3 Khối đa diện
3.3 Định lý về khối đa diện
Định lý 3.3.1. (Định lý A.Đ.Alechxandrop).
Nếu tất cả các mặt của khối đa diện lồi mà có tâm đối xứng thì khối đa diện đó có tâm đối xứng.
Hình 3.9
Bổ đề 3.3.3. Đa giác lồi mà có tâm đối xứng thì có chẵn cạnh và mỗi cạnh song song và bằng một cạnh nào đó của đa giác.
Chứng minh.
Giả sử đa giác D có tâm đối xứng là O, xét mặt cạnh của D, giả sử cạnh đó là A1A2 thì tồn tại một cạnh A′1A′2, A′1A′2 là đối xứng của A1A2
qua O.
Do đó theo tính chất đối xứng tâm thì A1A2 song song và bằng A
′
1A′2, suy ra số cạnh của đa giác phải là chẵn. ∎
Bổ đề 3.3.4. (Định lý Mincopxiky).
Đa giác lồiD được ghép bởi các đa giác có tâm đối xứngD1, D2, . . . ,Dn thì chính D là đa giác đó có tâm đối xứng.
Chứng minh.
Giả sử đa giác D được ghép bởi các đa giác con D1, D2, . . . ,Dn, các đa giác con này có tâm đối xứng là O1, O2, . . . ,On.
Xét cạnh AB của D, cạnh AB cũng là cạnh của một hoặc một số hữu hạn đa giác con (Hình 3.10), AB là cạnh của hai đa giác con D1, D2. Vì D1 có tâm đối xứng là O1, D2 có tâm đối xứng là O2. Như vậy AM là một cạnh của D1, M B là một cạnh của D2. Ảnh của AM qua phép đối
Hình 3.10
xứng tâm O1 là M1A1, ảnh của M B qua phép đối xứng tâm O2 là M2B2. Đến lượt M1A1 lại là cạnh của đa giác D3 và D4, D5, . . . nào đó, và ảnh của M1A1 qua O3 và O4, O5, . . . là các đoạn M3A3, M4A4, M5A5, . . . cứ lập luận như vậy, cuối cùng ảnh của AB qua một số phép đối xứng tâm sẽ là đoạn EF;EF song song và bằng AB (Theo bổ đề (3.3.3)).
Vì AB song song và bằng EF, nên EF là ảnh của AB qua một phép đối xứng tâm O; ở đây O là tâm của hình bình hành ABEF.
Ta xét tiếp đến cạnh BC của đa giác D, lập luận như trên ảnh của
BC là F G và F G song song và bằngBC. Dễ thấy O là tâm đối xứng biến
BC thành F G, cứ lập luận như vậy ta suy ra D là đa giác đó có tâm đối
xứng là O. ∎
Bổ đề 3.3.5. Hình chiếu của một đa giác có tâm đối xứng là một đa giác có tâm đối xứng .(Trường hợp đặc biệt hình chiếu của đa giác có thể là đoạn thẳng).
Chứng minh.
Giả sử đa giác có tâm đối xứng là I ta xét hai điểm P và Q là đối xứng với nhau qua I. (Hình 3.11) Hình chiếu của P, I, Q là P’, I’, Q’ . Ta cũng có I’ là trung điểm của P’Q’, suy ra hình chiếu của đa giác có tâm đối xứng cũng là đa giác có tâm đối xứng. ∎
Chứng minh
Giả sử đa diện E có các mặt là f1, f2, f3, . . . ,fn,và các mặt này có tâm đối xứng là O1, O2, . . . ,On. Ta xét mặt f1; f1 có một cạnh là α1, vì
f1 có tâm đối xứng là O1 cho nên f1 có cạnh α2 đối xứng qua tâm O1 của
α1, suy ra α1 song song và bằng α2, α2 là giao tuyến của f1 với f2. Mặt khác f2 cũng có tâm đối xứng là O2, do đó f2 có cạnh α3; α3 song song và
Hình 3.11
bằng α2. Cạnh α3 là giao tuyến của f2 với f3; f3 có tâm đối xứng là O3, do đó f3 còn có cạnh α4 song song và bằng α3, . . . Cứ như vậy ta được các mặt f1, f2, f3, . . . ,fk,. f1 cắt f2 sinh ra α2. f2 cắt f3 sinh ra α3. ... fk−1 cắt fk sinh ra αk. fk cắt f1 sinh ra α1. Chú ý rằng α1, α2, α3, . . . ,αk
là các đoạn thẳng song song và bằng nhau, các mặt f1, f2, f3, . . . ,fk,
song song với α1 .
Ta xem diện V là “ Giả lăng trụ “ với các mặt bên là f1, f2, f3, . . . ,fk,
các đường α1, α2, α3, . . . ,αk là các đường sinh. Các mặt còn lại ghép với nhau tạo thành ”Đáy trên” và ”Đáy dưới”.
Ta thực hiện phép chiếu vuông góc theo phương α1 lên mặt phẳng
α1. Sau phép chiếu đó các mặt f1, f2, f3, . . . ,fk, biến thành các đoạn thẳng, các đoạn này nối tiếp nhau tạo thành đa giác lồi , ta ký hiệu là D; các cạnh α1, α2, α3, . . . ,αk biến thành các đỉnh của đa giác. Các mặt ”Đáy trên” của đa diện V biến thành các đa giác con, các đa giác này ghép thành đa giác D. Theo giả thiết thì đa giác “ Đáy trên” là các đa giác có tâm đối xứng, theo bổ đề (3.3.3) thì các đa giác con của D cũng có tâm đối xứng. Theo bổ đề (3.3.3) thì đa giác D cũng có tâm đối xứng, vì D là đa giác có tâm đối xứng, cho nên D lồi có chẵn cạnh ( k- chẵn), các cạnh đôi một song song với nhau, suy ra các mặt f1, f2, f3, . . . ,fk, cũng đôi một song song với nhau.
Ta xét hai mặt fi,và fj song song. Mặt fi có hai cạnh αi vàαi+1; mặt
fj có hai cạnh αj và αj+1, ta có αi ∥αi+1 ∥=αj ∥= αj+1. Ta rút ra kết luận : Mặt fi có hai cạnh song song và bằng nhau thì mặt fj cũng có hai cạnh song song và bằng nhau.
Nên ta chiếu đa diện V theo phương khác với phương α1 ta cũng nhận được kết quả mặt fe, và fs có các cạnh song song và bằng nhau.
KẾT LUẬN: Mặt fi và fj có các cạnh tương ứng song song và bằng nhau, mặt fi có tâm đối xứng là Oi, mặt fj có tâm đối xứng là Oj, suy ra trung điểm O của OiOj là tâm đối xứng biến fi thành fj, và định lý được chứng minh. Vậy O chính là tâm đối xứng của đa diện V.
Bàn luận :
Định lý còn đúng không trong trường hợp đa diện không phải là đa diện lồi. lấy ví dụ
Định lý đảo có đúng không, lấy ví dụ phản chứng.
Định nghĩa 3.3.6. Đa diện đều là hình đa diện lồi có các tính chất sau: i) Các mặt là những giác đều có số cạnh là m (m ≥ 3).
ii) Mỗi đỉnh là đỉnh chung của n cạnh (n ≥ 3).
Mỗi hình đa diện đều như vậy gọi là đa diện loại m, n.
Ví dụ: Tứ diện đều là đa diện đều loại 3, 3, hình lập phương là đa diện đều loại 4, 3.
Định lý 3.3.7. Có không quá 5 loại hình đa diện đều. Chứng minh.
Ta kí hiệu p, a, f lần lượt là số đỉnh, số cạnh, số mặt của đa diện đều loại m, n thì ta luôn có:
n.p= 2a=m.f (3.7)
Thật vậy ta có p đỉnh, mỗi đỉnh là đỉnh chung của m cạnh, vậy có mp cạnh nếu mỗi cạnh được tính hai lần (Vì mỗi cạnh có hai đỉnh), tức là
mp= 2a. Tương tự, ta có f mặt, mỗi mặt có n cạnh, vậy có n.a cạnh nếu mỗi cạnh được tính hai lần (vì mỗi cạnh là cạnh chung cho hai mặt). Tức là n.f =2a. Từ (3.7) và với công thức Euler: p˘a+f =2 ta suy ra:
p 1 n = a1 2 = f1 m = 1p−a+f n− 12 + m1 = 2 1 n+ m1 − 12 = 4mn 2m+2n−mn.
Loại 3, 3 gọi là hình tứ diện đều, có 4 đỉnh, 6 cạnh, 4 mặt. Loại 4, 3 gọi là hình lập phương, có 8 đỉnh, 12 cạnh, 6 mặt. Loại 3, 4 gọi là hình tám mặt đều, có 6 đỉnh, 12 cạnh, 8 mặt. Loại 5, 3 gọi là hình 12 mặt đều, có 20 đỉnh, 30 cạnh, 12 mặt. Loại 3, 5 gọi là hình 20 mặt đều, có 12 đỉnh, 30 cạnh, 20 mặt.
Khối tứ diện đều
Hình 3.12: Hình tứ diện đều
Khối tứ diện đều: là khối Platon với ba mặt hình tam giác được bố trí xung quanh mỗi đỉnh.
Số đỉnh Số cạnh Số mặt (m, n)
4 6 4 (3, 3)
Khối lập phương
Khối lập phương là khối Platon với ba mặt hình vuông được sắp xếp xung quanh mỗi đỉnh.
Hình 3.13: Khối lập phương
Số đỉnh Số cạnh Số mặt (m, n) 8 12 6 (4, 3)
Hình 3.14: Khối tám mặt đều
Khối tám mặt đều
Khối tám mặt đều: là khối Platon với bốn mặt hình tam giác được bố trí xung quanh mỗi đỉnh.
Số đỉnh Số cạnh Số mặt (m, n) 6 12 8 (3, 4)
Khối mười hai mặt đều: là khối Platon với ba mặt ngũ giác được sắp xếp xung quanh mỗi đỉnh.
Hình 3.15: Khối mười hai mặt đều
Khối hai mươi mặt đều
Hình 3.16: Khối hai mươi mặt đều
Khối hai mươi mặt đều: là khối Platon với năm khuôn mặt hình tam giác được bố trí xung quanh mỗi đỉnh..
Số đỉnh Số cạnh Số mặt (m, n) 12 30 20 (3, 5)
∎
Định nghĩa 3.3.8. Hình đa diện nửa đều là hình đa diện tạo bởi 2 hoặc 3 dạng đa giác có độ dài các cạnh bằng nhau được sắp xếp theo cùng một cách và cùng một thứ tự xung quang mỗi đỉnh.(Hình 3.17)
Hình 3.17: Đa diện nửa đều