Chú ý Ta biết rằng, một môđun hữu hạn sinh trên vành chính quy địa

Một phần của tài liệu Bậc và số chiều gorenstein (Trang 27 - 29)

i depth N dmM  gradeM ;

2.2.5. Chú ý Ta biết rằng, một môđun hữu hạn sinh trên vành chính quy địa

phương là Cohen Macaulay khi và chỉ khi nó hoàn chỉnh. Từ hệ quả trên chúng ta có thể mở rộng kết quả này như sau: “ Một môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương Gorenstein là Cohen Macaulay khi và chỉ khi nó là môđun

G hoàn chỉnh ”.

2.2.6.Định lý. Cho M , N và L là các Rmôđun hữu hạn sinh thoã mãn

dim

GN   và GdimL  . Nếu SuppM SuppL thì

gradeL grade M L( , )  grade M N( , )  GdimN.

Chứng minh. Chọn qSuppM theo Định lý 2.1.5 ta có: ( , )

grade M NdepthNq. (4) Theo giả thiết GdimN   nên theo Bổ đề 2.1.4 i):

q

depthNdepthRqG dimNq.

Thay vào (4) ta được:

( , )

grade M NdepthRqG dimNq. (5)

Do GdimL  sử dụng Bổ đề 2.1.5 i):

q

depthRG dimLqdepthLq , Thay vào (5) ta được:

grade M N( , )  G dimLqdepthLqG dimNqgradeLgrade M L( , )  G dimN.

Do đó

grade M N( , )  G dimNgradeLgrade M L( , ) . º

2.2.7.Hệ quả. Cho L là Rmôđun hữu hạn sinh có số chiều Gorenstein hữu hạn và SuppM SuppL. Khi đó

( , )

Chứng minh. Đặt NR. Theo Định lý 2.2.6 ta có:

gradeL grade M L( , )  grade M R( , ) GdimN. Hơn nữa,

( , )

grade M RgradeM ;

nên ta có bất đẳng thức

gradeL grade M L( , ) gradeM GdimN.

Mặt khác, Hom R MR( , )  M theo Định nghĩa 2.1.3, suy ra GdimN 0. Vậy ta có điều phải chứng minh. º

2.2.8.Hệ quả. Cho N là Rmôđun hữu hạn sinh có số chiều Gorenstein hữu hạn. Khi đó

gradeM grade M N( , )  GdimN.

Chứng minh. Đặt LR. Theo Định lý 2.2.6 ta có:

( , )

grade M R gradeR grade M N( , )  G dimN. Mặt khác

( , )

grade M RgradeM .

Thay vào ta được bất đẳng thức

gradeM gradeR grade M N( , )  G dimN. Suy ra

gradeM grade M N( , )  GdimN. º

Từ Hệ quả 2.2.7 và 2.2.8 ta có kết quả sau.

2.2.9.Hệ quả. Cho N là Rmôđun hữu hạn sinh có số chiều Gorenstein hữu hạn và SuppMSuppN. Khi đó

( , )

grade M NgradeN gradeM grade M N( , )  GdimN.

Đặc biệt, nếu N là môđun Ghoàn chỉnh thì

( , )

Một phần của tài liệu Bậc và số chiều gorenstein (Trang 27 - 29)

Tải bản đầy đủ (PDF)

(35 trang)