Sự tồn tại điểm bất động của tự ánh xạ xác định trên tập sắp thứ tự kiểu đã biết đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết xấp xỉ sắp thứ tự. Vấn đề này
đã được khởi đầu vào năm 2004 bởi Ran và Reurings [12], và được nghiên cứu sâu hơn bởi Nieto và Rodriguez-Lopez [11].
Định lý 2.2.1. Cho ( , , , )X d K là không gian kiểu metric sắp thứ tự sao cho
d là liên tục. Cho f g X, : X sao cho f X( ) g X( ), g X( ) là không gian
con compact theo dãy của X, f là ánh xạ bị trội và g là ánh xạ trội. Giả sử d fx fy( , ) d gx gy( , ) d gx fx( , ) d gy fy( , )
d gx fy( , ) Ld gy fx( , )
K (2.10)
với mọi phần tử có thể so sánh được x y, X gx, gy , ở đó 2 1
1
r và L 0. Nếu X có tính chất so sánh giới hạn theo dãy (2.11),
thì f và g có điểm trùng nhau trong X. Hơn nữa, nếu L 1
K , thì
tập hợp các điểm trùng nhau của f và g là sắp thứ tự tốt khi và chỉ khi f và
g có một và chỉ một điểm trùng nhau.
Chứng minh. Cho x0 X là điểm tùy ý và xn là dãy xác định như sau gxn 1 fxn với mọi n {0}.
Việc này có thể thực hiện được vì miền giá trị của g chứa miền giá trị của f . Nếu d gx gx( n, n 1) 0 với n {0} nào đó, thì gxn gxn 1 fxn, do đó
n
x là điểm trùng nhau của f và g. Giả sử d gx gx( n, n 1) 0 với mọi
{0}
n . Sử dụng tính chất của các ánh xạ f và g , ta có
xn 1 gxn 1 fxn xn gxn với mọi n {0}.
Khi đó xn và xn 1 là có thể so sánh được với mọi n {0}. Vì
1( n, n ) 0 ( n, n ) 0
n
gx là dãy giảm. Vì g X( ) là không gian con compact theo dãy củaX, nên ta có thể giả sử rằng gxn gu với một u X nào đó. Bây giờ, từ điều kiện (2.11) suy ra gu gxn với mọi n {0}. Ta chứng minh rằng fu gu. Thật vậy, giả sử fu gu, khi đó theo giả thiết (2.10), ta có
( , ) lim ( n 1, ) lim ( n, ) n n d gu fu d gx fu d fx fu lim [ ( n, ) ( n, n) ( , ) n d gx gu d gx fx d gu fu d gx fu( n, ) Ld gu fx( , n)] K d gu fu( , ) d gu fu( , ) K d gu fu( , ) d gu fu( , ) K .
Mâu thuẫn, do đó gu fu. Vì vậy, u là điểm trùng của f và g.
Bây giờ, giả sử tập hợp tất cả các điểm trùng nhau của f và g là sắp thứ tự tốt. Ta sẽ chứng minh điểm trùng nhau của f và g là duy nhất. Giả sử ngược lại rằng tồn tại điểm v X sao cho fv gv với gu gv. Giả sử gu gv, khi đó u gu gv fv v và u v, là có thể so sánh được. Bây giờ, áp dụng điều kiện (2.10), ta có d fu fv( , ) d gu gv( , ) d gu fu( , ) d gv fv( , ) d gu fv( , ) Ld gv fu( , ) K L d fu fv( , ) d fu fv( , ) K .
Mâu thuẫn và do đó gu gv. Kết quả tương tự xảy ra nếu gv gu. Vì vậy
fu gu z là điểm trùng nhau duy nhất của f và g trong X. Ngược lại, nếu f và g có một và chỉ một điểm trùng nhau, thì tập hợp tất cả các điểm trùng nhau của f và g chỉ gồm một phần tử là sắp thứ tự tốt.
Định lý 2.2.2. Thêm vào giả thiết của Định lý 2.2.1 các điều kiện sau đây:
)
ii Nếu {gxn} là dãy giảm hội tụ đến gu với u X nào đó, thì ggu gu;
)
iii f và g là tương thích yếu; tức là chúng giao hoán tại những điểm trùng nhau. ([3])
Khi đó f và g có điểm bất động chung trong X. Hơn nữa f và g có điểm bất động chung duy nhất trong X nếu tập hợp tất cả các điểm trùng nhau của
f và g được sắp thứ tự tốt.
Chứng minh. Cho x0 X là điểm bất kỳ và dãy { }xn được xác định như sau gxn 1 fxn với mọi n {0}.
Tiến hành như trong chứng minh Định lý 2.2.1, ta suy ra {gxn} là dãy giảm hội tụ đến gu với u Xnào đó và fu gu z. Theo điều kiện ii), ta có
gz gu. Vì các ánh xạ f và g là tương thích yếu nên ta nhận được
fz fgu gfu gz. Nếu gz gu z, thì z là điểm bất động chung của f
và g. Nếu gz gu, thì u z, là có thể so sánh được và áp dụng điều kiện (2.10), ta có gu gz. Vì vậy z là điểm bất động chung của f và g . Nếu tập hợp tất cả các điểm trùng nhau của f và g là sắp thứ tự tốt, thì f và g có điểm trùng nhau duy nhất và do đó z là điểm bất động chung duy nhất của f
và g.