2 MỘT SỐ ÁP DỤNG
2.3 Trường số và đa thức tối tiểu của một phần tử nguyên thủy
tử nguyên thủy
Định nghĩa 2.3.1. Một mở rộng trường hữu hạn của tường số hữu tỷ Q được gọi là một trường số.
Định lý 2.3.2. (Định lý phần tử nguyên thủy) Cho K là một trường số bậc n. Khi đó tồn tại một phần tử θ ∈K sao cho K =Q(θ).
Một phần tử θ như vậy được gọi là một phần tử nguyên thủy của trường số K. Đa thức tối tiểu của nó là một đa thức bất khả quy bậc n.
Ví dụ 2.3.3. ChoK =Q i,√
2,√
3,√
5
là một mở rộng bậc 16 củaQ. Phép chứng minh định lý phần tử nguyên thủy cho ta một thuật toán tìm một phần tửθ sao cho
K =Q(θ) và được xác định bởi đa thức
P(X) = X16−72X14+ 1932X12−22552X10+ 154038X8−582456X6
+1440748X4−1486824X2 + 3721041.
Vì đa thức P(X) được tìm thông qua việc tính toán một số kết thức của hai đa thức nên các hệ số của P(X) thường rất lớn. Do đó việc tính toán trên trường
K = Q[X]/hP (X)i là không thuận tiện. Trong phần này chúng tôi trình bày một thuật toán rút gọn đa thức (polynomial reduction algorithm) dựa vào việc áp dụng thuật toán LLL để tìm một đa “thức đơn giản hơn” xác định trườngK. Chẳng hạn, trong ví dụ này ta nhận được đa thức tối tiểuPr(X) =X16−7X12+ 48X8−7X4+ 1,
và K =Q[X]/hP
r(X)i.
Một vấn đề khác nữa là xác định các trường con của trường K =Q(θ) xác định bởi đa thức bất khả quyP(X). Thuật toán rút gọn đa thức cũng chỉ ra các đa thức xác định một số trường con của K mặc dù không phải là tất cả các trường con của
K.
Định nghĩa 2.3.4. ChoP ∈C[X]và αi là các nghiệm phức của củaP (lặp lại với bội). Chúng ta định nghĩa cỡ (size) của P như sau
size(P) =X
i
Đây không phải là chuẩn trong C[X] theo nghĩa toán học thông thường nhưng nó dường như là hợp lý để nói rằng nếu cỡ của một đa thức không lớn thì đa thức đó là đơn giản và các hệ số của nó là không quá lớn.
Chính xác hơn, người ta có thể chỉ ra rằng nếu P =
n P k=0 akXk là đa thức đơn và S =size(P) thì |an−k| ≤ n k ! S n k/2 .
Do đó cỡ của P liên quan đến cỡ của
max|an−k|2/k.
Lý do ta lấy định nghĩa này thay thế cho một định nghĩa Lp trên các hệ số là chúng ta có thể ứng dụng thuật toán LLL để tìm một đa thức có cỡ nhỏ xác định cũng trường số K như chúng ta đã xác định bởi đa thức đã cho P, trong khi đó chúng ta lại không biết làm thế nào để đạt được điều này đối với các chuẩn trên các hệ số.
Phương pháp này là như sau. Cho K là một trường số xác định bởi một đa thức đơn bất khả quyP ∈Z[X]. Trước hết chúng ta tính một cơ sở nguyênω1, . . . , ωncủa vành các số nguyên của K bằng cách sử dụng thuật toán Posht-Zassenhaus (Thuật toán 6.1.8 trong [1]).
Ký hiệu σj là n-đẳng cấu từ K vào C. Nếu chúng ta đặt
x=
n
X
i=1 xiωi,
trong đóxi ∈Z thì xlà một đại số nguyên (algebraic integer) tùy ý trong K. Do đó đa thức đặc trưng Mx của nó sẽ có dạng Pdn/d, trong đó Pd là đa thức tối tiểu của
x. Bây giờ Pd xác định một trường con của K và trong trường hợp đặc biệt n =d
nó xác định một phương trình choK. Hơn nữa, tất cả các phương trình cho K hoặc các trường con của K thu được theo cách này.
Bây giờ chúng ta định nghĩa
Mx(X) = n Y k=1 X− n X i=1 xiσk(ωi) ! , từ đó size(Mx) = n X k=1 n X i=1 xiσk(ωi) 2 .
Đây rõ ràng là một dạng toàn phương theo xi và chính xác hơn size(Mx) = X i,j X 1≤k≤n σk(ωi)σk(ωj) ! xixj.
Chú ý rằng trong trường hợpK là hoàn toàn thực tức là khi tất cả σklà phép nhúng thực, thì
size(Mx) = X
i,j
T r(ωiωj)xixj.
Đây là một dạng toàn phương với các hệ số nguyên.
Trong bất kỳ trường hợp nào, (K là hoàn toàn thực hay không), chúng ta có thể ứng dụng thuật toán LLL đối với dàn Zn và dạng bậc hai size(Mx). Kết quả sẽ là một tập n vectơ tương ứng với giá trị nhỏ hợp lý của dạng bậc hai từ đó đi đến đa thức Mx có size nhỏ. Đó là tất cả những gì ta cần. Chú ý rằng chúng ta sẽ thường thu được theo cách này các đại số nguyên x có bậc d < n, vì thế điều này sẽ cho chúng ta các trường con của K. Đặc biệt x= 1 luôn thu được như một vectơ ngắn và điều này xác định trường conQcủaK. Tuy nhiên, thí nghiệm thực tế với phương pháp này chỉ ra rằng, luôn có ít nhất một phần tửx có bậc chính xác làn, từ đó xác định K. Mặt khác, nó có thể xác định rằng không đa thức bậcn nào xuất hiện mặc dù nó rất hiếm khi xảy ra. Về nguyên tắc điều này có thể xảy ra và H.W.Lenstra đã chứng minh, nhưng trong thí nghiệm trên hơn 10000 đa thức có bậc khác nhau chúng ta không bao giờ thất bại. Trong trường hợp bất lợi này, tất nhiên chúng ta có thể cố gắng tìm kiếm một phần tử khác có chuẩn nhỏ hơn những gì được cho bởi thuật toán LLL nhưng nó sẽ chậm hơn nhiều.
Mặc dù đa thức tối tiểu của phần tử có bậc n mà ta thu được thường có hệ số nhỏ hơn hệ số của đa thức P được cho ban đầu, nhưng cũng có trường hợp chúng có các hệ số lớn hơn nhiều so với các hệ số của P bởi vì cỡ của P không phản ánh trực tiếp cỡ của các hệ số.
Chú ý nó không chắc chắn tuyệt đối rằng, thuật toán của chúng ta sẽ cho tất cả các trường con của K. Thực tế Thuật toán LLL cho chúng ta chính xác n vectơ nhưng một trường số có bậcn có thể có nhiều hơn n trường con phân biệt.
Thuật toán rút gọn đa thức sau đây có tên gọi là thuật toán POLRED.
Thuật toán rút gọn đa thức POLRED
Đầu vào : Cho K = Q(θ) là trường số xác định bởi đa thức bất khả quy
P ∈Z[X].
và các đa thức này đơn giản hơn so với đa thức P, vì vậy có thể sử dụng để xác định trườngK nếu chúng có bậc bằng bậc của K.
1. Sử dụng thuật toán Post-Zassenhass (Thuật toán 6.1.8 trong [1]) tính một cơ sở nguyên ω1, . . . , σn như là các đa thức theo θ.
2. Nếu K là hoàn toàn thực (có thể sử dụng thuật toán Sturm để kiểm tra) thì đặt
mi,j ←T r(ωiωj)
với 1≤i, j ≤n, điều này sẽ cho một phần tử thuộc Z
Nếu không, tính xấp xỉ của θ và liên hợpσj(θ)của nó là một nghiệm của P trên
C, số giá trị σj(ωk)và cuối cùng tính
mi,j ← X
1≤k≤n
σk(ωi)σk(ωj).
3. Sử dụng thuật toán LLL, áp dụng đối với tích vô hướng được xác định bởi ma trận M = (mi,j) và cơ sở chuẩn củaZn, tính cơ sở rút gọn LLL b1, . . . , bn.
4. Với1≤i≤n tính đa thức đặc trưngCi của phần tử củaZK tương ứng với bi
đối với cơ sở1, θ, θ2, . . . , θn−1. 5. Với 1≤i≤n, đặt
Pi ←Ci/gcdCi, Ci0,
trong đó gcd luôn là đơn , xuất ra đa thức Pi và kết thúc thuật toán. Vì chúng ta sẽ có Ci =Pn/di
i nên sự tính toán ở bước 5 cho chúng taPi ứng với
Ci.
Ví dụ 2.3.5. Sau đây chúng ta xét các ví dụ có sử dụng thuật toán POLRED. i) Trong [5], xét trường số bậc 5 được xác định bởi đa thức
P (X) =X5−2X4−4X3−96X2−352X−568
có biệt số24.133(24.10429)2. Sử dụng thuật toán POLRED đối với đa thức này, chúng ta thấy rằng trường số bậc 5 của chúng ta cũng có thể được sinh bởi một nghiệm của đa thức đơn giản hơn
Q(X) =X5−X4+ 2X3−4X2+X−1
có biệt số là24.133 bằng với với biệt số của trường. ii) Một ví dụ lấy từ ví dụ của M.Oliver. Xét đa thức
Đa thức này là bất khả quy trên Q, vì thế nó xác định một trường số K có bậc 6. Hơn nữa người ta tính được các nghiệm phức của P xấp xỉ bằng với
−2.7494482169,−1.7152399972,−0.8531562311,−0.3074682781,
1.5839340557,2.0413786677.
Bây giờ người ta tính được rằng
disc(P) = 116992,
vì thế nhóm Galois Gcủa bao đóng galois của K xem xét như là một nhóm hoán vị trên các nghiệm của P, là một nhóm con của nhóm thay phiênA6. Hơn nữa, sự tính toán trực tiếp trên các nghiệm chỉ ra rằngK không có bất kỳ trường con không tầm thường nào. Phân loại của nhóm hoán vị bắt cầu bậc 6, khi đó chứng tỏG đẳng cấu với A5 hoặc A6.
Để phân biệt giữa hai nhóm trên, chúng ta sử dụng một hàm giải cho bởi [Stau] đa thức giải, do đó thu được đa thức
R(X) =X6 + 3694X5+ 1246830X4 −7355817976X3−5140929655107X2
+3486026298845999X+ 2593668315970494361.
Sự tính toán các nghiệm của đa thức chứng tỏ rằng, có một nghiệm nguyênx=−673
và điều này chỉ ra G đẳng cấu với A5. Ngoài ra Q(X) = R(X)/(X+ 673) là một đa thức bất khả quy bậc 5 xác định một trường số với biệt số giống như K. Chúng ta có
Q(X) = X5+ 3021X4−786303X3−6826636057X2−546603588746X
+3853890514072057,
và biệt số của Q (phải là một bình phương) có 63 chữ số thập phân. Bây giờ nếu chúng ta ứng dụng thuật toán POLRED thì chúng ta thu được năm đa thức, bốn trong chúng xác định trường giống như Qvà đa thức có biệt số nhỏ nhất là
S(X) = X5+ 2X4−13X3−37X2−21X+ 1,
là đa thức hấp dẫn hơn Q.
Chú ý rằng chúng ta tính được disc(S) = 116992 và đây cũng là biệt số của trườngK. Do đó đa thứcS cũng xác định trường K.
Có một lượng nhỏ "gian lận" trong ví dụ trên: vì disc(Q) có 63 chữ số, thuật toán POLRED, trong đó tính toán cụ thể một cơ sở nguyên của K do đó cần phân tích thành nhân tử disc(Q), có thể cần khá nhiều thời gian cho phân tích này. Tuy nhiên trong trường hợp này, chúng ta có thể giúp thuật toán POLRED bằng cách cho biếtdisc(Q)là một bình phương, cái mà chúng ta biết trước được nhưng thường không được kiểm tra trong thuật toán phân tích thành nhân tử vì nó khá hiếm xáy ra. Đây là cách mà ví dụ trên đã tính toán trong thực nghiệm.
iii) Chúng ta xét các ví dụ về việc sử dụng thuật toán POLRED để chỉ ra rằng các đa thức khác nhau sinh ra các trường đẳng cấu . Đối với trường hợp này chúng ta sử dụng đa thức bậc 8 hoàn toàn thực có biệt số 282300416 và 309593125 được cho trong [9].
Xét trườngK hoàn toàn thực có biệt sốd= 282300416được sinh bởi một nghiệm của đa thức
P (X) =X8+ 2X7−7X6−8X5+ 15X4+ 8X3−9X2−2X+ 1.
Áp dụng thuật toán POLRED chúng ta thu được
X−1 X8+ 2X7−7X6−8X5+ 15X4 + 8X3−9X2−2X+ 1 X8+ 2X7−7X6−8X5+ 15X4 + 8X3−9X2−2X+ 1 X8−2X7−7X6+ 12X5+ 8X4 −14X3+ 4X−1 X8−4X7+ 14X5−8X4−12X3+ 7X2+ 2X−1 X2−2 X8+ 4X7−14X5−8X4+ 12X3+ 7X2−2X−1 X8−2X7−7X6+ 8X5+ 15X4 −8X3−9X2+ 2X+ 1
Do đó chỉ ra rằng các trường được sinh bởi các nghiệm của các đa thức được cho trong [9] là đẳng cấu và rằng Q √
2 là trường con. Thực tế đa thức giống nhau thu được nhiều lần cũng cung cấp một số thông tin trên nhóm Galois của bao đóng Galois của trườngKvì nó chỉ ra rằng nhóm tự đẳng cấu củaK là không tầm thường.
Đối với biệt số d= 309593125, áp dụng thuật toán POLRED cho đa thức
P (X) =X8+ 3X7 −5X6−21X5−3X4+ 35X3+ 28X2+ 4X−1
chúng ta thu được
X−1
X2−X−1
X4+ 2X3−2X2−3X+ 1
X8+ 3X7−5X6−14X5+ 8X4 + 16X3−2X2 −5X−1
X8+X7−10X6−8X5+ 22X4 + 15X3−13X2−8X−1
X8+ 3X7−5X6−21X5−3X4+ 35X3+ 28X2+ 4X−1
X8−4X7−X6+ 17X5−5X4−23X3+ 6X2+ 9X−1,
trong đó xảy ra bốn đa thức cho trường này trong [9] và ngoài ra một đa thức cho trườngQ √
5
và hai đa thức bậc bốn. Một ứng dụng khác của thuật toán POLRED chỉ ra rằng cả hai sinh ra duy nhất trường số (sai khác đẳng cấu) bậc 4 có biệt số 725.
Nếu chúng ta ứng dụng thuật toán POLRED cho các đa thức được đưa ra trong [PMD] với biệt số d= 309593125tức là đối với các đa thức
Q(X) =X8+X7−10X6−17X5+ 8X4+ 22X3+ 2X2−5X−1
R(X) = X8+X7−10X6+ 23X4 −5X3−15X2+ 3X+ 1
S(X) =X8+ 2X7−9X6 −9X5+ 20X4+ 14X3−11X2−8X−1,
chúng ta thu được các đa thức giống nhau (sai khác phép biến đổi tầm thường X
thành −X) chỉ ra rằng các trường sinh bởi tất cả các đa thức đó là đẳng cấu.