Các phép chiếu hình chiếu của các đối tượng trong không gian lên mặt phẳng bằng cách sử dụng mặt phẳng hình chiếu

Đồ thức của một điểm

+ Góc tư I là phần không gian nằm phía trước mặt phẳng P1 và phía trên mặt phẳng. + Góc tư III là phần không gian nằm phía sau mặt phẳng P1 và phía dưới mặt phẳng P2 (điểm thuộc góc III có độ xa < 0,. + Góc tư IV là phần không gian nằm phía trước mặt phẳng P1 và phía dưới mặt phẳng P2( điểm thuộc góc IV có độ xa > 0,.

- Mặt phẳng chia đôi góc tư II và IV gọi là mặt phẳng phân giác II.

Dùng 3 mặt phẳng hình chiếu

Các yếu tố thuộc mặt phẳng P1, P2 được định nghĩa như dùng 2 mặt phẳng hình chiếu. B3 còn có thể tìm được bằng các cách như mô tả trên hình a và hình b ở dưới đây.

Cách chuyển từ toạ độ đề các thẳng góc sang đồ thức

Từ sự tương quan trên, ta dễ dàng vẽ được đồ thức của một điểm khi biết các toạ.

Đường thẳng

• đồ thức của đường thẳng
• các đường thẳng đặc biệt
• điểm thuộc đường thẳng
• vết của đường thẳng

Từ hai hình chiếu l1, l2 của đường thẳng ta có thể dựng lại đường thẳng l bằng cách: Từ hình chiếu đứng l1 dựng mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu. - Góc giữa hình chiếu cạnh của đường cạnh với trục z là góc giữa đường thẳng đó với mặt phẳng hình chiếu đứng P1. - Góc giữa hình chiếu cạnh của đường cạnh với trục y là góc giữa đường thẳng đó với mặt phẳng hình chiếu bằng P2.

- Hình chiếu đứng và hình chiếu cạnh của bất kì đoạn thẳng nào thuộc đường thẳng chiếu bằng cũng có độ dài bằng độ dài thật. -đường thẳng không phải là đường cạnh hoàn toàn được xác định khi biết hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của nó. -Trường hợp đường cạnh, khi biết hình đứng và hình bằng , đường thẳng đó chưa được xác định: Bởi mặt phẳng đi qua hai hình chiếu đó và tương ứng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng và mặt phẳng hình chiếu bằng sẽ trùng nhau.

* Định lý: Điều kiện cần và đủ để một điểm thuộc đường thẳng là: hình chiếu đứng của điểm thuộc hình chiếu đứng của đường thẳng, hình chiếu bằng của điểm thuộc hình chiếu bằng của đường thẳng. Từ P2 kẻ đường dóng song song với trục z, cắt hình chiếu cạnh l3 của đường thẳng tại điểm P3 chính là hình chiếu cạnh hay vết cạnh của đường thẳng l.

Hình chiếu song song của đường tròn

+ Hình chiếu của 2 đường kính vuông góc của vòng tròn là hai đường kính liên hiệp của Elíp hình chiếu. Trường hợp các đường kính liên hiệp vuông góc với nhau ta gọi là trục ngắn và trục dài của Elíp. + Trục dài của Elíp là hình chiếu của đường kính song song với mặt phẳng hình chiếu của đường tròn.

+ Trục ngắn của Elíp là hình chiếu của đường kính nằm trên đừơng dốc nhất của mặt phẳng chứa hình tròn với mặt phẳng hình chiếu. - Khi hình chiếu của đường cong là cung tròn thì ta vẽ cung tròn bằng compa. - Khi đường cong trên hình chiếu không phải là đường tròn thì phải tìm hình chiếu của một số điểm cần thiết trên đường cong và nối các điểm đó lại thì được hình chiếu của đường cong , số điểm tìm được càng nhiều thì đường cong vẽ được càng chính xác.

Ví dụ: cho đường tròn tâm o thuộc mặt phẳng α (nα, mα).Biết O1 và hai vết của mặt phẳng α,vẽ các hình chiếu của đường tròn đó.Cho bán kính đường tròn bằng R.

Định nghĩa

- Đa diện được biểu diễn bằng các hình chiếu bởi hình chiếu các cạnh, các đỉnh và các mặt bên của nó. - Để vẽ điểm thuộc cạnh của đa diện ta áp dụng bài toán vẽ điểm thuộc đường thẳng.

Điểm thuộc đa diện

Để vẽ điểm thuộc mặt bên của lăng trụ, ta gắn điểm vào đường sinh thuộc mặt bên và song song với cạnh bên của lăng trụ. - Mặt cong là quỹ tích của một đường (đường thẳng hoặc đường cong) chuyển động theo một quy luật nào đó. +một đường thẳng được gọi là tiếp tuyến của mặt cong tại điểm M, nếu nó là tiếp tuyến tại M của một đường cong vẽ trên mặt cong qua.

Nếu các tiếp tuyến này cùng nằm trên một mặt phẳng, thì mặt phẳng này gọi là mặt phẳng tiếp xúc của mặt cong tại M. +Hai mặt cong gọi là tiếp xúc với nhau tại điểm M, nếu điểm M thuộc cả hai mặt và hai mặt phẳng tiếp xúc của hai mặt cong tại M trùng nhau. +Đường cong m gọi là đường thấy ngoài trên mặt Φ ứng với hướng chiếu s.Đường thấy ngoài định ra trên mặt Φ phần mặt trông thấy và phần mặt bị che khuất theo hướng chiếu s.

Trên mỗi hình chiếu cần xác định hình chiếu của đỉnh nón, đáy nón, đường sinh bao ngoài và xác. +Trên hình chiếu đứng, nửa trước của mặt nón giới hạn bởi đường thấy ngoài sẽ thấy, còn nửa sau khuất. +Trên hình chiếu bằng, nửa trên của mặt nón giới hạn bởi đường thấy ngoài sẽ thấy, còn nửa dưới sẽ khuất.

Xét thấy khuất, các đường sinh có chân nằm trên cung A2D2B2 là thấy trên hình chiếu đứng của mặt nãn. -Theo hướng chiếu bằng, đường thấy ngoài là hai đường sinh SC và SD ,hình chiếu bằng của chúng là S2C2. •Định nghĩa: Mặt trụ là quỹ tích của một đường thẳng chuyển động luôn song song với một đư.

-Để xác định các hình chiếu của điểm thuộc mặt trụ, ta gắn điểm vào đường sinh của mặt trụ. Đường bao quanh hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của mặt cầu là 2 vòng tròn bằng nhau có đường kính bằng đường kính mặt cầu đã cho. Để xác định điểm thuộc mặt cầu ta gắn điểm đó vào đường tròn nằm trên mặt phẳng bằng hoặc mặt phẳng mặt của mặt cầu.

Giao của mặt phẳng với các mặt

• Dạng của giao
• Mặt phẳng bất kỳ cắt lăng trụ chiếu

- Nếu mặt phẳng cắt hợp với trục của trụ một góc θ <90° thì giao tuyến là một Elíp. - Mặt phẳng cắt mặt cầu theo giao tuyến là một đường tròn nếu khoảng cách từ tâm cầu tới mặt phẳng nhỏ hơn bán kính cầu. - Một hình chiếu của giao tuyến đã biết nằm trên hình chiếu suy biến của mặt phẳng chiếu.

- Hình chiếu còn lại của giao tìm được dựa vào bài toán vẽ điểm hay đường thẳng thuộc đa diện. - Khi xét thấy khuất, cạnh nào thuộc mặt thấy trên hình chiếu tương ứng của đa diện thì sẽ thấy. - Nối các đỉnh tìm được và xét thấy khuất của chúng, ta được hình chiếu bằng của giao.

- Một hình chiếu của giao đã biết nằm trên hình chiếu suy biến của lăng trụ chiếu. - Hình chiếu còn lại tìm bằng cách áp dụng bài toán vẽ điểm hay đường thẳng thuộc mặt phẳng. - Tìm hình chiếu đứng bằng cách gắn chúng vào các đường thẳng của mặt phẳng α, ta tìm được các đỉnh là 11,21,31- và nối chúng bằng các.

Trường hợp này chưa có hình chiếu nào của giao tuyến đã biết Để xác định giao ta thường dùng phương pháp mặt phẳng phụ trợ để tìm giao của đường thẳng bất kỳ(cạnh của đa diện) với mặt phẳng bất kỳ (mặt phẳng cắt), rồi nối các đỉnh thuộc cùng một mặt bên của đa diện lại với nhau bằng các đoạn thẳng và xét thấy khuất của chúng. - Ta dùng các mặt phẳng phụ trợ chiếu đứng, lần lượt tìm giao của các cạnh SA,SB,SC với mf(α)- tư. - Giao của mặt phẳng chiếu với mặt cong có một hình chiếu suy biến trùng với hình chiếu suy biến của mặt phẳng.

+ Tìm hình chiếu của một số điểm cần thiết thuộc giao tuyến như: Các điểm giới hạn thấy khuất (nếu có); điểm cao nhất, thấp nhất; điểm xa nhất, gần nhất. - Mặt phẳng(α) cắt tất cả các đường sinh của nón và không vuông góc với trục nón, vậy giao tuyến là Elíp. - Giao tuyến có một hình chiếu đã biết trùng với hình chiếu suy biến của trụ chiếu.