Định nghĩa 2.1.1. Không gian metric (X, d) được gọi là compact bị chặn nếu mọi dãy bị chặn trong X đều chứa một dãy con hội tụ.
Nhận xét. Mọi không gian metric compact đều là không gian metric compact bị chặn. Điều ngược lại không đúng. Ví dụ sau minh họa cho khẳng định đó.
Ví dụ 2.1.2. Xét X = R với metric tự nhiên. Khi đó X là không gian metric compact bị chặn nhưng không là không gian metric compact.
Định nghĩa 2.1.3. Giả sử (X, d) là không gian metric và ánh xạT : X →
X. Với mỗi x ∈ X, ta kí hiệu
O(x;∞) ={x, T x, ..., Tnx, ...}.
(i) Tập O(x;∞) được gọi là quỹ đạo của ánh xạ T.
(ii) Không gian metric (X, d) được gọi là T- đầy đủ theo quỹ đạo nếu mọi dãy Cauchy trong O(x;∞) đều hội tụ trong X.
(iii) Không gian metric (X, d) được gọi là T- compact theo quỹ đạo nếu mọi dãy trong O(x;∞) đều chứa một dãy con hội tụ trong X.
(iv) Ánh xạ T : X →X được gọi là liên tục theo quỹ đạo nếu với mỗi
x ∈ X và dãy {xn} ⊂ O(x;∞) hội tụ tới v ∈ X thì T xn → T v.
Nhận xét. (1) Mọi không gian metric đầy đủ đều là T- đầy đủ theo quỹ đạo. Điều ngược lại không đúng.
(2) Tính T- compact theo quỹ đạo của không gian metric (X, d) phụ thuộc vào ánh xạ T.
(3) Mọi không gian metric T- compact theo quỹ đạo chưa chắc là không gian đầy đủ.
(4) Mọi không gian metric compact bị chặn chưa chắc là T- compact theo quỹ đạo.
(5) Tính compact bị chặn và tính T- compact theo quỹ đạo là hoàn toàn khác nhau.
Ví dụ 2.1.4. Giả sử X là không gian metric không đầy đủ và x0 ∈ X cho trước. Xét ánh xạ T : X → X xác định bởi T x = x0 với mọi x ∈ X. Khi đó X là T- đầy đủ theo quỹ đạo.
Ví dụ 2.1.5. Xét X = [0,+∞) với metric cảm sinh bởi metric tự nhiên trên R. Xét các ánh xạ T1, T2 : X → X bởi công thức
T1x = x
và
T2x = 2x
với mọix ∈ X và n≥ 1. Khi đó (X, d) làT1- compact theo quỹ đạo nhưng không là T2- compact theo quỹ đạo.
Ví dụ 2.1.6. Xét X = [0,1) với metric cảm sinh bởi metric tự nhiên trên
R. Xét các ánh xạ T : X →X bởi công thức
T x = x
2 với mọi x ∈ X.
Khi đó(X, d) là T- compact theo quỹ đạo nhưng không là không gian đầy đủ.
Ví dụ 2.1.7. Xét X = [0,+∞) với metric cảm sinh bởi metric tự nhiên trên R. Xét các ánh xạ T : X → X bởi công thức
T x = 2x với mọi x ∈ X.
Khi đó (X, d) là compact bị chặn nhưng không là T- compact theo quỹ đạo.