3 Một số ứng dụng của phép chiếu
3.3 Giải bất đẳng thức biến phân
Hãy xét một ứng dụng của phép chiếu vuông góc trong việc giải bài toán bất đẳng thức biến phân sau:
Bài toán: Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng trong Rn và
F : C −→ Rn. Xét bài toán bất đẳng thức biến phân: (VIP)
(
Tìm x∗ ∈ C,
sao cho hF(x∗), x−x∗i ≥ 0, ∀x ∈ C.
Nhiều bài toán trong tối ưu hóa, phương trình vật lý toán và nhiều vấn đề trong kinh tế, kỹ thuật giao thông, đô thị...đều có thể mô tả dưới dạng bài toán (VIP).
Sự tồn tại nghiệm và phương pháp giải bài toán (VIP) có thể dựa vào phép chiếu vuông góc. Cụ thể ta có các kết quả sau:
Mệnh đề 3.3.1. ( xem [2], Chương 5, Mệnh đề 5.2). Giả sử α > 0. Cho
C ⊂ Rn là tập lồi, đóng khác rỗng. Với mỗi x ∈ C, đặt:
h(x) = pC(x− 1
αF(x)).
Khi đó x∗ = h(x∗) khi và chỉ khi x∗ là nghiệm của (VIP).
Chứng minh. Theo tính chất của phép chiếu,h là ánh xạ đơn trị từ C vào C. Theo mệnh đề 2.1.2, ta có: x∗ = h(x∗) = pC(x∗ − 1 αF(x ∗)) khi và chỉ khi hx∗ −x∗ + 1 αF(x ∗), x−x∗i ≥ 0, ∀x ∈ C. Tương đương hF(x∗), x −x∗i ≥ 0, ∀x ∈ C.
hay x∗ là nghiệm bài toán (VIP).
Hệ quả 3.3.2. NếuC ⊂ Rn là tập lồi, compact và F liên tục trênC thì bài toán bất đẳng thức biến phân (VIP) có nghiệm.
Chứng minh. Vì C ⊂ Rn là tập lồi, compact nên pC liên tục. Mặt khác F
liên tục trên tập C nên suy ra
h(x) = pC(x− 1
αF(x)).
là ánh xạ liên tục trên tập C ( vì nó là hợp của hai ánh xạ liên tục). Theo định lý điểm bất động Brouwer,htồn tại điểm bất động. Theo mệnh đề 3.3.1, điểm bất động này là nghiệm của (VIP).
Chú ý 3.3.3. Theo định nghĩa
h(x) = pC(x− 1
αF(x)).
thì xk+1 là nghiệm của bài toán quy hoạch lồi bậc hai
(P(xk)) min{1 2αk z−xk k2 +hF(xk), z −xki | z ∈ C} khi và chỉ khi xk+1 = pC(xk− 1 αF(x k )) Thật vậy, ta có h(xk) =pC(xk − 1 αF(x k))
xk+1 là nghiệm của bài toán quy hoạch lồi bậc hai P(xk)
⇔xk+1 = arg min z∈C{12αkz −xk k2 +hF(xk), z −xki}. ⇔0 ∈ α(xk+1 −xk) +F(xk) +NC(xk+1). ⇔α(xk −xk+1)−F(xk) ∈ NC(xk+1). ⇔ hα(xk −xk+1)−F(xk), x−xk+1i ≤ 0, ∀x∈ C. ⇔ hα (xk− 1 αF(x k)−xk+1) , x−xk+1i ≤ 0, ∀x ∈ C.
⇔ hxk− 1 αF(x
k)−xk+1, x −xk+1i ≤ 0, ∀x ∈ C.
Do đó từ bất đẳng thức trên và định nghĩa của phép chiếu ta được:
xk+1 = h(xk) =pC(xk− 1 αF(x
k))
Theo mệnh đề 3.3.1 việc giải bài toán (VIP) có thể chuyển về việc tìm điểm bất động của ánh xạ h. Do ánh xạ chiếu không giãn nên h là một ánh xạ không giãn. Vì vậy có thể mở rộng nguyên lý ánh xạ co Banach để tìm một điểm bất động của ánh xạ này. Trong một số trường hợp riêng quan trọng h là một ánh xạ co. Khi đó nguyên lý ánh xạ Banach có thể áp dụng trực tiếp để giải (VIP). Dưới đây ta sẽ xét trường hợp này. Ta cần định nghĩa sau:
Định nghĩa 3.3.4.
Một ánh xạ F : C →Rn được gọi là đơn điệu trên C, nếu:
hF(x)−F(y), x−yi ≥ 0, ∀x, y ∈ C.
Một ánh xạ F được gọi là đơn điệu mạnh trên C với hệ số β > 0 nếu:
hF(x)−F(y), x−yi ≥ βk x−y k2, ∀x, y ∈ C.
NếuF là đạo hàm của một hàm lồi ( mạnh) trên C thìF là đơn điệu ( mạnh) trên C.
Một ánh xạ M : C →H gọi là liên tục Lipschitz trên C với hệ số Lipschitz
L ≥ 0nếu:
k M(x)−M(x0) k≤ L k x−x0 k,∀x, x0 ∈ C. (3.6)
Nếu (3.6) được thỏa mãn vớiL < 1thì M gọi là ánh xạ co trênC, nó gọi là không giãn trên C nếu L = 1.
Mệnh đề 3.3.5. (xem [2], Chương 5, Mệnh đề 5.3). Giả sử C ⊂ Rn là tập lồi, đóng, khác rỗng và ánh xạ F : C → Rn đơn điệu mạnh trên C với hệ số β và Lipschitz trên C với hằng số L. Khi đó nếu α > L
2
2β thì
h(x) = pC(x− 1
là ánh xạ co trên C với hệ số co δ = r 1− 2β α + L2 α2. (3.7)
Chứng minh. Do tính không giãn của phép chiếu nên
kh(x)−h(y) k2 ≤ k x− 1 αF(x)−(y − 1 αF(y)) k 2 = k x−y k2 − 2 αhx−y, F(x)−F(y)i+ 1 α2k F(x)−F(y) k2.
Do F là đơn điệu mạnh với hệ số β và Lipschitz với hằng số L nên
hx−y, F(x)−F(y)i ≥ βk x−y k2
và
kF(x)−F(y) k2 ≤ L2kx−y k2.
Từ đây suy ra:
k h(x)−h(y) k2 ≤ k x−y k2 + L 2 α2k x−y k2 − 2β α k x−y k2. = (1 + L 2 α2 − 2β α )k x−y k2. Khi α > L 2 2β ⇒ L 2 α2 − 2β α < 0⇒ 1 + L 2 α2 − 2β α < 1. Vậy h là ánh xạ co với hệ số co là δ = r 1− 2β α + L2 α2.
Từ mệnh đề này ta có hệ quả sau:
Hệ quả 3.3.6. Nếu C ⊂ Rn là tập lồi, đóng, khác rỗng và ánh xạ
F : C −→ Rn đơn điệu mạnh và Lipschitz trênC thì bài toán (VIP) luôn có nghiệm duy nhất.
Sử dụng mệnh đề 3.3.5 ta có thể mô tả thuật toán để giải bất đẳng thức biến phân đơn điệu mạnh trên cơ sở nguyên lý ánh xạ co Banach.
Thuật toán :
Ban đầu: chọnα > L
2
2β và ≥ 0.
Bước 0 : giả sử x0 ∈ C. Đặt k = 0.
Bước 1 : Giải bài toán quy hoạch lồi bậc hai
(P(xk)) min{1
2αk z−xk k2 +hF(xk), z −xki | z ∈ C}
ta thu được nghiệm duy nhất của nó là xk+1
Nếu δk+1
1−δ kx1−x0 k≤ kết thúc thuật toán: xk+1 la−nghiệm của (VIP). Trái lại, cho k ← k+ 1 và quay lại bước 1.
Giả sử x∗ là kí hiệu điểm bất động duy nhất của h. Do xk+1 = h(xk), ta có
k xk+1 −x∗ k≤ δ k+1
1−δ kx0 −x1 k,
với δ là hệ số co của h.
Do vậy, nếu thuật toán kết thúc tại bước lặp lại k thì k xk+1 −x∗ k≤ .
Do đóxk+1 là −nghiệm của (VIP).
Trong trường hợp = 0 thì thuật toán có thể không hữu hạn. Khi đó, dãy
xk được tạo thành bằng thuật toán sẽ hội tụ tới điểm bất động duy nhất
x∗ của h và theo nguyên lý ánh xạ co Banach, ta có sự đánh giá sau:
k xk+1 −x∗ k≤ δ k+1
1−δ kx0 −x1 k .
Chú ý 3.3.7. Từ (3.7) ta thấy rằng hệ số coδ là một hàm của tham số chính quy α. Sự tính toán cơ bản từ (3.7) thấy rằng δ có giá trị nhỏ nhất, tức là khi
α = L
2
β . Khi chọn α = L
2
Kết luận
Trong luận văn này,chúng tôi đã trình bày về phép chiếu và một số ứng dụng của nó, cụ thể :
Định nghĩa, tính chất của phép chiếu và công thức tính tọa độ hình chiếu của một điểm bất kỳ lên siêu phẳng, hình cầu, siêu cầu trongRn.
ứng dụng của phép chiếu để chứng minh một số định lý quan trọng như : Định lý tách, Định lý về sự tồn tại dưới vi phân của hàm lồi, Định lý về sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biên phân...
Xây dựng thuật toán đi tìm nghiệm của bài toán Bất đẳng thức biến phân sử dụng tính chất của phép chiếu.
Trong luận văn này, chúng tôi chưa xét đến trường hợp tổng quát, khi tập chiếu không phải là một tập lồi đóng. Khi đó, hình chiếu của một điểm lên một tập hợp có thể không tồn tại hoặc tồn tại nhưng không duy nhất. Đó là một bài toán tương đối phức tạp đòi hỏi nhiều kiến thức sâu rộng về nhiều lĩnh vực khác.
Tài liệu tham khảo
[1] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội.
[2] Lê Dũng Mưu, Nguyễn Văn Hiền (2009), Nhập môn giải tích lồi ứng dụng, Nhà xuất bản Khoa học tự nhiên và Công nghệ, Hà Nội.
[3] Hoàng Tụy (2006), Lý thuyết tối ưu, Viện toán học, Hà Nội.
[4] Nguyen Van Hien (2003), Lecture 3: Projection Algorithms for Mono- tone VIPs, CIUF - CUD Summer School on Optimization and Appied Mathematics. Cần Thơ.
[5] Pham Ngoc Anh And Le Dung Muu (2004), Coupling the Banach Con- traction Mapping Principle and the Proximal Point Algorithm for Solv- ing Monotone Variational Inequalities, ACTA MATHEMATICA VIET- NAMICA, 29, pp 119 - 133.