Về định lý radon nikodym

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH —————— —————– ——————– —————— HOÀNG THỊ HỒNG THẮM VỀ ĐỊNH LÝ RADON - NIKODYM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC VINH - 2009 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH —————— —————– ——————– —————— HOÀNG THỊ HỒNG THẮM VỀ ĐỊNH LÝ RADON - NIKODYM Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học TS VŨ THỊ HỒNG THANH VINH - 2009 MỤC LỤC Trang MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Chương Định lý Radon - Nikodym 1.1 Các kiến thức sở 1.2 Các kết bổ trợ 11 1.3 Định lý Radon - Nikodym cho độ đo hữu hạn chứng minh 14 Chương Một số phiên Định lý Radon - Nikodym ứng dụng 23 2.1 Một số phiên Định lý Radon - Nikodym 23 2.2 Một vài ứng dụng Định lý Radon - Nikodym 34 KẾT LUẬN 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 42 LỜI NÓI ĐẦU Vào năm đầu kỷ XX, nhà toán học Pháp Lebesgue xây dựng đưa Lý thuyết độ đo tích phân nhằm mở rộng khái niệm độ dài, diện tích, thể tích quen thuộc đặc biệt mở rộng khái niệm tích phân Riemann Lý thuyết độ đo - tích phân Lebesgue có nhiều ứng dụng nhiều lĩnh vực Toán học Định lý Radon - Nikodym định lý trọng tâm Lý thuyết độ đo - tích phân Lebesgue Nhờ định lý Radon - Nikodym mà ta xác định hàm khả tích thơng qua độ đo Định lý có nhiều ứng dụng lý thuyết xác suất (chẳng hạn chứng minh tồn kỳ vọng có điều kiện), lý thuyết lượng tử compact địa phương, đại số Neuman, Điều thú vị có nhiều nhà tốn học ln muốn tìm kiếm lời chứng minh hay, độc đáo cho định lý tìm phiên cho không gian cho loại độ đo khác Các phương pháp mà nhà toán học thường dùng để chứng minh Định lý Radon - Nikodym Sử dụng Định lý phân tích Hahn độ đo có dấu; Dùng kỹ thuật khơng gian Hilbert; Sử dụng Định lý phân tích Riesz cho hàm tuyến tính bị chặn khơng gian Hibert; Và nhiều kỹ thuật chứng minh khác Việc hệ thống phiên Định lý Radon - Nikodym cho trường hợp khác làm rõ chứng minh nhằm hiểu sâu thêm Định lý thú vị này, để từ tìm thêm ứng dụng việc làm có ý nghĩa Vì vậy, chúng tơi chọn đề tài luận văn "Về Định lý Radon - Nikodym" Ngoài Lời mở đầu, Mục lục Tài liệu tham khảo, luận văn trình bày hai chương Chương Định lý Radon - Nikodym Chương trình bày số kiến thức sở, bao gồm đại số, σ-đại số, độ đo, độ đo có dấu, tích phân, Đây khái niệm sở sử dụng xuyên suốt luận văn Phát biểu chứng minh bổ đề, mệnh đề, định lý bổ trợ để trình bày chứng minh kết luận văn; phát biểu chứng minh Định lý Radon - Nikodym cho độ đo hữu hạn chứng minh khác Định lý Chương Các phiên Định lý Radon - Nikodym ứng dụng Chương trình bày chứng minh chi tiết số phiên Định lý Radon - Nikodym số ứng dụng Các phiên Định lý Radon - Nikodym trình bày tài liệu nhiều hình thức khác Trong chương này, tác giả trình bày số phiên tiêu biểu (Định lý 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4, 2.1.5, 2.1.6) Luận văn hoàn thành Trường Đại học Vinh, hướng dẫn cô giáo TS Vũ Thị Hồng Thanh Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô, người dành nhiều thời gian quý báu, tận tình hướng dẫn tác giả suốt trình tiến hành làm luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy cô giáo Tổ Giải tích thầy giáo khoa Toán dạy dỗ, giúp đỡ tác giả thời gian qua, cảm ơn thầy cô khoa Sau đại học, bạn học viên lớp Cao học 15 - Giải tích gia đình tác giả động viên, khích lệ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn khơng tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Chúng tơi mong nhận ý kiến góp ý thầy, giáo bạn để luận văn hồn thiện Vinh, tháng 12 năm 2009 Tác giả CHƯƠNG ĐỊNH LÝ RADON - NIKODYM Trong chương này, chúng tơi trình bày kiến thức sở dùng luận văn Phát biểu Định lý Radon-Nikodym cho độ đo hữu hạn trình bày chứng minh Định lý 1.1 CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1.1 Đại số, σ-đại số, không gian đo Cho X tập khác rỗng Một lớp C tập X gọi khép kín phép tốn thực phép tốn phần tử lớp phần tử thuộc lớp 1.1.1.1 Định nghĩa Một lớp C tập tập X = ∅ gọi đại số (trường) nếu: (i) X ∈ C; (ii) C khép kín với phép tốn hữu hạn tập hợp: giao, hợp, trừ, hiệu đối xứng Nhận xét 1) Một họ C tập tập X = ∅ đại số thỏa mãn ba điều kiện sau i) X ∈ C; ii) A, B ∈ C ⇒ A ∪ B ∈ C; iii) A ∈ C ⇒ Ac ∈ C 2) Trong nhận xét 1) ta thay ii) ii)’; A, B ∈ C ⇒ A ∩ B ∈ C 3) Từ ii) ii)’ suy C đại số A1 , A2 , , An ∈ C n n Ai ∈ C Ai , i=1 i=1 1.1.1.2 Định nghĩa Một họ C tập tập X = ∅ gọi σ-đại số thỏa mãn: i) X ∈ C; ∞ ii) A1 , A2 , · · · ∈ C ⇒ iii) A ∈ C ⇒ Ac ∈ C Ai ∈ C; i=1 Nhận xét Nếu C σ-đại số C đại số Điều ngược lại khơng 1.1.1.3 Định nghĩa Một cặp (X, C) X tập bất kỳ, khác rỗng, C σ-đại số tập X gọi không gian đo Ta gọi A ∈ C tập đo 1.1.2 Hàm tập độ đo 1.1.2.1 Định nghĩa Giả sử (X, C) không gian đo Một hàm µ : C→R gọi hàm tập Hàm tập µ gọi hữu hạn µ(X) ∈ R Hàm tập µ gọi cộng tính nếu: A, B ∈ C, A ∩ B = ∅, µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B) n Hàm tập µ gọi cộng tính hữu hạn µ Ai i=1 n n = µ(Ai ) với i=1 Ai ∈ C Ai ∈ C, Ai ∩ Aj = ∅, i = j, i=1 Hàm tập µ gọi σ-cộng tính (cộng tính đếm được) ∞ ∞ Ai = µ i=1 với {Ai }∞ i=1 ⊂ C, đôi rời µ(Ai ) i=1 ∞ Ai ∈ C i=1 Nhận xét Nếu hàm tập µ σ-cộng tính µ cộng tính hữu hạn Điều ngược lại khơng 1.1.2.2 Định nghĩa Hàm tập µ : C→R gọi độ đo σ-đại số C thỏa mãn: i) µ(∅) = 0; ii) µ(A) ≥ 0, ∀A ∈ C; iii) µ hàm tập σ-cộng tính 1.1.2.3 Định nghĩa Khơng gian đo (X, C) với độ đo µ C gọi khơng gian có độ đo ký hiệu (X, C, µ) 1.1.2.4 Các tính chất độ đo i) µ(∅) = 0; ii) A, B ∈ C, B ⊂ A µ(B) < +∞ ⇒ µ(A\B) = µ(A) − µ(B); iii) Tính đơn điệu A, B ∈ C B ⊂ A µ(B) ≤ µ(A); ∞ iv) Tính nửa σ-cộng tính theo nghĩa, Ak ∈ C, A ∈ C, A ⊂ ∞ µ(A) ≤ Ak k=1 µ(Ak ) k=1 Đặc biệt, thêm điều kiện µ(Ak ) = 0, ∀k = 1, 2, µ(A) = ∞ v) Nếu Ak ∈ C, Ak ∩ Aj = ∅ (k = j), A ∈ C, A ⊃ Ak k=1 ∞ µ(A) ≥ µ(Ak ) k=1 1.1.2.5 Định nghĩa Cho không gian đo (X, C), độ đo có dấu hàm tập ν : C→R thỏa mãn: i) ν nhận nhiều hai giá trị +∞ −∞; ii) ν(∅) = 0; iii) ν cộng tính đếm Ta nói ν hữu hạn −∞ < ν(A) < +∞ với A ∈ C, ν σ-hữu hạn X hợp đếm tập đo với độ đo ν-hữu hạn Như vậy, khái niệm độ đo có dấu hữu hạn đồng nghĩa với khái niệm hàm tập cộng tính Độ có dấu khác với độ đo chỗ nhận giá trị âm khác hàm cộng tính chỗ nhận hai giá trị +∞ −∞ Độ đo có dấu cịn gọi độ đo mở rộng 1.1.2.6 Định nghĩa Giả sử ν độ đo có dấu khơng gian đo (X, C) Ta nói A ∈ C tập dương ν ν(E) ≥ với tập đo E ⊂ A; A ∈ C tập âm ν ν(E) ≤ với tập đo E ⊂ A; C ∈ C tập không ν vừa tập âm, vừa tập dương sinxdx với E tập đo Lebesgue, Ví dụ Cho hàm tập ν(E) = E E ⊂ [−2π, 2π] Khi Nếu A ⊂ {x ∈ [−2π, 2π] : sinx ≥ 0} = [−2π, −π] ∪ [0, π] A tập dương Nếu B ⊂ {x ∈ [−2π, 2π] : sinx ≤ 0} = [−π, 0] ∪ [π, 2π], B tập âm Chứng minh Với E ⊆ A tập đo Lebesgue ta xét khả sau: b Nếu E = [a, b] ⊂ [−2π, −π] ν(E) = sinxdx = cosa − sinxdx = a E cosb ≥ (vì hàm cosx nghịch biến [−2π, −π]) Nếu E = [a, b] ⊂ [0, π] ta có kết hồn tồn tương tự Nếu E = [a, b] ∪ [c, d] với [a, b] ⊂ [−2π, −π], [c, d] ⊂ [0, π] ta có b ν(E) = sinxdx = E d sinxdx + a sinxdx c = cosa − cosb + cosc − cosd ≥ 0, (vì hàm cosx nghịch biến [−2π, −π] [0, π]) Do tập đo Lebegue A hợp đếm tập rời có dạng [an , bn ] với an , bn ∈ [−2π, π] an , bn ∈ [0, 1] Nên theo tính chất cộng tính độ đo có dấu ta có ν(E) ≥ với E ⊂ A Vậy A tập dương Chứng minh tương tự ta có B tập âm 1.1.2.7 Định nghĩa Giả sử µ ν độ đo xác định khơng gian đo (X, C) Ta nói µ ν kỳ dị lẫn tồn tập A, B ∈ C cho A ∩ B = ∅, A ∪ B = X ν(A) = µ(B) = 0, ký hiệu µ⊥ν ii) Nếu (Uα )α∈I lưới Ω Uα ↓ với α ∈ I chọn Vα ∈ Ω với Vα ⊂ Uα lim µ(Vα ) = 0; α iii) Với a ∈ X, tồn U ∈ Ω, cho a ∈ U {µ(V ) : V ∈ Ω, V ⊂ U } bị chặn Ký hiệu Nµ (a) = inf{ W µ : W τ -mở, a ∈ W } 2.1.3.2 Định lý Giả sử ν, µ hai độ đo khơng gian đo Ω(F) Nếu ν µ tồn hàm j µ-khả tích cho ν = jµ Chứng minh Giả sử a ∈ X, ν µ nên tồn αa ∈ K cho Nν−αa µ (a) = Sử dụng Bổ đề 13 ([13]) ta có tính αa Do đó, ta xác định hàm j : X→K cơng thức: a → j(a) = Nµ (a) > Nµ (a) = αa Trước hết ta chứng minh j µ-khả tích Để chứng minh điều ta sử dụng Định lý 10 ([15]) nghĩa ta cần rằng: i) j Xt liên tục; ii) Với δ > 0, tồn tập compact P ⊂ Xt = {x ∈ X : Nµ (x) ≥ t} cho |j|Nµ < δ Lấy t > a ∈ Xt Theo giả thiết Nv−j(a)µ (a) = tương đương với lim (νv − j(a)µ)(U ) = Như vậy, cho ε > 0, tồn U →a U0 ∈ Ω, với a ∈ U0 cho |(ν − j(a)µ)(V )| < ε, ∀V ∈ Ω, V ⊂ U0 Lấy b ∈ U0 ∩ Xt Nµ (b) ≥ t Vì lim (ν − j(b)µ)(U ) = nên tồn U1 ∈ Ω, U →b với b ∈ U1 cho |(ν − j(b)µ)(V )| ≤ ε, ∀V ∈ Ω, V ⊂ U1 28 Vậy, V ⊂ U0 ∩ U1 = U2 V ∈ Ω |j(a) − j(b)|t ≤ |j(a) − j(b)|Nµ (b) ≤ |j(a) − j(b)| U2 = sup{|j(a) − j(b)||µ(V )| : V ∈ Ω, V ⊂ U2 } ≤ sup{|ν − j(b)µ(V ) + j(a)µ(V ) − ν| : V ∈ Ω, V ⊂ U2 } ≤ max sup |(ν − j(b)µ)(V )|, sup |(ν − j(a)µ)(V )| V ⊂U2 V ⊂U2 ≤ ε Do đó, j Xt liên tục Để chứng minh (ii), lấy δ > a ∈ X với Nµ (a) > Tập P = {x ∈ X : Nν (x) ≥ δ} τ -compact X Vì Nν−j(x)µ (x) = với x ∈ X, Nµ (x) > |Nν (x) − Nj(x)µ (x)| ≤ Nν−j(x)µ (x) = ta có Nν (x) = Nj(x)µ (x) = |j(x)|Nµ (x) Khi đó, với x ∈ / P ta có |j(x)|Nµ (x) < δ Bây giờ, ta kết thúc phần chứng minh cách tồn t > cho P ⊂ Xt Nếu a ∈ P tồn Ua ∈ Ω, với a ∈ Ua cho δ |(ν − j(a)µ(V )| < , ∀V ∈ Ω, V ⊂ Ua Như P ⊂ Ua a∈P n Vì P compact nên tồn a1 , a2 , , an ∈ P cho P ⊂ Uai i=1 Bây giờ, ký hiệu M = max{|j(a1 )|, |j(a2 )|, |j(an )|} lấy t = δM −1 ta có P ⊂ Xt Vì |ν(V )| ≤ |ν(V ) − j(ai )µ(V ) + j(ai )µ(V )| ≤ max{|ν(V ) − j(ai )µ(V )|, |j(ai )µ(V )|} δ ≤ max , δt−1 |µ(V )| , 29 nên theo Bổ đề 13 ([13]), ta có δNν (a) = lim |ν(V )| V →a δ −1 , δt lim |µ(V )| V →a δ ≤ max , δt−1 Nµ (a) ≤ max Do Nµ (a) ≥ t Để chứng minh ν = jµ, ta xét độ đo sau ν − jµ :Ω→K U → (ν − jµ)(U ) = ν(U ) − χU jdµ Cố định a ∈ X lim |(ν − jµ)(U )| = lim |ν(U ) − U →a U →a χU jdµ| Bây ta có |ν(U ) − χU jdµ| = ν(U ) − j(a)µ(U ) + j(a)µ(U ) − χU jdµ ≤ max |ν(U − j(a)µ(U )|, j(a)µ(U )) − χU jdµ| Do lim |ν(U ) − U →a ≤ max χU jdµ| ≤ lim |ν(U ) − j(a)µ(U )|, lim |j(a)µ(U ) − U →a U →a χU jdµ| = Vậy lim ν(U ) − χU jdµ = U →a Nν−jµ (a) = Vì a ∈ X tùy ý Nν−jµ (a) = 0, ∀a ∈ X nên ν − jµ = hay ν = jν 30 2.1.4 Định lý Radon - Nikodym (trong lý thuyết xác suất) Trong phần này, giả sử (Ω, A, P ) không gian xác suất φ độ đo có dấu A X(ω)Z(ω)dR(ω) Nếu 2.1.4.1 Bổ đề Giả sử R = P + φ, X, Z = 0≤ R(E) Ω Z(ω)dR(ω) < với E ∈ C, ≤ Z(ω) < hầu chắn E Chứng minh Lấy A khoảng [0, 1]c với tâm α bán kính r > 0, lấy E = {ω ∈ Ω : Z(ω) ∈ A} Như vậy, điểm A không nằm [0, 1] cách [0, 1] khoảng lớn r Bây giả sử R(E) > Khi R(E) Z(ω)dR(ω) − α = R(E) E ≤ R(E) Z(ω − α)dR(ω) E |Z(ω) − α|dR(ω) ≤ R(E) rdR(ω) ≤ r, E điều vơ lý R(E) Z(ω)dR(ω) < Vậy R(E) = ≤ Z(ω) < E hầu chắn Không tính tổng qt, giả thiết z(ω) < với ω Vậy bổ đề chứng minh 2.1.4.2 Định lý Giả sử (Ω, A, P ) không gian xác suất φ độ đo có dấu A cho P (E) = φ(E) = với E ∈ A Khi tồn biến ngẫu nhiên H cho φ(E) = H(ω)dP (ω) = EP (HIE ) E với EP ký hiệu kỳ vọng tương ứng với xác suất P Chứng minh Trước hết ta xét φ không âm Lấy R = P + φ xác định hàm tuyến tính L LX = X(ω)dφ(ω) Ω Theo Định lý phân tích Riesz [4], ta suy hàm tuyến tính 31 biểu diễn tích vơ hướng Bây xác định tích vơ hướng bởi: X, Y = X(ω)Y (ω)dR(ω) = Ω X(ω)Y (ω)dp(ω) + Ω X(ω)Y (ω)d∅(ω) Ω Vậy theo Định lý biểu diễn Riesz tồn biến ngẫu nhiên Z cho X(ω)Y (ω)dR(ω) = (X, Z) = Ω X(ω)Z(ω)dR(ω) (1) Ω với biến ngẫu nhiên X Bây lấy E ∈ A cho P (E) > tập X = IE Khi vế trái (1) IE (ω)dφ(ω) = φ(E) Ω Để ý rằng, P (E) = φ(E) = 0, nên φ(E) ≤ P (E) với E ∈ A Vậy, ta có IE (ω)Z(ω)dR(ω) = φ(E) < φ(E) + P (E) = R(E), Ω P (E) > Như R(E) Z(ω)dR(ω) < E Tiếp theo ta cần ≤ Z(ω) < hầu chắn Áp dụng Bổ đề 2.1.6.1, ta viết lại (1) sau X(ω)dφ(ω) = Ω X(ω)z(ω)dφ(ω) + Ω X(ω)z(ω)dp(ω) (2) Ω [1 − z(ω)]X(ω)dφ(ω) = Ω X(ω)z(ω)dp(ω) (3) Ω Bây lấy X = (1 + z + z + · · · + z n )IE ta có [1 − z n+1 (ω)]dφ(ω) = Ω [1 + z(ω) + · · · + z n (ω)]dp(ω) Ω 32 (4) cho n→∞ Vì ≤ z(ω) < nên vế trái (4) hội tụ tới ∅(E) hàm lấy tích phân vế phải (4) hội tụ biến ngẫu nhiên H Vậy φ(E) = H(ω)dp(ω) E Ta mở rộng chứng minh cho trường hợp độ đo có dấu tổng qt cách phân tích độ đo có dấu φ thành hai thành phần dương âm (Định lý phân tích Lebesgue), nghĩa lấy φ(E) φ(E) ≥ 0 φ(E) < φ+ (E) = −φ(E) φ(E) < 0 φ(E) ≥ φ− (E) = Khi áp dụng kết ta đạt φ+ (E) = H + (ω)dp(ω), E φ− (E) = H − (ω)dp(ω) E Vậy H = H + − H − đạt mong muốn 2.1.5 Định lý Radon - Nikodym(cho không gian Banach phản xạ) Giả sử T : L1 (µ)→X tốn tử tuyến tính bị chặn với E = C ta xác định hàm G(E) = TχE Khi T biểu diễn tồn g ∈ L1 (µ, X) cho G(E) = Trong trường hợp hàm g ∈ gdµ, E L∞ (µ, X) T (f ) = ∀E ∈ C f gdµ Ω 33 Hơn g = T ∞ 2.1.6 Định lý Radon - Nikodym (cho độ đo phức) Giả sử µ độ đo phức σ-đại số C tập X = Khi có hàm khả tích h mà |h(x)| = với x ∈ X µ(E) = Chứng minh Rõ ràng µ hd|µ| (*) |µ|, theo Định lý Radon - Nikodym tồn h ∈ L1 (|µ|) thỏa mãn (*) Ta chứng minh |h(x)| = Thật vậy, lấy Ar = {x : h(x) < r với r > Lấy {Ej } dãy tập rời Ar |µ(Ej )| = j | j hd|µ|| ≤ r|µ|(Ej ) = r|µ|(Ar ) j Ej ⇒ |µ|(Ar ) ≤ r|µ|(Ar ) Nếu r < 1→|µ|(Ar ) = |h| ≥ hầu khắp nơi Mặt khác, |µ|(E) > |µ|(E) hd|µ| = |µ(E)| ≤ |µ|(E) E Khi theo Định lý 1.40 [13] suy |h| ≤ hầu khắp nơi Lấy B = {x ∈ X : |h(x)| = 1}→(|µ|(B) = ta xác định h B cho h(x) = với x ∈ B ta có hàm h mong muốn 2.2 MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ RADON - NIKODYM 2.2.1 Mệnh đề Cho f ∈ L1 (X, C, µ) cho µ(1E f ) = 0, E ∈ C Khi µ({f = 0}) = 34 2.2.2 Mệnh đề Giả sử ν, µ độ đo hữu hạn xác định khơng gian đo (X, C) với ν µ giả sử z hàm đo cho zdν xác định Khi với A ∈ C ta có zdν = z A dν dµ dµ A 1B dν = ν(A ∩ B) Chứng minh i) Nếu z = 1B dν = dµ = A∩B 1B dν dµ A m ii) Nếu z = zi 1Ai i=1 m zdν = zi i=1 A Ai dν dµ theo i) dµ A dν z dµ dµ = A iii) Nếu z ≥ 0, giả sử zn ≥ hàm đơn giản tăng z, zdν = lim A zn dν (vì hàm đơn điệu) A = lim = z zn dν dµ (theo ii)) dµ dν dµ (vì hàm đơn điệu) dµ A iv) Nếu z đo z = z + − z − , z + , z − ν tích phân Khi A z − dν z + dν − zdν = A A dν z + dµ − dµ = A = A z− A dν z dµ dµ 35 dν dµ (theo iii)) dµ 2.2.3 Mệnh đề Cho (X, C, µ) khơng gian có độ đo σ-hữu hạn Giả sử ν độ đo C cho ν µ Nếu f hàm đo khơng âm X, f dν = A f dν dµ, dµ (*) A với A ∈ C dν µ, nên tồn đạo hàm Radon - Nilkodym [ dµ ] Nếu Chứng minh Do ν f = χA ; A ∈ C ta có f dν = A χA dν = dν = ν(A) A dν dν = dµ A χA dν dν = dµ A A f dν dµ = ν(A) dµ A Vậy (*) n n Ai f = Nếu f hàm đơn giản A, nghĩa A = i=1 χAi Khi i=1 ta có n n f dν = χAi dν = A i=1 A n i=1 χAi dν = i=1 A∩Ai n χAi dν Ai n = i=1 dν = ν(Ai ) i=1 Ai n dν f = dµ A χ A i A n = i=1 χAi i=1 dν dµ = dµ dν dµ = dµ Ai Vậy (*) 36 n i=1 n Ai dν dµ dµ A∩Ai dν dµ = dµ i=1 χ Ai n ν(A) i=1 Nếu f hàm đo được, không âm A, tồn dãy hàm đơn giản, khơng âm (fn ) cho lim fn = f Sử dụng định lý hội tụ đơn điệu ta có n→∞ f dν = A lim fn dν = lim n→∞ fn dν n→∞ A A Vì fn hàm đo nên theo kết chứng minh ta có fn dν = A fn dν dµ dµ A Vậy f dν = lim fn n→∞ A dν dµ = dµ A lim fn n→∞ dν dµ = dµ A f dν dµ dµ A Vậy ta có điều phải chứng minh 2.2.4 Mệnh đề Cho µ ν độ đo σ-hữu hạn không gian đo (X, C) Giả sử µ − ν độ đo ν µ dν =1 dµ x∈X: µ − ν Khi = Chứng minh Trước hết để ý từ giả thiết ν, µ − ν độ đo nên µ(E) = với E ∈ C ν(E) = Do ν Nikodym tồn đạo hàm dν dµ µ Theo Định lý Radon - dν dµ dµ ν(E) = E Đặt A = x ∈ X : dν dµ = Ta có dν dµ = µ(A) dµ ν(A) = A Khi (µ − ν)(A) = ν −ν nên theo (*) ta có ν(A) = Vậy ta có điều phải chứng minh 37 2.2.5 Hệ Giả sử µ ν độ đo σ-hữu hạn không gian đo (X, C) giả sử ν µ Khi đ ó ν Chứng minh Vì ν hàm dν dµ dν =0 dµ x∈X: = µ, nên theo Định lý Radon - Nikodym tồn đạo dν dµ dµ ν(A) = E Đặt A = {x ∈ X : dν dµ = 0} Do µ độ đo σ-hữu hạn nên ta có dν dµ = dµ ν(A) = A Vậy hệ chứng minh 2.2.6 Mệnh đề Giả sử λ, µ, ν độ đo σ- hữu hạn đại số C λ µ, µ ν Khi λ ν dλ dλ dµ = dν dµ dν 2.2.7 Mệnh đề Giả sử λ, µ độ đo σ-hữu hạn đại số C µ λ Khi λ µ λ dµ =0 dλ = Hơn nữa, trường hợp dµ dλ dλ = dµ −1 2.2.8 Mệnh đề Nếu fn khả tích lim fn dµ tồn hữu hạn với A A ∈ C, |fn |dµ giới nội đều, A |fn |dµ→0 theo n µ(A)→0 A A ↓ ∅ tồn f khả tích (xác định tương đương) cho fn dµ→ A với A ∈ C 38 f dµ A 2.2.9 Mệnh đề Nếu fn khả tích hội tụ f khả tích tồn fn dµ với A ∈ C tương đương với tính chất sau: tính hội tụ lim A f dµ theo A; fn dµ→ a) A A fn dµ→0 theo n µ(A)→0 A ↓ b) A Nếu µ hữu hạn điều kiện A ↓ bỏ qua 2.2.10 Mệnh đề Giả sử ≤ p < ∞, µ độ đo dương σ-hữu hạn X, φ hàm tuyến tính bị chặn Lp (µ) Khi tồn hàm g ∈ Lq (µ) với q liên hợp mũ với p cho f gdµ (f ∈ Lp (µ) φ(f ) = (*) X Hơn nữa, φ g (*) ta có φ = g q 2.2.11 Mệnh đề Giả sử µ độ đo phức σ-đại số C X Khi có hàm h cho |h(x)| = với x ∈ X dµ = hd|µ| Từ Định lý Radon - Nikodym cho trường hợp độ đo hữu hạn ta có Hệ sau: 2.1.12 Hệ Giả sử µ độ đo phức nên tồn h đo |h(x)| = 1, ∀x ∈ X cho h = dµ d|µ| 2.1.13 Hệ Giả sử µ độ đo dương, g ∈ L2 (µ) : λ(E) = gdµ, E |λ|(E) = |g|dµ E 39 2.1.14 Hệ Giả sử ≤ p ≤ ∞, µ độ đo dương, σ-hữu hạn X, φ hàm tuyến tính bị chặn Lp (µ) Khi tồn g ∈ Lq (µ) (q liên hợp mũ với p) để f gdµ (f ∈ Lp (µ)) φ(f ) = X φ = g q 40 KẾT LUẬN Luận văn giải vấn đề sau Trình bày cách cụ thể, chi tiết chứng minh Định lý Radon - Nikodym độ đo hữu hạn Hệ thống sáu phiên Định lý Radon - Nikodym cho không gian khác kiểu độ đo khác Tìm hiểu số ứng dụng Định lý 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đậu Thế Cấp (2000), Giải tích hàm, Nxb Giáo dục [2] Nguyễn Duy Tiến - Trần Đức Long (2004), Bài giảng Giải tích, tập II, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Hoàng Tuỵ (2005), Hàm thực giải tích hàm, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội [4] H S Bear (1995), A P rimer of Lebesgue Integration, Academic Press, San Diego [5] R S Bark (1995), A Primer of Lebesgue Itegration, Academic Press, San Diego [6] R G Bartle (1966), Integration, John Wiley & Sons, New York [7] Paul R Hamos (1974), Measure Theory, Spinger - Verlag New Youk Heisenberg - Berlin [8] Inder K Rana (2002), An Introduction to Mesure and Integration, American Mathematical society Provindence, Rhode Island (Second edition) [9] M.Moraga, J Aguayo (2001), A Radon Nikodym theorem in the nonArchimedean setting, Proyecciones, Vol 20, N0 3, pp 263 - 279 [10] H L Royden (1988), Real Anlysis, Macmillan, New York [11] W Rudin (1987), Real and Complex Analysis, Mc Graw - Hill, New York [12] A Torchinsky (1988), Real Variables, Addison - Wesley, Redwood City, CA 42 ... Toán học Định lý Radon - Nikodym định lý trọng tâm Lý thuyết độ đo - tích phân Lebesgue Nhờ định lý Radon - Nikodym mà ta xác định hàm khả tích thơng qua độ đo Định lý có nhiều ứng dụng lý thuyết... CỦA ĐỊNH LÝ RADON NIKODYM VÀ ỨNG DỤNG Chương này, chúng tơi trình bày phiên Định lý Radon Nikodym cho số không gian khác số kiểu độ đo khác 2.1 CÁC PHIÊN BẢN CỦA ĐỊNH LÝ RADON - NIKODYM 2.1.1 Định. .. mệnh đề, định lý bổ trợ để trình bày chứng minh kết luận văn; phát biểu chứng minh Định lý Radon - Nikodym cho độ đo hữu hạn chứng minh khác Định lý Chương Các phiên Định lý Radon - Nikodym ứng