2 Các phản ví dụ của nguyên lý Hasse-Minkowski cho hệ các dạng
2.3.2 Nghiệm modulo một số nguyên tố lẻ
Cho plà một số nguyên tố lẻ. Bây giờ chúng ta sẽ đi tìm nghiệm không tầm thường của hệ au2+cw2 =dz2, uw =v2, (2.8)
với các giá trị của ẩn trong Fp, trong đó a, c, d∈ Fp là các phần tử khác không. Ta thay a và c bằng ad−1 và cd−1 nên ta có thể giả sử d = 1. Phương trình đầu tiên aU2 +cW2 = Z2 có thể tham số hóa theo phương pháp trình bày ở Mục 2.3.1, và chúng ta cần xác định ít nhất một trong các nghiệm đó thỏa mãn phương trình U W =V2. Để làm điều đó chúng ta cần một số bổ đề sau.
Bổ đề 2.3.4. Cho f, g ∈Fp[X] là các đa thức khác không có bậc lớn nhất bằng
2. Nếu f(pt) =g(pt) với mọi t ∈Fp, hoặc nếu f(pt)=−g(pt) với mọi t∈Fp, thì f, g là liên kết.
Nhắc lại: a
p
là kí hiệu Legendre được định nghĩa như sau:
a p =
1 nếu a là một bình phương khác không trong Fp,
−1 nếu a là không là một bình phương trong Fp,
0 nếu a= 0 trong Fp.
Do p là lẻ nên −1,1,0 là các phần tử khác nhau trong Fp.
Chứng minh. Từ tiêu chuẩn Euler ta có: f(t)p−21 = g(t)p−21 với mọi t ∈ Fp, hay phương trình có p nghiệm, mà degf(t)p−21−g(t)p−21 < p, nên f(t)p−21 −g(t)p−21 là đa thức không. Do Fp[x] là miền nhân tử hóa duy nhất nên f, g sai khác nhau một hằng số.
Tương tự, với trường hợp f(t)p−21 =−g(t)p−21.
Khẳng định sau cho thấy hệ (2.8) có nghiệm không tầm thường modulo p.
Định lý 2.3.5. Cho p là một số nguyên tố lẻ, a, c, d ∈ Fp là các phần tử khác không. Khi đó hệ phương trình
au2+cw2 =dz2, uw =v2,
Chứng minh. Như nhận xét ở trên chúng ta có thể giả sử d = 1. Sử dụng cách tham số hóa đường conic au2+cw2 = dz2 như trong Bổ đề 2.3.1 (Bổ đề 2.3.3 khẳng định sự tồn tại tham số hóa đó) suy ra tồn tại các đa thứcq1, q2, q3 ∈Fp[T], trong đó aq12+bq22 =q32. Do Char Fp 6= 2 nên q1, q2 không liên kết.
Cho q1, q2, q3 ∈Fp[T] như trong Bổ đề 2.3.1. Thế thì aq21+bq22 =q23. (Các đa thức q1, q2, q3 tồn tại do sự tồn tại của x0, y0 ∈Fp được cho trong Bổ đề 2.3.2.) Do Char Fp 6= 2 nên q1, q2 không liên kết, áp dụng Mệnh đề 2.3.6 suy ra tồn tại t ∈Fp sao cho
q1(t) p 6 =−q2(t) p . (2.9) Suy ra q1(t)q2(t) p 6
= −1; mặt khác q1(t)q2(t) = c2 với c ∈ Fp. Hơn nữa,
q1(t), q2(t) không đồng thời bằng 0 (vì ngược lại mâu thuẫn với (2.9). Do đó
U =q1(t), W =q2(t), Z =q3(t), V = c là một nghiệm không tầm thường).