Tính hữu hạn, triệt tiêu và không triệt tiêu- 123docz.net

Bổ đề 2.3.1. Cho R là một vành Nơte, I là iđêan của R, M là R-môđun. Khi đó IM

Chứng minh. (⇒) Giả sử I =( ,...,a1 an). Xét đồng cấu : →( )n f M IM  ( )=( )n=1 i i m f m a m .

Ta có ker f =0 :M I nên môđun M / (0 :M I) đẳng cấu với một môđun con của (IM)n. Do đó IMlà hữu hạn sinh thì M / (0 :M I) là hữu hạn sinh.

(⇐) Xét đồng cấu g M: n→IM 1 1 (( )= ) = =∑  n n i i i i i m g m a m .

Khi đó g là toàn cấu và (0: )n⊂ker

M I g. Do đó IM là ảnh đồng cấu của (M / (0 :M I))n.

Đặc biệt, khi I =xR là một iđêan chính, môđun xM ≅M / (0 :M x).

Do vậy M / (0 :M I) là hữu hạn sinh thì IMlà hữu hạn sinh. 

Định lí 2.3.2. (Định lí không triệt tiêu cho môđun coatomic)

Cho ( , )R m là vành Nơte địa phương. Nếu M là R-môđun coatomic khác 0 có chiều n thì H (n )≠0.

m M

Chứng minh. Nếu n=0, tức dimM =0. Khi đó 0

. H (m M)≅ Γm(M)≠0

Giả sử n≥1, từ Định lý 1.3.9 (i)⇒(iii) tồn tại số nguyên 1t≥ sao cho m Mt

là hữu hạn sinh. Do đó theo Bổ đề 2.3.1 thì / (0:M M mt) là hữu hạn sinh. Khi đó dim / (0 : t)=dim =

RM M m RM n

và dim (0 : t)=0

R M m , suy ra H (0 :i t)=0

m M m với mọi i≥1 (Theo định lí triệt tiêu 1.6.9).

Xét dãy khớp

0→(0 : t)→ →g / (0 t)→0

có toàn cấu : / (0→ : t)

g M M m nên theo Hệ quả 1.6.7 suy ra H (n )≅H (n / (0 : t))

m M m M M m .

Do đó theo Định lí 1.6.10, M / (0 :M mt) là hữu hạn sinh nên H (n / (0 : t))≠0

m M M m . Vậy H (n )≠0

m M . 

Bổ đề 2.3.3. Nếu R là vành Nơte, I là iđêan của R và M là R-môđun hữu hạn sinh

có chiều n, thì

(i) dim Hn-i( )≤ .

R I M i

(ii) Nếu (R, m) là vành địa phương, thì Supp (Hn-1( ))

R I M là tập hữu hạn bao

gồm các iđêan nguyên tố p sao cho dimR p/ ≤1.

Chứng minh.

(i) Cho ∈Supp (Hn-i( ))

R I p M , ta có Hn-i( ) ≅Hn-i ( )≠0 p p I M IRp M . Theo Định lí 1.6.9 suy ra dimMp ≥ −n i và do đó . dimR p/ ≤ −n dimMp ≤i

(ii) Cho m=( ,...,x1 xr). Khi đó dimMxi ≤ −n 1 với 1≤ ≤i r. Do đó theo Mệnh đề 1.6.15 Hn-1 ( )≠0

IRxi M i là Rxi-môđun Artin và Supp (H ( ) )n-1 x

Rxi I M i là hữu hạn.

Nếu ∈Supp (Hn-1( ))

R I

p M và p≠m thì tồn tại i sao cho xi∉p, tức là

Supp (H ( ) )

∈ n-1

xi Rx I xi i

pR M Như vậy Supp (HR n-1I (M)) phải là hữu hạn. 

Mệnh đề 2.3.4. Cho M là một môđun coatomic có chiều n≥1 trên vành địa

phương (R, m) và cho I là một iđêan của R. Khi đó ta có

(i) HnI là Artin và I-cofinite.

(ii) Att (H (n ))= ∈{p Supp ( ) / cd( , / )= }.

(iii) Supp (HR n-1I (M)) là một tập hữu hạn bao gồm các iđêan nguyên tố p sao cho dimR p/ ≤1.

Chứng minh.

(i) Như trong chứng minh của Định lí 2.3.2, ta có H (n )≅H (n / (0 : t))

I M I M M m .

Vì M là một môđun coatomic tồn tại t≥1 sao cho m Mt là hữu hạn sinh. Suy ra / (0 :M t)

M m là R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó dim / (0 : t)=dim = RM M m RM n. Do đó theo Hệ quả 2.1.8 H ( )n I M là Artin và I-cofinite. (ii) Đặt = / (0 : t) M

L M m và chú ý rằng Supp ( ) Supp (R L = R M). Theo [10, Định lí A], ta có { } ( . Att (Hn ))= ∈Supp ( ) / cd( , / )= R I L p R L I R p n vì vậy khẳng định { }. Att (H (n ))= ∈Supp ( ) / cd( , / )= R I M p R M I R p n

(iii) Vì M là R-môđun coatomic nên H ( ) H ( / (0:n ≅ n t))

I M I M M m (theo chứng minh Định lí 2.3.2). Với t≥1 sao cho M / (0 :M mt) là R-môđun hữu hạn sinh có chiều n và dim ( )=dim ( / (0 : t))=

R M R M M m n. Do đó M là R- môđun hữu hạn sinh. Theo chứng minh phần (ii) của Bổ đề 2.2.3, Supp (HR n-1I (M)) là một tập hữu hạn bao gồm các iđêan nguyên tố p sao cho dimR p/ ≤1.

Tuy nhiên khi n=0, H (nI M) không là Artin. 

Ví dụ 2.3.5. M =( / )R m ( )} là m-xoắn môđun coatomic có chiều 0 nhưng không là artin.

Thật vậy M là m-xoắn nên Γm(M)=M mà Γm(M)≅H0m(M) không là Artin.

Bổ đề 2.3.6. Cho M là hữu hạn sinh và hơn nữa là R-môđun coatomic. Khi đó

( )

cd I M, = 0⇔Supp (R M)⊂V( ).I

Chứng minh. (⇐) Giả sử Supp (R M)⊂V( )I , theo Mệnh đề 1.6.21 ta có H (0I M)≅M và H (i )=0

I M với mọi 1i≥

Do đó H ( ) 0i ≠

I M với 0i= . Vậy cd( , )=sup{ ≥0 H (n )≠0}=0

I M n M .

(⇒). Giả sử ( , )R m là vành địa phương và Mlà hữu hạn.

Nếu Supp (R M)⊄V( )I thì M =M /ΓI(M)≠0 và ΓI(M)=0. Như vậy ta có depth ( ) 0 = I > r M , nhưng theo Định lí 1.6.11 ta có H (r )≠0. I M Mặt khác H (r )≅H (r ) I M I M nên H (r )≠0 I M . Do đó cd( , )=sup{ >0 H (r )≠0}>0 I I M r M .

(mâu thuẫn giả thiết).

Bây giờ giả sử M là coatomic. Với bất kì r>0, ta có H (r )≅H (r / (0 : t))

I M I M M m với t≥1 sao cho M / (0 :M mt) là hữu hạn sinh. Mà Supp ( / (0 : t)) Supp (= )

R M M m R M và sử dụng kết quả vừa chỉ ra cho môđun hữu hạn sinh. 

Định lí 2.3.7. Cho N và M là R-môđun và M là hữu hạn sinh. Nếu

Supp ( )R N ⊆Supp (R M) thì cd( ,I N) cd( ,≤ I M).

Chứng minh. Ta có thể khẳng định H ( )i =0

I N với mọi i, với cd( ,I M)< ≤i dimM +1 và N là R-môđun hữu hạn sinh với Supp ( )R N ⊆Supp (R M). Lập luận điều cần chứng minh theo quy nạp giảm dần trên

ta có H (i )=0

I M , do đó cd( ,I N) cd( ,≤ I M). Từ Supp ( ) Supp ( )R N ⊆ R M ta có chuỗi

0 1 2

0=N ⊂ N ⊂ N ⊂ ⊂... Nk =N,

sao cho Nj /Nj−1 là ảnh đồng cấu của tổng trực tiếp hữu hạn các bản sao của M.

Sử dụng dãy khớp ngắn, ta hạn chế tới trường hợp k =1. Khi đó ta có một dãy khớp 0→ L →Mn→N→0,

với n∈} và R-môđun Lhữu hạn sinh. Điều này kéo theo dãy khớp của các môđun đối đồng điều địa phương

...→H ( )i →H (i n)→H ( )i →Hi+ ( )→...,

I L I M I N I L

vì vậy theo giả thiết quy nạp, 1

. Hi+ ( )=0

I L Như vậy H ( )i =0.

I N

Vậy cd( ,I N) cd( ,≤ I M). 

Mệnh đề 2.3.8 sau đây diễn tả định lí trên.

Mệnh đề 2.3.8. Cho I là một iđêan của R và M là R-môđun coatomic. Cho N là

môđun tùy ý sao cho Supp ( )R N ⊂Supp (R M thì ) cd( , ) cd( ,I N ≤ I M ).

Chứng minh. Giả sử ( , )R m là vành địa phương.

Nếu cd( , ) 0I M = theo bổ đề 2.3.5 Supp (R M)⊂V( )I và do Supp ( )R N ⊂Supp (R M) nên Supp ( )R N ⊂V( )I . Do đó H ( )i =0

I N với mọi 0i> . Suy ra cd( ,I N)=0.

Nếu cd( , ) 1I M ≥ . Ta có H (r )≅H (r / (0 : t))

I M I M M m với t≥1 sao cho / (0 :M t)

M m là hữu hạn sinh. Từ đó

Supp ( )⊂Supp ( ) Supp (= / (0 t))

R N R M R M M m , Từ Định lí 2.3.7

cd( , ) cd( ,≤ / (0 : t))=cd( , ).

I N I M m I M 

Tiếp theo chúng ta chứng minh một vài kết quả triệt tiêu và hữu hạn cho đối đồng điều địa phương.

Định lí 2.3.9. Cho R là vành Nơte, I là iđêan của R và M là R-môđun hữu hạn sinh.

Các phát biểu sau là tương đương:

(i) H (iI M) là coatomic với mọi i < n. (ii) Coass (H (i ))⊂V( )

R I M I với mọi i < n.

(iii) H (iI M) là hữu hạn với mọi i < n.

Chứng minh. Theo Định lí 1.6.17 và Định lí 1.6.7 ta giả sử ( , )R m là vành địa phương.

(i)⇒(ii) Hiển nhiên theo định nghĩa môđun coatomic.

(ii)⇒(iii) Theo Mệnh đề 1.3.10 tồn tại 1t≥ sao cho H (It iI M) là hữu hạn sinh với mọi i<n. Do vậy tồn tại s≥t sao cho sH (i )=0

I M với mọi i<n, tức (0 : H ( ))

⊆ i

I M với mọi i<n. Khi đó áp dụng mệnh đề 1.1.16, ta có H (iI M) là hữu hạn với mọi i<n.

(iii)⇒(i) Mọi R-môđun hữu hạn sinh đều là coatomic.  Các kết quả sau được sinh ra từ Mệnh đề 2.1.8.

Định lí 2.3.10. Cho I là một iđêan của R và M là R-môđun hữu hạn sinh và cho

1. ≥

r Các phát biểu sau là tương đương:

(i) H (i )=0

I M với mọi i≥r.

(ii) H (iI M) là hữu hạn sinh với mọi i≥r. (iii) H (iI M) là coatomic với mọi i≥r.

Chứng minh. (i)⇒(ii) hiển nhiên.

(ii)⇒(iii) Giả sử H (iI M) là hữu hạn sinh với mọi i≥r, theo Mệnh đề 1.3.4 suy ra H (iI M) là coatomic với mọi i≥r.

(iii)⇒(i) Sử dụng Mệnh đề 2.1.9 và Định lí 1.6.7 ta giả sử ( , )R m là vành địa phương. Vì môđun coatomic thỏa mãn bổ đề Nakayama. Chứng minh tương tự như

trong Mệnh đề 2.1.9. 

Hệ quả 2.3.11. Cho M là R-môđun coatomic. Nếu H (iI M) là coatomic với mọi

≥ ≥

i r thì H (i )=0

I M với mọi i≥r.

Chứng minh.Giả sử ( , )R m là vành địa phương. Ta có

H (r )≅H (r / (0 : t))

I M I M M m

với t≥1 sao cho M / (0 :M mt) là hữu hạn sinh. Sử dụng (iii)⇒(ii) của Định lí 2.3.10 ta được điều phải chứng minh. 

Hệ quả 2.3.12. Cho I là iđêan của R và M là R-môđun hữu hạn sinh. Nếu

c = cd( ,I M) 0> thì H (cI M) không là coatomic, đặc biệt không là hữu hạn sinh.

Chứng minh. Từ c = cd( , ) 0I M > , tức H (c )≠0

I M . Khi đó theo [Định lí 2.3.10, (iii)⇒(i)] suy ra H (cI M) không là coatomic. Theo Định lí 2.3.10 (ii)⇒(i), H (cI M) không là hữu hạn sinh 

Hệ quả 2.3.13. Nếu M là coatomic và r≥1, các điều sau tương đương: (i) H (i )=0

I M với mọi i≥r.

(ii) H (iI M) là hữu hạn sinh với mọi i≥r. (iii) H (iI M) là coatomic với mọi i≥r.

Chứng minh. Vì R-môđun coatomic là môđun hữu hạn nên theo Định lí 2.3.10 ta

KẾT LUẬN

Trong bài luận văn này, tôi đã trình bày hệ thống lại nội dung chính trong bài báo: “Finiteness properties of minimax and coatomic local cohomology module,

Arch. Math. 94 (2010), 519 – 528” của TS. M. Aghapournahr và TS. L. Melkersson. Kết quả chính của luận văn gồm những phần sau:

• Hệ thống lại kiến thức cơ sở về iđêan nguyên tố liên kết, đối liên kết, môđun coatomic và một số môđun liên quan.

• Củng cố một số tính chất của môđun đối đồng điều địa phương, môđun minimax.

• Chứng minh và làm rõ các kết quả quan trọng của bài báo về tính artin, tính hữu hạn, triệt tiêu và không triệt tiêu cho các môđun đối đồng điều địa phương minimax và môđun đối đồng điều địa phương coatomic. Đây là kết quả rộng hơn của môđun đối đồng điều địa phương H (iI M) cho môđun M tương ứng với iđêan I.

Vì thời gian và khả năng có hạn nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót và còn một số vấn đề chưa được làm sáng tỏ, tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp, phê bình và bổ sung của quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn chỉnh hơn.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. C. Huneke and J. Koh (1991), Cofinitess and vanishing of local cohomology

modules, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 110 , 421 – 429.

2. Helmut – Zöschinger (1986), Minimax Moduln, J. Algebra. 102, 1 – 32. 3. Helmut – Zöschinger (1980), Koatomare Moduln, Math. Z. 170, 221 - 232. 4. H. Zöschinger (1988), über koassoziierte Primideale, Math Scand. 63,

196 - 211.

5. K. I. Yoshida (1974), Cofiniteness of local cohomology modules for ideals ò

dimension one, Nagoya math. J. 147, 179 – 191.

6. K. Divaani-Aazar and A. Mafi (2005), Associated primes of local cohomology

modules, Proc. Amer. Math. Soc. 133, 655 - 660.

7. K. Divaani-Aazar, R. Naghipour, and M. Tousi (2002). Cohomological

dimension of certain algebraic varieties, Proc. Amer. Math. Soc. 133, 3537

-3544.

8. L. Melkersson (2005), Modules cofinite with respect to an ideal, J. Algebra. 285, 649 – 668.

9. L. Melkersson (1999), Properties of cofinite modules and applications to local

cohomology, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 125, 417 – 423.

10. M. T. Dibaei and S. Yassemi (2005), Attached primes of the top local

cohomology modules with respect to an ideal, Arch. Math. 84, 292 – 297.

11. M. P. Brodmann and R. Y. Sharp (1998), Local Cohomology: an algebraic

introduction with geometric applications, Cambridge university press.

12. M. T. Dibaei and S. Yassemi (2004), Cohomological dimension of complexes, Comm. Algebra 32, 4375 - 4386.

13. M. Aghapournahr and L. Melkersson, A natural map in local cohomology,

Ark. Math.

14. M. Aghapournahr and L. Melkersson (2010), Finiteness properties of minimax

and coatomic local cohomology modules, Arch. Math. 94, 519 - 528.

15. P. Rudlof (1992), On minimax and related modules, Can. J. Math. 44, 154 – 166.

16. R. Belshof and C. Wickham (1997), A note on local duality, Bull, London math. Soc. 29, 25 - 31.

17. S. Yassemi (1995), Coasssociated primes, Comm, Algebra, 23, 1473 – 1498. 18. T. Marley (2001), The associated primes of local cohomology modules over

rings of small dimension, Manuscripta Math. 104, 519 – 525.

19. T. Zink (1974), Endlichkeitsbedingungen für Moduln über einem Noetherschen