2 Nửa nhóm số hầu đối xứng bội 5
2.2.1 Vành nửa nhóm số
Cho nửa nhóm sốH ={c1n1+c2n2+. . .+crnr |06ci ∈Z}hữu hạn sinh bởi các số nguyên dương {n1, . . . ,nr}. Cho k là một trường. Khi đó vành nửa nhóm số k[H]liên kết với H là đại số con của vành đa thức k[t] được sinh bởi các đơn thứctni, nói cách kháck[H] =k[tn1, . . . ,tnr]. ChoR:=k[x1, . . . ,xr]là vành đa thức r biến trênk,đặtI =IH là hạt nhân của toàn cấu tự nhiênϕ :R→S:=k[H]định nghĩa bởiϕ(xi) =tni,với06i6r.Nếu ta xemRvà S như là các vành phân bậc bởiS0=R0=k,degt =1 vàdegxi =ni với mọi16i6r thì với phân bậc này,I là iđêan thuần nhất sinh bởi các nhị thức và được gọi là iđêan định nghĩa củaH và vànhS⊂k[t]có biểu diễn như là thương của R/I.
Rất nhiều tính chất của nửa nhóm số được phản ánh bởi những tính chất đại số của vành nửa nhóm liên kết với chúng, nhiều nghiên cứu về tính chất đối xứng, giả đối xứng, hầu đối xứng củaH thông qua số phần tử sinh của iđêan định nghĩa I (xem [4], [7], [8], [12], [13],...). Ký hiệuµ(I)là số phần tử sinh củaI.Khi chiều nhúng r = 3, J. Herzog [8] đã đưa ra đặc trưng đầy đủ về iđêan định nghĩa I và ông đã chứng minh rằng µ(I)6 3. Khi r = 4 và H là nửa nhóm giả đối xứng, iđêan định nghĩa I cũng đã được mô tả chi tiết bởi H. Bresinsky [4] với kết quả chính là µ(I)65.Mục đích của phần này là chứng minh lại chi tiết các kết quả
của H. Nari, T. Numata và K. Watanabe [14] về nửa nhóm số có chiều nhúng là 4 và bội là 5, các kết quả chính của họ là µ(I) = 5 nếu H là giả đối xứng và µ(I) =6 nếuH là hầu đối xứng vớit(H) =3.
Mệnh đề sau trong [14, Mệnh đề 2.8] cho ta mô tả chi tiết hơn về phần tử sinh của iđêan định nghĩa.
Mệnh đề 2.2.1. Cho H = hn1, . . . ,nri là nửa nhóm số và I là iđêan định nghĩa của H. Một nhị thức thuần nhất f =∏ri=1xαi
i −∏ri=1xβi
i thuộc I nếu và chỉ nếu
∑ri=1αini =∑ri=1βini vàdeg f =∑ri=1αini ứng với phân bậc trên.
Ví dụ 2.2.2. (i) Cho r =2 và H =ha,bi là nửa nhóm số sinh bởi a,b, và vành đa thức 2 biến trên trường k là R= k[X,Y]. S := k[H] = k[ta,tb] là vành nửa nhóm số của H. Khi đó ánh xạ ϕ :k[X,Y] →S là đồng cấu giữa các k-đại số cho bởi ϕ(X) =ta,ϕ(Y) =tb, ta cóI = (Ya−Xb) là iđêan định nghĩa củaH và S'k[X,Y]/I.
(ii) Chor=3 vàH =ha,b,cilà nửa nhóm số sinh bởia,b,cvàR=k[X,Y,Z] là vành đa thức 3 biến trên trường k. Khi đó đồng cấu giữa các k- đại số là ánh xạϕ :k[X,Y,Z]→k[H] =k[ta,tb,tc] , và được cho bởiϕ(X) =ta,ϕ(Y) =tb và ϕ(Z) =tc. ChoI =Kerϕ là iđêan định nghĩa củaH.Có nhiều tác giả đã nghiên cứu để tínhI trong những trường hợp cụ thể. Chẳng hạn, J. Herzog [8] đã chứng minh rằng nếu H không đối xứng thì I được sinh bởi định thức cực đại của các ma trận vuông con của ma trận
Xα Yβ Zγ Xα0 Yβ0 Zγ0
vớiα,β,γ,α0,β0,γ0 là các số nguyên dương.
Ở đây, ta quan tâm hơn đến phương pháp tính iđêan định nghĩa I đã được đưa ra trong [10] và [11] theo cách như sau:
Thứ nhất, chú ý rằng mỗi nghiệm α = (u,v,w) của phương trình Diophantine ua+vb+wc = 0 cho ta một nhị thức thuộc I theo cách như sau: Ta viết véc tơ α = α+−α−, trong đó các thành phần của cả α+,α− là không âm, khi đó
xα+−xα− ∈I, trong đó xα+ =xα + 1 1 xα + 2 2 xα + 3 3 và xα− =xα − 1 1 xα − 2 2 xα − 3
3 .Ngược lại, nếu
xα−xβ ∈ I và xα,xβ không có nhân tử chung thì (u,v,w) := α−β là nghiệm của phương trình ua+vb+wc=0.
Thứ hai, rõ ràng rằng để tìm các nghiệm (u,v,w) của phương trình Diophan- tine ua+vb+wc = 0 tương đương với tìm nghiệm (s,p,r) của phương trình Diophantine sb− pc= ra. Cho s0 là số tự nhiên nhỏ nhất sao cho (s0,0,r0) là nghiệm của phương trình sb− pc=ra. Ta đặt p0 = 0 và cho p1 là số tự nhiên nhỏ nhất sao cho (s1,p1,r1) là nghiệm của phương trình sb−pc= ra, trong đó 0≤s1<s0. Chú ý rằng
s0= a
gcd(a,b) và p1=
gcd(a,b) gcd(a,b,c).
Bây giờ ta định nghĩa các sốsi,pi,ri,qivớii≥2.Dùng thuật toán Euclid mở rộng
s0 = q2s1−s2 s1 = q3s2−s3 . . . = . . . sm−1 = qm+1sm sm+1 = 0
trong đó qi ≥ 2, si ≥0 với mọii= 2, . . . ,m+1. Với i=1, . . . ,m, ta định nghĩa pi+1,ri+1bởi
pi+1= piqi+1−pi−1,ri+1=riqi+1−ri−1.
Khi đó vớii=0, . . . ,m,ta có
sipi+1−si+1pi=s0p1= a gcd(a,b,c),
và các dãysi,ri là giảm, trong khi dãy pi tăng. Khi đó kết quả sau đã được chứng minh trong [11, Định lý 4.1] cho phép ta tính được iđêan định nghĩa
I = (ysµ−xrµzpµ,zpµ+1−x−rµ+1ysµ+1,ysµ−sµ+1
zpµ+1−pµ
−xrµ−rµ+1
),
trong đó µ là số nguyên duy nhất sao cho rµ >0≥rµ+1.
Ta hãy xét một ví dụ cụ thể. Chẳng hạn, cho H =h3,5,7i. Khi đó
s0= 3
gcd(3,5) =3 và p1=
gcd(3,5)
gcd(3,5,7) =1.
• Tính si : Để tìm s1, ta đi tìm nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất 5s1+7p1 = 3r1 với chú ý rằng s1 <s0 =3. Thử các giá trị s1 =1,s1 = 2 vào phương trình trên, ta thấy s1= 2 thỏa mãn. Tiếp tục, vì s0=q2s1−s2 nên ta có
3=2q2−s2=2×2−1, suy ra s2=1 vàq2=2.Tương tự, vìs1=q3s2−s3 nên 2=1×q3−s3=1×2−0,suy ras3=0 vàq3=2.
• Tính pi :Áp dụng công thức pi+1= piqi+1−pi−1 để tính pi với chú ý rằng p0=0,p1=1ta có p2= p1q2−p0 =2 và p3= p2q3−p1=3.
• Tính ri : Tiếp theo ta tính ri bằng phương trình sb− pc = ra (hoặc bằng công thức ri+1 =riqi+1−ri−1). Vì 5s0−7p0 =3r0 nên 3r0= 5×3−7×0 hay r0 = 5. Tương tự vì 5s1−7p1 =3r1 nên r1= 1, 5s2−7p2 = 3r2 nên r2 =−3,
5s3−7p3=3r3 nên r3=−7. Tóm lại, ta có µ s p r 0 3 0 5 1 2 1 1 2 1 2 −3 3 0 3 −7
Ta thấy µ =1 là số nguyên duy nhất sao chor1>0>r2 thỏa mãn điều kiện của [11, Định lý 4.1]. Vì thế iđêan định nghĩa của H là
I = (ysµ−xrµzpµ,zpµ+1−x−rµ+1ysµ+1,ysµ−sµ+1
zpµ+1−pµ −xrµ−rµ+1) = (y2−xz,z2−x3y,yz−x4).