Bậc và số chiều gorenstein

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ HOÀI THU BẬC VÀ SỐ CHIỀU GORENSTEIN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC VINH, 2009 Mở đầu Trong tồn luận văn, vành ln giả thiết giao hốn, có đơn vị, Noether khác Cho M R  môđun hữu hạn sinh Khái niệm bậc M , kí hiệu gradeM , định nghĩa Rees, số nguyên nhỏ t  cho ExtRt (M , R)  bậc iđêan I bậc R  môđun R / I Rees gradeM độ dài lớn R  dãy chứa AnnM Chiều xạ ảnh proj.dim M bất biến quan trọng mơđun M Ta tính ExtRt (M , R) thông qua lời giải xạ ảnh M gradeM  proj.dim M với R  môđun khác không M M gọi mô đun hoàn chỉnh dấu “  ” xảy tức gradeM  proj.dim M Năm 1967, Auslander giới thiệu khái niệm chiều Gorenstein G  dim M mô đun hữu hạn sinh M Ta có G  dim M  proj.dim M Dấu “  ” xảy proj.dim M   Năm 1969, Auslander Bridger chiều Gorenstein M hữu hạn số nguyên lớn t  cho ExtRt (M , R)  Do gradeM  G  dimM Trong [8] , Yassemi, Khatami Sharif nghiên cứu lớp môđun M thoả mãn tính chất gradeM  G  dim M họ gọi mơđun G  hồn chỉnh Đây mở rộng mơ đun hồn chỉnh Trong báo họ chứng minh số tính chất lớp mơđun G  hồn chỉnh Chẳng hạn, M mơđun G  hồn chỉnh có bậc n mơ đun mở rộng ExtRt (M , R) mơđun G  hồn chỉnh có bậc n ; Ta biết mô đun M vành quy địa phương Cohen  Macaulay M mơ đun hồn chỉnh Trong báo [8] họ mở rộng kết sau: Một mô đun hữu hạn sinh M với chiều Gorenstein hữu hạn vành Cohen  Macaulay địa phương Cohen  Macaulay M G  hoàn chỉnh Một số bất đẳng thức liên quan bậc mô đun chiều Gorenstein chiều xạ ảnh đưa báo [8] Mục đích luận văn trình bày lại kết viết báo [8] nói chứng minh chi tiết kết mà báo không chứng minh chứng minh vắn tắt Nội dung luận văn chia làm chương Chương , trình bày kiến thức Đại số giao hoán Đại số đồng điều liên quan đến kết chứng minh chương nhằm giúp người đọc dễ theo dõi nội dung luận văn Chương trình bày tính chất mơđun G  hồn chỉnh Luận văn hoàn thành nhờ hướng dẫn, giúp đỡ, bảo tận tình giáo TS NGuyễn Thị Hồng Loan Qua tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến cô Đồng thời xin bày tỏ lời cảm ơn tới thầy khoa Tốn, đặc biệt thầy cô tổ Đại số, bạn bè gia đình giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập, nghiên cứu Mặc dù cố gắng khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong góp ý chân thành q thầy tất bạn Vinh, tháng 12, năm 2009 Tác giả Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1.Một số khái niệm 1.1.1 Phổ giá môđun Phổ vành Iđêan p R gọi iđêan nguyên tố với a , b  R , ab  p a  p b  p Kí hiệu SpecR tập tất iđêan nguyên tố vành R Khi SpecR gọi phổ vành R Với iđêan I R ta kí hiệu V ( I )  { p  SpecR | p  I } Giá môđun Tập SuppM  { p  SpecR | M p  } SpecR gọi giá môđun M Với x  M ta kí hiệu AnnR ( x)  { a  R | ax  } ; AnnR M  { a  R | aM  }  { a  R | ax  ,  x  M } Ta có AnnR ( x) AnnR M iđêan M ; AnnR M gọi linh hố tử mơđun M Hơn nữa, SuppM  V ( AnnR M ) 1.1.2 Sự phân tích nguyên sơ môđun Iđêan nguyên tố liên kết Iđêan nguyên tố p R gọi iđêan nguyên tố liên kết M tồn x  M , x  cho p  AnnR ( x) Tập hợp tất iđêan nguyên tố liên kết M kí hiệu AssR M đơn giản AssM ta không để ý đến vành R Sự phân tích nguyên sơ môđun Cho N môđun môđun M N gọi môđun nguyên sơ M Ass(M / N ) gồm phần tử, tức tồn iđêan nguyên tố p cho Ass(M / N )  { p } Khi ta nói N môđun p  nguyên sơ Cho N môđun môđun M N gọi có phân tích ngun sơ tồn hữu hạn môđun nguyên sơ Q1 , Q2 , , Qn M cho N  Q1  Q2  Qn (1) Giả sử Qi pi  ngun sơ Khi phân tích (1) gọi phân tích thu gọn pi đơi khác khơng có Qi bỏ Nếu pi tối thiểu tập { p1 , pn } mơđun Qi tương ứng gọi thành phần cô lập, trái lại Qi gọi thành phần nhúng Định lí phân tích ngun sơ Lasker nói mơđun mơđun Noether có phân tích nguyên sơ thu gọn Chú ý phân tích ngun sơ thu gọn mơđun khơng N  Q1  Q2  Qn phân tích nguyên sơ thu gọn môđun pi  nguyên sơ với i  , { p1 , , pn }  , n tập { p1 , N , , Qi pn } xác định Ass(M / N ) Các thành phần lập ln có mặt phân tích ngun sơ thu gọn mơđun 1.1.3 Chiều Krull môđun Một dãy giảm iđêan nguyên tố vành R : p0  p1  p2   pn gọi xích nguyên tố có độ dài n Cho p  SpecR Chặn độ dài tất xích nguyên tố với p0  p gọi độ cao p , kí hiệu ht ( p) Nghĩa ht ( p)  Sup { độ dài xích nguyên tố với p0  p } Cho I iđêan R ta định nghĩa ht ( I )  inf { ht ( p) | p  SpecR , p  I } Chặn tất xích nguyên tố R gọi chiều Krull vành R , kí hiệu dim R Ta có dim R  Sup { ht ( p) | p  SpecR } Cho M R  mơđun Khi dim( R / AnnR M ) gọi chiều Krull mơđun M , kí hiệu dimR M hay dim M ta không ý đến vành R Như vậy, dim R vơ hạn ht ( p) vơ hạn dim M  dim R 1.1.4 Vành địa phương Iđêan m vành giao hoán R gọi iđêan cực đại m  R không tồn một iđêan khác R thật chứa m Vành R gọi vành địa phương R có iđêan cực đại m Khi R / m gọi trường thặng dư vành R 1.1.5 Vành quy Cho ( R, m) vành địa phương, Noether Khi R gọi vành quy tồn hệ tham số R sinh iđêan cực đại m Chú ý R vành quy R miền nguyên 1.2 Hàm tử mở rộng 1.2.1 Lời giải nội xạ Một đối phức I :  I  I1   I n  R  môđun gọi đối phức nội xạ tất mơđun đối phức nội xạ Cho M R  môđun Một lời giải nội xạ M đối phức nội xạ I  với cấu xạ  : M  I để đối phức sau khớp  M    Kí hiệu lời giải nội xạ M I  I1      I n  I 1.2.2 Định lí Cho M R  mơđun tuỳ ý Khi M ln có lời giải nội xạ M    I 1.2.3 Định lí Cho M N R  môđun, f ' : M  N cấu xạ Giả sử N  M I  lời giải nội xạ N Khi lời giải nội xạ  E  M tồn cấu xạ f : E   I  nâng f ' , tức ta có biểu đồ sau giao hốn  M  f'  N  E  E1   f0  I0  f1  I1  cấu xạ f xác định sai khác đồng luân 1.2.4 Hàm tử khớp Cho F : R  mod  R  mod hàm tử hiệp biến từ phạm trù R  môđun đến phạm trù R  môđun (i ) Hàm tử F gọi hàm tử khớp trái từ dãy khớp R  môđun  A  B  C  ta có dãy khớp R  mơđun  F ( A)  F ( B)  F (C )  (ii) Hàm tử F gọi hàm tử khớp phải từ dãy khớp R  môđun  A  B  C  ta có dãy khớp R  mơđun  F ( A)  F ( B)  F (C )  (iii ) Hàm tử F gọi hàm tử khớp vừa hàm tử khớp trái vừa hàm tử khớp phải Nhận xét Cho F : R  mod  R  mod hàm tử hiệp biến từ phạm trù R  môđun đến phạm trù R  môđun (i ) Hàm tử F hàm tử khớp trái từ dãy khớp R  môđun  A  B  C  ta có dãy khớp R  mơđun  F ( A)  F ( B)  F (C ) (ii) Hàm tử F hàm tử khớp phải từ dãy khớp R  môđun  A  B  C  ta có dãy khớp R  môđun F ( A)  F ( B)  F (C )  (iii ) Hàm tử F gọi hàm tử khớp vừa hàm tử khớp trái, vừa hàm tử khớp phải 1.2.5 Hàm tử dẫn xuất phải Cho F : R  mod  R  mod hàm tử hiệp biến, cộng tính, khớp trái Cho M R  môđun với lời giải nội xạ M    I  Ta có phức F (I  ) :  F (I )  F (I 1)  nói chung khơng khớp Khi hàm tử dẫn xuất phải, R F F họ hàm tử R F  Ri F i 0 xác định  Ri F ( M )  H i ( F ( I  )) 1.2.6 Định nghĩa Cho M R  mơđun Kí hiệu hàm tử F  HomR (M , ) : R  mod  R  mod Ta có F hàm tử cộng tính, khớp trái Khi hàm tử dẫn xuất phải F R F  R F  i  i 0 gọi hàm tử mở rộng M Kí hiệu : Ri F ( N )  ExtRi (M , N ) gọi mô đun mở rộng thứ i M N 1.2.7 Một số tính chất hàm tử mở rộng (i ) ExtR0 (M , N )  HomR (M , N ) ; (ii) ExtRi (M , I )  , i  I nội xạ; (iii ) Từ dãy khớp ngắn R  môđun  N'  N  N ''  ta có dãy khớp dài  HomR (M , N ')  HomR (M , N )  HomR (M , N '')    Ext1R (M , N ' )  Ext1R (M , N )  Ext1R (M , N '')  Để tính ExtRi (M , N ) ta làm sau: Lấy lời giải nội xạ N  I  N  N  I  I1   In  Khi ta có phức  HomR (M , N )  HomR (M , I )   HomR (M , I i )  Ta có ExtRi (M , N )  H i ( HomR (M , I i )) Nếu hàm tử F '  Hom(, M ) , tương tự ta mô đun mở rộng ExtRi (M , N ) với F ' hàm tử hiệp biến Khi ta có tính chất: (i ) ExtR0 ( N , M )  HomR ( N , M ) ; (ii) ExtRi ( P, M )  ,  i  Khi P xạ ảnh; (iii ) Từ dãy khớp ngắn R  môđun  N'  N  N ''  ta có dãy khớp dài  HomR ( N '', M )  HomR ( N , M )  HomR ( N ', M )  Ext1R ( N '', M )  10 1.2.8 Bổ đề Cho R vành, M N R  mơđun Nếu x phần tử R  quy M  quy cho x.N  ExtRi 1 ( N , M )  ExtRi / xR ( N , M / xM ) 1.3 Hàm tử xoắn 1.3.1 Lời giải xạ ảnh (i ) Một phức P :  Pn 1  Pn  Pn 1   P0  R  môđun gọi phức xạ ảnh tất mơđun phức xạ ảnh (ii ) Cho M R  môđun Một lời giải xạ ảnh M phức xạ ảnh P với cấu xạ e0 : P0  Pn 1  Pn  Pn 1   M để phức sau khớp  P0 e0   M  e Kí hiệu lời giải xạ ảnh P   M 1.3.2 Định lí Cho M R  mơđun tuỳ ý Khi M ln có lời giải xạ ảnh P  M 1.3.3 Định lí Cho M N R  mơđun, f ' : M  N cấu xạ Giả sử P e0   M lời giải xạ ảnh M Khi lời giải xạ  ảnh Q   N N tồn cấu xạ f : P  Q nâng f ' , tức ta có biểu đồ sau giao hoán  Pn    Qn   P1  f1  e   P0  f0  Q1  Q0  M  f' e   M  cấu xạ f xác định sai khác đồng luân 1.3.4 Hàm tử dẫn xuất trái Cho F : R  mod  R  mod hàm tử cộng e  M tính, khớp phải Cho M R  môđun với lời giải xạ ảnh P  21 Khi ta có gradeExtRn/ 1xR (M , R / xR)  G  dim ExtRn/ 1xR (M , R / xR)  n  Áp dụng Bổ đề 1.2.8 ta có: ExtRn/ xR (M , R / xR)  ExtRn (M , R) Do gradeR / xR ( ExtRn (M , R))  G  dimR / Rx ( ExtRn (M , R))  n  Suy gradeR ( ExtRn (M , R))  G  dimR ( ExtRn (M , R))  n º 2.2 Một số bất đẳng thức bậc chiều Gorenstein Trong tiết chứng minh số bất đẳng thức bậc số chiều Gorenstein 2.2.1 Định lý Cho M N R  mơđun hữu hạn sinh Khi phát biểu sau đúng: i ) depthN  dim M  grade(M , N ) ; ii ) Nếu SuppM  SuppN grade(M , N )  dim N  dim M Chứng minh i ) Chọn p  SuppM cho: grade(M , N )  depthN p Khi ta có bất đẳng thức depthN  depthN p  dimR / p  depthN P  dim M Suy depthN  depthN p  dim M Do depthN  dim M  depthN P 22 Vậy depthN  dim M  grade(M , N ) Chú ý rằng, không cần dùng điều kiện SuppM  SuppN ii ) Chọn q  SuppM cho: dim M  dim R / q Ta có bất đẳng thức grade(M , N )  depthN q  dim N q  dim N  dim R / q  dim N  dim M Từ suy º grade(M , N )  dim N  dim M Với R  môđun M , kí hiệu cmdM :  dim M  depthM impM :  depthR  depthM  gradeM Chú ý rằng, trường hợp tổng qt impM số nguyên âm 2.2.2 Hệ Cho R vành địa phương M N R  mơđun hữu hạn sinh có số chiều Gorenstein hữu hạn Khi G  dim M  grade(M , N )  G  dim N  cmdM Chứng minh Từ giả thiết G  dim N   theo Bổ đề 2.1.4 i ) G  dim M  depthM  depthR Suy G  dim M  depthR  depthM Cho nên G  dim M  grade(M , N )  depthR  depthM  grade(M , N ) Áp dụng Định lý 2.2.1 i ) ta có: depthN  dim M  grade(M , N ) 23 Do ta có bất đẳng thức G  dim M  grade(M , N )  depthR  depthM  depthN  dim M (1) Mặt khác depthR  depthM  depthN  dim M  dim M  depthM  depthR  depthN  cmdM  G  dim N (2) Vậy từ (1) (2) ta được: G  dim M  grade(M , N )  G  dim N  cmdM º 2.2.3 Mệnh đề Cho R vành địa phương M R  mơđun hữu hạn sinh Khi impM  cmdM  impM  cmdR Đặc biệt, R vành Cohen  Macaulay cmdM  impM Hơn nữa, M môđun G  hồn chỉnh cmdM  cmdR Chứngminh Đặt N  R Theo Định lý 2.2.1 ta có: depthR  dim M  grade(M , R)  gradeM Suy depthR  gradeM  dim M Ta chứng minh: impM Từ ký hiệu: dim M  depthM :  cmdM depthR (1)  cmdM  (2) depthM  gradeM :  impM Do từ (2) ta cần chứng minh: depthR  depthM  gradeM  dim M  depthM Thật vậy, ta có depthR  depthM  gradeM  depthR  gradeM  depthM 24 Theo (1) ta có bất đẳng thức depthR  gradeM  depthM  d i mM  Vậy (2) depthM chứng minh Tiếp theo ta chứng minh: cmdM  impM  cmdR (3) Theo cách ký hiệu từ (3) ta cần chứng minh dim M  depthM  depthR  depthM  gradeM  dim R  depthR Tương đương dim M  dim R  gradeM  gradeM  dim R  dim M Mặt khác grade(M , R)  gradeM ; Từ ta có bất đẳng thức grade(M , R)  dimR  dimM theo Định lý 2.2.1 Vậy (3) chứng minh Đặc biệt, R vành Cohen  Macaulay, ta cần chứng minh cmdM  Ta có cmdM  impM tương đương dim M  depthM  depthR  depthM  gradeM Do ta cần chứng minh: gradeM  depthR  dim M Thật vậy, áp dụng Định lý 2.2.1 i ) ta có depthR  dim M  depthR  dim M  gradeM grade(M , R)  gradeM Suy (4) Cũng theo Định lý 2.2.1 ii ) SuppM  SuppR grade(M , N )  dim R  dim M Từ giả thiết R vành Cohen  Macaulay: depthR  dim R impM 25 Cho nên, SuppM  SuppR grade( M , N )  depthR  dim M (5) Ta chứng minh SuppM  SuppR Với p  SuppM suy M p  Theo R vành địa phương nên tồn iđêan cực đại M Mặt khác, p  R  p  M nên R p  RM Hơn nữa, ( R, M ) vành địa phương: RM  R Suy R  kéo theo R p  Do p  SuppR , nên SuppM  SuppR Từ (4) (5) ta được: gradeM  depthR  dim M Vậy ta có điều phải chứng trường hợp đặc biệt Nếu M  mơđun G  hồn chỉnh ta cần chứng minh: cmdM  cmdR Ta có cmdM  cmdR tương đương depthR  depthM  dim R  dim M (6) Thật vậy, M  mơđun G  hồn chỉnh: G  dim M  gradeM  grade(M , R) Áp dụng Bổ đề 1.5 i ) : depthR  depthR  depthM  G  dim M Suy depthM  G  dim M  grade(M , R) Thay vào (6) ta có: grade(M , R)  d i mR  dim M theo chứng minh theo Định lý 2.2.1 º Từ mệnh đề ta có hệ sau: 2.2.4 Hệ Cho R vành địa phương M R  môđun hữu hạn sinh có số chiều Gorenstein hữu hạn Khi phát biểu sau đúng: i ) Nếu M môđun Cohen  Macaulay M mơđun G  hồn chỉnh 26 ii ) Nếu R vành Cohen  Macaulay M mơđun G  hồn chỉnh M mơđun Cohen  Macaulay Chứng minh Phần i ) Thật vậy, theo Mệnh đề 2.2.3 : impM  cmdM Tương đương depthR  dim M  gradeM (1) Do M Cohen  Macaulay nên: depthM  dim M Mặt khác gradeM  grade(M , R) Nên từ (1) ta bất đẳng thức depthR  depthM grade(M , R)  gradeM  Theo giả thiết G  dim M   nên sử dụng Bổ đề 1.4 i ) ta có: G  dim M  gradeM (2) G  dim M  gradeM (3) Hơn ta ln có: Từ (2) (3) suy M G  hoàn chỉnh Phần ii ) Từ giả thiết R vành Cohen  Macaulay, theo Mệnh đề 2.2.3 ta có: gradeM  depthR  dim M (4) Mặt khác, theo G  dim M   sử dụng Bổ đề 1.4 i ) : G  dim M  depthR  depthM (5) Hơn nữa, M G  hoàn chỉnh: G  dim M  gradeM Nên từ (4) (5) suy ra: depthR  dim M  depthR  depthM Do đó, dim M  depthR Vậy M môđun Cohen  Macaulay º 27 2.2.5 Chú ý Ta biết rằng, môđun hữu hạn sinh vành quy địa phương Cohen  Macaulay hồn chỉnh Từ hệ mở rộng kết sau: “ Một môđun hữu hạn sinh vành địa phương Gorenstein Cohen  Macaulay mơđun G  hồn chỉnh ” 2.2.6.Định lý Cho M , N L R  môđun hữu hạn sinh thoã mãn G  dim N   G  dim L   Nếu SuppM  SuppL gradeL  grade(M , L)  grade(M , N )  G  dim N Chứng minh Chọn q  SuppM theo Định lý 2.1.5 ta có: grade(M , N )  depthN q (4) Theo giả thiết G  dim N   nên theo Bổ đề 2.1.4 i ) : depthNq  depthRq  G  dim N q Thay vào (4) ta được: grade(M , N )  depthRq  G  dim N q (5) Do G  dim L   sử dụng Bổ đề 2.1.5 i ) : depthRq  G  dim Lq  depthLq , Thay vào (5) ta được: grade(M , N )  G  dim Lq  depthLq  G  dim N q  gradeL  grade(M , L)  G  dim N Do grade(M , N )  G  dim N  gradeL  grade(M , L) º 2.2.7.Hệ Cho L R  mơđun hữu hạn sinh có số chiều Gorenstein hữu hạn SuppM  SuppL Khi grade(M , L)  gradeL  gradeM 28 Chứng minh Đặt N  R Theo Định lý 2.2.6 ta có: gradeL  grade(M , L)  grade(M , R)  G  dim N Hơn nữa, grade(M , R)  gradeM ; nên ta có bất đẳng thức gradeL  grade(M , L)  gradeM  G  dim N Mặt khác, HomR ( R, M )  M theo Định nghĩa 2.1.3 , suy G  dim N  Vậy º ta có điều phải chứng minh 2.2.8.Hệ Cho N R  mơđun hữu hạn sinh có số chiều Gorenstein hữu hạn Khi gradeM  grade(M , N )  G  dim N Chứng minh Đặt L  R Theo Định lý 2.2.6 ta có: grade(M , R)  gradeR  grade(M , N )  G  dim N Mặt khác grade(M , R)  gradeM Thay vào ta bất đẳng thức gradeR  gradeM  grade(M , N )  G  dim N Suy gradeM  grade(M , N )  G  dim N º Từ Hệ 2.2.7 2.2.8 ta có kết sau 2.2.9.Hệ Cho N R  mơđun hữu hạn sinh có số chiều Gorenstein hữu hạn SuppM  SuppN Khi grade(M , N )  gradeN  gradeM  grade(M , N )  G  dim N Đặc biệt, N mơđun G  hồn chỉnh grade(M , N )  gradeM  gradeN 29 2.3 Bậc với hàm tử tenxơ hàm tử Hom Trong tiết giả thiết R vành địa phương Định lý sau chứng minh  ; Định lý 1.2 2.3.1.Định lý Nếu M N R  môđun hữu hạn sinh với proj.dim N   Tori (M , N )  ,  i  depthM  N  depthM  proj.dim N Định lý sau chứng minh 9 ; Định lý 2.13 2.3.2.Định lý Nếu M N R  môđun hữu hạn sinh với G  dim N   , inj.dim M   Tori (M , N )  ,  i  depthM  N  depthM  G  dim N 2.3.3.Định lý Nếu M N R  môđun hữu hạn sinh với G  dim N   , proj.dim M   Tori (M , N )  , i  depthM  N  depthM  G  dim N Chứng minh Theo [9 ; Định lý 2.15] ta có G  dim(M  N )  G  dim N  proj.dim M Từ giả thiết G  dim N   proj.dim M   , suy G  dim M  N   Mặt khác, R vành giao hoán nên M  N  N  M Dẫn đến G  dim M  N  G  dim N  M Khi theo [9 ; 2.15] ta G  dim N  M  G  dim M  proj.dim N Do G  dim N  M   nên proj.dim N   từ giả thiết Tori (M , N )  , sử dụng Định lý 2.3.1 ta có depthM  N  depthM  proj.dim N (1) 30 Áp dụng Bổ đề 2.1.5 ii ) với G  dim N   proj.dim N   ta có G  dim N  proj.dim N Thay vào (1) ta có º depthM  N  depthM  G  dim N Cho M , N L R  môđun hữu hạn sinh cho proj.dim N   Tori (M , N )  , i  Araya Yoshino [ , Định lý 3.1 ] chứng minh rằng: grade( L, M  N )  grade( L, M )  grade( L, M  N )  proj.dim N Trong định lý gặp lại bất đẳng thức sử dụng số giả thiết mạnh 2.3.4 Định lý Cho M N R  môđun hữu hạn sinh với proj.dim N   Tori (M , N )  , i  Khi với R  mơđun L ta có: grade( L, M )  grade( L, M  N )  proj.dim N Nếu SuppL  SuppN grade( L, M  N )  gradeN  grade( L, M ) Đặc biệt, N R  môđun hồn chỉnh dấu “  ” xảy Chứng minh Chọn q  SuppL cho: grade( L, M  N )  depth(M  N )q Theo giả thiết proj.dim N   , Tori (M , N )  , sử dụng Định lý 2.3.1 ta có: depth(M  N )q  depthM q   proj.dim N q grade( L, M )  proj.dim N Do grade( L, M )  grade(L, M  N )  proj.dim N Chọn p  SuppL cho: grade( L, M )  depthM p (1) 31 Khi tương tự ta có depthM p  depthM p  N p  proj.dim N q  grade( L, M  N )  gradeN p  grade(L, M  N )  gradeN Suy grade( L, M  N )  gradeN  grade( L, M ) (2) Đặc biệt, N R  mơđun hồn chỉnh gradeN  proj.dim N Thay vào (1) ta có bất đẳng thức grade( L, M )  grade(L, M  N )  gradeN (3) Từ (2) (3) ta có grade( L, M  N )  gradeN  grade( L, M ) º 2.3.5 Định lý Cho M N R  môđun hữu hạn sinh với G  dim N   Tori (M , N )  , i  Nếu proj.dim M   inj.dim M   Khi với R  mơđun L ta có: grade( L, M )  grade(L, M  N )  G  dim N Nếu SuppL  SuppN grade( L, M  N )  gradeN  grade( L, M ) Đặc biệt, N R  môđun G  hồn chỉnh dấu “  ” xảy Chứng minh Theo giả thiết G  dim N   Tori (M , N )  Nếu proj.dim M   inj.dim M   theo Định lý 3.2 Định lý 3.3 ta có: depth(M  N ) p  depthM p  G  dim N p Chọn p  SuppL cho: grade( L, M  N )  depth(M  N ) p 32 Khi ta có bất đẳng thức G  dim N p  G  dim N grade( L, M )  depthM p Do ta có bất đẳng thức sau depth(M  N ) p  depthM p  G  dim N p  grade( L, M )  G  dim N Suy grade( L, M )  grade(L, M  N )  G  dim N (1) Tương tự chứng minh ta grade( L, M  N )  gradeN  grade( L, M ) (2) Nếu N G  hồn chỉnh gradeN  G  dim N Thay vào (1) ta có grade( L, M )  grade(L, M  N )  gradeN (3) º Từ (2) (3) suy điều phải chứng minh 2.3.6 Định lý Cho M N R  môđun hữu hạn sinh với G  dim N   TorRi (M , N )  , i  Khi với R  mơđun L ta có: grade( L, Hom(M , N ))  G  dim N  gradeL Nếu SuppL  SuppHom(M , N ) gradeL  grade(L, Hom(M , N ))  gradeN Đặc biệt, N mơđun G  hồn chỉnh dấu “  ” xảy Chứng minh Chọn q  SuppL cho: grade( L, Hom(M , N ))  depthRq ( Hom(M q , N q )) Mặt khác: grade( L, Hom(M , N ))  depthRq N q 33 Theo giả thiết G  dim N   , áp dụng Bổ đề 2.1.7 i ) ta có: depthRq N q  depthRq  G  dim N q  gradeL  G  dim N Suy grade( L, Hom(M , N ))  G  dim N  gradeL (1) Chọn p  SuppL cho: gradeL  depthRp Tương tự trên, ta có gradeL  depthN p  G  dim N q ; mà depthN p  G  dim N q  depth( Hom(M q , N q ))  G  dim N q ; Hơn depth( Hom(M q , N q ))  G  dim N q  grade(L, Hom(M , N ))  gradeN Do ta có bất đẳng thức gradeL  grade(L, Hom(M , N ))  gradeN (2) gradeL (3) Đặc biệt, N G  hồn chỉnh gradeN  G  dim N Thay vào (1) ta grade( L, Hom(M , N ))  gradeN  Từ (2) (3) ta có đẳng thức grade( L, Hom(M , N ))  gradeN  gradeL º 34 Kết luận Nội dung luận văn trình bày lại kết S.Yassemi; L Khatami T Sharif [8] Cụ thể là: Trình bày khái niệm chứng minh số tính chất mơđun G  hồn hảo lớp mơđun có bậc số chiều Gorenstein Trình bày số bất đẳng thức liên quan đến bậc chiều Gorenstein môđun hữu hạn sinh Trình bày số bất đẳng thức liên quan đến bậc môđun hữu hạn sinh với hàm tử ten xơ hàm tử Hom Trong luận văn đưa số ví dụ ( 2.1.6 2.1.10 ) số chứng minh chi tiết kết mà [8] khơng trình bày trình bày cách ngắn gọn 35 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Lê Thị Hiền (2008), Vành Goenstein iđêan tham số bất khả quy, Luận văn thạc sĩ toán học, ĐH Vinh [2] Nguyễn Thị Hồng Loan (2006), Bài giảng chuyên đề Đại số đồng điều cho cao học 13, ĐH Vinh Tiếng Anh [3] M F Atiyah and I G Macdonal (1969), Introduction to Commutative Algebra, Addison  Wesley [4] Auslander (1961), M Modules over Unramified Regular Local Ring Ill J Math., 5, 631- 647 [5] Auslander, M Bridger M (1969), Stable Module Theory, Memoirs Amer Math Soc., 94 [6] W Bruns and J Herzog (1993), Cohen Macaulay rings, Cambirdge University Press [7] Yassemi, S ( 1995) G-Dimension Math Scand, 77, 161- 174 [8] S Yassemi, L Khatami and T Sharif (2001), Grade and Gorenstein dimension, Communications in Algebra, 29 (11), 5085  5094 ... số tính chất mơđun G  hồn hảo lớp mơđun có bậc số chiều Gorenstein Trình bày số bất đẳng thức liên quan đến bậc chiều Gorenstein môđun hữu hạn sinh Trình bày số bất đẳng thức liên quan đến bậc. .. (M , R))  G  dimR ( ExtRn (M , R))  n º 2.2 Một số bất đẳng thức bậc chiều Gorenstein Trong tiết chứng minh số bất đẳng thức bậc số chiều Gorenstein 2.2.1 Định lý Cho M N R  mơđun hữu hạn... đun hữu hạn sinh M với chiều Gorenstein hữu hạn vành Cohen  Macaulay địa phương Cohen  Macaulay M G  hoàn chỉnh Một số bất đẳng thức liên quan bậc mô đun chiều Gorenstein chiều xạ ảnh đưa báo