2 Một số ứng dụng của hàm đơn điệu ma trận
2.2.2 Bất đẳng thức Power-Stømer
Bất đẳng thức Power-Størmer ([11, Theorem 11.19]) khẳng định
T r(X +Y − |X −Y|) ≤ 2T r(XtY1−t),
với mọi ma trận xác định dương X, Y ∈ Mn. Đây là bất đẳng thức quan trọng để chứng minh cận trên của biên Chernoff, trong lý thuyết lượng tử. Bất đẳng thức này được chứng minh lần đầu tiên trong [10], sử dụng biểu diễn tích phân của hàm st. Sau đó, Ozawa đã đưa ra chứng minh đơn giản hơn, sử dụng hàm h(s) =st(s ∈ [0,+∞)) là đơn điệu toán tử với t∈ [0,1] trong [8, Proposition 1.1]. Gần đây, Ogata trong [11] đã mở rộng bất đẳng thức này với chuẩn đại số von Neumann.
Nếu hàm h(s) = st được thay bằng hàm đơn điệu toán tử khác (lớp này được nghiên cứu trong [6]), thì T r(X +Y − |X −Y|) có cận trên bé hơn so với trong kiểm định giả thuyết lượng tử.
Trong mục này, ta sẽ trình bày lại một số kết quả đã công bố và đưa ra một số ví dụ minh họa.
Bổ đề 2.2.4. [5, Theorem 2.4] Cho f là hàm liên tục trên [0,∞). Nếu f là
Mn chúng ta có
C∗f(A)C ≤f(C∗AC).
Mệnh đề 2.2.5. [9, Proposition 2.1] Cho f là hàm liên tục trên [0,∞). Nếu f là 2n-đơn điệu, thì hàm g(t) = t
f(t) là n-đơn điệu trên [0,∞). Chứng minh. Cho A, B là các ma trận nửa xác định dương trong Mn sao cho 0 < A ≤B. Đặt C = B−12A12, khi đó
C∗BC =(B−12A12)∗B(B−12A12) =(A12)∗(B−12)∗B(B−12A12) =A12B−12BB−12A12
=A12A12 = A.
Suy ra kCk ≤ 1. Từ f là hàm 2n-đơn điệu, −f thoả mãn bất đẳng thức Jensen từ Bổ đề 2.2.4, ta có −f(A) = −f(C∗BC) ≤ −C∗f(B)C −f(A) ≤ −A12B−21f(B)B−12A12 −A−12f(A)A−12 ≤ −B−12f(B)B−12 −Af(A) ≤ −Bf(B). Mặt khác, vì −1
t là đơn điệu toán tử (theo Ví dụ 1.3.6), nên
−1
(−f(t)/t) =
t
f(t) là n-đơn điệu. Mệnh đề được chứng minh.
Hệ quả 2.2.6. Điều kiện 2n-đơn điệu của hàm f là điều kiện cần để bảo đảm n-đơn điệu của hàm g.
Ví dụ 2.2.7. Chúng ta biết rằng t3 là hàm đơn điệu, nhưng không 2-đơn điệu. Trong trường hợp này hàm g(t) = t
t3 = 1
Hệ quả 2.2.8. Chof là2n-đơn điệu, liên tục trên[0,∞)sao chof((0,∞)) ⊂
(0,∞), vàglà hàm Borel trên[0,∞)xác định bởig(t) =
t f(t) (t ∈ (0,∞)) 0 (t = 0) . Khi đó với cặp ma trận nửa xác định dương A, B ∈ Mn bất kỳ sao cho
A ≤ B thì g(A) ≤ g(B) .
Chứng minh. Giả sửf là2n-đơn điệu, liên tục trên[0,∞)sao chof((0,∞)) ⊂
(0,∞), từ Mệnh đề 2.2.5 suy ra g là n-đơn điệu trên (0,∞).
Từg(A+ε) ≤g(B+ε)vớiε > 0, mà g liên tục ta suy rag(A) ≤ g(B). Hệ quả được chứng minh.
Định lý 2.2.9 (Bất đẳng thức Power-Stømer). Giả sử A > 0 và B > 0 là ma trận xác định dương trên Cn. Khi đó
T r(A) + T r(B)−T r(|A−B|) ≤2T r(A1−sBs), (2.3)
với mọi s ∈ [0,1].
Chứng minh. Cho A, B là các ma trận xác định dương trên Cn. Với toán tử A−B ta ký hiệu P = (A+ B)+, Q = (A+B)− là phần dương và âm tương ứng. Ta có A−B = P −Q và |A−B| = P +Q, A−P = B−Q và B +P = A+Q. Suy ra T r(A) +T r(B)−T r(|A−B|) = 2T r(A) +T r(P). Để chứng minh 2.3 ta chứng minh T r(A)−T r(AsB1−s) ≤ T r(P).
Ta lại có B +P ≥ B và B + P = A+ Q ≥ A. Vì hàm f(t) = t1−s là đơn điệu toán tử với s ∈ [0,1] nên ta có
f(A) ≤ f(B +P), hay A1−s ≤(B+ P)1−s. Vì A1−s ≤(B + P)1−s nên theo Mệnh đề 1.1.2, ta có (As/2)∗A1−s(As/2) ≤(As/2)∗(B+ P)1−s(As/2), do đó, As/2A1−sAs/2 ≤As/2(B +P)1−sAs/2.
Theo (ii) trong Mệnh đề 2.2.3 suy ra
T r(As/2A1−sAs/2) ≤T r(As/2(B+ P)1−sAs/2). (2.4) Lập luận tương tự với As ≤ (B + P)s (vì hàm f(t) = ts là hàm đơn điệu toán tử với s ∈ [0,1]) theo Mệnh đề 1.1.2 ta có
[(B + P)1−s −B1−s]s/2As[(B +P)1−s −B1−s]s/2
≤ [(B +P)1−s −B1−s]s/2(B +P)s[(B +P)1−s −B1−s]s/2.
hay
As/2[(B +P)1−s−B1−s]s/2As/2
≤ (B +P)s/2[(B +P)1−s−B1−s]s/2(B +P)s/2.
Theo (ii) trong Mệnh đề 2.2.3, ta lại có
T r(As/2[(B+ P)1−s −B1−s]s/2As/2)
≤ T r((B +P)s/2[(B +P)1−s −B1−s]s/2(B +P)s/2).
Lập luận tương tự với Bs ≤ (B +P)s ta được T r((B+ P)s/2B1−s(B +P)s/2) ≥T r(B). (2.6) Do đó, ta có T r(A)−T r(AsB1−s) =T r(As/2A1−sAs/2)−T r(As/2B1−sAs/2) ( theo (2.4)) ≤T r(As/2(B +P)1−sAs/2)−T r(As/2B1−sAs/2 =T r(As/2[(B +P)1−s−B1−s]As/2) ( theo (2.5)) ≤T r((B+ P)s/2[(B +P)1−s−B1−s](B +P)s/2) =T r((B+ P)s/2(B +P)1−s(B +P)s/2) −T r((B+ P)s/2B1−s(B +P)s/2) ( theo (2.6)) ≤T r(B +P)−T r(B) =T r(P). Định lý được chứng minh.
Kết quả sau đây là một trường hợp tổng quát của Định lý 2.2.9. Hệ quả 2.2.10. [9] Giả sửf là2n-đơn điệu trên[0,∞) sao chof((0,∞)) ⊂
(0,∞). Thì với mọi ma trận nửa xác định dương A, B ∈ Mn ta có
T r(A+B − |A−B|) ≤ 2T r(f(A)g(B)), (2.7) trong đó g(x) = t f(t) (t ∈ (0,∞)) 0 (t = 0) .
Chứng minh. Cho A, B là các ma trận nửa xác định dương bất kỳ trong Mn. Do tính chất tuyến tính của hàm vết ta có
Giả sử hàm f(t) = ts và g(t) = t1−s với s ∈ [0,1]. Vì hàm f và g là đơn điệu toán tử với f(0,∞) ⊂ (0,∞) nên chúng thỏa mãn giả thiết.
Áp dụng Định lý 2.2.9 với hàm f và g như trên ta có điều phải chứng minh.
Nhận xét 2.2.11. (i) Cho các ma trận nửa xác định dương A, B ∈ Mn
sao cho A ≤ B, thì bất đẳng thức (2.7) trở thành
T r(A) ≤ T r(f(A)g(B)).
(ii) Theo Mệnh đề 2.2.5, 2n-đơn điệu của hàm f là điều kiện cần để bảo đảm bất đẳng thức (2.7) đúng.
Ví dụ 2.2.12. Ta đã biết f(t) = t3 không là 2-đơn điệu. Khi đó, với
a, b ∈ (0,∞) bất kỳ, bất đẳng thức (2.7) tương đương với
a ≤f(a)12g(b)f(a)12, nghĩa là, a f(a) ≤ b f(b). Vì t f(t) = 1
t2 không là1-đơn điệu, bất đẳng thức trên không thể xảy ra. Vậy 2n-đơn điệu của hàm f là điều kiện cần để bảo đảm bất đẳng thức (2.7) đúng.
Kết luận
Trong luận văn này chúng tôi đã thu được những kết quả sau
1. Trình bày các kiến thức cơ sở về toán tử và ma trận, trình bày kiến thức chung về hàm đơn điệu ma trận và đưa ra một số ví dụ minh họa cho lớp hàm này.
2. Trình bày một số ứng dụng của hàm đơn điệu ma trận
• Ứng dụng trong Bất đẳng thức Jensen đồng thời thấy được mối quan hệ giữa hàm đơn điệu ma trận và hàm lồi ma trận.
• Ứng dụng trong Bất đẳng thức Power-Stømer và đưa ra được một vài hệ quả tiêu biểu.
Ngoài ra, luận văn đã đưa ra một số ví dụ cụ thể minh họa cho các ứng dụng của lớp hàm này.
Tài liệu tham khảo
[1] C.L¨owner (1934), Uber monotone matrix funktionen¨ , Math, Z., 38 , 177-216.
[2] Dénes Petz (2008), Quantum Information Theory and Quantum Statis- tics, Springer, Berlin.
[3] F.Hiai (2010), Matrix Analysis: Matrix Monotone Functions, Matrix Means and Majorization, Interdiscip. Inform. Sci., 16 (2),139-248. [4] R.Bhatia (1996), Matrix Analysis, Springer-Verlag, New York.
[5] F.Hasen, G.K.Pedersen (1982), Jensen’s inequality for operators and L¨owner’s theorem, Math.Ann., 258 ,229-241.
[6] F. Hansen, G. Ji, J. Tomiyama (2004), Gaps between classes of matrix monotone functions, Bull. London Math. Soc. 36, 53–58.
[7] R. Bhatia (2007), Positive Definite Matrices, Princeton University Press.
[8] V. Jaksic, Y. Ogata, C.-A. Pillet, R. Seiringer, Quantum hypothesis testing and non-equilibrium statistical mechanics, arXiv:1109.3804v1 [math-ph].
[9] Đinh Trung Hoa, Hiroyuki Osaka, Hồ Minh Toàn (2013),Linear Algebra and its Applications 438, 242-249.
[10] K.M.R. Audenaert, J. Calsamiglia, L.I. Masanes, R. Munoz-Tapia, A. Acin, E. Bagan, F. Verstraete (2007), The quantum Chernoff bound, Phys. Rev. Lett. 98, 16050.
[11] Y. Ogata (2011), A generalization of Powers–Størmer isnequality, Lett. Math. Phys. 97 (3), 339-346.
