13: Bài toán phủ đỉnh tối ưu
- Input: Cho đồ thị vô hướng G = (V, E).
- Output: Tìm phủ đỉnh tối ưu (phủ đỉnh có kích thước cực tiểu).
Bài toán VC tìm ra phủ đỉnh có kích cỡ cực tiểu là NPC. Do đó khó có thể tìm ra 1 phủ đỉnh tối ưu nhưng không quá khó để tìm ra một phủ đỉnh gần tối ưu.
Sau đây là một thuật toán xấp xỉ cho kết qủa là một phủ đỉnh có kích cỡ không lớn hơn 2 lần kích cỡ một phủ đỉnh tối ưu trong thời gian đa thức:
Procedure Approx _VertexCover;
Begin
C := ; {C - tập phủ gần tối ưu} E := Tập cạnh của đồ thị G; While E do
Begin
28
C := C {u, v}; {Kết nạp hai đỉnh u, v vào phủ đỉnh C}; Gỡ bỏ khỏi E mọi cạnh liên thuộc với u hoặc v;
End; Return(C); End;
Hình 2.2 Tìm phủ đỉnh tối ưu
Kết quả: Phủ đỉnh C ={b, c, d, e, f, g} gần tối ưu có kích thước 6. (phủ đỉnh tối ưu {b, e, d} có kích thước 3)