Luận văn thạc sĩ tính điều khiển được của hệ tuyến tính rời rạc

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - Nguyễn Lý Vinh Hạnh TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA HỆ TUYẾN TÍNH RỜI RẠC LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – Năm 2017 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - Nguyễn Lý Vinh Hạnh TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA HỆ TUYẾN TÍNH RỜI RẠC Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 60460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: Ts Đỗ Đức Thuận Lài cam ơn Đưoc sn phân cơng cna Khoa Tốn - Cơ - Tin HQ c trưòng Đai HQ c Khoa HQ c Tn nhiên, ĐHQGHN sn đong ý cna thay giáo hưóng dan TS Đo Đúc Thu¾n tơi thnc hi¾n đe tài "Tính đieu khien đưoc cna h¾ tuyen tính rịi rac" Đe hồn thành khóa lu¾n này, xin chân thành cam ơn thay cô giáo t¾n tình hưóng dan, giang day suot q trình tơi HQ c t¾p, nghiên cúu rèn luy¾n o trưịng Đai HQ c Khoa HQ c Tn nhiên Xin chân thành cám ơn thay giáo hưóng dan TS Đo Đúc Thu¾n t¾n tình, chu đáo hưóng dan tơi thnc hi¾n khóa lu¾n M¾c dù co gang rat nhieu ban thân van han che nên khóa lu¾n khơng the tránh khoi nhung thieu sót nhat đ%nh Tơi rat mong đưoc sn góp ý cna q thay giáo ban đong nghi¾p đe khóa lu¾n đưoc hồn chinh Tơi xin chân thành cám ơn! Hà n®i, tháng năm 2017 Nguyen Lý Vinh Hanh Mnc lnc Lài ma đau Danh mnc kí hi¾u chE viet tat H¾ đieu khien tuyen tính 1.1 H¾ đieu khien tuyen tính liên tuc 3 1.1.1 Khái ni¾m đieu khien đưoc 1.1.2 Đ¾c trưng cho tính đieu khien đưoc 1.2 H¾ đieu khien tuyen tính ròi rac 11 1.2.1 Mơ hình rịi rac khái ni¾m đieu khien đưoc 11 1.2.2 Đ¾c trưng cho tính đieu khien đưoc 13 H¾ tuyen tính rài rac có tre 23 2.1 Khái ni¾m đieu khien đưoc tương đoi 23 2.2 Đ¾c trưng cho tính đieu khien đưoc tương đoi 24 2.3 Dang cna hàm đieu khien đưoc 31 Ket lu¾n 36 Tài li¾u tham khao 37 i Lài ma đau Lý thuyet đieu khien đưoc phát trien tù khoang 150 năm trưóc sn thnc hi¾n đieu khien HQc bat đau can đưoc mô ta phân tích m®t cách tốn HQc Tù đó, đóng vai trị rat quan TRQNG nhieu ngành khoa HQc, đ¾c bi¾t kĩ thu¾t tốn HQc (xem [3, 4, 5, 6]) Ví du van đe đe đieu khien tàu vũ tru, tên lua, đieu kien kinh te cna m®t quoc gia, đieu khien robot, Khi xét h¾ rịi rac, mơ hình tuyen tính thuan nhat có the bieu dien boi h¾ phương trình sai phân x(n + 1) = Ax(n), (1) bien (n), , Do takhơng khơng the đieu khien 1(n), k(n) xAVì làv¾y, max2trắn k xì k ieu Hắ yeu notuyen tỏchắđng túi oc mđtcừ mụ hỡnh khien cna cú hắ rũitorac tớnh đưoc phát trien có dang x(n + 1) = Ax(n) + Bu(n), (2) ú mđt B lvector ma trắn cừ k Trong ì m, hắ ocny, GQi l ma trắn au vo v u(n) l m ì ta có m bien đieu khien u1(n), u2(n), , um(n), m ≤ k Trong lu¾n văn chúng tơi t¾p trung trình bày tính đieu khien đưoc cna h¾ tuyen tớnh rũi rac Nđi dung khúa luắn gom phan mo đau, phan ket lu¾n, danh muc tài li¾u tham khao chương vói n®i dung sau: Chương 1: Trình bày tính đieu khien đưoc cna h¾ tuyen tính Chương 2: Trình bày tính đieu khien đưoc cna h¾ tuyen tính rịi rac có tre Danh mnc kí hiắu v chE viet tat R C Rn Rnìm rankA Im(A) , rang eA t¾p so thnc t¾p so phúc khơng gian Euclide n chieu t¾p ma trắn n hng m cđt hang cna ma trắn A anh cna ma tr¾n A L1[0, T ; Rm] t¾p hàm kha tích đ%a phương tù [0; T ] vào Rm S(t) ma cơđưoc ban Gramian QT ma tr¾n tr¾n nghi¾m đieu khien [A|B] ma tr¾n [B, AB, , An−1B] Z+ Zqs eBk m t¾p so nguyên dương t¾p {s, s + 1, , q} s = −∞ ho¾c q = ∞ ma tr¾n rịi rac có tre dang mũ Chương H¾ đieu khien tuyen tính 1.1 H¾ đieu khien tuyen tính liên tnc Trong muc này, chúng tơi trình bày ngan gQN ket qua ve tính đieu khien đưoc cna h¾ đieu khien tuyen tính liên tuc, dna tài li¾u tham khao [7] 1.1.1 Khái ni¾m đieu khien đưac H¾ đieu khien tuyen tính liên tuc đưoc mơ ta boi phương trình vi phân d = Ay(t) + Bu(t), dt n m ∈ y(0) = x R , u(t)R (1.1) m kha tích đ%aAphương, túc u(t) L1→ [0,Rn Tduy ;làRcác ] vói > Ta biet : Rn →trình Rnlà,(1.1) B : có R∈mnghi¾m tốnMQI tu Ttuyen tính, u(t) vói hàm phương nhat ∫ t y(t) = S(t)x S(t − ∞ + s)Bu(s)ds, o S(t) = eAt Σ A n nn t ma tr¾n nghi¾m ban = n= ! Đ%nh nghĩa 1.1.1 Trang thái b đưac GQI đat đưac tù trang thái a thài gian T > neu ton tai đieu khien u(t) xác đ%nh [0, T ] cho phương trình (1.1) có nghi¾m y(t) thóa mãn y(0) = a, y(T ) = b Quy ưóc: Trang thái a đat đưoc tù a thòi gian T = Đ%nh nghĩa 1.1.2 Trang thái b đưac GQI đat đưac tù trang thái a hay trang thái a d%ch chuyen đưac đen trang thái b neu b đat đưac tù a thài gian T > Đ%nh nghĩa 1.1.3 H¾ (1.1) đưac GQI đieu khien đưac thài gian T > neu b a hai trang thái bat kì b có the đat đưac tù a thài gian T Đ%nh nghĩa 1.1.4 H¾ (1.1) đưac GQI đieu khien đưac neu b a hai trang thái bat kì b có the đat đưac tù a 1.1.2 ắc trng cho tớnh ieu khien ac Mđt hm bat kỳ u(.) xác đ%nh [0; +∞) kha tích đ%a phương có giá tr% Rn se đưoc GQI đieu khien ho¾c đau vào cna h¾ (1.1) Nghi¾m tương úng cna phương trình (1.1) se đưoc ký hi¾u y x,u (.) đe nhan manh sn phu thuđc vo ieu kiắn ban au x v au vào u(.) Ta nói m®t đieu khien u chuyen m®t trang thái a tói trang thái b neu ton tai thòi điem T > cho ya,u(T ) = b (1.2) Khi trang thái a b% chuyen sang trang thái b tai thòi điem T hay trang thái b đat đưoc tù trang thái a tai thòi điem T M¾nh đe dưói nêu lên cơng thúc đieu khien chuyen tù a tói b Trong cơng thúc ma tr¾n QT GQI ma tr¾n đieu khien đưoc Gramian: ∫T ∗ S(r)BB ∗ S QT = (r)dr, T > 0 QT đoi xúng xác đ%nh khơng âm n ∗ ∗ đó)avái MQI a, b ∈ R đieu khien u(s) = −B S ma (t −tr¾n s)QQ−T (S(T − Bo đe 1.1.1 Gia su vái T > đó, khơng suy bien b), s ∈ [0, T ] d%ch chuyen tù trang thái a đenT trang thái b thài gian T, túc vái đieu khien h¾ (1.1) có nghi¾m y(t) thóa mãn y(0) = a, y(T ) = b ∫t Chúng minh Ta có S(t y(t) = S(t)a ∫0 + − s)Bu(s)ds = S( t) a − − t S(t s)BB ∗ S ∗ (t − s)Q−T (S(T )a − b)ds De thay y(0) = S(0)a = a y(T ) = S(T ) a− ∫ S(T − s)BB T S (T − s)ds QT ∗ ∗ b) (S(T )aΣ −−1 = S(T )a − QT Q−T (S(T )a − b) = b Bo đe 1.1.2 Neu MQI trang thái b ∈ Rn đeu đat đưac tù 0, ma tr¾n QT khơng suy bien vái MQI T > Chúng minh Xét ∫ LT u = T − S(r)Bu(T r)dr u n [0, T ; Rm ]) u (0) = Đ¾t E u =cna LnTnghi¾m (L T(t) khơng gian véc tơ R < SuyT L = y (t) y cna h¾TE (1.1) n Jđưoc thoa mãn Vì MQI b ∈ R đeu tù nên E∈ Neu Eu ⊂0 E tù taiT T T0;đat T >0 T suy T ,, ∀T TT = Rn T =nVói 0R T > ∪0, v≥đó ,Rra u MQI ∈ton L1[0, Rm]cho ta có ∫ ∗ (QT v, S(r)B (r) T ∗ B S∗ v) = ∫ B ∗S dr Σv, ǁ (r)vǁ dr ( T Σ v = J ∫ ( (LT u, v) = T u(r) ,B ∗S ∗(T − r)v)dr Vì the neu QT v = vói v thu®c Rn , T > hàm B ∗S ∗(r)v đong nhat bang [0, T ] Do hàm f (r) = B ∗S ∗(r)v hàm giai tích (có the khai trien thành chuoi Taylor vơ han) f (r) = vói MQI r ∈ [0, T ] f (r) phai bang vói MQI r ∈ R+ Tù cơng thúc bieu dien cna LT suy (LT u, v) = 0, ∀u, ∀T > Túc v⊥ET ∀T > mà vái k ∈ Zk∗−1 Bk lT em b=0 − m (2.33) Chúng minh (Chúng minh phan chúng) Gia su ton tai vector khơng tam thưịng l cho (2.33) Phân tích (2.33) theo đ%nh nghĩa ma tr¾n mũ ròi rac expm(BK) ý rang k∗ − = (n − 1)(m + 1), ta có   lT b − m k ∈ Z0 ,   1 k lT I + B   b k  k − m  1k Bk = lTme b lT I + B  + B    b = (m+1)+ k ∈1Z 2(m+1) ,  k k −n (n −  T  −1 n−1 1  l I + B   + + B   ∈  2)m , (n − 1)(m + 1) = k ∗ −  b  (2.34) (n−1) k Z Tù (2.34) ta (m+1) có (n−2) (m+1)+1 T Bk T B(k−m) = O[lT eBk b, mb] = l O [e m ]b = l Be m 0 k ∈ Z1 , − ∈ m  l T B I + B  k   b lT Bb k 2m+1 ,  =Z   k ∈ Zm, 1  k − (n − k T l I + B   + + B n−2  3)m m+1 (2.35)   1 (n−1)(m+1)−1 k , (n 1)(m + 1) = k∗  2.∈ Z − − n −   − (n−2)(m+1) Ta tiep tuc tính sai phân cho m đen b¾c (n − m1) Cuoi cùng, tù (2.35) ta có = On−1[lT eBkb] = lT Bn−1eB(k−(n−1)m)b 0 k ∈ Z (n−2)m− (2.36)  , −m = lT B n−1b = k Z (n−1)m , (n 1)m = k∗  ∈ − n − (n−2)m T Bây ta cho lT btuc = (2.34), Bb (2.36), = bieu thúc giị (2.35) tiep v¾ybieu cho thúc tói bieu thúcl cuoi ta có lT Bn−1b = Như v¾y ta có h¾ phương trình lT S = H¾ h¾ phương trình thuan nhat có nghi¾m khơng tam thưịng chi det S = Đieu mâu thuan vói gia thiet ban đau v¾y thành phan cna vector eBkb (2.33) l đc m lắp tuyen tớnh trờn đoan Zk∗−1 −m Bo đe 2.3.2 Lay k1 ≥ k ∗ Khi ma tr¾n k1 m m Σ không suy bien j=1 Chúng minh Do thành phan cna (eBkb), i = 1, 2, , n cna vector Bk e b l đc lắp tuyen tớnh trờn oan nên ta có Z −m ∗−1 k m m theo bő đe chúng minh o trên, n m B(k1 −m−j) (e Σ T b) l = i= m li (eB(k1 −m−j) b)i ƒ= T k1 vói vector tam , thưịng bat ýkỳrang l =k(l =) kho¾c 1, l2, , ln) vàk j −1 −n(m + không 1) + 1, k1 (chú − m − ∈ Z ∗ Σ B(k1− m−[(e j) T − m m j=1 b) l] > k1 ≥ n Bien đői ve trái ta có k1 Σ k1 m m k1 [(eB(k1 −m−j) b)T l]2 j= = Σ m [(eB(k1 −m−j) b)T l] j= [(eB(k1 −m−j) b)T l] = Σ [lT eB(k1 −m−j) b)][bT m m (2.37) B(k1 −m−j) T (ej=1 ) l] k1 Σ m m = lTj=1 [eB(k1 −m−j) bbT = lT Gl Do lT Gl > Suy det G ƒ= (eB(k1 −m−j) )T ]l Đ%nh lý 2.3.1 Vái đieu ki¾n đieu khien tương đoi (2.13) - (2.14) đưac thóa mãn Khi hàm đieu khien u = u∗ cho h¾ (2.8) - (2.10) có the bieu dien bang công thúc sau mB(k1 −m−k−1) )T G−1 ξ, u∗(k) = bT (e (2.38) −1 vector ξ đưac xác đ%nh theo công thúc (2.11) k ∈ Zk1 thoa mãn (2.15), nên Chúng minh Do hàm đieu khien u∗ (j), j ∈ −1 Z k1 ta can chúng minh h¾ sau k1 Σ B(k j) m1−m− e j=1 k1 có nghi¾m u(j − 1) = u∗(j −bu(j 1), j− ∈ Bây ξ giò se tìm hàm 11)Z = đieu khien có dang tő hop tuyen tính B(k1 −m−j) u(j − 1) = (e b)T D, m (2.40) D = (D1, D2, , Dn)T vector chưa biet Ta thay bieu dien (2.40) vào (2.39), ta có h¾ tuyen tính thuan nhat cna D1, D2, , Dn Σ k1 j= Σ1 ho¾c dang ma tr¾n m m eB(k1 −m−j) bbT eB(k1 −m−j) Σ TΣ D=ξ GD = ξ Su dung bő đe 2.2.4, ta có ma tr¾n G khơng suy bien D = G−1ξ V¾y tù bieu thúc (2.40), ta có m u(j − 1) = (eB(k1 −m−j) b)T G−1ξ bieu thúc tương đương vói (2.38) Ket lu¾n Trong khóa lu¾n tơi trình bày: Trình by mđt so kien thỳc chung cna hắ rũi rac tuyet tính liên tuc rịi rac, khơng tre cú tre, cỏc khỏi niắm c ban, v mđt so ví du minh HQA cho tính chat Trình bày đưoc đ%nh lý m¾nh đe ve tính đieu khien đưoc cna h¾ rịi rac tuyen tính có tre Do thịi gian trình đ® cịn han che nên khóa lu¾n khơng tránh khoi thieu sót nhat đ%nh Tơi rat mong đưoc sn góp ý q báu cna thay cô ban ĐQc đe báo cáo đưoc hồn thi¾n Tơi xin chân thành cam ơn! Tài li¾u tham khao [1] Josef Diblik, Denys Ya Khusainov, M Ruzickova, Controllability of linear discrete systems with constant coefficients and pure delay, SIAM J Cotrol Optim 47 (2008), pp 1140 - 1149 [2] Saber Elaydi, An introduction to difference equations, Springer, 2000 [3]M.L.J Hautus, Controllability and observability conditions of linear autonomous systems, Nederl Acad Wetensch Proc Ser A72 (1969), pp 443-448 [4]R.E Kalman, Contributions to the theory of optimal control, Bul Soc Math Mexicana (1960), pp 102-119 [5]E.B Lee and L Markus, Foundations of Optimal Control Theory, Wiley, New York, 1967 [6] Roberto Triggiani, Controllability and observability in Banach space with bounded operators, SIAM J Cotrol Optim 13 (1975), 462 - 491 [7] 1992 Jerzy An Zabczyk, Mathematical control theory: introduction Birkhăauser, Boston Basel Berlin, G= eB(k1 −m−j) bbT ... HỌC TỰ NHIÊN - Nguyễn Lý Vinh Hạnh TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA HỆ TUYẾN TÍNH RỜI RẠC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: Ts Đỗ... khien tuyen tính 1.1 H¾ đieu khien tuyen tính liên tuc 3 1.1.1 Khái ni¾m đieu khien đưoc 1.1.2 Đ¾c trưng cho tính đieu khien đưoc 1.2 H¾ đieu khien tuyen tính rịi... khao chương vói n®i dung sau: Chương 1: Trình bày tính đieu khien đưoc cna h¾ tuyen tính Chương 2: Trình bày tính đieu khien đưoc cna h¾ tuyen tính rịi rac có tre Danh mnc kớ hiắu v chE viet tat