Hình nón lớp 12 có lời giải

Thầy Ngô Long Quảng Oai - 0988666363 MẶT NÓN A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Mặt nón tròn xoay Trong mặt phẳng ( P ) , cho hai đường thẳng d  cắt tại O và chúng tạo thành góc  với 00    900 Khi quay (P) xung quanh trục  với góc  không thay đổi được gọi O  là mặt nón tròn xoay đỉnh O Đường thẳng  gọi là trục, đường thẳng d được gọi là đường sinh và góc  gọi là góc ở đỉnh Hình nón tròn xoay Cho OIM vuông tại I quay quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OIM tạo thành mợt hình, gọi là hình nón d O Hình O tròn xoay  Đường thẳng OI gọi là trục, O là đỉnh, OI gọi là đường cao và OM gọi là đường sinh của hình nón  Hình tròn tâm I , bán kính r = IM là đáy của hình nón  Phần mặt tròn xoay sinh bởi các điểm cạnh OM I M quay quanh OI gọi là mặt xung quanh của hình nón Hình Khối nón tròn xoay là phần khơng gian được giới hạn bởi một hình nón tròn xoay, kể hình nón đó Một số tính chất a) Nếu cắt hình nón bởi mặt phẳng ( P ) qua đỉnh giao tuyến là tam giác cân b) Nếu cắt hình nón bởi mặt phẳng ( P ) vuông góc với trục hình nón  giao tuyến là một đường tròn Công thức diện tích và thể tích của hình nón Cho hình nón có chiều cao là h , bán kính đáy r và đường sinh là l thì có:  Diện tích xung quanh: Sxq =  rl  Diện tích toàn phần hình nón: Stp = Sxq + Sđáy =  rl +  r 1  Thể tích khối nón: Vnón = Sđáy h =  r h 3 B BÀI TẬP MẪU Ví dụ 1: Cho tam giác vuông OIM quanh cạnh góc vuông OI tạo thành một hình nón tròn xoay Biết góc IOM = 30 và cạnh IM = a Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay và thể tích của khối nón tròn xoay được tạo nên bởi hình nón tròn xoay CHUYÊN ĐÊ: NÓN- TRỤ -CẦU Trang | Thầy Ngô Long Quảng Oai - 0988666363 Giải: O Ta có: r = IM = a l = OM = IM sin IOM 30 = 2a , h = OI = OM − IM = a Diện tích xung quanh của hình nón: Sxq =  rl =  a.2a = 2 a2 I M 1 a Thể tích của khối nón: V =  r h =  a2 a = 3 3 Ví dụ 2: Mợt hình nón có đường kính đáy là 2a , góc ở đỉnh là 1200 Tính diện tích toàn phần của hình nón và thể tích của khối nón Giải: O Ta có r = IA = a , IOA = 60 nên l = OA = 120 IA a = = 2a , h = OI = OA − IA = 4a − 3a = a sin 60 A B I Diện tích xung quanh của hình nón: Sxq =  rl =  a 3.2a = 2 a2 Diện tích đáy của hình nón: Sđáy =  r = 3 a ( ) Diện tích toàn phần của hình nón: Stp = Sxq + Sđáy = 2 a2 + 3 a2 = +  a2 1 Thể tích của khối nón: V = Sđáy h = 3 a2 a =  a3 3 Ví dụ 3: Cho hình nón có chiều cao h = 20 cm, bán kính đáy r = 25 cm Mặt phẳng ( ) qua đỉnh cắt hai đường sinh của hình nón Biết khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng ( ) 12 cm Tính diện tích thiết diện đó Giải: Ta có ( ) cắt hình nón theo thiết diện là tam giác cân OAB với A , B là hai điểm nằm đường tròn đáy Gọi H là trung điểm AB đó IH ⊥ AB Mà OI ⊥ AB suy AB ⊥ ( OIH ) ( 1) Kẻ IK ⊥ OH , K nằm OH O h K B I r H A Từ ( ) suy IK ⊥ AB Do đó IK ⊥ ( OAB ) Theo giả thiết IK = 12 cm Tam giác OIH vuông tại I nên 1 OI IK 20.12 = +  IH = = = 15 cm 2 IK IH OI OI − IK 20 − 12 OH = OI + IH = 20 + 152 = 25 cm AH = IA − IH = 252 − 152 = 20 cm  AB = 40 cm 1 Diện tích thiết diện: S = OH.AB = 25.40 = 500 cm2 2 CHUYÊN ĐÊ: NÓN- TRỤ -CẦU Trang | Thầy Ngô Long Quảng Oai - 0988666363 C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Cho hình nón đỉnh S có thiết diện qua trục là tam giác vuông cân SAB có cạnh huyền a Tính diện tích toàn phần của hình nón và thể tích của khối nón tương ứng Đáp án: Stp =  a2 (1 + 2) ;V =  a3 12 Bài Cho hình nón tròn xoay có đỉnh là S có O là tâm của đường tròn đáy, đường sinh a và góc đường sinh và mặt phẳng đáy 600 Tính diện tích xung quanh Sxq của hình nón và thể tích của khối nón tương ứng Đáp án: Sxq =  a2 ; V =  a3 12 Bài Cho hình nón tròn xoay có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có diện tích 2a2 Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khối nón tướng ứng Đáp án: Sxq = 2 a2 2; V = 2 a3 Bài Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.ABCD có cạnh đáy a , chiều cao 2a Biết O là tâm của ABCD ( C ) là đường tròn nội tiếp đáy ABCD Tính diện tích xung quanh của hình nón có đỉnh O và đáy ( C ) Đáp án: Sxq = Bài Cho hình nón đỉnh O , chiều cao là h Một khối nón khác có 3 a2 O đỉnh là tâm của đáy và có đáy là là một thiết diện song song với đáy của hình nón đỉnh O cho Tính chiều cao x của khối nón này để h thể tích của nó lớn nhất, biết  x  h h Đáp án: x = x D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Tính diện tích, thể tích mặt nón đơn Câu 1: Cho hình nón có bán kính đáy 4a , chiều cao 3a Diện tích xung quanh hình nón A 24 a2 B 20 a2 C 40 a2 D 12 a2 Hướng dẫn giải: Chọn B S xq =  rl ; l = (3a ) + (4a ) = (5a )  l = 5a  S xq = 20 a CHUYÊN ĐÊ: NÓN- TRỤ -CẦU Trang | Thầy Ngô Long Quảng Oai - 0988666363 Câu 2: Mợt hình nón có đường sinh đường kính đáy Diện tích đáy của hình nón 9 Tính đường cao h của hình nón A h = 3 B h = C h = D h = Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có l = 2R S = 9   R2 = 9  R =  h = AO = 62 − 32 = 3 Câu 3: : Mợt hình nón có thiết diện qua trục tam giác đều cạnh a Thể tích khối nón a 3 12 Hướng dẫn giải: A B a 3 24 C a 2 24 D a 2 12 Chọn B Ta có tam giác SAB đều cạnh a , SO = a a , r = OB = 2  a a  3a = Vậy thể tích khối nón V =  r SO = 12 24 Câu 4: : Cho hình nón có chiều cao 3cm , góc trục đường sinh 60 Thể tích của khối nón A 9 cm3 B 3 cm3 C 18 cm3 D 27 cm3 Hướng dẫn giải Chọn D CHUYÊN ĐÊ: NÓN- TRỤ -CẦU Trang | Thầy Ngô Long Quảng Oai - 0988666363 600 h = 3cm Chọ n D H ì r n h Hình nón có chiều cao h = 3cm n Bán kính đáy r = h.tan 600 = 3cm ó 1 n Thể tích khối nón là: V =  r h =  3 = 27 cm3 3 c Câu 5: : Cho hình nón có đợ dài đường sinh 2cm ó , góc ở đỉnh 60 Diện tích xung quanh của hình nón A  cm2 B 2 cm2 C.c 3 cm2 D 6 cm2 h Hướng dẫn giải: i ề Chọn B u ( ) c a ol 60 h B n Do góc ở đỉnh 60o suy thiết diện qua trục hình nón tam giác đều r k í n h Diện tích xung quanh của hình nón S xq =  rl = 2 cm Ta có r = , l = r = 2r = sin 300 đ kính đáy a Tính diện tích xung Câu 6: : Mợt hình nón có chiều cao a bán quanh S xq của hình nón y A S xq = 2 a B S xq = 3 a C S xq =  a D S xq = 2a Hướng dẫn giải Chọn A T h Đường sinh: l = h + r = 2a Diện tích xung quanh S xq =  rl = 2 a ể Câu 7: : Thiết diện qua trục hình nón mợt tam giác vng cân có cạnh góc vng a t Diện tích tồn phần thể tích của khối nóní tương ứng có giá trị lần lượt c h CHUYÊN ĐÊ: NÓN- TRỤ -CẦU k h Trang | Thầy Ngô Long Quảng Oai - 0988666363 A 2 a (1 + ) a C 2 a B 2 a 12 (1 + ) a D 2 a 2 a 2 a 12 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có đường kính đáy a  R = a , chiều cao hình nón  a  a a Stp = S xq + Sd =  a +    =   2 ( ) a a2 − a2 = 2 +1 2 1  a  a  a3 Ta có V = B.h =   =  3   12 Câu 8: Mợt hình nón có góc ở đỉnh 600 , đường sinh 2a, diện tích xung quanh của hình nón là: A S xq = 4 a B S xq = 2 a C S xq =  a D S xq = 3 a Hướng dẫn giải: Chọn B Góc  được gọi góc ở đỉnh Ta tính được r = 2a sin 300 = a  S xq =  rl = 2 a Câu 9: Cho khối trịn xoay có đường cao h = 15cm đường sinh l = 25cm Thể tích V của khối nón là: A V = 2000 ( cm3 ) B V = 240 ( cm3 ) C V = 500 ( cm3 ) D V = 1500 ( cm3 ) Hướng dẫn giải: Chọn A Thể tích khối nón trịn xoay V = r h Trong đó r bán kính đáy, h chiều cao Mối quan hệ đại lượng h, r, l hình nón l = h + r Bán kính đáy của hình nón r = l2 − h = 252 − 152 = 20 CHUYÊN ĐÊ: NÓN- TRỤ -CẦU Trang | Thầy Ngô Long Quảng Oai - 0988666363 1 Thể tích khối trịn xoay V = r h = .202.15 = 2000 3 Câu 10: : Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng qua trục ta được mợt tam giác vng cân có cạnh huyền a Gọi BC dây cung của đường trịn đáy hình nón cho mặt phẳng ( SBC ) tạo với mặt phẳng đáy một góc 600 Tính diện tích tam giác SBC a2 3 Hướng dẫn giải: Đáp án B A S = B S = a2 C S = a2 D S = a2 2 S B A O I C SAB vuông cân ở S, AB = a 2,SA = SB = a suy OB = a = SO Gọi I trung điểm BC, SBC cân ở S suy SI ⊥ BC Góc =góc SIO = 600 SO a sin SIO = = sin 600 → SI = SI a BC = 2BI = SB2 − SI = a  SSBC = SI.BC = Câu 11: Bán kính đáy của hình nón a , diện tích xung quanh hai lần diện tích đáy Tính thể tích V của khối nón A V = a3  B V = a3 3 C V = a3  D V = 4 a Hướng dẫn giải: Chọn A Gọi h, l , R lần lượt chiều cao, đường sinh bán kính đáy của hình nón Ta có diện tích xung quanh hai lần diện tích đáy  l = 2r = 2a a3 h = l − r = a Vậy thể tích của khối nón là: V =  r h= π 3 Câu 12: : Cho hình nón có đường cao 20cm, bán kính đáy 25cm Diện tích xung quanh hình nón đó là: CHUN ĐÊ: NĨN- TRỤ -CẦU Trang | Thầy Ngơ Long Quảng Oai - 0988666363 A 125π 41cm2 B 120π 41cm2 C 480π 41cm2 D 768π 41cm2 Hướng dẫn giải Đáp án A Độ dài đường sinh là: l = 202 + 252 = 41 Diện tích xung quanh hình nón đó là: Sxq = πRl = π.25.5 41 = 125π 41 ( cm ) Câu 13: hình trịn bán kính OA, OB ghép bán kính đó lại cho thành mợt hình nón : Cho hình trịn có bán kính Cắt bỏ Thể tích khối nón tương ứng đó là: 81π Hướng dẫn giải: Đáp án A A B 9π C 81π D 9π Đợ dài đường sinh l của hình nón bán kính của hình trịn  l = Chu vi đáy của hình nón sau bỏ phần tam giác OAB độ dài cung lớn AB: lAB = ( 2π.6 ) = 9π 9π = Bán kính đáy của hình nón sau ghép là: R N = 2π 2 9 Đợ dài đường cao của hình nón là: h = l − R = =   = 2 2 2 1   81 7π Thể tích khối nón đó là: V = S.h = πR h = π   = 3 2 Câu 14: : Cho khối nón ( ) tích 4 chiều cao Tính bán kính đường trịn đáy của khối nón ( ) A B C D Hướng dẫn giải Chọn A 3V 3.4 r2 = = =4r = h 3 CHUN ĐÊ: NĨN- TRỤ -CẦU Trang | Thầy Ngơ Long Quảng Oai - 0988666363 Câu 15: 4R Khi góc ở đỉnh của hình : Mợt hình nón có bán kính đáy R , đường cao nón 2 thỏa mãn đẳng thức: A sin  = 3 B cos  = D cot  = C tan  = Hướng dẫn giải: Chọn A 4  Đợ dài đường sinh của hình nón là: l = R +  R  = R Vậy: 3  sin  = R = R Câu 16: Tính thể tích khối nón, biết khối nón có chu vi đáy 6 chiều cao A V 30 B V 45 C V D V 15 10 Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có chu vi đáy C = 2 R = 6  R = 1 Vậy thể tích khối nón V =  R h =  32.5 = 15 3 Câu 17: Cho hình nón ( N ) có diện tích tồn phần 24 cm2 bán kính mặt đáy cm Tính thể tích V của khối nón ( N ) ( ) A V = 6 cm3 ( ) B V = 24 cm3 ( ) C V = 12 cm3 ( ) D V = 36 cm3 Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có Stp = S xq + S d =  R +  Rl =  32 +  3.l = 24  l = ( cm ) Vậy chiều cao h = 4cm 1 Vậy thể tích khối nón là: V =  R h =  32.4 = 12 3 Câu 18: : Cắt một hình nón bởi một mặt phẳng qua trục của nó, ta được thiết diện là một tam giác vuông có diện tích Tính diện tích toàn phần của hình nón A B (1 2) C (1 D 2) Hướng dẫn giải: Chọn C Thiết diện với hình nón qua trục tam giác cân nên theo giả thiết thiết diện tam giác vuông cân có cạnh đường sinh l nên ta có S = l =  l = l =3 Khi đó bán kính đường trịn đáy chiều cao của hình nón h = R = ( Vậy diện tích tồn phần của hình nón là: Stp =  R +  Rl = 9 + Câu 19: ) : Cho khối nón có bán kính đáy thể tích 12 Tính diện tích xung quanh S xq của hình nón ? A S xq = 18 B S xq = 16 CHUYÊN ĐÊ: NÓN- TRỤ -CẦU C S xq = 24 D S xq = 15 Trang | Thầy Ngô Long Quảng Oai - 0988666363 Hướng dẫn giải: Chọn D 1 Ta có V =  R h =  32.h = 12  h = Vậy độ dài đường sinh l = 3 Vậy S xq =  Rl =  3.5 = 15 Câu 20: Mợt hình nón có đợ dài đường sinh 2a mặt phẳng qua trục cắt hình nón theo thiết diện tam giác vng Tính thể tích V của khối nón 2 a 3 a 3 a 2 a B V = C V = D V = 3 3 Hướng dẫn giải: Chọn A Thiết diện qua trục tam giác vuông cân cạnh 2a nên bán kính qua trục đường cao đều 2 a a thể tích V =  a = 3 A V = ( Câu 21: ) Một hình nón tích 4 a3 bán kính của đường trịn đáy 2a Khi đó, đường cao của hình nón là: A a B 2a C a D 3a Hướng dẫn giải: Chọn A 1 4 a3 h=a Ta có Vn = S h =  r h =  ( 2a ) h = 3 3 Câu 22: Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO Gọi A B hai điểm tḥc đường trịn đáy của hình nón cho khoảng cách từ O đến AB SAO = 300 ; SAB = 600 Tính diện tích xung quanh hình nón A 4 B 3 C 2 D 3 Hướng dẫn giải: Chọn A I trung điểm của AB OI ⊥ AB; SI ⊥ AB; OI = CHUYÊN ĐÊ: NÓN- TRỤ -CẦU Trang 10 | Thầy Ngô Long Quảng Oai - 0988666363 VSAB = 3a ( canh )  = 3a  SA = a  r = h = a  Sxq = .a 3.a = 3a Câu 36: Một hình nón có diện tích đáy 16 dm và diện tích xung quanh 20 dm Thể tích của khối nón là A 16 dm B 8 dm3 C 32 dm3 D 16  dm Hướng dẫn giải: Đáp án A ( )  r = Ta có  r = 16    h = Thể tích khối nón: V = h.r = 16 dm l  r = 20 l =  Quay tam giác Câu 37: : Cho tam giác ABC vng tại A có AB = 6, AC = Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay tạo thành quay tam giác ABC quanh cạnh AC A S xq = 160 B S xq = 80 C S xq = 120 D S xq = 60 Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có S xq =  Rl Với l = BC = AB + AC = 10 , R = AB = Vậy S xq =  6.10 = 60 Câu 38: Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại tại A có AB = 2, AC = quay xung quanh cạnh AC tạo thành hình nón trịn xoay Tính diện tích xung quanh S xq của hình nón đó A S xq = 5 B Sxq = 12 C Sxq = 6 D S xq = 5 Hướng dẫn giải: Chọn C Theo giả thiết hình nón cho có R = AB = 2, h = AC =  l = BC = Vậy diện tích xung quanh của hình nón là: S xq =  Rl =  2.3 = 6 Câu 39: : Cho tam giác ABC có AB = 13 ( cm ) , BC = ( cm ) AC = ( cm ) Thể tích V của khối tròn xoay được tạo thành quay tam giác ABC quanh trục AC CHUYÊN ĐÊ: NÓN- TRỤ -CẦU Trang 16 | Thầy Ngô Long Quảng Oai - 0988666363 10 ( cm3 ) Hướng dẫn giải Chọn D A V = B V = 8 ( cm3 ) C V = 16 ( cm3 ) D V = 8 ( cm3 ) A C B H Theo Hê rơng, diện tích tam giác ABC là: S = Mặt khác S = BH AC = BH = 2 Vậy AH = AB − BH =  CH = Vậy thể tích khối nón được sinh là: 1 V =  BH AH −  BH CH =  3 Câu 40: Cho tam giác AOB vuông tại O, có A = 30o AB = a Quay tam giác AOB quanh trục AO ta được mợt hình nón có diện tích xung quanh bằng: a a B Hướng dẫn giải: Chọn A OB  OB = sin A AB = a = R Ta có sin A = AB C a A D a 1 Vậy diện tích xung quanh của hình nón là: S xq =  Rl =  a.a =  a 2 Câu 41: Cho tam giác ABC có ABC = 45, ACB = 30, AB = Quay tam giác quanh cạnh BC , ta được khối trịn xoay tích A V = (  1+ 24 ) B V = (  1+ 72 ) C V = (  1+ 3 ) D V = (  1+ ) Hướng dẫn giải: Chọn A CHUYÊN ĐÊ: NĨN- TRỤ -CẦU Trang 17 | Thầy Ngơ Long Quảng Oai - 0988666363 A 2 450 B C H Từ A kẻ AH ⊥ BC Khi đó tam giác ABH vng cân tại H , có AB = nên AH = BH = 2 nên HC = 2 Thể tích khối trịn xoay được tính tởng thể tích hai khối nón được sinh quay bởi tam giác ABH , ACH Tam giác AHC vng tại H có góc C = 300 , AH = (  1+ 1 V = BH  AH + CH  AH = 3 24 Câu 42: ) Cho tam giác ABC đều cạnh cm quay xung quanh đường cao AH tạo nên mợt hình nón Thể tích của khối nón đó là:  ( cm3 ) Hướng dẫn giải: Chọn C A B 32  ( cm3 ) C  ( cm3 ) D 16  ( cm3 ) A B C H BC = r = = = 2 2 1  Thể tích của khối nón V =  r h =  22.2 = 3 Theo giả thiết ta có h = AH = Câu 43: : Tam giác ABC vng tại B có AB = 3a , BC = a Khi quay hình tam giác đó quanh đường thẳng AB mợt góc 360 ta được mợt khối trịn xoay Thể tích của khối trịn xoay đó là: A  a B  a3 C  a3 D 3 a3 Hướng dẫn giải Chọn A CHUYÊN ĐÊ: NÓN- TRỤ -CẦU Trang 18 | Thầy Ngô Long Quảng Oai - 0988666363 Theo đề ta thu được hình nón có h = AB = 3a , R = BC = a 1 V =  R h =  a 3a =  a 3 Câu 44: Tam giác ABC vuông tại A cạnh AB = , cạnh AC = , M trung điểm của cạnh AC Tính thể tích khối xoay tam giác BMC qua vòng quanh cạnh AB là: A 98 B 108 C 96 D 86 Hướng dẫn giải: Chọn C Khi quay tam giác BMC quanh cạnh AB ta thấy khối trịn xoay tạo hình tích thể tích hình nón có đường cao cạnh AB đường sinh cạnh BC trừ hình nón có đường cao cạnh AB đường sinh cạnh huyền BM của tam giác ABM Khi đó thể tích khối trịn xoay tạo V = Câu 45: 1 AB. AC − AB. AM = 96 3 Tam giác ABC vuông tại B , AB = 10, BC = Gọi M , N lần lượt trung điểm của AB, AC Thể tích khối trịn xoay hình thang vng BMNC quay mợt vịng quanh MB là: 40 A Hướng dẫn giải: B 20 C 102 D 140 Chọn D Thể tích hình cần tính hiệu thể tích của hình nón có bán kính đáy BC, chiều cao AB hình nón có bán kính đáy MN, chiều cao AM 140 V =  (10.42 − 5.22 ) = 3 Câu 46: : Cho hình tam giác ABC vuông tại A có ABC = 300 và cạnh góc vuông AC = 2a quay quanh cạnh AC tạo thành hình nón tròn xoay có diện tích xung quanh bằng: A 16a B 8a C 2a D a 3 Hướng dẫn giải: CHUYÊN ĐÊ: NÓN- TRỤ -CẦU Trang 19 | Thầy Ngô Long Quảng Oai - 0988666363 Đáp án B AC = 2a ; Suy AB = 3a; BC = 4a Khi quay quanh cạnh AC ta được một hình nón Có đường sinh = 4a và bán kính đáy là 3a Diện tích xung quanh: S =  rl =  3a.4a = 8 a2 Câu 47: Một tam giác ABC vuông tại A với AB = 6, AC = Cho hình tam giác ABC quay quanh cạnh AC ta được hình nón có diện tích xung quanh diện tích tồn phần lần lượt S1 , S2 Khi đó A S1 = S2 B S1 = S2 C S1 = S 13 D S1 = S2 Hướng dẫn giải: Chọn D Khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC ta được khối nón có đường cao AC, bán kính đường trịn đáy AB đợ dài đường sinh BC S  rl l 10 = = = Khi đó = S  rl +  r r + l 10 + Câu 48: Tam giác ABC vuông tại B AB = 2a, BC = a Cho tam giác ABC quay mợt vịng quanh cạnh hùn AC Gọi V1 thể tích khối nón có đường sinh AB, V2 thể tích khối nón có đường sinh BC Khi đó tỉ số A B V1 V2 C D 2 Hướng dẫn giải: Chọn B Khi quay hình tam giác ABC quanh cạnh AC hình nón có đường sinh AB nhận BH bán kính hình trịn đáy, hình nón nhận BC đường sinh nhận BH bán kính hình trịn đáy Ta có HB = Ta có 5 a  AH = , CH = 5 V1 AH = =4 V2 CH Câu 49: Cho tam giác ABO vuông tại O, có góc BAO = 300 , AB = a Quay tam giác ABO quanh trục AO ta được một hình nón có diện tích xung quanh bằng: CHUN ĐÊ: NĨN- TRỤ -CẦU Trang 20 | Thầy Ngơ Long Quảng Oai - 0988666363 A  a B 2 a C  a2 D  a2 Hướng dẫn giải: Chọn C Hình nón thu được có đường sinh l = AB = a; bán kính đáy xung quanh Câu 50: Sxq =  rl = r = OB = AB.sin30 = a diện tích  a2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy SC = a Khi tam giác SAC quay quanh cạnh SA đường gấp khúc SAC tạo thành mợt hình nón trịn xoay Thể tích của khối nón tròn xoay đó là: 4 a3 Hướng dẫn giải: Chọn A A B a 3 C  a3 3 D  a3 Ta có AC = a  SA = SC − AC = 6a − 2a = 2a 1 4 a3 V =  R h =  AC SA =  2a 2a = 3 3 Câu 51: Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại C có đường cao kẻ từ C h = a , CA = a Khi đó đường sinh l của hình nón nhận được quay tam giác ABC qua trục CA là? A l = a B l = 2a C l = 3a D l = 2a Hướng dẫn giải: Chọn D Đường sinh của hình nón quay được thực chất cạnh hùn AB của tam giác vuông ABC Mà tam giác vuông có mợt cạnh bên đường cao, ta chỉ cần áp dụng công thức hệ thức lượng tam giác: 1 1 = +  = 2+ 2 h CA CB 3a a CB  CB = a  AB = 2a CHUYÊN ĐÊ: NÓN- TRỤ -CẦU Trang 21 | Thầy Ngô Long Quảng Oai - 0988666363 Câu 52: : Trong không gian, cho tam giác ABC tam giác vuông cân tại A , gọi I trung điểm của BC , BC = Tính diện tích xung quanh của hình nón nhận được quay tam giác ABC quanh trục AI A S xq = 2 B S xq = 2 D S xq = 4 C S xq = 2 Hướng dẫn giải Chọn A A B I C 2cm Hình nón nhận được quay ABC quanh trục AI có bán kính IB đường sinh AB ABC vuông cân tại A nên: AI = BI = 1cm AB = AI = S xq =  r.l =  = 2 Câu 53: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R có BAC = 75, ACB = 60 Kẻ BH ⊥ AC Quay ABC quanh AC BHC tạo thành hình nón xoay ( N ) Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay ( N ) theo R A 3+ 2  R2 B 3+  R2 C ( )R +1 D ( )R +1 Hướng dẫn giải: Chọn B B O 60° 75° A H C Hình nón ( N ) có đường sinh là đoạn l = BC , đường cao h = CH bán kính r = BH Trong ABC ta có BC = 2R sin 750 Trong BHC ta có BH = BC.sin 600 = BC Diện tích xung quanh hình nón : 3+ S xq =  rl =  BC.BH =  BC =  R 2 CHUYÊN ĐÊ: NĨN- TRỤ -CẦU Trang 22 | Thầy Ngơ Long Quảng Oai - 0988666363 Câu 54: Cho tam giác ABC vuông tại A , AB = 3a , AC = 4a Gọi M là trung điểm của AC Khi qua quanh AB, các đường gấp khúc AMB , ACB sinh các hình nón có diện tích xung quanh lần lượt là S1 , S2 Tính tỉ số A S1 13 = S2 10 B S1 S2 S1 = S2 C S1 = S2 D S1 = S2 Hướng dẫn giải: Chọn A AC  AC  2 S1 =  rl AB +  1 =   = 2 13 ; S2 =  r2l2 =  AC AB + AC = 20   Do đó S1 13 = S2 10 Mặt nón ngoại tiếp khối đa diện Câu 55: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy 2a, góc cạnh bên mặt đáy 300 Tính diện tích xung quanh mặt nón thể tích của khối nón có đỉnh S đáy đường trịn ngoại tiếp đáy hình chóp S.ABCD 6 a A S xq =  a ;V = B S xq =  a ;V = 2 3 a  a3 ;V = C S xq = 12 Hướng dẫn giải: Chọn D  a3 12 3 a 2 6 a ;V = D S xq = S 2a a 300 A D a O B 2a CHUYÊN ĐÊ: NÓN- TRỤ -CẦU C Trang 23 | Thầy Ngô Long Quảng Oai - 0988666363 a 2a ; SD = 3 3 a 6 a S xq = SD. OC = ;V = SO. OC = 3 Tính được OD=OC = a 2, SO = Câu 56: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với mặt đáy góc 600 Hình nón có đỉnh S, đáy đường trịn nợi tiếp tứ giác ABCD có diện tích xung quanh A S = 2 a B S = 7 a C S =  a2 D S =  a2 Hướng dẫn giải: Chọn C Hình chóp tứ giác đều hình chóp có đáy hình vng đường cao của hình chóp qua tâm O của đáy Gọi O tâm của đáy ABCD Ta có SO ⊥ ( ABCD )  SO ⊥ OD Từ đó ta có mợt góc cạnh bên đáy góc SDO = 600  SO = OD tan 600 = a a tan 600 = 2  l = SD = SO + OD = a Diện tích xung quanh hình nón cần tính S xq =  rl =  OD.SD =  a Câu 57: Hình nón tròn xoay ngoại tiếp tứ diện đều cạnh a, có diện tích xung quanh là: A S xq =  a2 B S xq =  a2 C S xq =  a2 3 D S xq =  a2 Hướng dẫn giải: Chọn C S a A C O H B Kẻ SO ⊥ ( ABC ) ,SH ⊥ BC  OH ⊥ BC 2 a a AH = = 3 3 a a S xq =  OA.SA =  a = 3 Ta có OA = Câu 58: Cho hình nón đỉnh S Xét hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác ngoại tiếp đường tròn đáy của hình nón và có AB = BC = 10a, AC = 12a , góc tạo bởi hai mặt phẳng và 450 Tính thể tích khối nón cho CHUYÊN ĐÊ: NÓN- TRỤ -CẦU Trang 24 | Thầy Ngô Long Quảng Oai - 0988666363 B 12 a3 A 9 a3 C 27 a3 D 3 a3 Hướng dẫn giải: Chọn A Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC cũng là tâm đường tròn đáy của hình nón Gọi E là trung điểm của AC đó BE = AB − AE = 8a S AB + BC + CA P= = 16a  r = ABC = p Dựng IM ⊥ AB  AB ⊥ ( SMI )  SMI = 450 Mặt khác IM = r = 3a  SI = IM tan 450 = 3a Vậy V( N ) = SI  r = 9 a3 Câu 59: Cho hình lập phương cạnh a Gọi O tâm của hình vng ABCD Khi đó thể tích của khối nón có đỉnh O đáy hình trịn nợi tiếp hình vng A ' B ' C ' D ' bằng: 1 1  a3 A  a B  a3 C D  a 12 Hướng dẫn giải: Chọn C Do đường trịn đáy của hình nón nợi tiếp hình vuông A ' B ' C ' D ' nên đợ dài đường kính hình a a a3 tròn d = a  R = Khi đó V = a    =  2 12 Câu 60: Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy a , góc mặt bên và đáy 60 Tính diện tích xung quanh S xq của hình nón đỉnh S , có đáy là hình tròn ngoại tiếp tam giác ABC A S xq =  a2 B S xq = CHUYÊN ĐÊ: NÓN- TRỤ -CẦU  a 10 C S xq =  a2 D S xq =  a2 Trang 25 | Thầy Ngô Long Quảng Oai - 0988666363 Hướng dẫn giải: Chọn D S A C 60° G N B Hình nón đỉnh S và đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có: a Bán kính đường tròn đáy r = AG = AN = 3 Đường sinh l = SA = SG + AG = ( GN tan 60) + AG 2 a  a 3 =   +  a  = 12     Diện tích xung quanh: S xq =  rl = Câu 61:  a2 Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy a, góc cạnh bên và mặt đáy 600 Tính thể tích của hình nón có đỉnh S và đáy là đường tròn ngoại tiếp đáy hình chóp S.ABCD A Sxq = a ; V = a 12 C Sxq = 2a ; V = a 3 12 B Sxq = a ; V = a 3 12 D Sxq = 2a ; V = a 6 Hướng dẫn giải: Đáp án B Gọi O là tâm của hình vuông ABCD Do S.ABCD là hình chóp đều nên SO ⊥ ( ACBD ) Suy ra, OB là hình chiếu vuông góc của SB lên mp a Do đó, SBO = 600 Kết hợp r = OB = ta suy : a a h = SO = OB.tan 600 = 3= 2 CHUYÊN ĐÊ: NÓN- TRỤ -CẦU Trang 26 | Thầy Ngô Long Quảng Oai - 0988666363 a a a = Thể tích hình nón: V = .r h =  3 2 12 Câu 62: Cho S.ABCD là hình chóp tứ giác đều, cạnh đáy a, cạnh bên hợp với đáy góc 450 Hình tròn xoay đỉnh S, đáy là đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD, có diện tích xung quanh là: B Sxq = a A Sxq = 2a C Sxq = a 2 D Sxq = a Hướng dẫn giải: Đáp án C Hình tròn xoay này là hình nón Kẻ SO ⊥ ( ABCD ) O tâm của hình vuông ABCD Do SOA vuông cân tại O nên a SA = OA = =a AB a a Sxq =  SA =  .a = 2 Vận dụng cao Câu 63: Hoàn có một tấm bìa hình tròn hình vẽ, Hoàn muốn biến hình tròn đó thành một hình cái phễu hình nón Khi đó Hoàn phải cắt bỏ hình quạt tròn AOB dán hai bán kính OA và OB lại với Gọi x là góc ở tâm hình quạt tròn dùng làm phễu Tìm x để thể tích phễu lớn nhất? r A, B h R xO R B A A  B  O C  D  Hướng dẫn giải: Đáp án A l AB = Rx ; r = Rx 2 1 2 2 2 V = R h = R x (4 − x ) = R x x (8 − x ) 2 24 24 2 2 Để V lớn nhất x = 8 − x  x = CHUYÊN ĐÊ: NÓN- TRỤ -CẦU 6 Trang 27 | Thầy Ngô Long Quảng Oai - 0988666363 Cho hình nón tròn xoay có đỉnh S và đáy là đường tròn C (O ; R ) với R = a (a  0), Câu 64: SO = 2a,O ' SO thỏa mãn OO  = x (  x  2a ), mặt phẳng ( ) vuông góc với SO tại O  cắt hình nón tròn xoay theo giao tuyến là đường tròn (C  ) Thể tích khối nón đỉnh O đáy là đường tròn (C  ) đạt giá trị lớn nhất a Hướng dẫn giải: Đáp án D A x = B x = a a C x = D x = 2a R 2a − x R = (2a − x) Suy R = R 2a 2a Khi đó thể tích khối nón đỉnh O đáy là đường tròn (C  ) Theo Định lý Ta-lét R  R2  V =  x  (2a − x)  = x(2a − x)2  2a  12a Xét f ( x) = x(2a − x)2 (0; 2a) ta có f ( x) đạt giá trị lớn nhất x = Câu 65: 2a Một công ty sản xuất một loại cốc giấy hình nón có thể tích 27cm3 với chiều cao là h và bán kính đáy là r để lượng giấy tiêu thụ là ít nhất thì giá trị của r là: A r = 36 2 B r = 38 2 C r = 38 2 D r = 36 2 Hướng dẫn giải: Đáp án B 81 81 Thể tích của cốc: V = r h = 27  r h =  h =    r Lượng giấy tiêu thụ ít nhất và chỉ diện tích xung quanh nhỏ nhất Sxq = 2rl = 2r r + h = 2r r + = 2 r + = 3 812 812 812 812 r4 +   2 r 22 r 22 r 22 r 814 4 Sxq nhỏ nhất  r = Câu 66: 812 812 =  r + 2 r 2 r 812 38 38 6  r =  r = 2 r 2 2 Cho khối nón đỉnh O, chiều cao là h Một khối nón khác co đỉnh là tâm I của đáy và đáy là một thiết diện song song với đáy của hình nón cho Để thể tích của khối nón đỉnh I lớn nhất thì chiều cao của khối nón này bao nhiêu? h Hướng dẫn giải: Đáp án D A B h 3 C 2h D h - Phương pháp +Công thức tính thể tích khối nón V = .r h CHUN ĐÊ: NĨN- TRỤ -CẦU Trang 28 | Thầy Ngơ Long Quảng Oai - 0988666363 + V1 = .n.h (1 − n ) r +Từ ta thấy V1 = f ( n ) V  V1max f ( n )max +Khảo sát f để tìm n cho f max - Cách giải: Ta có: f ( n ) = n (1 − n ) = n − 2n + n y' = 3n − 4n +  n = 1( L ) y' =    n = ( TM )  h 2r + n = h1 =  r1 =  VI = .h 3 3 81 Câu 67: Cho hình nón đỉnh S Xét hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác ngoại tiếp đường tròn đáy của hình nón và có AB = BC = 10a, AC = 12a , góc tạo bởi hai mặt phẳng và 450 Tính thể tích khối nón cho A 9a B 12a C 27a D 3a Hướng dẫn giải: Đáp án A Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC cũng là tâm đường tròn đáy của hình nón Gọi E là trung điểm của AC đó BE = AB2 − AE = 8a S AB + BC + CA P= = 16a  r = ABC = p Dựng IM ⊥ AB  AB ⊥ ( SMI )  SMI = 450 Mặt khác IM = r = 3a  SI = IM tan 450 = 3a Vậy V( N ) = SI.r = 9a 3 CHUYÊN ĐÊ: NÓN- TRỤ -CẦU Trang 29 | Thầy Ngô Long Quảng Oai - 0988666363 MỤC LỤC A KIẾN THỨC CẦN NHỚ B BÀI TẬP MẪU C BÀI TẬP TỰ LUYỆN D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Tính diện tích, thể tích mặt nón đơn Quay tam giác 16 Mặt nón ngoại tiếp khối đa diện 23 CHUYÊN ĐÊ: NÓN- TRỤ -CẦU Trang 30 | ... 0988666363 Câu 2: Mợt hình nón có đường sinh đường kính đáy Diện tích đáy của hình nón 9 Tính đường cao h của hình nón A h = 3 B h = C h = D h = Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có l = 2R S = 9... quanh hình nón đó là: Sxq = πRl = π.25.5 41 = 125 π 41 ( cm ) Câu 13: hình trịn bán kính OA, OB ghép bán kính đó lại cho thành mợt hình nón : Cho hình trịn có bán kính Cắt bỏ Thể tích khối nón. .. của hình nón h = R = ( Vậy diện tích tồn phần của hình nón là: Stp =  R +  Rl = 9 + Câu 19: ) : Cho khối nón có bán kính đáy thể tích 12? ?? Tính diện tích xung quanh S xq của hình nón