Cho U(H, m, M) là tập con các hàm w(x)∈WH+(G) thỏa mãn điều kiện
m ≤ ||w(x)|| ≤M, (1.65)
ở đây 0 ≤ m < M < +∞ là các hằng số. Nếu m = 0 thì U(H, m, M) gồm các hàm w(x)∈ WH+(G) thỏa mãn bất đẳng thức
||w(x)|| ≤M. (1.66)
Bổ đề 1.3.3. Mọi tập U(H, m, M) là compact trong C(G).
Chứng minh. TậpU(H, m, M)là đóng và bị chặn trongC(G)và với hàmw(x)∈
U(H, m, M) thỏa mãn điều kiện Lipschitz bậc một với hằng số M µ1n/n(hH)−1. Vậy U(H, m, M) là compact trong C(G). Bổ đề 1.3.3 được chứng minh.
Định lý 1.3.3. (Định lý chính về cực tiểu tuyệt đối cho IH(u))
Phiếm hàm IH(u) có ít nhất một cực tiểu tuyệt đối là một hàm u = w0(x)
chứa trong WH+(G) và cực tiểu này thỏa mãn bất đẳng thức m0 ≤ ||w(x)|| ≤M0
với m0 = 1 2 hnH+1ψH(G) µn(diamG) 1/n , M0 = max I, (n+ 1)ψH(G) +I µnhH (diamG) n+1 .
Chứng minh. Từ Định lý 1.3.1 suy ra lim
k→∞IH(wk) = +∞nếu wk(x)∈ WH+(G)
và ||wk(x)|| → +∞. Do đó ta có thể tìm được một số dương M0 sao cho IH(w) > 1 nếu ||w(x)|| > M0. Ví dụ ta có thể lấy M0 là số M0 nói đến trong Định lý 1.3.3. Bây giờ từ biểu thức của IH(u)và Định lý 1.3.2 ta thấyIH(0) = 0
và IH(w) < 0 nếu w ∈ WH+(G), ||w|| > 0 và ||w|| là đủ nhỏ. Do đó IH(u) là bị chặn dưới và IH(u) nhận giá trị âm.
Bây giờ ta xét hàm ϕ(t) = µn hn H tn+1− (n+ 1)hH diamG ψH(G)t, với t ∈[0,+∞).
Hàm này chỉ có hai nghiệm 0 và số dương t0 nào đó và chỉ nhận giá trị âm ở phía trong khoảng (0, t0).
Đặt t∗ là điểm sao cho
ϕ(t∗) = inf
0≤t≤t0ϕ(t).
Khi đó ϕ0(t∗) = 0 và t∗ = [hHn+1ψH(G)/µn(diam G)]1/n. Bây giờ hàm
Φ(t) = µnhH
(diamG)n+1tn+1 −(n+ 1)ψH(G)t chỉ có một cực tiểu âm tại điểm
t∗∗ =
ψH(G)[diamG]n+1
µnhH
1/n
. (Rõ ràng t∗∗ là nghiệm duy nhất của Φ0(t) và Φ(t∗∗) = inf
[0,+∞) Φ(t)). Từ t∗ = hH diamG n+2n t∗∗ < t∗∗ và Φ0(t)< 0 trên [0, t∗∗), ta có thể đặt m0 = Φ−1(ϕ(t∗)). Nhắc lại rằng inf WH+(G) IH(w) là một số âm hữu hạn. Rõ ràng là inf WH+(G) IH(w) = inf U(H,m0,M0)IH(u)
với m0 và M0 định nghĩa như ở trên.
Từ Bổ đề 1.3.3 suy ra tồn tại ít nhất một hàm w0(x) ∈ U(H, m0, M0) sao cho
IH(w0(x)) = inf
U(H,m0,M0)IH(u). Định lý 1.3.3 được chứng minh.
Chương 2
Bài toán Dirichlet biến dạng
Cho G là một tập lồi mở bị chặn trong không gian Euclide En, xét phương trình Monge-Ampere
det (uij(x)) =f(x) (2.1) trong đó x ∈G, f(x) là hàm số nhận giá trị dương đã biết.
Nghiệm cổ điển của phương trình Monge-Ampere (2.1) là một hàm lồiu(x)∈
C2(G)∩C(G) thỏa mãn phương trình (2.1).
Cho u(x) ∈ C2(G)∩C(G) là một hàm lồi thỏa mãn phương trình (2.1) và e là một tập con Borel của G, lấy tích phân hai vế của (2.1) trên e ta có:
Z e det (uij(x))dx = Z e f(x)dx, bằng phép đổi biến với p= Du ta thu được:
Z χu(e) dp= Z e f(x)dx, hay ω(u, e) = Z e f(x)dx.
Vớiψ(e) =
Z
e
f(x)dxlà một hàm tập hoàn toàn cộng tính không âm, phương trình Monge-Ampere (2.1) trở thành
ω(u, e) = ψ(e). (2.2)
Hàm lồi u(x) ∈ C(G) mà thỏa mãn phương trình (2.2) được gọi là nghiệm yếu của phương trình Monge-Ampere (2.1).
Bây giờ cho u(x) ∈ C0−(G), H là một tập con lồi của G sao cho hH =
dist (H, ∂G)> 0, w(x) là mở rộng của u(x) trên tập H từ phía dưới và ψH(e)
là hàm tập hoàn toàn cộng tính không âm trên các tập con Borel của G (xem Mục 1.2.1). Khi đó phương trình Monge-Ampere (2.2) có dạng:
ω(w, e) = ψH(e).
Từ Định lý 1.3.3 suy ra cực tiểu tuyệt đối của phiếm hàmIH(u) là đạt được trên một hàm lồi w0(x) ∈ WH+(G) nào đó. Trong phần này, ta thiết lập w0(x)
là nghiệm tổng quát của bài toán Dirichlet ω(w, e) = ψH(e), w|∂G = 0.
2.1 Thể tích hỗn tạp Minkowski
2.1.1 Hàm tựaa. Định nghĩa 2.1.1. a. Định nghĩa 2.1.1.
Cho F là một k-thể lồi bị chặn trong En+1 (k = 1,2, ..., n+ 1) và
(m, r) = H(m) (2.3)
là một siêu phẳng tựa α của F, trong đó m là pháp tuyến ngoài của α và r là một véc tơ xác định tại một điểm của α. Chú ý m không nhất thiết là một véc tơ đơn vị.
Nếu m = ν là véc tơ đơn vị, thì H(ν) là khoảng cách từ gốc của En+1 tới siêu phẳng tựa α.
Nếu gốc tọa độ ở bên ngoài F thìH(ν) là dương, bởi vậy nó xác định khoảng cách từ O tới α. Ta ký hiệu h(ν) là hàm H(m) với véc tơ đơn vị m = ν. Cho
m 6= 0 là một véc tơ, khi đó
ν = m |m|
là một véc tơ đơn vị và ν ↑↑m, vì vậy
H(m) =|m|H
m
|m|
= |m|h(ν). (2.4)
Hàm H(m) với mọi véc tơ m ∈En+1 cho bởi (2.4) được gọi là hàm tựa của thể lồi F.
b. Tính chất của hàm tựa
Định lý 2.1.1. Nếu F là một k-thể lồi bị chặn, khi đó hàm tựa H(m) của nó thỏa mãn các tính chất sau: 1. H(λm) = λH(m), với ∀m > 0, ∀λ > 0 (λ ∈R). (2.5) 2. H(m1+m2)≤H(m1) +H(m2), với ∀m1, m2. (2.6) 3. Nếu F là một (n+ 1)-thể lồi bị chặn thì n+1 X i=1 H(mi)>−H − n+1 X i=1 mi ! (2.7)
với tập gồm n+ 1 véc tơ độc lập tuyến tính m1, m2, ..., mn+1.
Ngược lại nếu H(m) thỏa mãn điều kiện 1. và 2, với ∀m∈ En+1, thì H(m)
là một hàm tựa của k-thể lồi bị chặn F nào đó trong En+1 (0≤ k ≤ n+ 1). Nếu H(m) thỏa mãn thêm điều kiện (2.7) thì thể lồi F nói trên là (n+ 1)
chiều.
Hệ quả 2.1.1. Từ bất đẳng thức (2.5) và (2.6) suy ra H(m) là liên tục, bởi vậy hàm tựa là liên tục với mọi k-thể lồi trong En+1.
2.1.2 Thể tích hỗn tạp Minkowski của khối đa diện lồiCho λ1, λ2, ..., λk là các số thực không âm, và P1, P2, ..., Pk là các khối đa Cho λ1, λ2, ..., λk là các số thực không âm, và P1, P2, ..., Pk là các khối đa diện lồi bị chặn trong En+1, khi đó
P =λ1P1+λ2P2 +· · ·+λkPk (2.8) cũng là một khối đa diện bị chặn, và mỗi mặt Q của P là một tổ hợp tuyến tính Q = λ1Q1+λ2Q2+· · ·+λkQk (2.9) trong đó Qs là mặt củaPs, (s= 1,2, ..., k), vàQs nằm trên các mặt phẳng song song với Qi. Các mặt Qi tạo ra n-mặt Q có thể có ki chiều (0 ≤ ki ≤ n).
Cho Q là một mặt của P, ν là pháp tuyến ngoài đơn vị của Q và h(ν) là hàm tựa của P, số
h= h(ν) (2.10)
gọi là số tựa của n-mặt Q.
Cho h1, h2, ..., hk là các số tựa của các mặt Q1, Q2, ..., Qk của các khối đa diện P1, P2, ..., Pk, khi đó
h= λ1h1+λ2h2+· · ·+λkhk (2.11) là số tựa của mặt Q của khối đa diện
P =λ1P1+λ2P2+· · ·+λkPk.
Định lý 2.1.2. Cho λ1, λ2, ..., λk là các số không âm bất kỳ, P1, P2, ..., Pk xác định các khối đa diện lồi bị chặn trong En+1, và
P =λ1P1+λ2P2+· · ·+λkPk.
Khi đó thể tích V(P) của khối đa diện lồi bị chặn P là một đa thức thuần nhất bậc n+ 1 ứng với các giá trị thực λ1, λ2, ..., λk.
Ta thường viết thể tích V(P) của khối đa diện lồi bị chặn P =λ1P1+λ2P2 +· · ·+λkPk
dưới dạng V(P) = k X i1i2...in+1 λi1λi2...λin+1Vi1i2...in+1 (2.12) trong đó các chỉ số ij chạy độc lập từ 1 đến k. Do đó tích λi1λi2...λin+1 là nhận nhiều lần như sự sắp xếp lại các số nguyên dương i1, i2, ..., in+1. Các hệ số Vi1i2...in+1 xác định không phụ thuộc vào bậc của i1, i2, ..., in+1.
Cho λi1λi2...λin+1 là tích của các số lấy từ λ1, λ2, ..., λk. Tập các giá trị λj bằng 0 trừ các số đã chọn λi1, λi2, ..., λin+1 trong công thức
P = X j
λjPj. (2.13)
Khi đó đa diện Pj tương ứng không bao gồm tổ hợp (2.13). Vậy hệ số Vi1i2...in+1 cho tíchλi1λi2...λin+1 chỉ phụ thuộc vào các đa diện Pi1, Pi2, ..., Pin+1, không nhất thiết phân biệt bởi vì các số nguyên dương i1, i2, ..., in+1 không nhất thiết phân biệt.
Ta xét trường hợp đặc biệt λ1 = 1, λ2 = ... = λk = 0. Khi đó P = P1 từ (2.12) suy ra
V11...1 = V(P1).
Các hệ sốVi1i2...in+1 được gọi làthể tích hỗn tạp Minkowski(hay thể tích hỗn tạp) của đa diệnPi1, Pi2, ..., Pin+1. Ta ký hiệu thể tích này bởiV(Pi1, Pi2, ..., Pin+1). Từ định nghĩa suy ra rằng V(Pi1, Pi2, ..., Pin+1) không phụ thuộc vào bậc của các chỉ số i1, i2, ..., in+1, chúng là các hàm đối xứng của Pi1, ..., Pin+1.
Với trường hợp của hai khối đa diện lồi bị chặn P1 và P2 công thức (2.12) có dạng V(λ1P1+λ2P2) = n+1 X j=1 λ1n+j−1λj2Cnj+1VP1, P1, ..., P1 | {z } n−j+1 ;P2, ..., P2 | {z } j . (2.14) Định lý 2.1.3. Cho V(P0, P1, ..., P1) là thể tích hỗn tạp, Fi (Pi) là các diện tích của các mặt của khối đa diện P1, và h0i là số tựa tương ứng của khối đa
diện P0. Khi đó V(P0, P1, ..., P1) = 1 n+ 1 X i h0iFi(Pi). (2.15) Định lý 2.1.4. Cho P1, P2, ..., Pn+1 là các khối đa diện lồi bị chặn trong En+1, và
P =λ1P1+λ2P2 +· · ·+λkPk
với λ1 ≥ 0, λ2 ≥ 0, ..., λn+1 ≥ 0. Cho Qi là n-mặt của P. Khi đó tồn tại các mặt Qi1, Qi2, ..., Qin+1 của P1, P2, ..., Pn+1 tương ứng sao cho phương trình
Qi =λ1Qi1+λ2Qi2 +· · ·+λn+1Qin+1 và V(P1, P2, ..., Pn+1) = 1 n+ 1 X i hi1F(Qi2, ..., Qin+1) (2.16)
đúng với F(Qi2, ..., Qin+1) là n-thể tích hỗn tạp (diện tích) của Qi2, Qi3, ..., Qin+1.
2.1.3 Thể tích hỗn tạp Minkowski cho thể lồi bị chặn tổng quát
Cho H1, H2, ..., Hn+1 là các thể lồi bị chặn trong En+1 và
H = λ1H1+λ2H2 +· · ·+λn+1Hn+1, với λ1 ≥ 0, λ2 ≥0, ..., λn+1 ≥ 0. Nếu các khối đa diện lồi bị chặn P1(i), P2(i), ..., Pn(i+1) (i= 1,2, ...) hội tụ đến H1, H2, ..., Hn+1 tương ứng, thì khối đa diện
P(i) = λ1P1(i) +λ2P2(i) +· · ·+λn+1Pn(i+1) hội tụ đến H.
Cho F = ∂H khi đó F là một siêu mặt lồi đóng trong En+1. Nếu ψF là ánh xạ cầu của F, thì ψF(F) = Sn, trong đó Sn là siêu cầu đơn vị trong En+1.
M là một tập con của F và với điểm X ⊂ M có ít nhất một siêu phẳng tựa α của F sao cho X =α∩F và ψF(X) = N.
Hàm tập
µF(N) = area M
được gọi là hàm mặt của F, trong đó area M là diện tích của miền M.
Định lý 2.1.5. Cho H là một thể lồi bị chặn trong En+1 và F = ∂H là một siêu mặt lồi đóng trong En+1. Khi đó hàm mặt µF(N), N ∈ Sn là một hàm tập không âm hoàn toàn cộng tính trên vành các tập con Borel của Sn. Hơn nữa các thể lồi bị chặn H(i) hội tụ đến thể lồi bị chặn H khi i →+∞ thì µF(i)(N)
hội tụ yếu đến µF(N), trong đó
F(i) = ∂H(i), F = ∂H.
Bây giờ ta nghiên cứu một vài công thức cho thể tích hỗn tạp Minkowski. Cho H là một thể lồi bị chặn trong En+1 và F =∂H. Ta có công thức
V(H) =
Z
Sn
h(ν)µF(deν) (2.17)
trong đó h(ν) và µF(e) tương ứng là hàm tựa và hàm mặt của H. Thật vậy
V(P) = X i
[h(νi)Fi] (2.18) với khối đa diện lồi bị chặn P nào đó, trong đó ν1, ν2, ..., νm là các pháp tuyến ngoài đơn vị tới các mặt của P và Fi= µ∂F(νi) là diện tích của các mặt của P với các pháp tuyến đó.
Nếu các khối đa diện lồi bị chặnP(i) hội tụ đến một thể lồi bị chặn H trong En+1, khi đó từ (2.18) và Định lý 2.1.5 suy ra
V(P) = lim
i→+∞V(P(i)). (2.19) Từ (2.19) và Định lý 2.1.5 ta có kết quả (2.17).
Định lý 2.1.6. Thể tích của một tổ hợp tuyến tính của các thể lồi bị chặn trong
En+1 là một đa thức thuần nhất bậc n+ 1 ứng với các hệ số của nó.
Chú ý rằng Định lý 2.1.3 và Định lý 2.1.4 có thể mở rộng đến các thể lồi bị chặn trong En+1. Ví dụ phương trình (2.15) có dạng V(H0, H1, ..., H1) = Z ∂H1 h0(ν)dS(1) (2.20)
trong đó h0(ν) là hàm tựa của H0 được tính cho các véc tơ đơn vị ν, và dS(1) là vi phân của diện tích ∂H1.
Các tính chất đơn giản của thể tích hỗn tạp
1. ChoH1, H2, ..., Hn+1 là các thể lồi bị chặn phân biệt trong En+1. Trường hợp với hai thể lồi phân biệt, ta sử dụng ký hiệu đặc biệt
Vm(H1, H2) = V(H1, H1, ..., H1, H2, H2, ..., H2) = Vn+1−m(H1, H2) (2.21) vì vậy V(λ1H1+λ2H2) = n+1 X m=0 Cmn+1λn1+1−mλm2 Vm(H1, H2) và nV1(H1, H2) = lim λ→0 V(H1+λH2)−V(H1) λ , với λ≥ 0. (2.22) 2. Phương trình V(H1, H2, ..., Hn, X) = 0 (2.23) đúng cho điểm X ∈ En+1 nào đó và các thể lồi bị chặn H1, H2, ..., Hn trong En+1. Phương trình (2.23) suy ra trực tiếp từ đẳng thức
V(λ1H1+· · ·+λnHn) = V(λ1H1 +· · ·+λnHn+λn+1X). Nếu các thể lồi H1, H2, ..., Hn+1 trùng nhau và trùng thể lồi H thì
V X i λiH = X i λi n+1 V(H).
Vậy
V(H, H, ..., H) = V(H)
hoặc
V0(H1, H2) =V(H1); Vn+1(H1, H2) =V(H2). 3. Tính chất đơn điệu được cho bởi bất đẳng thức
V(H1, H2, ..., Hn+1)≤ V(H10, H20, ..., Hn0+1) (2.24) nếu Hi ⊂Hi0, (i= 1,2, ..., n+ 1).
4. Nếu thay thế Hn+1 bởi điểm X ∈En+1, khi đó từ (2.23) và (2.24) suy ra thể tích hỗn tạp chỉ cho ta giá trị không âm.
Có thể thấy được V(H1, H2, ..., Hn+1)> 0 khi và chỉ khi ta có thể tìm được một đoạn không suy biếnIi ⊂ Hi, (i= 1,2, ..., n+1) sao choC0(I1∪I2∪...∪In+1)
không nằm trên siêu phẳng nào đó của En+1.
5. Ta giả sử rằng các thể lồi đóng bị chặnH1, H2, ..., Hn+1 là lồi ngặt, và các hàm tựa của chúng thuộc lớp C2 với mọi véc tơ không âm. Từ (2.17), (2.18), (2.20) suy ra V(H1, H2) = 1 n+ 1 Z Sn h2(ν)Dn(H1, ν)dσ (2.25) trong đó ν là véc tơ đơn vị, dσ là vi phân của diện tích của Sn; h1(ν), h2(ν) là các hàm tựa của H1 và H2 và Dm(H1, ν) là ký hiệu tổng tất cả các định thức con chính cấp m của ma trận Hessian của h1(ν).
Sự mở rộng của (2.25) như sau V1(H1, H2, ..., Hn+1) = 1
n+ 1
Z
Sn
hn+1(ν)Dn(H1, H2, ..., Hn, ν)dσ (2.26)
trong đó ν là véc tơ đơn vị; H1, H2, ..., Hn+1 là các thể lồi ngặt bị chặn với các hàm tựa thuộc lớp C2, và Dn(H1, H2, ..., Hn, ν) là số nhân tại λ1λ2...λn trong Dn(H1, H2, ..., Hn, ν) phân chia bởi n!.
Ta thu được từ (2.23) như (2.26) triệt tiêu nếu Hn+1 hội tụ tới điểm X. Từ hn+1 = (OX, ν) (2.27) có kết quả Z Sn uiDn(H1, ..., Hn, ν)dσ = 0, i= 1,2, ..., n+ 1; ν = (u1, u2, ..., un+1), |ν| = 1.
2.2 Đối ngẫu của siêu mặt lồi của một hàm lồi
2.2.1 Ánh xạ đặc biệt trên bán cầu
Cho G là một tập lồi mở trên En. Giả sử Ren+1 ={(p1, p2, ..., pn+1)} là một không gian Euclide (n+ 1)-chiều và S−n là bán cầu đơn vị n chiều:
S−n ={p21+p22+...+p2n+1 = 1, pn+1 <0} (2.28) trong Ren+1. Ta xét ánh xạ γ : S−n →En p 7−→x= γ(p) trong đó: p= (p1, p2, ..., pn, pn+1)∈ S−n x= (x1, x2, ..., xn)∈En x1 = p1 |pn+1|, x2 = p2 |pn+1|, ..., xn = pn |pn+1|. (2.29)
Ta cũng có thể xem xét γ như một vi phôi giữa các đa tạp trơn S−n và En với cấu trúc vi phân tự nhiên. Khi đó vi phôi γ−1 : En → S−n biến điểm x = (x1, x2, ..., xn)∈En nào đó thành điểm p= γ−1(x) = x1 q , x2 q , ..., xn q ,−1 q (2.30)
trong đó q = (1 + x21 + x22 + ... + x2n)1/2. Chúng ta ký hiệu γ−1 = γ1. Tập G∗ = γ1(G) là một tập lồi đóng trong S−n, với G là bao đóng của G và
dist(∂S−n, G∗) = δ0 > 0. 2.2.2 Siêu mặt lồi đối ngẫu
Cho u(x) là một hàm liên tục không dương trên G thỏa mãn điều kiện u|∂G = 0. Hàm u(x) xác định một hàm mới u∗(p) trong G∗ bởi công thức
u∗(p) =
q
(1−p21−p22− · · · −p2
n)u(γ(p)) (2.31) với p = (p1, p2, ..., pn, pn+1) ∈ G∗ ⊂ S−n trong đó x = γ(p). Ngược lại nếu ta định nghĩa u∗(x) = u∗(γ1(x)) (2.32) với p= γ1(x), khi đó u∗(x) = p 1 1 +x2 1+x2 2+...+x2 n u(x). (2.33) Ta ký hiệu H và H là tập con lồi mở của G và bao đóng của nó và giả sử dist(H, ∂G) = hH > 0. Khi đó H∗ =γ1(H) và bao đóng của nó H∗ = γ1(H) là các tập cầu lồi mở và đóng tương ứng và thực chất khoảng cách hH∗ giữa H∗ và ∂G∗ là dương. Rõ ràng hH∗ chỉ phụ thuộc vào hH.
Bất đẳng thức
(p, z)≤ u∗(p). (2.34) Ký hiệu nửa không gian đóng Up ⊂ Ren+1 là với mỗi véc tơ cố định p ∈ G∗ và véc tơ z ∈ Ren+1 nào đó thỏa mãn bất đẳng thức (2.34). Tập
QH(u) = \ p∈H∗
Up (2.35)
là một thể lồi đóng vô hạn trong Ren+1. Các tập K(∂G∗) = \
q∈∂G∗
Vq và K(G∗) = \ q∈G∗
là một và như một nón lồi trong Ren+1 với đỉnhOe(0,0, ...,0), trong đó Vq là nửa