II. Vớ dú r = ab 2 + a
5. Vớ dú 5: Chửựng minh raống
a) A = x2 – x9 – x1945 chia heỏt cho B = x2 – x + 1 b) C = 8x9 – 9x8 + 1 chia heỏt cho D = (x – 1)2
c) C (x) = (x + 1)2n – x2n – 2x – 1 chia heỏt cho D(x) = x(x + 1)(2x + 1) Giaỷi
a) A = x2 – x9 – x1945 = (x2 – x + 1) – (x9 + 1) – (x1945 – x) Ta coự: x2 – x + 1 chia heỏt cho B = x2 – x + 1
x9 + 1 chia heỏt cho x3 + 1 nẽn chia heỏt cho B = x2 – x + 1
x1945 – x = x(x1944 – 1) chia heỏt cho x3 + 1 (cuứng coự nghieọm laứ x = - 1) nẽn chia heỏt cho B = x2 – x + 1
Vaọy A = x2 – x9 – x1945 chia heỏt cho B = x2 – x + 1
b) C = 8x9 – 9x8 + 1 = 8x9 – 8 - 9x8 + 9 = 8(x9 – 1) – 9(x8 – 1) = 8(x – 1)(x8 + x7 + ...+ 1) – 9(x – 1)(x7+ x6 + ...+ 1) = (x – 1)(8x8 – x7 – x6 – x5 – x4 – x3 – x2 – x – 1)
(8x8 – x7 – x6 – x5 – x4 – x3 – x2 – x – 1) chia heỏt cho x – 1 vỡ coự toồng heọ soỏ baống 0 suy ra (x – 1)(8x8 – x7 – x6 – x5 – x4 – x3 – x2 – x – 1) chia heỏt cho (x – 1)2
c) ẹa thửực chia D (x) = x(x + 1)(2x + 1) coự ba nghieọm laứ x = 0, x = - 1, x = -
12 2
Ta coự:
C(0) = (0 + 1)2n – 02n – 2.0 – 1 = 0 x = 0 laứ nghieọm cuỷa C(x)
C(-1) = (-1 + 1)2n – (- 1)2n – 2.(- 1) – 1 = 0 x = - 1 laứ nghieọm cuỷa C(x) C(- 1 2 ) = (- 1 2 + 1)2n – (- 1 2)2n – 2.(- 1 2) – 1 = 0 x = - 1
2 laứ nghieọm cuỷa C(x) Mói nghieọm cuỷa ủa thửực chia laứ nghieọm cuỷa ủa thửực bũ chia ủpcm
Cho f(x) laứ ủa thửực coự heọ soỏ nguyẽn. Bieỏt f(0), f(1) laứ caực soỏ leỷ. Chửựng minh raống f(x) khõng coự nghieọm nguyẽn
Giaỷ sửỷ x = a laứ nghieọm nguyẽn cuỷa f(x) thỡ f(x) = (x – a). Q(x). Trong ủoự Q(x) laứ ủa thửực coự heọ soỏ nguyẽn, do ủoự f(0) = - a. Q(0), f(1) = (1 – a). Q(1)
Do f(0) laứ soỏ leỷ nẽn a laứ soỏ leỷ, f(1) laứ soỏ leỷ nẽn 1 – a laứ soỏ leỷ, maứ 1 – a laứ hieọu cuỷa 2 soỏ leỷ khõng theồ laứ soỏ leỷ, mãu thuaồn
Vaọy f(x) khõng coự nghieọm nguyẽn
Baứi taọp về nhaứ:
Baứi 1: Tỡm soỏ dử khi a) x43 chia cho x2 + 1
b) x77 + x55 + x33 + x11 + x + 9 cho x2 + 1
Baứi 2: Tớnh giaự trũ cuỷa ủa thửực x4 + 3x3 – 8 tái x = 2009 Baứi 3: Chửựng minh raống
a) x50 + x10 + 1 chia heỏt cho x20 + x10 + 1 b) x10 – 10x + 9 chia heỏt cho x2 – 2x + 1 c) x4n + 2 + 2x2n + 1 + 1 chia heỏt cho x2 + 2x + 1 d) (x + 1)4n + 2 + (x – 1)4n + 2 chia heỏt cho x2 + 1 e) (xn – 1)(xn + 1 – 1) chia heỏt cho (x + 1)(x – 1)2