i depth N dmM gradeM ;
2.2.5. Chú ý Ta biết rằng, một môđun hữu hạn sinh trên vành chính quy địa
phương là Cohen Macaulay khi và chỉ khi nó hoàn chỉnh. Từ hệ quả trên chúng ta có thể mở rộng kết quả này như sau: “ Một môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương Gorenstein là Cohen Macaulay khi và chỉ khi nó là môđun
G hoàn chỉnh ”.
2.2.6.Định lý. Cho M , N và L là các R môđun hữu hạn sinh thoã mãn
dim
G N và GdimL . Nếu SuppM SuppL thì
gradeL grade M L( , ) grade M N( , ) GdimN.
Chứng minh. Chọn q SuppM theo Định lý 2.1.5 ta có: ( , )
grade M N depthNq. (4) Theo giả thiết GdimN nên theo Bổ đề 2.1.4 i):
q
depthN depthRq G dimNq.
Thay vào (4) ta được:
( , )
grade M N depthRq G dimNq. (5)
Do GdimL sử dụng Bổ đề 2.1.5 i):
q
depthR G dimLq depthLq , Thay vào (5) ta được:
grade M N( , ) G dimLq depthLq G dimNq gradeL grade M L( , ) G dimN.
Do đó
grade M N( , ) G dimN gradeL grade M L( , ) . º
2.2.7.Hệ quả. Cho L là R môđun hữu hạn sinh có số chiều Gorenstein hữu hạn và SuppM SuppL. Khi đó
( , )
Chứng minh. Đặt N R. Theo Định lý 2.2.6 ta có:
gradeL grade M L( , ) grade M R( , ) GdimN. Hơn nữa,
( , )
grade M R gradeM ;
nên ta có bất đẳng thức
gradeL grade M L( , ) gradeM GdimN.
Mặt khác, Hom R MR( , ) M theo Định nghĩa 2.1.3, suy ra GdimN 0. Vậy ta có điều phải chứng minh. º
2.2.8.Hệ quả. Cho N là R môđun hữu hạn sinh có số chiều Gorenstein hữu hạn. Khi đó
gradeM grade M N( , ) GdimN.
Chứng minh. Đặt L R. Theo Định lý 2.2.6 ta có:
( , )
grade M R gradeR grade M N( , ) G dimN. Mặt khác
( , )
grade M R gradeM .
Thay vào ta được bất đẳng thức
gradeM gradeR grade M N( , ) G dimN. Suy ra
gradeM grade M N( , ) GdimN. º
Từ Hệ quả 2.2.7 và 2.2.8 ta có kết quả sau.
2.2.9.Hệ quả. Cho N là R môđun hữu hạn sinh có số chiều Gorenstein hữu hạn và SuppM SuppN. Khi đó
( , )
grade M N gradeN gradeM grade M N( , ) GdimN.
Đặc biệt, nếu N là môđun G hoàn chỉnh thì
( , )