DS10 Tu duy thuat giai phuong trnh Chu Huong Ly

Để đào tạo những con ng-ời có đầy đủ các phẩm chất của ng-ời lao động mới đòi hỏi trong quá trình dạy học theo h-ớng phát triển t- duy thuật giải bên cạnh việc cho học sinh tập luyện tốt[r]

0 Lêi c¶m ¬n T¸c gi¶ xin ch©n thµnh c¶m ¬n c¸c thÇy c« gi¸o tæ Ph-¬ng pháp dạy học toán, khoa Toán, tr-ờng Đại học Vinh đã giúp đỡ và có ý kiến đóng góp quý báu quá trình s-u tầm t- liệu, soạn thảo đề c-ơng và hoàn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã quan tâm, động viên và tạo điều kiện tốt để tác giả hoàn thành luận văn Đặc biệt, tác giả xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến TS Chu Trọng Thanh, ng-ời đã trực tiếp h-ớng dẫn, bảo tận tình quá trình làm luận văn, để tác giả hoàn thành tốt luận văn thạc sỹ mình Vinh, ngµy 20 th¸ng 12 n¨m 2007 T¸c gi¶ Chu H-¬ng Ly www.vnmath.com Më ®Çu Lý chọn đề tài 1.1 Để phục vụ cho nghiệp công nghiệp hóa - đại hóa đất n-ớc vµ b¾t kÞp sù ph¸t triÓn cña x· héi ®iÒu kiÖn bïng næ th«ng tin, ngµnh giáo dục và đào tạo phải đổi ph-ơng pháp dạy học cách mạnh mẽ nhằm đào tạo ng-ời có đầy đủ phẩm chất ng-ời lao động sản xuất tự động hóa nh-: động, sáng tạo, tự chủ, kỷ luật nghiêm, có tính tổ chức, tính trật tự các hành động và có ý thức suy nghĩ t×m gi¶i ph¸p tèi -u gi¶i quyÕt c«ng viÖc Những định h-ớng đổi ph-ơng pháp dạy học đã đ-ợc thể c¸c NghÞ quyÕt héi nghÞ nh-: NghÞ quyÕt héi nghÞ lÇn thø IV BCH trung -¬ng §¶ng Céng s¶n ViÖt Nam (khãa IV, 1993) nªu râ: Môc tiªu gi¸o dục đào tạo phải h-ớng vào việc đào tạo ng-ời lao động tự chủ, sáng tạo, có lực giải vấn đề th-ờng gặp, qua đó mà góp phần tích cực thể mục tiêu lớn đất n-ớc Về ph-ơng pháp giáo dục đào tạo, Nghị Hội nghị lần thứ II BCH TW Đảng cộng sản Việt Nam (khóa VIII, 1997) đã đề ra:"Phải đổi ph-ơng pháp đào tạo, khắc phục lối truyền đạt chiều, rèn luyện thành nÕp t- s¸ng t¹o cña ng-êi häc Tõng b-íc ¸p dông nh÷ng ph-¬ng ph¸p tiên tiến và ph-ơng tiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo điều kiện và thêi gian tù häc, tù nghiªn cøu" Điều 24, luật giáo dục (1998) quy định:" Ph-ơng pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, t- sáng tạo học sinh, , båi d-ìng ph-¬ng ph¸p tù häc, rÌn luyÖn kü n¨ng vËn dông kiÕn thøc vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho häc sinh" Muốn đạt đ-ợc điều đó, việc cần thiết phải thực qu¸ tr×nh d¹y häc lµ ph¸t triÓn t- thuËt gi¶i cho häc sinh www.vnmath.com 1.2 Hiện tr-ờng phổ thông đã tiến hành giáo dục tin học Tin học đ-ợc dạy t-ờng minh nh- nội dung và sử dụng máy tính điện tử nhcông cụ dạy học Do đó vấn đề phát triển phát triển t- thuật giải môn toán giữ vị trí quan trọng giáo dục tin học Khẳng định này đ-ợc thể rõ mục đích giáo dục tin học: "Làm cho tất học sinh tốt nghiệp trung học nắm đ-ợc yếu tố tin học với t- c¸ch lµ thµnh tè cña v¨n hãa phæ th«ng" "Gãp phÇn h×nh thµnh ë häc sinh nh÷ng lo¹i h×nh t- liªn hÖ mËt thiÕt víi viÖc sö dông c«ng nghÖ th«ng tin nh- t- thuËt gi¶i, t- ®iÒu khiÓn, ", "Gãp phÇn h×nh thµnh ë häc sinh phẩm chất ng-ời lao động sản xuất tự động hóa nh-: tÝnh kû luËt, tÝnh kÕ ho¹h hãa, tÝnh phª ph¸n vµ thãi quen tù kiÓm tra, " 1.3 Phát triển t- thuật giải là mục đích việc dạy học toán tr-êng phæ th«ng v×: * T- thuật giải tạo điều kiện tốt để học sinh tiếp thu kiến thức, rèn luyÖn c¸c kü n¨ng To¸n häc * T- thuËt gi¶i ph¸t triÓn sÏ thóc ®Èy sù ph¸t triÓn c¸c thao t¸c trÝ tuÖ (nh-: ph©n tÝch, tæng hîp, so s¸nh, trõu t-îng hãa, kh¸i qu¸t hãa, ) còng nh- phẩm chất trí tuệ (nh- : tính linh hoạt, tính độc lập, tính sáng tạo) * T- thuật giải giúp học sinh hình dung đ-ợc quá trình tự động hóa diễn lĩnh vực khác ng-ời, đó có lĩnh vực xử lý thông tin Điều này làm cho học sinh thích nghi với xã hội tự động hãa, gãp phÇn lµm gi¶m ng¨n c¸ch gi÷a nhµ tr-êng vµ x· héi 1.4 Ph¸t triÓn t- thuËt to¸n m«n to¸n cã ý nghÜa vÒ nhiÒu mặt và môn toán chứa đựng khả to lớn phát triển t- thuật giải, nh-ng, t- thuật giải ch-a đ-ợc chú ý phát triển đúng mức nhà tr-ờng phổ thông Đã có số công trình nghiên cứu vấn đề này, số các công trình đó có thể kể tới luận án phó tiến sỹ D-ơng V-ơng Minh: "Ph¸t triÓn t- thuËt gi¶i cña häc sinh d¹y häc c¸c hÖ thống số tr-ờng phổ thông" (1998) Luận án này đã xem xét việc phát triển www.vnmath.com t- thuËt gi¶i cho häc sinh d¹y c¸c hÖ thèng sè chø ch-a ®i s©u vµo viÖc ph¸t triÓn t- thuËt gi¶i cho häc sinh d¹y häc néi dung ph-¬ng tr×nh LuËn v¨n cña th¹c sü NguyÔn ThÞ Thanh B×nh: "Gãp phÇn ph¸t triÓn tduy thuËt gi¶i cña häc sinh Trung häc phæ th«ng th«ng qua d¹y häc néi dung l-ợng giác 11" (2000) đã đề cập đến việc phát triển t- thuật giải cho học sinh d¹y néi dung l-îng gi¸c 11 1.5 Néi dung ph-¬ng tr×nh lµ néi dung quan träng vµ khã ë ch-¬ng trình toán trung học phổ thông với nhiều biến đổi phức tạp, nhiều dạng toán, nhiÒu quy tr×nh vËn dông kü n¨ng tÝnh to¸n nhiÒu bµi to¸n cã tiÒm n¨ng cã thÓ chuyÓn vÒ mét thuËt gi¶i §ã lµ ®iÒu kiÖn thuËn lîi nh»m ph¸t triÓn tduy thuËt gi¶i cho häc sinh Với lý nêu trên, tôi chọn đề tài "Góp phần phát triển t- thuËt gi¶i cho häc sinh trung häc phæ th«ng th«ng qua d¹y häc mét sè néi dung ph-ơng trình" làm đề tài nghiên cứu khoa học mình Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu luận văn là đề số biện pháp phát triển t- thuËt gi¶i qu¸ tr×nh d¹y häc mét sè néi dung ph-¬ng tr×nh nh»m gãp phÇn n©ng cao hiÖu qu¶ d¹y häc To¸n ë tr-êng phæ th«ng Gi¶ thuyÕt khoa häc NÕu qu¸ tr×nh d¹y häc To¸n trung häc phæ th«ng nãi chung, d¹y häc néi dung ph-¬ng tr×nh, bÊt ph-¬ng tr×nh nãi riªng, gi¸o viªn thùc hiÖn theo mét quy tr×nh d¹y häc theo h-íng ph¸t triÓn t- thuËt gi¶i th× sÏ gãp phÇn n©ng cao chÊt l-îng d¹y häc to¸n ë tr-êng phæ th«ng NhiÖm vô nghiªn cøu Để đạt đ-ợc mục đích nêu trên, luận văn có nhiệm vụ trả lời các câu hái khoa häc sau: 4.1 T- thuËt gi¶i lµ g× vµ v× nã cÇn ®-îc ph¸t triÓn ë häc sinh m«n To¸n? www.vnmath.com 4.2 TiÕn hµnh ph¸t triÓn t- thuËt gi¶i cña häc sinh m«n to¸n dựa trên t- t-ởng chủ đạo nào? 4.3 Cã thÓ x©y dùng quy tr×nh d¹y häc ph-¬ng tr×nh theo h-íng ph¸t triÓn t- thuËt gi¶i ®-îc kh«ng? 4.4 Để phát triển t- thuật giải cho học sinh cần có định h-íng s- ph¹m nµo? 4.5 Cã thÓ ®-a thuËt gi¶i gi¶i mét sè d¹ng ph-¬ng tr×nh nh»m tËp luyện hoạt động t- thuật giải cho học sinh đ-ợc không? 4.6 KÕt qu¶ thùc nghiÖm nh- thÕ nµo? Ph-¬ng ph¸p nghiªn cøu 5.1 Nghiªn cøu lý luËn * Nghiên cứu các văn kiện Đảng và nhà n-ớc, Bộ giáo dục đào tạo có liên quan đến việc dạy và học Toán tr-ờng phổ thông * Các sách báo, tạp chí có liên quan đến nội dung đề tài * Các công trình nghiên cứu các vấn đề có liên quan trực tiếp đến đề tài (các luận văn, luận án, chuyên đề ) 5.2 Nghiªn cøu thùc tiÔn * Dự giờ, quan sát dạy giáo viên và hoạt động học tập học sinh qu¸ tr×nh d¹y häc nãi chung, d¹y häc néi dung ph-¬ng tr×nh nãi riªng * Tæ chøc thùc nghiÖm kiÓm chøng th«ng qua c¸c líp häc thùc nghiÖm và đối chứng trên cùng lớp đối t-ợng §ãng gãp cña luËn v¨n 6.1 LuËn v¨n gãp phÇn lµm s¸ng tá néi dung kh¸i niÖm t- thuËt gi¶i vµ vai trß vÞ trÝ cña viÖc ph¸t triÓn t- thuËt gi¶i d¹y häc to¸n 6.2 X©y dùng ®-îc c¸c quy tr×nh d¹y häc theo h-íng ph¸t triÓn t- thuËt gi¶i cho häc sinh 6.3 Xác định đ-ợc số định h-ớng s- phạm phát triển t- thuật gi¶i cho häc sinh www.vnmath.com 6.4 Khai th¸c ®-îc mét sè d¹ng ph-¬ng tr×nh cã thÓ gióp häc sinh x©y dùng ®-îc thuËt gi¶i 6.5 LuËn v¨n cã thÓ dïng lµm tµi liÖu tham kh¶o cho gi¸o viªn to¸n trung häc phæ th«ng CÊu tróc luËn v¨n LuËn v¨n ngoµi phÇn më ®Çu, kÕt luËn vµ tµi liÖu tham kh¶o gåm cã ch-¬ng Ch-ơng T- thuật giải và vấn đề phát triển t- thuật giải cho häc sinh phæ th«ng 1.1 C¬ së lý luËn 1.2 Kh¸i niÖm thuËt to¸n 1.3 Kh¸i niÖm t- thuËt gi¶i 1.4 Vấn đề phát triển t- thuật giải dạy học Toán Ch-ơng Một số định h-ớng s- phạm góp phần phát triển t- thuật gi¶i cho häc sinh trung häc phæ th«ng d¹y mét sè néi dung ph-¬ng tr×nh 2.1 C¸c nguyªn t¾c d¹y häc theo h-íng ph¸t triÓn t- thuËt gi¶i 2.2 Một số định h-ớng phát triển t- thuật giải thông qua dạy học néi dung ph-¬ng tr×nh 2.3 H-íng dÉn häc sinh x©y dùng thuËt gi¶i cho mét sè d¹ng ph-¬ng tr×nh www.vnmath.com www.vnmath.com Ch-¬ng T- thuật giải và vấn đề phát triển t- thuËt gi¶i cho häc sinh th«ng qua m«n To¸n 1.1 C¬ së lý luËn 1.1.1 Quan điểm hoạt động ph-ơng pháp dạy học Chóng ta biÕt r»ng qu¸ tr×nh d¹y häc lµ mét qu¸ tr×nh ®iÒu khiÓn ho¹t động giao l-u học sinh nhằm thực mục đích dạy học Còn häc tËp lµ mét qu¸ tr×nh xö lý th«ng tin Qu¸ tr×nh nµy cã c¸c chøc n¨ng: ®-a thông tin vào, ghi nhớ thông tin, biến đổi thông tin, đ-a thông tin và điều phối Học sinh thực các chức này hoạt động mình Thông qua hoạt động thúc đẩy phát triển trí tuệ học sinh làm cho học sinh häc tËp mét c¸ch tù gi¸c, tÝch cùc Xuất phát từ nội dung dạy học ta cần phát hoạt động liên hệ với nó vào mục đích dạy học mà lựa chọn để tập luyện cho học sinh số hoạt động đã phát Việc phân tích hoạt động thành hoạt động thành phần giúp ta tổ chức cho học sinh tiến hành hoạt động với độ phức hợp vừa sức họ Việc tiến hành hoạt động nhiều đòi hỏi tri thức định, đặc biệt là tri thức ph-ơng pháp Những tri thức này lại là kết quá trình hoạt động khác Trong hoạt động, kết rèn luyện đ-ợc mức độ nào đó có thể lại là tiền đề để tập luyện và đạt kết cao Do đó cần phân bậc hoạt động theo mức độ khác làm sở cho việc đạo quá trình dạy học Trên sở việc phân tích trên ph-ơng pháp dạy học theo quan điểm hoạt động Luận văn đ-ợc nghiên cứu khuôn khổ lý luận dạy học, lấy quan điểm hoạt động làm tảng tâm lý häc Néi dung cña quan ®iÓm nµy ®-îc thÓ hiÖn mét c¸ch tãm t¾t qua nh÷ng t- t-ởng chủ đạo sau: www.vnmath.com * Cho học sinh thực và tập luyện hoạt động và hoạt động t-ơng thích với nội dung và mục đích dạy học * H-ớng đích và gợi động cho các hoạt động * Truyền thụ tri thức, đặc biệt là tri thức ph-ơng pháp, nhph-ơng tiện và kết hoạt động * Phân bậc hoạt động làm cho việc điều khiển quá trình dạy học 1.1.2 Mét sè quan ®iÓm kh¸c Luận văn lấy quan điểm hoạt động làm tảng tâm lý học để nghiên cøu nh-ng còng dùa vµo quan ®iÓm cña lý thuyÕt t×nh huèng vµ lý thuyÕt kiÕn t¹o bëi v× c¸c quan ®iÓm d¹y häc cña c¸c lý thuyÕt nµy cã sù giao thoa với quan điểm lý thuyết hoạt động Theo lý thuyết tình thì học là thích ứng (bao gồm đồng hóa và điều tiết) môi tr-ờng sản sinh nh÷ng m©u thuÉn, nh÷ng khã kh¨n, nh÷ng sù mÊt c©n b»ng Một tình th-ờng liên hệ với quy trình hành động Một yếu tố tình mà thay đổi giá trị nó có thể gây thay đổi quy trình giải vấn đề học sinh Do đó quá trình dạy học ta cÇn so¹n th¶o t×nh huèng t-¬ng øng víi tri thøc cÇn d¹y (t×nh huèng cho tri thức đó nghĩa đúng) Sau đó ủy thác tình này cho học sinh Học sinh tiến hành hoạt động học tập diễn nhờ t-ơng tác với môi tr-ờng Theo lý thuyết kiến tạo, học tập là hoạt động thích ứng ng-ời học Do đó dạy học phải là dạy hoạt động, tổ chức các tình học tập đòi hỏi thích ứng học sinh, qua đó học sinh kiến tạo đ-ợc kiến thức, đồng thời ph¸t triÓn ®-îc trÝ tuÖ vµ nh©n c¸ch cña m×nh Nh- vËy, nÕu ph©n tÝch râ quan ®iÓm d¹y häc theo lý thuyÕt t×nh huèng vµ lý thuyÕt kiÕn t¹o sÏ gãp phÇn ph¸t triÓn ph-¬ng ph¸p d¹y häc ph¸t triÓn t- thuËt gi¶i cho häc sinh 1.2 Kh¸i niÖm thuËt to¸n www.vnmath.com Kh¸i niÖm t- thuËt gi¶i liªn hÖ chÆt chÏ víi kh¸i niÖm thuËt to¸n Do đó tr-ớc đ-a khái niệm t- thuật giải ta hãy nghiên cứu khái niÖm thuËt to¸n 1.2.1 Nghiªn cøu kh¸i niÖm thuËt to¸n a Kh¸i niÖm bµi to¸n Trong tin học, ng-ời ta quan niệm bài toán là việc nào đó ta muốn m¸y tÝnh thùc hiÖn Nh÷ng viÖc nh- ®-a mét dßng ch÷ mµn h×nh, gi¶i ph-¬ng tr×nh bËc hai, qu¶n lý c¸n bé cña mét c¬ quan lµ nh÷ng vÝ dô vÒ bµi to¸n Khi dùng máy tính giải toán, ta cần quan tâm đến hai yếu tố: Đ-a vào máy thông tin gì (Input) và lấy thông tin gì (Output) Do đó để phát biểu mét bµi to¸n, ta cÇn ph¶i tr×nh bµy râ Input vµ Output cña bµi to¸n vµ mèi quan hÖ gi÷a Input vµ Output VÝ dô 1: Bµi to¸n t×m -íc chung lín nhÊt cña hai sè nguyªn d-¬ng Input: Hai sè nguyªn d-¬ng M vµ N Output: -íc chung lín nhÊt cña M vµ N VÝ dô 2: Bµi to¸n t×m nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh bËc 2: ax2 + bx + c = (a  0) Input: C¸c sè thùc a, b, c (a  0) Output: TÊt c¶ c¸c sè thùc x tháa m·n: ax2 + bx + c = ë ®©y Output cã thÓ lµ mét hoÆc hai sè thùc hoÆc c©u tr¶ lêi kh«ng cã sè thùc nµo nh- vËy Qua c¸c vÝ dô trªn, ta thÊy c¸c bµi to¸n ®-îc cÊu t¹o bëi hai thµnh phÇn c¬ b¶n: Input: Các thông tin đã có Output: C¸c th«ng tin cÇn t×m tõ Input b Kh¸i niÖm thuËt to¸n ViÖc cho mét bµi to¸n lµ m« t¶ râ Input cho tr-íc vµ Output cÇn t×m Vấn đề là làm nào để tìm Output www.vnmath.com ViÖc chØ t-êng minh mét c¸ch t×m Output cña bµi to¸n ®-îc gäi lµ thuật toán (algorithm) giải bài toán đó Có nhiều định nghĩa khác thuật toán Dựa vào phân tích trên ta có thể định nghĩa thuật toán nh- sau: Thuật toán để giải bài toán là dãy hữu hạn các thao tác đ-ợc xếp theo trình tự xác định cho sau thực dãy thao tác ấy, tõ Input cña bµi to¸n, ta nhËn ®-îc Output cÇn t×m VÝ dô: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña mét d·y sè nguyªn + Xác định bài toán + Input: Sè nguyªn d-¬ng N vµ d·y N sè nguyªn a1, a2, an + Output: Gi¸ trÞ lín nhÊt Max cña d·y sè * ý t-ëng: - Khëi t¹o gi¸ trÞ Max = a1 - Lần l-ợt với i từ đến N, so sánh giá trị số hạng a i với gi¸ trÞ Max, nÕu > Max th× Max nhËn gi¸ trÞ míi lµ * ThuËt to¸n: ThuËt to¸n gi¶i bµi to¸n nµy cã thÓ ®-îc m« t¶ theo c¸ch liÖt kª nh- sau: B-íc 1: NhËp N vµ d·y a1, a2, ,an B-íc 2: Max = ; i: = B-íc 3: NÕu i > N th× ®-a gi¸ trÞ Max råi kÕt thóc B-íc 4: + B-íc 4.1 NÕu > Max th× Max: = + B-íc 4.2 NÕu i: = i + råi quay l¹i b-íc Từ định nghĩa ta thấy thuật toán có các tính chất sau: * TÝnh dõng: ThuËt to¸n ph¶i kÕt thóc sau mét sè h÷u h¹n lÇn thùc hiÖn c¸c thao t¸c * Tính xác định: Sau thực thao tác thì là thuật toán kết thúc là có đúng thao tác xác định để đ-ợc thực * Tính đúng đắn: sau thuật toán kết thúc ta phải nhận đ-ợc Output cÇn t×m Ví dụ: Với thuật toán tìm Max đã xét: www.vnmath.com 10 * Tính dừng: Vì giá trị i lần tăng lên đơn vị nên sau N lần thì i > N, đó kết phép so sánh b-ớc xác định việc đ-a gi¸ trÞ Max råi kÕt thóc * Tính xác định: Thứ tự thực các b-ớc thuật toán đ-ợc mặc định là nên sau b-ớc là b-ớc 2, sau b-ớc là b-ớc Kết các b-ớc so sánh b-ớc và b-ớc xác định b-ớc cÇn thùc hiÖn * Tính đúng đắn: Vì thuật toán so sánh Max với số hạng dãy sè vµ thùc hiÖn Max: = nÕu > Max nªn sau so s¸nh hÕt N sè h¹ng cña d·y th× Max lµ gi¸ trÞ lín nhÊt Ví dụ: Tính tổng các số nguyên d-ơng lẻ khoảng từ đến n - Xác định bài toán: + Input: N lµ sè nguyªn d-¬ng lÎ + Output: Tổng các số nguyên d-ơng lẻ từ đến n * Thuật toán tính tổng các số nguyên d-ơng lẻ từ đến N nh- sau: B-íc 1: Hái gi¸ trÞ cña N B-íc 2: S: = B-íc 3: i = B-íc 4: NÕu i = N+1 th× sang b-íc 8, ng-îc l¹i sang b-íc B-íc 5: Céng thªm i vµo S B-íc 6: Céng thªm vµo i B-íc 7: Quay l¹i b-íc B-íc 8: Tæng cÇn t×m chÝnh lµ S Ta chú ý đến b-ớc đây ta muốn kết thúc thuật toán giá trị i v-ît qu¸ N Thay v× viÕt "nÕu i lín h¬n N" th× ta viÕt ®iÒu kiÖn "i = N+1" không phải lúc nào đạt đ-ợc Vì ban đầu i là số lẻ, sau b-ớc i lại đ-ợc tăng thêm đơn vị nên i luôn luôn là số lẻ Nếu N là số chẵn thì N + là số lẻ nên sau số b-ớc định, i N + Tuy nhiên, N là sè lÎ th× N + lµ sè ch½n, i lµ sè lÎ nªn dï cã qua bao nhiªu b-íc ®i ch¨ng www.vnmath.com 11 nữa, i khác N + Trong tr-ờng hợp đó, thuật toán trên bị quẩn (hay vi ph¹m tÝnh dõng) Tính "đúng" là tính chất khá hiển nhiên nh-ng là tính chất khó đạt tới Thật vậy, giải số vấn đề bài toán, ta luôn mong muốn lời giải mình cho kết đúng nh-ng không phải lúc nào đạt đ-ợc Mọi học sinh làm bài kiểm tra muốn bài làm mình có đáp số đúng, nh-ng trên thực tế, lớp có số học sinh định là có khả đ-a lời giải đúng 1.2.2 Các đặc tr-ng thuật toán Tính đơn trị Tính đơn trị thuật toán đòi hỏi các thao tác sơ cấp phải đơn trÞ, nghÜa lµ hai phÇn tö thuéc cïng mét c¬ cÊu, thùc hiÖn cïng mét thao t¸c trên cùng đối t-ợng thì phải cho cùng kết Ví dụ: Quy trình b-ớc để giải bài toán B-íc T×m hiÓu néi dung bµi to¸n B-íc T×m ®-êng lèi gi¶i to¸n B-íc Thùc hiÖn ch-¬ng tr×nh gi¶i to¸n B-íc KiÓm tra kÕt qu¶ vµ nghiªn cøu lêi gi¶i Quy trình này không phải là thuật toán vì tính đơn trị bị vi phạm Chẳng hạn b-ớc 1, b-ớc 2, b-ớc 3, b-ớc không đ-ợc xác định vì ng-ời ta cã thÓ hiÓu vµ lµm theo nhiÒu c¸ch kh¸c Từ tính đơn trị, ta thấy đ-ợc tính hình thức hóa thuật toán Bất kể cấu nào, cần biết thực đúng trình tự quy định là đến kÕt qu¶ chø kh«ng cÇn ph¶i hiÓu ý nghÜa cña nh÷ng thao t¸c nµy TÝnh chÊt này quan trọng vì nhờ đó ta có thể giao cho thiết bị tự động thùc hiÖn thuËt gi¶i, lµm mét sè c«ng viÖc thay thÕ cho ng-êi TÝnh hiÖu qu¶ Tính hiệu thuật toán đ-ợc đánh giá dựa trên số tiêu chuẩn nh-: khèi l-îng tÝnh to¸n, kh«ng gian vµ thêi gian thuËt to¸n ®-îc thùc www.vnmath.com 12 Tính hiệu thuật toán là yếu tố định để đánh giá, chọn lựa cách giải vấn đề - bài toán trên thực tế Có nhiều ph-ơng pháp để đánh giá tính hiệu thuật toán Độ phức tạp thuật toán là tiªu chuÈn ®-îc dïng réng r·i TÝnh tæng qu¸t ThuËt to¸n cã tÝnh tæng qu¸t lµ thuËt to¸n ph¶i ¸p dông ®-îc cho mäi tr-êng hîp cña bµi to¸n chø kh«ng ph¶i chØ ¸p dông ®-îc cho mét sè tr-êng hợp riêng lẻ nào đó Chẳng hạn thuật toán giải ph-ơng trình bậc hai sau đây Delta đảm bảo đ-ợc tính chất này vì nó luôn luôn giải đ-ợc với giá trị số thực a, b, c Tuy nhiên, không phải thuật toán nào đảm bảo ®-îc tÝnh tæng qu¸t Trong thùc tÕ, cã lóc ng-êi ta chØ x©y dùng thuËt to¸n cho dạng đặc tr-ng bài toán mà thôi VÝ dô: ThuËt to¸n gi¶i ph-¬ng tr×nh bËc hai: ax2 + bx + c = (a  0) Cho biÕt gi¸ trÞ ba hÖ sè a, b, c NÕu a = th×: 2.1 Yêu cầu bài toán không đảm bảo 2.2 KÕt thóc thuËt to¸n NÕu a  th×: 3.1 TÝnh gi¸ trÞ  = b2 - 4ac 3.2 NÕu  > th×: 3.2.1 Ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm ph©n biÖt x1, x2 3.2.2 Gi¸ trÞ cña hai nghiÖm tÝnh theo c«ng thøc: x1  b  , 2a x2  b  2a 3.2.3 KÕt thóc thuËt to¸n 3.3 NÕu  = 3.3.1 Ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp x0 3.3.2 Gi¸ trÞ cña nghiÖm kÐp lµ x0   www.vnmath.com b 2a 13 3.3.3 KÕt thóc thuËt to¸n 3.4 NÕu  < th×: 3.4.1 Ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm 3.4.2 KÕt thóc thuËt to¸n 1.2.3 C¸c ph-¬ng ph¸p biÓu diÔn thuËt to¸n Khi chøng minh hoÆc gi¶i mét bµi to¸n to¸n häc, ta th-êng dïng nh÷ng ng«n ng÷ to¸n häc nh-: "ta cã", "®iÒu ph¶i chøng minh","gi¶ thiÕt", vµ sö dông c¸c phÐp suy luËn to¸n häc nh- phÐp kÐo theo, phÐp t-¬ng ®-¬ng, ThuËt to¸n lµ mét ph-¬ng ph¸p thÓ hiÖn lêi gi¶i mét bµi to¸n nªn còng phải tuân theo số quy tắc định Để có thể truyền đạt thuật toán cho ng-êi kh¸c hay chuyÓn thuËt to¸n thµnh ch-¬ng tr×nh m¸y tÝnh, ta ph¶i cã ph-¬ng ph¸p biÓu diÔn thuËt to¸n Cã ph-¬ng ph¸p biÓu diÔn thuËt to¸n Ng«n ng÷ tù nhiªn vµ ng«n ng÷ to¸n häc Dùng l-u đồ - sơ đồ khối Dïng ng«n ng÷ pháng tr×nh Dïng ng«n ng÷ lËp tr×nh Ng«n ng÷ tù nhiªn vµ ng«n ng÷ to¸n häc Trong c¸ch biÓu diÔn thuËt to¸n theo ng«n ng÷ tù nhiªn vµ ng«n ng÷ toán học, ng-ời ta sử dụng ngôn ngữ th-ờng ngày và ngôn ngữ toán học để liệt kê các b-ớc thuật toán Các thuật toán mục đ-ợc viết d-ới d¹ng ng«n ng÷ tù nhiªn vµ ng«n ng÷ to¸n häc Ph-¬ng ph¸p biÓu diÔn nµy không yêu cầu ng-ời viết thuật toán nh- ng-ời đọc thuật toán phải nắm c¸c quy t¾c Tuy vËy, c¸ch biÓu diÔn nµy th-êng dµi dßng, kh«ng thÓ hiÖn râ cấu trúc thuật toán, đôi lúc gây hiểu nhầm khó hiểu cho ng-ời đọc Ta xÐt thªm vÝ dô sau: VÝ dô 1: ThuËt to¸n xÐt dÊu c¸c nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh bËc hai: ax2 + bx + c = (víi gi¶ thiÕt abc  0) B-ớc 1: Xác định các hệ số a, b, c www.vnmath.com 14 B-íc 2: KiÓm tra ®iÒu kiÖn ac < + Nếu điều kiện đúng thì chuyển sang b-ớc + NÕu ®iÒu kiÖn sai th× chuyÓn sang b-íc B-íc 3: KÕt luËn: Ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm tr¸i dÊu ChuyÓn sang b-íc 14 B-íc 4: TÝnh  = b2 - 4ac B-íc 5: KiÓm tra ®iÒu kiÖn  > + NÕu ®iÒu kiÖn sai th× chuyÓn sang b-íc + Nếu điều kiện đúng thì chuyển sang b-ớc B-íc 6: KiÓm tra ®iÒu kiÖn ab > + Nếu điều kiện đúng thì chuyển sang b-ớc + NÕu ®iÒu kiÖn sai th× chuyÓn sang b-íc B-íc 7: KÕt luËn: Ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm d-¬ng ChuyÓn sang b-íc 14 B-íc 8: KÕt luËn: Ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm ©m ChuyÓn sang b-íc 14 B-íc 9: kiÓm tra ®iÒu kiÖn  = + Nếu điều kiện đúng thì chuyển sang b-ớc 10 + NÕu ®iÒu kiÖn sai th× chuyÓn sang b-íc 13 B-íc 10 KiÓm tra ®iÒu kiÖn ab > + Nếu điều kiện đúng thì chuyển sang b-ớc 11 + NÕu ®iÒu kiÖn sai th× chuyÓn sang b-íc 12 B-íc 12 KÕt luËn: Ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp d-¬ng ChuyÓn sang b-íc 14 B-íc 12 KÕt luËn: ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp ©m ChuyÓn sang b-íc 14 B-íc 13: KÕt luËn: ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm B-íc 14: KÕt thóc www.vnmath.com 15 L-u đồ - Sơ đồ khối L-u đồ hay sơ đồ khối là công cụ trực quan để diễn đạt các thuật toán Biểu diễn thuật toán l-u đồ giúp ng-ời đọc theo dõi đ-ợc ph©n cÊp c¸c tr-êng hîp vµ qu¸ tr×nh xö lý cña thuËt to¸n Ph-¬ng ph¸p l-u đồ th-ờng đ-ợc dùng thuật toán có tính rắc rối, khó theo dõi ®-îc qu¸ tr×nh xö lý Để biểu diễn thuật toán theo sơ đồ khối, ta phải phân biệt hai loại thao tác: thao tác lựa chọn và thao tác hành động * Thao t¸c lùa chän Thao t¸c lùa chän ®-îc biÓu diÔn b»ng mét h×nh thoi, bªn chøa biÓu thøc ®iÒu kiÖn: =0 a=b * Thao t¸c xö lý ®-îc biÓu diÔn b»ng mét h×nh ch÷ nhËt, bªn chøa néi dung xö lý T¨ng i lªn Chän hép bÊt kú * §-êng ®i Trong ngôn ngữ l-u đồ, thể các b-ớc hình vẽ và có thể đặt các hình vẽ này vị trí nên ta phải có ph-ơng pháp để trình tự thùc hiÖn c¸c thao t¸c B-íc B-íc B-íc www.vnmath.com 16 Hai b-íc kÕ tiÕp ®-îc nèi b»ng mét mòi tªn chØ h-íng thùc hiÖn Tõ thao t¸c chän lùa cã thÓ cã hai h-íng ®i, mét h-íng øng víi ®iÒu kiện đúng, h-ớng ứng với điều kiện sai S >0 § =0 Cã nghiÖm ph©n biÖt * §iÓm cuèi §iÓm cuèi lµ ®iÓm khëi ®Çu vµ kÕt thóc cña thuËt to¸n, ®-îc biÓu diÔn nh- sau: B¾t ®Çu KÕt thóc (Cã thÓ thay ch÷ b¾t ®Çu bëi Star/Begin) (Cã thÓ thay ch÷ kÕt thóc bëi End) Ngoµi cßn cã ®iÓm nèi, ®iÓm nèi sang trang dïng cho thuËt to¸n cã l-u đồ lớn www.vnmath.com 17 Ví dụ: L-u đồ thuật toán giải ph-ơng trình bậc hai B¾t ®Çu Hái gi¸ trÞ a, b , c  = b2 - 4ac  § Cã nghiÖm ph©n biÖt x1 , x x1,  b  2a S 0 S § Cã nghiÖm kÐp xo V« nghiÖm x=-b/2a KÕt thóc L-u đồ mô tả thuật toán cách trực quan nh-ng lại cồng kềnh phải mô tả thuật toán phức tạp Một ph-ơng pháp khác để biểu diÔn thuËt to¸n kh¾c phôc nh-îc ®iÓm Êy lµ ng«n ng÷ pháng tr×nh www.vnmath.com 18 Ng«n ng÷ pháng tr×nh Tuy sơ đồ khối thể rõ quá trình xử lý và phân cấp các tr-ờng hîp cña thuËt to¸n nh-ng l¹i cång kÒnh §Ó m« t¶ thuËt to¸n nhá ta ph¶i dùng không gian lớn Hơn nữa, l-u đồ phân biệt hai thao tác là rẽ nh¸nh (lùa chän cã ®iÒu kiÖn) vµ xö lý mµ trùc tÕ, c¸c thuËt to¸n cßn cã c¸c lÆp BiÓu diÔn thuËt to¸n b»ng ng«n ng÷ pháng tr×nh lµ c¸ch biÓu diÔn sù vay m-ợn các cú pháp ngôn ngữ lập trình nào đó (Pascal, Basic, C, C++, ) để thể thuật toán Ngôn ngữ trình đơn giản, gần gũi với ng-ời, dễ học vì nó sử dụng ngôn ngữ tự nhiên và ch-a quá sa đà vào nh÷ng quy -íc chi tiÕt MÆt kh¸c, nã còng dÔ chuyÓn sang nh÷ng ng«n ng÷ cho máy tính điện tử vì đã sử dụng cấu trúc và ký hiệu chuẩn hóa VÝ dô: BiÓu diÔn thuËt to¸n gi¶i ph-¬ng tr×nh bËc hai b»ng ng«n ng÷ pháng tr×nh Begin If Delta > then begin x1 = (-b-sqrt(delta))/(2*a) x2 = (-b + sqrt (delta))/(2*a) inra: ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ x1, x2 End Else If Delta = then Inra: ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp lµ x   b 2*a Else (tr-êng hîp Delta < 0) Inra: ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm End Trên đây, ta đã cách để biểu diễn thuật toán Trong tr-ờng hîp thuËt to¸n viÕt b»ng ng«n ng÷ m¸y tÝnh, ta cã mét ch-¬ng tr×nh www.vnmath.com 19 Ng«n ng÷ lËp tr×nh Cã nhiÒu ng«n ng÷ lËp tr×nh nh- Pascal, Basic, C, C++, Sau ®©y lµ vÝ dụ dùng ngôn ngữ lập trình Pascal để biểu diễn thuật toán giải ph-ơng trình bËc hai: VÝ dô T×m nghiÖm thùc cña ph-¬ng tr×nh bËc hai: ax2 + bx + c = 0, (a  0) Input: C¸c hÖ sè a, b, c nhËp tõ bµn phÝm Outpt: Đ-a màn hình các nghiệm thực thông báo ‚Phương tr×nh v« nghiÖm‛ ThuËt to¸n: ThuËt to¸n gi¶i ph-¬ng tr×nh bËc hai b»ng ng«n ng÷ lËp tr×nh Pascal Program Giai-pt bËc hai; Uses Crt; Var a , b, c : real; , x1, x2 : real; Begin Clrscr; Write (‘a, b, c: ’); Readln (a, b, c) ; =b*b–4*a*c; if  < then Writeln (‘Phương trình vô nghiệm’) Else Begin x1 = ( - b – sqrt (  ))/(2 * a); x1 = ( - b + sqrt (  ))/(2 * a); Witeln ( ‘x1 =’, x1 : 8:3 , ‘x2 = ’ , x2 : 8:3); End; Readln End www.vnmath.com 20 1.2.4 §é phøc t¹p cña thuËt to¸n Trong thùc tÕ cã nhiÒu thuËt to¸n, vÒ mÆt lý thuyÕt lµ kÕt thóc sau h÷u hạn b-ớc, nhiên thời gian "hữu hạn" đó v-ợt quá khả làm việc chúng ta Do đó để đánh giá tính hiệu thuật toán, chúng ta phải chú ý đến độ phức tạp các thuật toán Độ phức tạp thuật toán có thể đo không gian, tức là dung l-ợng nhớ máy tính cần thiết để thực hiÖn thuËt to¸n; vµ b»ng thêi gian, tøc lµ thêi gian m¸y tÝnh lµm viÖc Trong luận văn này, nói đến độ phức tạp thuật toán ta luôn hiểu là độ phức tạp thời gian Độ phức tạp thuật toán chính là sở để phân loại bài toán gi¶i ®-îc hay kh«ng gi¶i ®-îc 1.3 Kh¸i niÖm t- thuËt gi¶i 1.3.1 Kh¸i niÖm thuËt gi¶i Trong quá trình nghiên cứu giải các vấn đề - bài toán, ng-ời ta đã đ-a nhận xét sau: + Có nhiều bài toán ch-a tìm cách giải theo kiÓu thuËt to¸n vµ còng kh«ng biÕt cã tån t¹i thuËt to¸n hay kh«ng + Có nhiều bài toán đã có thuật toán để giải nh-ng không chấp nhận đ-ợc vì thời gian giải theo thuật toán đó quá lớn các điều kiện cho thuật toán đó khó đáp ứng + Cã nh÷ng bµi to¸n ®-îc gi¶i theo nh÷ng c¸ch gi¶i vi ph¹m thuËt to¸n nh-ng vÉn chÊp nhËn ®-îc Từ nhận định trên, ng-ời ta thấy cần phải có đổi cho khái niệm thuật toán Ng-ời ta đã mở rộng hai tiêu chuẩn thuật toán: tính xác định và tính đúng đắn Việc mở rộng tính xác định thuật toán đ-ợc thể qua các thuật giải đệ quy và ngẫu nhiên Tính đúng thuật toán không còn bắt buộc số cách giải bài toán, là cách giải gần đúng Trong thực tế, có nhiều tr-ờng hợp ng-ời ta chấp nhận c¸c c¸ch gi¶i th-êng cho kÕt qu¶ tèt (nh-ng kh«ng ph¶i lóc nµo còng tèt) www.vnmath.com 21 nh-ng Ýt phøc t¹p vµ hiÖu qu¶ Ch¼ng h¹n, nÕu gi¶i mét bµi to¸n b»ng thuËt toán tối -u đòi hỏi máy tính thực vòng nhiều năm thì chúng ta có thÓ chÊp nhËn mét gi¶i ph¸p gÇn tèi -u mµ chØ cÇn m¸y tÝnh ch¹y vµi ngµy hoÆc vµi giê Các cách giải chấp nhận đ-ợc nh-ng không hoàn toàn đáp ứng đầy đủ c¸c tiªu chuÈn cña thuËt to¸n th-êng ®-îc gäi lµ c¸c thuËt gi¶i Kh¸i niÖm mở rộng này thuật toán đã mở rộng cho chúng ta việc tìm kiếm ph-ơng pháp để giải các bài toán đ-ợc đặt Ngoài việc mở rộng tính đúng thuật toán, thuật giải có tất các tính chất khác thuật toán Nó có các hình thức biểu diễn phong phú nh- thuật toán Tuy nhiên, cấu định t-ơng ứng với hình thức biểu diễn định §Æc biÖt d¹y häc cÇn chó ý lùa chän ph-¬ng tiÖn biÓu diÔn phï hîp víi trình độ và kiến thức có học sinh Sự hiểu biết thuật giải, các tính chất và ph-ơng tiện biểu diễn nó phản ánh trình độ văn hóa thuật giải Ngôn ng÷ lËp tr×nh lµ b-íc ph¸t triÓn cao cña v¨n hãa thuËt gi¶i 1.3.2 Kh¸i niÖm t- thuËt gi¶i T- to¸n häc lµ h×nh thøc biÓu lé cña t- biÖn chøng qu¸ tr×nh ng-êi nhËn thøc khoa häc to¸n häc hay th«ng qua h×nh thøc ¸p dông to¸n häc vµo c¸c khoa häc kh¸c Nh- vËy, t- to¸n häc lµ t- biÖn chøng T- thuËt gi¶i lµ mét lo¹i h×nh thøc t- to¸n häc Nã lµ ph-¬ng thức t- biểu thị khả tiến hành các hoạt động sau: T1: Thực thao tác theo trình tự xác định phù hợp với mét thuËt gi¶i T2: Ph©n tÝch mét qu¸ tr×nh thµnh nh÷ng thao t¸c ®-îc thùc hiÖn theo trình tự xác định T3: Khái quát hóa quá trình diễn trên số đối t-ợng riêng lẻ thành quá trình diễn trên lớp đối t-ợng T4: Mô tả chính xác quá trình tiến hành hoạt động www.vnmath.com 22 T5: Phát thuật giải tối -u để giải bài toán Trong đó, (T1) thể lực thực thuật giải, (T2 - T5 ) thể n¨ng lùc x©y dùng thuËt gi¶i Khái niệm t- thuật giải đ-ợc xác định nh- trên là hoàn toàn phù hîp víi nh÷ng kÕt qu¶ nghiªn cøu vÒ h×nh thµnh v¨n hãa thuËt gi¶i Trong [38] tác giả Monakhôp đã nêu lên thành phần văn hóa thuật giải bao gåm: - HiÓu b¶n chÊt cña thuËt gi¶i vµ nh÷ng tÝnh chÊt cña nã; hiÓu b¶n chÊt ng«n ng÷ lµ ph-¬ng tiÖn biÓu diÔn thuËt gi¶i - N¾m v÷ng c¸c ph-¬ng ph¸p vµ c¸c ph-¬ng tiÖn biÓu diÔn thuËt gi¶i - HiÓu tÝnh chÊt thuËt gi¶i cña c¸c ph-¬ng ph¸p to¸n häc vµ c¸c øng dông cña chóng; n¾m v÷ng c¸c thuËt gi¶i cña gi¸o tr×nh to¸n phæ th«ng - HiÓu nh÷ng c¬ së s¬ cÊp vÒ lËp tr×nh cho m¸y tÝnh ®iÖn tö Nh- vËy, ph¸t triÓn t- thuËt gi¶i lµ mét ®iÒu kiÖn cÇn thiÕt gãp phÇn h×nh thµnh vµ ph¸t triÓn v¨n hãa thuËt gi¶i cho häc sinh Từ khái niệm t- thuật giải ta thấy để phát triển t- thuËt gi¶i cho häc sinh d¹y häc to¸n, gi¸o viªn ph¶i tæ chøc, ®iÒu khiÓn các hoạt động t- thuật giải Thông qua hoạt động đó giúp học sinh nắm vững, củng cố các quy tắc đồng thời phát triển t- thuật giải cho học sinh Sau ®©y lµ mét sè vÝ dô vÒ ph¸t triÓn t- thuËt gi¶i m«n to¸n d¹y néi dung ph-¬ng tr×nh ë tr-êng phæ th«ng 1.3.3 Mét sè vÝ dô d¹y häc ph¸t triÓn t- thuËt gi¶i d¹y néi dung ph-¬ng tr×nh VÝ dô ë ch-¬ng tr×nh to¸n líp 9, sau d¹y xong quy t¾c gi¶i ph-¬ng tr×nh bËc hai: ax2 +bx +c = 0, (a  0), gi¸o viªn cã thÓ cho häc sinh nªu c¸c b-íc gi¶i ph-¬ng tr×nh bËc hai nh- sau: B-ớc 1: Xác định các hệ số a, b, c B-íc 2: TÝnh biÖt thøc  = b2- 4ac www.vnmath.com 23 B-íc 3: XÐt dÊu  + NÕu  < th× ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm + NÕu  = th× ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp x1= x2 =  b 2a  b   x1  2a  + NÕu  > th× ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm  b   x2  2a  B-íc 4: Tr¶ lêi Hoạt động này nhằm mục đích tập luyện các hoạt động (T2) và (T4) cña t- thuËt gi¶i cho häc sinh Sau đó giáo viên yêu cầu học sinh làm bài tập sau Bµi tËp: ¸p dông quy t¾c gi¶i ph-¬ng tr×nh bËc hai, h·y gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh sau: a 2x2 - 3x + = b - 4x2 + 20x - 25 = c x  4x   Mục đích bài tập này là yêu cầu học sinh thực hoạt động (T1) Do đó cần h-ớng dẫn các em thực đúng theo trình tự các b-ớc đã nêu quy t¾c Cã thÓ dïng mét phÇn b¶ng tr×nh bµy quy t¾c gi¶i ph-¬ng tr×nh, phÇn b¶ng cßn l¹i tr×nh bµy lêi gi¶i phï hîp víi tõng quy t¾c TiÕn hành quán nh- thời gian định hình thành học sinh quy tắc giải ph-ơng trình bậc hai, đồng thời phát triển các em lực thùc hiÖn thuËt gi¶i VÝ dô Khi dạy luyện tập giải ph-ơng trình bậc sinx và cosx ta có thÓ ®-a cho häc sinh thªm bµi tËp sau: Bµi tËp www.vnmath.com 24 2 Gi¶i ph-¬ng tr×nh: sin x  sin x cos x  cos x  Đứng tr-ớc bài toán này học sinh phải biết các công thức nhân đôi và công thức hạ bậc, từ đó áp dụng các công thức này để biến đổi Ta có thể h-íng dÉn häc sinh gi¶i bµi to¸n nµy theo c¸c b-íc sau: B-íc TÝnh sin2x, cos2x theo cos2x sin x  vµ  cos x , cos x   cos x sinxcosx theo sin2x sinxcosx= sin x B-ớc Biến đổi đ-a ph-ơng trình ph-ơng trình bậc sin 2x vµ cos2x d¹ng: Asin2x + Bcos2x = C B-íc Gi¶i ph-¬ng tr×nh: Asin2x + Bcos2x = C Bµi tËp T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña hµm sè: y sin x  cos x  sin x  cos x  Víi bµi to¸n nµy, häc sinh ph¶i n¾m ®-îc s¬ l-îc kh¸i niÖm gi¸ trÞ lín nhất, giá trị nhỏ hàm số Biết cách tìm điều kiện để hàm số có nghĩa và cách tìm điều kiện để ph-ơng trình bậc sinx, cosx có nghiệm Ta cã thÓ h-íng dÉn häc sinh gi¶i bµi to¸n trªn theo c¸c b-íc sau: B-ớc Tìm tập xác định hàm số B-ớc Thực phép quy đồng và biến đổi đ-a biểu thức dạng asinx + bcosx = c B-ớc Tìm điều kiện để ph-ơng trình có nghiệm: a2 + b2  c2 B-ớc Đ-a bất đẳng thức: m  y  M Từ đó kết luận Maxy, Miny Một điều cần l-u ý là phân tích bài toán để học sinh định h-ớng ph-¬ng ph¸p gi¶i, chóng ta cÇn cè g¾ng ph©n tÝch lµm næi lªn nh÷ng tri thøc ph-ơng pháp tiến hành hoạt động này Sự phân tích trên đây có ý làm bật tri thøc ph-¬ng ph¸p: quy l¹ vÒ quen VÝ dô www.vnmath.com 25 D¹y häc sinh quy t¾c gi¶i ph-¬ng tr×nh: ax + b = §Ó h×nh thµnh quy t¾c gi¶i ph-¬ng tr×nh: ax + b = 0, gi¸o viªn cã thÓ yªu cÇu häc sinh gi¶i bµi tËp sau: Bµi tËp 1: a Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh sau: 5x - = 0; -2x + = 0; 0x + = 0; 0x - = b X©y dùng vµ ph¸t biÓu quy t¾c gi¶i ph-¬ng tr×nh tæng qu¸t ax + b = víi a, b bÊt kú H-ớng dẫn: Lọai bài toán này nhằm mục đích chính là cho học sinh tập luyện hoạt động (T3) Mục đích này thể câu (b), nh-ng câu (a) là b-ớc chuẩn bị, là sở để giải câu (b) Häc sinh sÏ kh«ng khã kh¨n l¾m gi¶i c©u (a), nh-ng sÏ gÆp lóng túng giải câu (b) Khi đó tùy thuộc diễn biến tình hình học sinh mà đặt nh÷ng c©u hái gîi ý nh- sau: + VÒ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh: ax + b = cã thÓ chia thµnh mÊy tr-ờng hợp, đó là tr-ờng hợp nào? (Cã tr-êng hîp: cã nghiÖm nhÊt, v« sè nghiÖm vµ v« nghiÖm) + Điều kiện nào định đến số nghiệm ph-ơng trình tr-êng hîp? (Cã nghiÖm nhÊt a  0, v« sè nghiÖm a = vµ b = 0, v« nghiÖm a = 0, b  0) + H·y nªu c¸c b-íc gi¶i ph-¬ng tr×nh: ax + b = mét c¸ch tØ mØ? B-ớc 1: xác định a, b B-íc NÕu a  th× ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm nhÊt x   b a NÕu a = 0, b  th× ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm NÕu a = 0, b = th× ph-¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm Dạy học khái quát hóa nh- trên đã dựa trên sở xét đầy đủ các tr-êng hîp riªng (nghiÖm nhÊt, v« sè nghiÖm, v« nghiÖm) Mét ph-¬ng www.vnmath.com 26 án khác để dạy hoạt động này là trên sở xuất phát từ tr-ờng hợp riêng Tr-êng hîp riªng nµy cÇn lùa chän cho häc sinh dÔ m¾c sai lÇm kh¸i quát hóa từ đó Lúc học sinh mắc sai lầm, giáo viên giúp học sinh tự sửa chữa sai lầm là tình s- phạm tốt để lĩnh hội và phát triển tri thức Theo ph-ơng án đó thì có thể hình thành quy tắc giải ph-ơng trình ax + b = th«ng qua bµi tËp sau: Bµi tËp 2: a Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh sau: 4x - = 0; - 2x - = 0; 6x + = b X©y dùng vµ ph¸t biÓu quy t¾c gi¶i ph-¬ng tr×nh tæng qu¸t: ax + b = (a, b bÊt kú) Ví dụ (Luyện tập hoạt động T4) Để luyện khả mô tả chính xác quá trình tiến hành hoạt động, cã thÓ cho häc sinh gi¶i nh÷ng bµi tËp cã d¹ng: "BiÖn luËn theo m sè nghiÖm ph-ơng trình: x  3x   m " Ngoài mục đích luyện tập hoạt động (T4), bài toán còn tập luyện hoạt động trực quan cho học sinh Do đó, học sinh phải biết dùng ngôn ngữ mình cách hợp lý để mô tả quá trình biÖn luËn sè nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh trªn theo m Qu¸ tr×nh nµy cã thÓ m« t¶ nh- sau: + B-íc Ta xem sè nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh: x  3x   m lµ sè giao điểm hai đồ thị: y  x  3x  (C) vµ y = m (d) + B-ớc Vẽ đồ thị (C) * Vẽ đồ thị (C1) y  x  3x  x  * Giữ nguyên phần đồ thị (Cn) (C1) ứng với  x  www.vnmath.com 27 * Lấy đối xứng qua Ox phần còn lại (C1) đ-ợc (Cm) Khi đó đồ thị (C) là hợp (Cn) và (Cm) + B-ớc Dựa vào đồ thị (C) biện luận số giao điểm đ-ờng thẳng (d) với đồ thị (C) * NÕu m =  (d) c¾t (C) t¹i ®iÓm ph©n biÖt  ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm ph©n biÖt * NÕu < m < 1/4  (d) c¾t (C) t¹i ®iÓm  ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm ph©n biÖt * NÕu m =1/4  (d) c¾t (C) t¹i ®iÓm  ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm * NÕu m >1/4  (d) c¾t (C) t¹i ®iÓm  ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm VÝ dô 5: Khi dạy nội dung ph-ơng trình – bất ph-ơng trình quy bậc hai, đối víi häc sinh kh¸ giái gi¸o viªn cã thÓ yªu cÇu häc sinh lµm bµi tËp sau: Bµi tËp: Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh sau: a 2x4 + 3x3 - 16x2 + 3x + = 0; b x4 - 2x3 + x2 - 2x + = 0; c x4 + x3 - 4x2 + x + = §øng tr-íc bµi tËp nµy, häc sinh sÏ gÆp rÊt nhiÒu khã kh¨n bëi v× häc sinh míi chØ gÆp ph-¬ng tr×nh bËc trïng ph-¬ng Gi¸o viªn cã thÓ h-íng dẫn học sinh giải bài tập các câu hỏi định h-ớng sau ph-ơng tr×nh (a) + XÐt xem x = cã lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh kh«ng? + Hãy chia hai vế ph-ơng trình cho x2 ≠ Nêu đặc điểm ph-¬ng tr×nh míi nhËn ®-îc? Ta mong đợi học sinh trả lời: (a)  x  3x  16   0 x x2   1   2 x    3 x    16  x x    www.vnmath.com 28 1    Ph-ơng trình có đặc điểm  x     x    x x    + §Ó gi¶i ph-¬ng tr×nh ta lµm thÕ nµo? Ta mong đợi học sinh trả lời Đặt t  x  1  x2   t  x x Cuèi cïng gi¸o viªn cho häc sinh tiÕp tôc gi¶i ph-¬ng tr×nh vµ c¸c ph-¬ng tr×nh cßn l¹i häc sinh gi¶i xong gi¸o viªn cã thÓ nªu c©u hái nh»m gióp häc sinh gi¶i bµi to¸n tæng qu¸t nh- sau: + Hãy nêu đặc điểm các hệ số ph-ơng trình? Ta mong học sinh trả lời: ph-ơng trình (a) các hệ số đối xứng qua hệ số (-16), ph-ơng trình (b) các hệ số đối xứng qua hệ số (1), ph-ơng trình (c) các hệ số đối xứng qua hệ số (- 4) + Từ đặc điểm đó hãy nêu ph-ơng trình dạng tổng quát? Ta mong đợi học sinh trả lời: Ph-¬ng tr×nh d¹ng tæng qu¸t: ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0, víi a ≠ + Tõ c¸ch gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh (a), (b), (c) h·y nªu thuËt gi¶i gi¶i ph-¬ng tr×nh trªn? Ta mong đợi học sinh trả lời: B-íc 1: NhËn xÐt x = kh«ng ph¶i lµ nghiÖm B-ớc 2: Chia hai vế ph-ơng trình cho x2 ≠ và biến đổi ph-ơng tr×nh vÒ d¹ng ax  bx  c  b a     a x  x x x  B-íc 3: §Æt t  x  1     b x    c  x   1  x2   t  x x B-íc 4: Gi¶i ph-¬ng tr×nh: at2 + bt - 2a + c = 0, ®-îc nghiÖm t0 B-íc 5: Gi¶i ph-¬ng tr×nh: x   t0 x B-íc 6: Tr¶ lêi www.vnmath.com 29 Thông qua dạy học sinh giải bài tập trên chúng ta đã tập luyện cho học sinh hoạt động (T3), (T2) và (T4) t- thuật giải Để củng cố các hoạt động này, giáo viên yêu cầu học sinh làm bài tập sau: Bµi tËp Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh sau: a x4 + 3x3 - 6x2 - 3x + = 0; b 2x4 + x3 + 11x2 - x + = Bài tập Hãy nêu bài toán tổng quát và thuật giải bài toán đó Ví dụ (Tập luyện hoạt động T5) Gi¶i ph-¬ng tr×nh: sin2x + 2tanx = H-ớng dẫn: Bài toán này yêu cầu học sinh tập luyện hoạt động (T5) Tr-íc c¸c em gi¶i, cÇn h-íng dÉn cho c¸c em thÊy tr-íc c¸ch gi¶i ch-a hợp lý, đó là:  §iÒu kiÖn: x  ph-¬ng tr×nh  k  sin x  sin x 3 cos x  sin x cos x  sin x  cos x sin 3x  sin x   sin x  cos x   sin x  sin x  cos x    sin x  sin x  sin x  cos x   sin x  sin x  cos x     sin x sin x   3sin x  cos x    sin x cos x  3sin x  cos x      sin x  cos x  sin x  sin x cos x    sin x  cos x sin x  cos x  5  sin x  cos x   sin x  cos x      sinx – cosx =  sin x       x   k 4  sin2x – cos2x + =  Ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm §èi chiÕu víi ®iÒu kiÖn, nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh lµ: x = www.vnmath.com   k 30 Cần phải tìm ph-ơng pháp khác hợp lý hơn, với số l-ợng phép biến đổi phải thực ít và phép tính thực nhanh hơn, chí cã thÓ nhÈm ®-îc: Ph-¬ng tr×nh  2(tanx – 1) – ( – sin2x) =  2( sinx – cosx) – cox(sinx – cosx)2 =  (sinx – cosx)(sinxcosx – cos2x -2 ) =  (sinx – cosx)(sin2x – cos2x – 5) = sin x  cos x  sin x  cos x    NÕu häc sinh gÆp khã kh¨n th× gi¸o viªn cã thÓ gîi ý gióp häc sinh thực phép biến đổi thông qua số câu hỏi định h-ớng nh-: ? Các hệ số ph-ơng trình có đặc điểm gì? (1 + = 3) ? Thö t¸ch thµnh vµ råi chuyÓn vÕ vµ ghÐp t-¬ng øng víi 2tanx vµ sin2x ? (2tanx - + sin2x – = 0) ? BiÓu thøc (1 - sin2x) cã thÓ viÕt d-íi d¹ng b×nh ph-¬ng ®-îc kh«ng? (1- sin2x = sin2x + cos2x – 2sinxcosx = (sinx- cosx)2) Những hoạt động trên đây có tác dụng gợi động và hình thành tri thức ph-ơng pháp cho hoạt động (T5) tr-ờng hợp này Sáu ví dụ trên đã minh họa cho việc tập luyện hoạt động t- thuật giải Trong thực tế, việc tập luyện các hoạt động này không đ-ợc tách cách rành mạch, tập luyện hoạt động này có tham gia các hoạt động khác Nói tới tập luyện hoạt động t- thuật giải nào đó giải bài toán là để nhấn mạnh đến hoạt động đó mà thôi 1.4 Vấn đề phát triển t- thuật giải dạy học Toán 1.4.1 Vai trß cña viÖc ph¸t triÓn t- thuËt gi¶i d¹y häc To¸n ë tr-êng phæ th«ng Sau nghiªn cøu kh¸i niÖm t- thuËt gi¶i vµ mét sè vÝ dô vÒ ph¸t triển t- thuật giải môn toán, chúng ta nhận thấy vấn đề phát triÓn t- thuËt gi¶i m«n to¸n lµ mét viÖc cÇn thiÕt Vai trß cña viÖc www.vnmath.com 31 phát triển t- thuật giải học sinh dạy học môn Toán là quan trọng Cấu trúc t- thuật giải gắn liền với hoạt động (T1 - T5), việc phát triển các hoạt động t- thuật giải góp phần phát triển các hoạt động khác toán học Điều này đã đ-ợc tác giả V-ơng D-ơng Minh nói đến luận án mình * Tiến hành các hoạt động t- thuật giải là ph-ơng tiện, điều kiện để chiếm lĩnh tri thức và rèn luyện kỹ Thật vậy, để nắm vững khái niệm toán học, học sinh phải tiến hành các hoạt động nhận dạng và thể khái niệm Trong nhiều tr-ờng hợp, hoạt động này diễn d-ới dạng hoạt động t- thuật giải Nói đến kỹ là phải nói đến hoạt động, kỹ đ-ợc hình thành và phát triển nhờ các hoạt động t- thuật giải * Các hoạt động t- thuật giải đòi hỏi và thúc đẩy các hoạt động trí tuệ - C¸c thao t¸c t- nh- ph©n tÝch vµ tæng hîp, so s¸nh, kh¸i qu¸t hóa, trừu t-ợng hóa và cụ thể hóa đ-ợc phát triển tiến hành các hoạt động t- thuËt gi¶i - Các phẩm chất trí tuệ nh- tính linh hoạt, tính độc lập đ-ợc phát triển các hoạt động t- thuật giải - Kh¶ n¨ng t- logic vµ sö dông ng«n ng÷ chÝnh x¸c còng ®-îc rÌn luyện qua các hoạt động t- thuật giải * Phát triển t- thuật giải góp phần giáo dục đức tính tốt đẹp ng-ời lao động và giáo dục giới quan vật biện chứng ThËt vËy: - Hoạt động (T1) cho khả hình thành, củng cố đức tính tốt nh- tÝnh kû luËt, ng¨n n¾p, cÈn thËn, thãi quen tù kiÓm tra - Hoạt động (T4) rèn luyện khả diễn đạt chính xác Nó có thÓ cho ta nh÷ng minh ho¹ vÒ mèi quan hÖ biÖn chøng gi÷a néi dung vµ h×nh thức Một nội dung có thể tồn d-ới nhiều hình thức Nội dung định hình thức và hình thức tác động trở lại nội dung - Hoạt động (T5) góp phần hình thành ý thức tìm ph-ơng án tối -u gi¶i quyÕt c«ng viÖc www.vnmath.com 32 - Các hoạt động (T1- T5) dẫn tới việc hiểu đúng chất quá trình tự động hóa và vai trò định ng-ời quá trình đó - Một thuật giải có cấu trúc đẹp, trình bày sáng sủa, chính xác có thể xem là sản phẩm lao động trí óc, có tác dụng giáo dục thẩm mỹ cho học sinh * Ph¸t triÓn t- thuËt gi¶i g¾n liÒn víi ph¸t triÓn t- s¸ng t¹o Trong số mục đích giáo dục thì việc phát triển lực tduy sáng tạo, lực tự giải vấn đề, cho học sinh là mục đích rÊt quan träng Tuy nhiªn, c¸c n¨ng lùc trªn chØ ®-îc ph¸t triÓn nÕu liªn hÖ với thuật giải, quy trình nào đó quen thuộc Tính sáng tạo "nằm trong" tÝnh thuËt gi¶i NÕu hiÓu thuËt gi¶i lµ thùc hiÖn tæ hîp c¸c thao tác (T1 - Tn) theo trình tự logic xác định để đến kết (Tn) thì tính s¸ng t¹o thÓ hiÖn ë nh÷ng b-íc chuyÓn tiÕp (Ti - Ti+1) vµ ë viÖc tõ algorit tæng quát để lựa chọn algorit cụ thể Đây là mối liên hệ biện chứng thể quy luật tính thống các mặt đối lập tiến trình đến kết tèi -u 1.4.2 Những t- t-ởng chủ đạo để phát triển t- thuật giải d¹y häc To¸n Ph-ơng h-ớng chung để phát triển t- thuật giải là tổ chức, điều khiển học sinh tập luyện các hoạt động t- thuật giải Muốn vậy, tr-ớc hết gi¸o viªn cÇn ph¶i thiÕt kÕ vµ x©y dùng c¸c bµi d¹y theo mét quy tr×nh cã tính chất thuật giải các tình điển hình dạy học toán Nghĩa là phải xây dựng hệ thống quy định nghiêm ngặt đ-ợc thể theo quá trình chặt chẽ và dẫn tới cách giải đúng đắn Trong luận án mình, tác giả V-ơng D-ơng Minh đã đ-a hệ thống các t- t-ởng chủ đạo phát triển t- thuật giải môn toán nh- sau: * Rèn luyện cho học sinh các hoạt động t- thuật giải và nh»m vµo thùc hiÖn nh÷ng yªu cÇu to¸n häc * Gợi động và h-ớng đích cho các hoạt động t- thuật giải bao gồm: - Gợi động và h-ớng đích mở đầu các hoạt động t- thuật giải - Gợi động và h-ớng đích tiến hành các hoạt động t- thuËt gi¶i www.vnmath.com 33 - Gợi động kết thúc hoạt động t- thuật giải * TruyÒn thô cho häc sinh nh÷ng tri thøc ph-¬ng ph¸p vÒ t- thuËt giải tổ chức, điều khiển tập luyện các hoạt động t- thuật giải * Phân bậc các hoạt động Những t- t-ởng chủ đạo trên đã quán triệt yêu cầu đầu tiên việc khai thác hoạt động nội dung dạy học toán Thật vậy, các hoạt động t- thuật giải nhằm vào thực yêu cầu toán học có nghĩa là các hoạt động này phải t-ơng thích với nội dung đó Các hoạt động t- thuËt gi¶i xuÊt hiÖn tr-íc hÕt nh- ph-¬ng tiÖn chiÕm lÜnh tri thøc vµ rÌn luyÖn kỹ Sau đó, có vai trò quan trọng học tập và đời sống đã trở thành mục đích dạy học Vì vậy, các hoạt động t- thuật giải mang hai chức Chức ph-ơng tiện và chức mục đích Tiến hành các hoạt động t- thuật giải và nhằm vào thực các yêu cầu toán häc chÝnh lµ nh»m phèi hîp hai chøc n¨ng nµy Những t- t-ởng chủ đạo này còn mang ý nghĩa tảng cho việc phát triÓn t- thuËt gi¶i m«n to¸n Trong d¹y häc to¸n, kh«ng cã nh÷ng hoạt động t- thuật giải nhằm mục đích là phát triển tduy thuật giải mà có hoạt động t- thuật giải đ-ợc tíên hành tiến hành các hoạt động toán học Đồng thời các hoạt động t- thuËt gi¶i ph¶i nh»m vµo c¸c yªu cÇu to¸n häc HiÖu qu¶ tËp luyÖn c¸c ho¹t động t- thuật giải thể hiệu thực yêu cầu toán học Trên tinh thần các t- t-ởng chủ đạo đó, luận văn đ-a số định h-íng nh»m gãp phÇn ph¸t triÓn t- thuËt gi¶i cña häc sinh qu¸ tr×nh d¹y häc mét sè néi dung ph-¬ng tr×nh ch-¬ng tr×nh to¸n phæ th«ng 1.5 KÕt luËn ch-¬ng Luận văn đã nêu đ-ợc quan điểm chủ đạo để phát triển t- thuật giải cho học sinh đó là quan điểm hoạt động Luận văn đã đ-a đ-ợc khái niệm thuật toán và các đặc tr-ng thuËt to¸n Dùa trªn kh¸i niÖm thuËt to¸n vµ quan ®iÓm d¹y häc theo lý thuyết hoạt động, luận văn đã đ-a khái niệm t- thuật giải www.vnmath.com 34 LuËn v¨n còng ®-a ®-îc mét sè vÝ dô d¹y häc ph¸t triÓn t- thuật giải dạy học số nội dung ph-ơng trình và nêu lên vấn đề cÇn ph¶i ph¸t triÓn t- thuËt gi¶i cho häc sinh nh- thÕ nµo còng nh- vai trß cña viÖc ph¸t triÓn t- thuËt gi¶i cho häc sinh Ch-¬ng Một số định h-ớng góp phần phát triển t- thuËt gi¶i cho häc sinh th«ng qua d¹y häc mét sè néi dung ph-¬ng tr×nh 2.1 Mét sè nguyªn t¾c d¹y häc theo h-íng ph¸t triÓn t- thuËt gi¶i cho häc sinh Để dạy học theo h-ớng phát triển t- thuật giải đảm bảo chất l-ợng và đạt hiệu cần phải dựa trên số nguyên tắc sau: Nguyªn t¾c D¹y häc theo h-íng ph¸t triÓn t- thuËt gi¶i ph¶i đáp ứng đ-ợc mục đích việc dạy, học toán nhà tr-ờng phổ thông Mục đích việc dạy học toán nhà tr-ờng phổ thông là: giúp häc sinh lÜnh héi vµ ph¸t triÓn mét hÖ thèng kiÕn thøc, kü n¨ng, thãi quen cÇn thiÕt cho cuéc sèng, cho häc tËp; H×nh thµnh vµ ph¸t triÓn c¸c phÈm chÊt tduy (t- logic, t- thuËt gi¶i, t- trõu t-îng ) cÇn thiÕt cña mét ng-ời có học vấn xã hội đại; Góp phần quan trọng việc h×nh thµnh thÕ giíi quan khoa häc to¸n häc, hiÓu ®-îc nguån gèc thùc tiÔn cña to¸n häc vµ vai trß cña nã qu¸ tr×nh ph¸t triÓn v¨n hãa v¨n minh nh©n lo¹i còng nh- nh÷ng tiÕn bé cña khoa häc kü thuËt Để đạt đ-ợc mục đích to lớn đó, năm gần đay, ngành giáo dục đào tạo liên tục đổi ch-ơng trình sách giáo khoa, ph-ơng pháp dạy học Do đó, dạy học theo h-ớng phát triển t- thuật giải là ph-ơng pháp dạy học đáp ứng đ-ợc mong muốn đó Nguyªn t¾c D¹y häc theo h-íng ph¸t triÓn t- thuËt gi¶i ph¶i dựa trên định h-ớng đổi ph-ơng pháp dạy học www.vnmath.com 35 Định h-ớng đổi ph-ơng pháp dạy học là tổ chức cho ng-ời học đ-ợc học tập hoạt động và hoạt động: tự giác, tích cực, sáng tạo ("hoạt động hóa ng-ời học") Phù hợp với định h-ớng đổi đó có thÓ tr×nh bµy mét sè xu h-íng d¹y häc kh«ng truyÒn thèng nh-: d¹y häc gi¶i vấn đề, dạy học dựa vào lý thuyết tình huống, dạy học theo thuyết kiến t¹o, d¹y häc ch-¬ng tr×nh hãa, d¹y häc víi c«ng cô m¸y tÝnh ®iÖn tö, d¹y häc theo lý thuyết hoạt động V× vËy, d¹y häc theo h-íng ph¸t triÓn t- thuËt gi¶i ph¶i dùa trªn định h-ớng đổi ph-ơng pháp dạy học Nguyªn t¾c D¹y häc theo h-íng ph¸t triÓn t- thuËt gi¶i ph¶i đảm bảo tôn trọng, kế thừa và phát triển tối -u ch-ơng trình sách giáo khoa hiÖn hµnh Ch-¬ng tr×nh vµ s¸ch gi¸o khoa m«n to¸n ®-îc x©y dùng trªn c¬ së kÕ thõa nh÷ng kinh nghiÖm tiªn tiÕn ë vµ ngoµi n-íc theo mét hÖ thèng quan điểm quán ph-ơng diện toán học nh- ph-ơng diện sphạm, đã thực thống phạm vi toàn quốc nhiều năm và ®-îc ®iÒu chØnh néi dung còng nh- ch-¬ng tr×nh nhiÒu lÇn cho phï hîp víi thùc tiÔn gi¸o dôc ë n-íc ta mµ gÇn ®©y lµ s¸ch gi¸o khoa chØnh lý hîp nhÊt n¨m 2000 vµ s¸ch gi¸o khoa ph©n ban n¨m 2006 Dạy học theo h-ớng phát triển t- thuật giải học sinh phải đảm b¶o sù t«n träng, kÕ thõa vµ ph¸t triÓn mét c¸ch tèi -u ch-¬ng tr×nh s¸ch gi¸o khoa hiÖn hµnh Cô thÓ lµ: + Khai thác triệt để sách giáo khoa để tìm phần có thể thông qua đó bồi d-ỡng các hoạt động t- thuật giải (T1 - T5) + Khai thác các dạng toán sách giáo khoa để xây dựng các thuật gi¶i cho c¸c d¹ng to¸n tæng qu¸t Nguyªn t¾c D¹y häc theo h-íng ph¸t triÓn t- thuËt gi¶i ph¶i góp phần đắc lực hình thành nhân cách ng-ời thời đại www.vnmath.com 36 Xã hội ngày càng phát triển đòi hỏi ng-ời phải động, tự chủ, sáng tạo, kỷ luật, biết tôn trọng pháp luật và các quy tắc xã hội Do đó, d¹y häc theo h-íng ph¸t triÓn t- thuËt gi¶i gãp phÇn quan träng viÖc ph¸t triÓn nh©n c¸ch ng-êi häc Cïng víi viÖc t¹o ®iÒu kiÖn cho häc sinh kiÕn t¹o nh÷ng tri thøc vµ rÌn luyÖn kü n¨ng to¸n häc, d¹y häc theo h-íng ph¸t triÓn t- thuËt gi¶i cßn cã t¸c dông gãp phÇn ph¸t triÓn n¨ng lùc trÝ tuÖ chung nh- ph©n tÝch, tæng hîp, trõu t-îng ho¸, kh¸i qu¸t ho¸ vµ nh÷ng phẩm chất ng-ời lao động mới.nh-: tính cẩn thận, chính xác, tính kỷ luật, tÝnh phª ph¸n, tÝnh s¸ng t¹o, båi d-ìng ãc thÈm mü cho häc sinh Nguyªn t¾c D¹y häc theo h-íng ph¸t triÓn t- thuËt gi¶i ph¶i ph¸t huy tÝnh tÝnh cùc nhËn thøc cña häc sinh phï hîp víi thùc tiÔn hoµn c¶nh, m«i tr-êng gi¸o dôc vµ thùc tiÔn häc sinh Quá trình dạy học thực đạt hiệu quá trình dạy học bảo đảm thống tính vừa sức với yêu cầu phát triển có thể đ-ợc thực hiÖn dùa trªn lý thuyÕt vÒ vïng ph¸t triÓn gÇn nhÊt cña V-g«txki Tính vừa sức để học sinh có thể chiếm lĩnh đ-ợc tri thức, rèn luyện đ-ợc kỹ năng, kỹ xảo nh-ng mặt khác lại đòi hỏi không ngừng nâng cao yêu cầu để thúc đẩy phát triển học sinh Hơn nữa, quá trình dạy học, nh÷ng yªu cÇu ph¶i h-íng vµo vïng ph¸t triÓn gÇn nhÊt, tøc lµ ph¶i phï hîp với trình độ mà học sinh đã đạt tới thời điểm đó, không thoát ly cách xa trình độ này, nh-ng họ còn phải tích cực suy nghĩ, phấn đấu v-ơn lên thì thực đ-ợc nhiệm vụ đặt Nguyªn t¾c D¹y häc theo h-íng ph¸t triÓn t- thuËt gi¶i ph¶i kÕt hîp chÆt chÏ rÌn luyÖn cho häc sinh tÝnh tæ chøc, tÝnh trËt tù víi tÝnh linh ho¹t vµ s¸ng t¹o Để đào tạo ng-ời có đầy đủ các phẩm chất ng-ời lao động đòi hỏi quá trình dạy học theo h-ớng phát triển t- thuật giải bên cạnh việc cho học sinh tập luyện tốt các hoạt động t- thuật giải cÇn lµm cho häc sinh biÕt c¸ch t×m tßi, s¸ng t¹o th«ng qua viÖc khai th¸c øng dụng số nội dung kiến thức hay bài tập đòi hỏi tính linh hoạt, tÝnh tÝch cùc t- cña häc sinh www.vnmath.com 37 2.2 Một số định h-ớng s- phạm góp phần phát triển t- thuật gi¶i cho häc sinh th«ng qua d¹y häc néi dung ph-¬ng tr×nh Trên sở hệ thống các nguyên tắc dạy học theo h-ớng phát triển tduy thuật giải đã nêu trên và đặc điểm nội dung ph-ơng trình, chúng tôi đề số định h-ớng s- phạm nhằm góp phần phát triển t- thuật gi¶i cho häc sinh nh- sau 2.2.1 X©y dùng quy tr×nh d¹y häc ph-¬ng tr×nh theo h-íng ph¸t triÓn t- thuËt gi¶i Theo quan điểm hoạt động dạy học đã đ-ợc trình bày ch-ơng 1, viÖc ph¸t triÓn t- thuËt gi¶i chÝnh lµ viÖc rÌn luyÖn cho häc sinh thùc tốt các hoạt động t- thuật giải Để làm đ-ợc việc đó, tr-ớc hết việc d¹y cña gi¸o viÖn ph¶i cã tÝnh chÊt thuËt gi¶i vµ ®-îc tiÕn hµnh theo h-íng ph¸t triÓn t- thuËt gi¶i Quy trình dạy học là algorit dạy học đặc biệt: chủ thể phải thực nghiêm ngặt thao tác và sau số hữu hạn b-ớc đạt đ-ợc kết qu¶ mong muèn Song kh«ng thÓ xem quy tr×nh d¹y häc lµ mét cÊu tróc cøng nhắc, nghiêm ngặt nh- thuật toán mà phải tính đến thái độ, tình cảm, nh©n c¸ch cña häc sinh, c¶ nh÷ng khã kh¨n, ch-íng ng¹i qu¸ tr×nh d¹y häc, mang tÝnh nghÖ thuËt vµ s¸ng t¹o rÊt cao qu¸ t×nh truyÒn thô tri thøc Sau ®©y chóng t«i x©y dùng hai quy tr×nh d¹y häc néi dung ph-¬ng tr×nh, bÊt ph-¬ng tr×nh theo h-íng ph¸t triÓn t- thuËt gi¶i cña häc sinh hai giai ®o¹n: chiÕm lÜnh tri thøc ph-¬ng tr×nh vµ rÌn luyÖn kü n¨ng gi¶i ph-¬ng tr×nh 2.2.1.1 Quy tr×nh d¹y häc chiÕm lÜnh tri thøc ph-¬ng tr×nh Quy tr×nh gåm b-íc nh- sau B-íc Lµm n¶y sinh nhu cÇu nhËn thøc tri thøc ph-¬ng tr×nh Trong b-ớc này giáo viên có thể tiến hành cách: Nêu vấn đề cho học sinh làm số ví dụ và phản ví dụ để từ đó phát vấn đề www.vnmath.com 38 B-ớc Tổ chức h-ớng dẫn học sinh hành động tác động vào đối t-ợng nh»m ph¸t hiÖn dÊu hiÖu b¶n chÊt, cÊu tróc l«gic cña kiÕn thøc míi Trong b-íc nµy, gi¸o viªn ®-a c¸c ph-¬ng tiÖn trùc quan, vÝ dô vµ bµi tËp yªu cÇu häc sinh quan s¸t, ph©n tÝch, tæng hîp, so s¸nh, trõu t-îng hãa t×m dÊu hiệu chất vấn đề Từ đó khái quát hóa thành khái niệm, định lý, công thøc B-ớc Gợi động để học sinh phát biểu lại khái niệm, định lý, công thøc nªu ë b-íc d-íi d¹ng mét thuËt gi¶i Trong b-íc nµy, gi¸o viªn ph¶i nêu các câu hỏi thích hợp làm bật các thao tác có khái niệm, định lý, c«ng thøc B-íc Tæ chøc h-íng dÉn häc sinh nhËn d¹ng vµ thÓ hiÖn thuËt gi¶i võa nªu vµo c¸c t×nh huèng cô thÓ Trong b-íc nµy, gi¸o viªn yªu cÇu häc sinh làm các bài tập đòi hỏi phát triển các thao tác t- thuật giải (T1, T2, T3, T4) B-ớc Tập luyện các hoạt động t- thuật giải thông qua các bài toán không theo thuật giải đã biết Trong b-ớc này, giáo viên có thể đ-a mét sè bµi to¸n gi¶i ®-îc b»ng c¸ch: theo thuËt gi¶i vµ kh«ng theo thuËt gi¶i nh-ng kh«ng theo thuËt gi¶i th× lêi gi¶i gän h¬n ViÖc lµm nµy cã t¸c dông rÌn luyÖn ph¸t hiÖn thuËt gi¶i tèi -u (thø 5) Từ quy trình dạy học nêu trên, chúng tôi xây dựng biện pháp sphạm thích hợp sau đây để vận dụng vào quy trình đó theo h-ớng phát triển t- thuËt gi¶i cña häc sinh BiÖn ph¸p s- ph¹m X©y dùng vµ tËn dông c¸c ph-¬ng tiÖn trùc quan thÝch hîp qu¸ trình dạy học chiếm lĩnh tri thức ph-ơng trình Phát các hoạt động tduy thuật giải t-ơng thích với nội dung và mục đích dạy học BiÖn ph¸p s- ph¹m X©y dùng, s¾p xÕp, bæ sung vµ khai th¸c c¸c vÝ dô, ph¶n vÝ dô theo h-íng thuËt to¸n hãa qu¸ tr×nh d¹y häc chiÕm lÜnh tri thøc ph-¬ng tr×nh www.vnmath.com 39 BiÖn ph¸p s- ph¹m Tìm các hình thức gợi động thích hợp với các hoạt động t- thuật giải đã phát BiÖn ph¸p s- ph¹m Xây dựng, xếp và sử dụng cách thích hợp các bài tập mức độ đơn giản để học sinh vận dụng thành thạo các thao tác có thuật giải Xác định các tri thức ph-ơng pháp và cách truyền thụ chúng tập luyện các hoạt động t- thuật giải BiÖn ph¸p s- ph¹m X©y dùng vµ sö dông c¸c bµi tËp cã nhiÒu c¸ch gi¶i, c¸c bµi tËp vµ tËn dụng khai thác các tình dễ mắc sai lầm để học sinh tự kiểm tra, tự phát hiÖn, kh¾c phôc c¸c khã kh¨n, ch-íng ng¹i, söa ch÷a c¸c sai lÇm th-êng gÆp vµ ®-a c¸c thuËt gi¶i tèi -u Chú ý: để thực quy trình dạy học theo h-ớng phát triển t- thuật giait đã nêu quá trình dạy học chiếm lĩnh tri thức ph-ơng trình có thÓ sö dông biÖn ph¸p s- ph¹m trªn víi nh÷ng l-u ý sau: a Lùa chän biÖn ph¸p s- ph¹m thÝch hîp, phï hîp víi tri thøc ph-¬ng tr×nh cÇn truyÒn thô thùc hiÖn quy tr×nh d¹y häc chiÕm lÜnh tri thøc ph-¬ng tr×nh b Sö dông linh ho¹t hÖ thèng c¸c biÖn ph¸p s- ph¹m thÝch hîp thùc hiÖn quy tr×nh d¹y häc chiÕm lÜnh tri thøc c Kết hợp nhuần nhuyễn theo thứ tự từ thấp lên cao các biện pháp sphạm thích hợp để học sinh tự chiếm lĩnh tri thức l-ợng giác d-ới tổ chức h-ớng dẫn giáo viên, qua đó khuyến khích các hoạt động t- thuật gi¶i ph¸t triÓn VÝ dô D¹y bµi ‚Ph-¬ng tr×nh l-îng gi¸c c¬ b¶n‛ (tiÕt 1) I Môc tiªu bµi häc KiÕn thøc: Häc sinh biÕt ®-îc ph-¬ng tr×nh l-îng gi¸c c¬ b¶n: sinx = m, cosx = m, tanx = m, cotx = m vµ c¸ch gi¶i Kü n¨ng: Gi¶i thµnh th¹o ph-¬ng tr×nh l-îng gi¸c c¬ b¶n www.vnmath.com 40 II Tæ chøc giê d¹y Sau nªu mét sè ph-¬ng tr×nh l-îng gi¸c c¬ b¶n §Ó gîi nhu cÇu nhËn thøc gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh l-îng gi¸c c¬ b¶n, gi¸o viªn ®-a c¸c c©u hái ? Hãy nêu các b-ớc để xác định giá trị l-ợng giác các cung (góc) l-îng gi¸c cã sè ®o ? Chẳng hạn sin, học sinh trả lời nh- sau: B-íc BiÓu diÔn cung (gãc) cã sè ®o  lªn ®-êng trßn l-îng gi¸c Gi¶ sö ®iÓm ngän cña cung lµ M B-íc H¹ MK vu«ng gãc víi trôc sin B-ớc Tính độ dài đoạn OK B-íc Tr¶ lêi: sin = OK nÕu K thuéc kho¶ng d-¬ng trªn trôc sin sin = - OK nÕu K thuéc kho¶ng ©m trªn trôc sin sin = nÕu K  O NhËn xÐt: sin   1;1 Sin B M’ M K o A’ α A Cos B’ Gi¸o viªn tiÕp tôc ®-a c©u hái thø hai ? Xác định các giá trị   R để: sin = -1; sin = 0; sin = 1; sin = ; sin =2 www.vnmath.com ; sin = 41 + sin = -1  M  B      + sin =  M  B       k 2 , k  Z  k 2 , k  Z + sin =  M  A hoÆc M  A    k , k  Z + sin = 1 : Trªn OB lÊy ®iÓm K: OK = Qua K kÎ ®-êng th¼ng 2 vu«ng gãc víi OB c¾t (O) t¹i M, M’ s® AM    k 2  s® AM     k 2      k 2   ;k  Z VËy sin =       k 2  sin         kh«ng tån t¹i v×  ,   1;1 sin     Sau gi¶i bµi to¸n ng-îc nhau, gi¸o viªn cã thÓ yªu cÇu häc sinh nêu chi tiết các b-ớc để giải ph-ơng trình: sinx = m B-ớc 1: Kiểm tra m  Nếu đúng chuyển sang b-ớc 2; sai trả lời ph-¬ng tr×nh sinx = m v« nghiÖm, chuyÓn sang b-íc B-íc §Æt sin = m,   R B-íc Tr¶ lêi ph-¬ng tr×nh sinx = m cã c¸c nghiÖm lµ:  x    k 2  x      k 2 , k  Z  B-íc KÕt thóc Sin B M’ M K www.vnmath.com A’ o B’ α A Cos 42 Để rèn luyện cho học sinh thực hoạt động (T1), giáo viên yêu cầu häc sinh gi¶i c¸c bµi tËp sau: Bµi tËp Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh sau: a sinx = b sin x  30   2 c sin (2x + 1) =   d sin x    2 Trong qu¸ tr×nh h-íng dÉn häc sinh gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh trªn, bªn cạnh việc tập luyện cho học sinh hoạt động (T1), còn có tác dụng gợi động giúp học sinh phát số đặc tr-ng việc giải ph-ơng trình l-ơng gi¸c c¬ b¶n: sinx = m + Ph-ơng trình l-ợng giác sinx = m có tập xác định là R đ-ợc hiểu là hàm mệnh đề ‚số trị hàm số y = sinx m đã cho‛ + Gi¶i ph-¬ng tr×nh sinx = m lµ t×m tÊt c¶ c¸c sè thùc x lµm cho mÖnh đề sinx = m là đúng, đó việc giải ph-ơng trình dẫn đến việc tìm các số thùc x cho sinx = m (trõ mét sè tr-êng hîp bµi to¸n cã yªu cÇu cô thÓ th× x cã thÓ lµ gãc) + Gi¶i ph-¬ng tr×nh sinx = m t-¬ng ®-¬ng víi viÖc gi¶i ph-¬ng tr×nh: sinx = sin ( cho tr-íc) §Ó häc sinh n¾m v÷ng thuËt gi¶i gi¶i ph-¬ng tr×nh sinx = m vµ ph¸t triển các hoạt động khác t- thuật giải, giáo viên đ-a bài tập: Bµi tËp 2: Gi¶i ph-¬ng tr×nh: sin sin x   2 §øng tr-íc bµi to¸n nµy häc sinh cã thÓ sÏ gÆp lóng tóng kh«ng biÕt bắt đầu nh- nào vì nó ch-a có dạng quen thuộc để thực thuật giải www.vnmath.com 43 Lúc này, giáo viên phải nêu câu hỏi gợi động thích hợp để học sinh phân tÝch bµi to¸n vµ ®-a vÒ d¹ng quen thuéc, ch¼ng h¹n: + H·y xem X = sinx, gi¶i ph-¬ng tr×nh sin X = 2 + Mục đích việc giải ph-ơng trình này là gì? Hãy biến đổi để đ-a vÒ ph-¬ng tr×nh sinx = m Gi¶i ph-¬ng tr×nh: sin sin x   §Æt X = sinx  sin X  2 2     X   k  sin x   k 2   4     X     k 2 sin x  3  k 2   4   1 sin x    sin x  3 2   vµ (2) lµ ph-¬ng tr×nh l-îng gi¸c c¬ b¶n Nh- vËy, qu¸ tr×nh gi¶i bµi to¸n nµy häc sinh ®-îc tiÕp cËn víi dạng ph-ơng trình mới, gần giống với ph-ơng trình bản, đó là ph-ơng tr×nh d¹ng sinf(x) = m Sau gi¶i bµi tËp nµy gi¸o viªn cã thÓ yªu cÇu häc sinh nêu thuật giải để giải dạng ph-ơng trình l-ợng giác nêu trên §Ó kÕt thóc bµi d¹y, gi¸o viªn cã thÓ yªu cÇu häc sinh tr¶ lêi c©u hái: T-¬ng tù nh- c¸ch gi¶i ph-¬ng tr×nh sinx = m, h·y nªu thuËt gi¶i gi¶i ph-¬ng tr×nh l-îng gi¸c c¬ b¶n: cosx = m www.vnmath.com 44 Giáo viên gợi ý để học sinh tự xây dựng đ-ợc thuật giải theo h-ớng trên vừa giúp học sinh nắm vững thuật giải đồng thời qua đó tập luyện cho học sinh các hoạt động T1, T2, T3, T4 t- thuật giải đ-ợc phát triển Ví dụ Dạy bài: ‚Một số ph-ơng trình l-ợng giác đơn giản‛ (Tiết 1, s¸ch gi¸o khoa §¹i sè - Gi¶i tÝch 11, n©ng cao, 2006) I Mục đích - yêu cầu Biết đ-ợc dạng và cách giải ph-ơng trình bậc nhất, bậc hai hàm số l-ợng giác, ph-ơng trình bậc sinx và cosx II Tæ chøc d¹y häc Sau nêu dạng ph-ơng trình bậc sinx và cosx, để gîi nhu cÇu t×m c¸ch gi¶i ph-¬ng tr×nh, gi¸o viªn cho häc sinh lµm vÝ dô sau: Ví dụ Biến đổi thành tích các biểu thức sau: a, sinx + cosx b sin x  cos x c 3sinx + cosx * Để biến đổi biểu thức (a) thành tích, giáo viên có thể câu hỏi: + §-a biÓu thøc vÒ tæng cña hai sin ( hoÆc hai cos)?    x 2  §-a vÒ tæng cña hai sin: sin x  sin  + áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích, hãy biến đổi thành tích?        sin x  sin  x   sin cos x    cos x   4 4 2       sin x  cos x  sin x   4  Gi¸o viªn cã thÓ hái tiÕp: + Cã thÓ ®-a biÓu thøc vÒ d¹ng c«ng thøc céng ®-îc kh«ng ? Nếu học sinh còn gặp khó khăn thì giáo viên có thể gợi ý để học sinh biến đổi nh- sau: Ta nh©n vµ chia cho vµo biÓu thøc (víi www.vnmath.com  12  12 ) 45   2 sin x  cos x    Ta để ý: BiÓu thøc ®-îc viÕt:      2  cos  sin         sin x cos  cos x sin   sin x   4 4   Giáo viên yêu cầu học sinh làm t-ơng tự các biểu thức còn lại theo c¸ch 2: b      sin x  cos x  2 sin x  cos x   2 sin x cos  cos x sin  6       sin x  cos x  sin x   6  Ta nh©n vµ chia cho 42  32 = vµo biÓu thøc 4   sin x  cos x  5  4   cos  Ta xem    sin   ( cho tr-íc) BiÓu thøc ®-îc viÕt:  sin x cos s  cos x sin    5sin  x    Giáo viên yêu cầu học sinh nêu nhận xét cách biến đổi thành tích các biểu thức đã cho: áp dụng cách biến đổi thứ 2, ta có thể biến đổi thành tÝch biÓu thøc d¹ng tæng qu¸t: asinx + bcosx nh- sau: Nh©n vµ chia biÓu thøc cho a2  b2 www.vnmath.com 46   a b a  b  sin x  cos x  2 a2  b2  a b   a Cã:  2  a b   b     2   a b   1   a   cos   2  a b Ta xem  b   sin   a  b BiÓu thøc cã d¹ng: a  b sin x    Qua ví dụ này chúng ta tập luyện cho học sinh hoạt động (T3) và (T5) t- thuật giải Các hoạt động này làm sở để học sinh phát hiÖn thuËt gi¶i ph-¬ng tr×nh: asinx + bcosx = c Gi¸o viªn yªu cÇu häc sinh gi¶i c¸c bµi to¸n sau: VÝ dô Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh sau: a sinx + cosx =1 b sin x  cos x  c 4sinx + 3cosx = ¸p dông vÝ dô   Ph-¬ng tr×nh (a)  sin x    4     sin  x    , ®©y lµ ph-¬ng tr×nh c¬ b¶n 4   x  k 2   x    k 2     sin x   2 Ph-¬ng tr×nh (b) 6   2   sin x     x   k 2 6  Ph-¬ng tr×nh gi¸o dôc  sin x     www.vnmath.com 47   sin x      x     k 2 Sau gi¶i hai bµi to¸n trªn gi¸o viªn nªu c©u hái: + Víi ®iÒu kiÖn nµo cña a, b th× ph-¬ng tr×nh: asinx + bcosx = c cã nghiÖm? 2 (Ph-¬ng tr×nh  a  b sin x     c  sin x     Ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm  c a2  b2 c a b   a2  b2  c2 + Gi¸o viªn yªu cÇu häc sinh nªu chi tiÕt c¸c b-íc gi¶i ph-¬ng tr×nh: asinx + bcosx = c (a,b  0) B-íc KiÓm tra c¸c hÖ sè a, b, c 2 NÕu a  b  c th× chuyÓn sang b-íc NÕu sai tr¶ lêi ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm, chuyÓn sang b-íc a2  b2 B-íc Chia c¶ hai vÕ cña ph-¬ng tr×nh cho a   cos   2  a b B-íc §Æt  b   sin   a  b B-íc Gi¶i ph-¬ng tr×nh: sin x     c a2  b2 B-íc Tr¶ lêi Để rèn luyện cho học sinh hoạt động (T1), giáo viên yêu cầu học sinh gi¶i c¸c bµi to¸n sau: VÝ dô Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh sau: a 3cosx + 4sinx = - b 2sin2x - 2cos2x = c 2sin3x + cos3x = - d www.vnmath.com sinx + 2cosx = 48 §Ó häc sinh cñng cè thuËt gi¶i gi¶i ph-¬ng tr×nh: asinx + bcosx = c vµ truyÒn thô tri thøc ph-¬ng ph¸p quy l¹ vÒ quen, gi¸o viªn yªu cÇu häc sinh gi¶i bµi to¸n: VÝ dô Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh sau: a 5sin2x - 6cos2x = 13 b 2sin2x - sinxcosx - cos2x = -2 Tr-íc kÕt thóc bµi d¹y, gi¸o viªn yªu cÇu häc sinh nh¾c l¹i thuËt toán giải ph-ơng trình asinx + bcosx = c Sau đó giao công việc nhà nhằm củng cố thuật giải và phát triển hoạt động quy lạ quen Chúng tôi đã trình bày chi tiết ví dụ sử dụng quy trình dạy học chiếm lÜnh tri thøc ph-¬ng tr×nh nh»m ph¸t triÓn t- thuËt gi¶i cña häc sinh Chóng t«i nhËn thÊy r»ng cßn cã nhiÒu néi dung vÒ ph-¬ng tr×nh cã thÓ sö dông quy tr×nh trªn vµo d¹y häc ph¸t triÓn t- thuËt gi¶i cña häc sinh mét cách có hiệu nh-: dạy học ph-ơng trình đã có thuật giải; ph-ơng trình bậc ẩn, ph-ơng trình bậc hai ẩn, ph-ơng trình l-ợng giác đối xứng sinx và cosx; ph-ơng trình bậc hai sinx và cosx; ph-¬ng tr×nh mò vµ logarit Nh- vËy, chóng ta cã thÓ xem quy tr×nh d¹y häc chiÕm lÜnh tri thøc ph-¬ng tr×nh nh- lµ mét biÖn ph¸p ph¸t triÓn t- thuËt gi¶i cña häc sinh qu¸ tr×nh d¹y häc néi dung ph-¬ng tr×nh 2.2.1.2 Quy tr×nh d¹y häc rÌn luyÖn kü n¨ng gi¶i ph-¬ng tr×nh Qu¸ tr×nh d¹y gi¶i c¸c bµi to¸n vÒ ph-¬ng tr×nh cho chóng ta rÊt nhiÒu hội để phát triển t- thuật giải học sinh a C¸c d¹ng ph-¬ng tr×nh Trong ch-¬ng tr×nh To¸n ë tr-êng phæ th«ng, bµi tËp vÒ ph-¬ng tr×nh gåm d¹ng c¬ b¶n sau: - Dạng bài tập giải ph-ơng trình dựa vào các thuật giải đã biết www.vnmath.com 49 - D¹ng bµi tËp nh»m h×nh thµnh kiÕn thøc míi (th«ng qua gi¶i bµi tËp gióp häc sinh cã thÓ tiÕp thu nh÷ng kiÕn thøc ch-a biÕt, cã thÓ lµ nh÷ng tÝnh chÊt, quy t¾c ) V× néi dung ph-¬ng tr×nh ë tr-êng phæ th«ng lµ néi dung lín, xuyªn suèt qu¸ tr×nh häc tËp cña häc sinh nªn bµi tËp vÒ ph-¬ng tr×nh rÊt ®a d¹ng vµ phong phó Trong luËn v¨n nµy, chóng t«i kh«ng nghiªn cøu tÊt c¶ c¸c d¹ng to¸n vÒ ph-¬ng tr×nh mµ chØ nghiªn cøu mét sè d¹ng ph-¬ng tr×nh c¬ b¶n (việc giải các ph-ơng trình này đòi hỏi học sinh phải nắm vững thuật giải số ph-ơng trình và số phép biến đổi t-ơng đ-ơng cách linh ho¹t) Chóng ta cã thÓ nh×n mét c¸ch tæng quan vÒ ph-¬ng tr×nh ë ch-¬ng trình toán phổ thông qua sơ đồ sau: PT kh«ng chøa tham sè PT cã chøa tham sè Gi¶i vµ biÖn luËn PT Đk để PT cã nghiÖm Bl sè nghiÖm cña PT trªn mét kho¶ng Đk để hai PT t-¬ng ®-¬ng Trong đó: (1): C¸c ph-¬ng tr×nh c¬ b¶n: - Ph-¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn: ax + b = (a  0) - Ph-¬ng tr×nh bËc hai mét Èn: ax2 + bx + c = ( a  0) - Ph-¬ng tr×nh l-îng gi¸c c¬ b¶n: sinx = m; cosx = m; tanx = m; cotx = m vµ ph-¬ng tr×nh l-îng gi¸c th-êng gÆp - Ph-¬ng tr×nh mò: ax = at ; ax = c www.vnmath.com 50 - Ph-¬ng tr×nh logarit: logax = logat; logax = c Các ph-ơng trình đóng vai trò quan trọng ch-ơng trình vì việc giải ph-ơng trình nào dẫn đến việc giải c¸c ph-¬ng tr×nh c¬ b¶n (2): Ph-ơng trình ‚gần bản‛ Chẳng hạn ph-ơng trình l-ợng giác th× ph-¬ng tr×nh ‚gÇn c¬ b¶n‛ lµ c¸c ph-¬ng tr×nh cã d¹ng: sin f x   m ; cos f x   m ; tan f x   m ; cot f x   m sin f(x) = sin g(x); cos f(x) = cos g(x); tan f(x) = tan g(x); cot f(x) = cot g(x) §èi víi ph-¬ng tr×nh mò: af(x) = ag(x); af(x) = c §èi víi ph-¬ng tr×nh logarit: logaf(x) = logag(x); logaf(x) = c (3) Ph-¬ng tr×nh quy vÒ ph-¬ng tr×nh c¬ b¶n Lµ c¸c ph-¬ng tr×nh gi¶i, ta giải phép đặt ẩn phụ (đại số hóa ph-ơng trình l-ợng giác) sử dụng phép biến đổi t-ơng đ-ơng Chẳng hạn: + Ph-¬ng tr×nh trïng ph-¬ng: ax4 + bx2 + c = 0, (a  0) Để giải ph-ơng trình ta đặt y = x2, với điều kiện y  Ta đ-a ph-ơng trình bậc hai y ay2 + by + c = + Ph-ơng trình bậc hai sinx, cosx; ph-ơng trình l-ợng giác đối xứng sinx và cosx, chứa ẩn mẫu, ph-ơng trình chứa c¨n thøc… Đối với dạng ph-ơng trình giải đ-ợc cách đặt ẩn phụ để đ-a ph-¬ng tr×nh c¬ b¶n, gi¸o viªn cÇn lµm cho häc sinh lu«n ý thøc kiÓm tra điều kiện ẩn Vì đặt ẩn phụ có thể thu hẹp mở rộng tập xác định ph-ơng trình mới, nghiệm tìm đ-ợc phải đối chiếu với điều kiện xem có thỏa mãn hay không Dạng toán này đòi hỏi học sinh phải có tích lũy vốn kiến thức định www.vnmath.com 51 Do đó quá trình dạy giải bài tập giáo viên h-ớng dẫn cho học sinh nhận dạng ph-ơng trình để có thể đặt ẩn phụ cách thích hợp để đ-a đến cách giải tối -u 2 VÝ dô Gi¶i ph-¬ng tr×nh: log x  log x    Cã nhiÒu häc sinh lµm nh- sau: §Æt t = log x , ®iÒu kiÖn: t  Ph-¬ng tr×nh  t  t     t 1   t Cách đặt này đ-a đến giải ph-ơng trình vô tỷ, không nắm v÷ng d¹ng ph-¬ng tr×nh nµy häc sinh cã thÓ m¾c sai lÇm Ch¼ng h¹n: Häc sinh cã thÓ gi¶i tiÕp ph-¬ng tr×nh: Ph-¬ng tr×nh  t   3  t  Nếu giáo viên yêu cầu học sinh: Bằng cách thêm bớt hãy biến đổi biểu thøc ngoµi dÊu c¨n gièng biÓu thøc dÊu c¨n? 2 Ph-¬ng tr×nh  log x  1  log x    Gi¸o viªn yªu cÇu tiÕp: §Ó gi¶i ph-¬ng tr×nh ta lµm thÕ nµo? Đến đây học sinh đặt ẩn phụ: t = log 32 x  , ®iÒu kiÖn t  Ph-¬ng tr×nh  t  t   Trong qu¸ tr×nh d¹y häc d¹ng to¸n (3), gi¸o viªn cÇn h-íng dÉn häc sinh nắm đặc điểm nhận dạng ph-ơng trình để ứng với dạng toán đó häc sinh n¾m ®-îc ph-¬ng ph¸p gi¶i Qu¸ tr×nh nµy rÌn luyÖn vµ ph¸t triÓn lực nhận dạng, thể học sinh, đồng thời phát triển t- thuật gi¶i vµ t- s¸ng t¹o cña häc sinh VÝ dô d¹y vÒ ph-¬ng tr×nh l-îng gi¸c, gi¸o viªn ®-a mét sè dạng ph-ơng trình có thể đại số hóa nh-: - Ph-¬ng tr×nh d¹ng: F(sinx, cosx, tanx, cotx) = - Ph-¬ng tr×nh d¹ng: R(sinx, cosx, ) www.vnmath.com 52 (Trong đó R là hữu tỷ sinx, cosx, tanx, cotx) - Ph-¬ng tr×nh d¹ng: R(sinx, cosx, tanx, cotx, sin2x, cos2x, tan2x, cot2x, ) = - Ph-ơng trình đối xứng sinx và cosx, tanx và cotx - Ph-¬ng tr×nh d¹ng: asinx + bcosx = c Dạng ph-ơng trình có thể biến đổi dạng tích Ph-ơng pháp đ-a ph-ơng trình dạng tích quy việc giải các ph-ơng trình đã biết thuật giải víi l-u ý r»ng: ph-¬ng tr×nh f1(x).f2(x) fn(x) = t-¬ng ®-¬ng víi gi¶i tËp hợp các ph-ơng trình: f1(x) = 0; f2(x) = 0; ; fn(x) = (xét trên tập xác định ban ®Çu) NÕu ký hiÖu T1, T2, Tn theo thø tù lµ tËp nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh đã nêu thì tập nghiệm ph-ơng trình là T = T1  T2   Tn Tuy nhiên, ph-ơng trình giải ph-ơng pháp này đòi hỏi kỹ thuật biến đổi và kinh nghiệm nhận dạng để định h-ớng cách giải: tiến hành gi¶i b»ng c¸ch ®-a ph-¬ng tr×nh vÒ d¹ng tÝch lµ tæng hîp mét chuçi c¸c ho¹t động nhận dạng và thể Cho nên quá trình dạy học giáo viên cần h×nh thµnh cho häc sinh kü n¨ng nhËn d¹ng c¸c ph-¬ng tr×nh cã thÓ ®-a vÒ d¹ng tÝch a Ph-ơng trình: asinx + bsin2x + csin3x = Cả số hạng chứa nh©n tö sinx, ph©n tÝch ®-îc thµnh tÝch cña sinx víi mét biÓu thøc bËc hai cña cosx b Các ph-ơng trình có thể sử dụng các công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng, hạ bậc để đ-a ph-ơng trình dạng tích Chẳng hạn, ph-ơng trình có chứa các số hạng cos f(x); cos g(x) thì có thể biến đổi: cos f x   cos g x   cos f x   g x  f x   g x  cos 2 Vµ ph-¬ng tr×nh sÏ ®-îc ®-a vÒ d¹ng tÝch nÕu c¸c sè h¹ng cßn l¹i chøa thõa sè cos f x   g x  f x   g x  hoÆc cos 2 c Ph-¬ng tr×nh chøa nh÷ng biÓu thøc cã thõa sè chung nh-: www.vnmath.com 53 F(x) BiÓu thøc chøa thõa sè f(x) sinx sin 2x, sin3x, tanx, tan2x, tan3x, cosx sin2x, cos3x, tan2x, cotx, cot3x, 1+cosx 1-cosx cos x x , cot , sin x , tan x , 2 sin x 2 x , tan , sin x , tan x , 2 + sinx  x   x  cos    , sin    ,  2  2 sinx + cosx cos2x, cot2x, + sin2x, + tanx, + cosx, tanx- cosx, cosx - sinx cos2x, cot2x, 1- sin 2x, - tanx, 1- cotx, tanx - cotx, cos x , cot x , Dạng ph-ơng trình có các hệ số đặc biệt đôi các mối liên hệ số học đơn giản các hệ số lại chứa đựng chìa khóa giải bài toán Khai thác đặc điểm này cách triệt để phát triển t- thuật giải học sinh lớp các bài toán dạng này Chẳng hạn, chú ý đặc điểm các hệ số ph-ơng trình thì biến đổi đ-a ph-ơng trình dạng tích a sin2x + 2tanx = b 3sinx + 2cosx = + 3tanx c 2(tanx- sinx) + 3(cotx - cosx) + = (4) Ph-¬ng tr×nh kh«ng mÉu mùc Nh÷ng ph-¬ng tr×nh nµy th-êng kh«ng thÓ ¸p dông ph-¬ng ph¸p gi¶i truyÒn thèng mµ ph¶i biÕt vËn dông khéo léo ph-ơng pháp đánh giá các số hạng có ph-ơng trình, sử dụng tính chất đơn điệu, tính bị chặn, sử dụng đồ thị để giải Trªn ®©y chóng t«i ®-a mét sè d¹ng ph-¬ng tr×nh th-êng gÆp ë ch-ơng trình toán phổ thông Các dạng ph-ơng trình này lại cã thÓ ®-a vÒ gi¶i b»ng hai ph-¬ng ph¸p c¬ b¶n: ph-¬ng ph¸p algorit (thuËt giải) và ph-ơng pháp orictic (tìm kiếm, sáng tạo ), phải vận dụng t- sáng tạo và t- thuật giải theo cấp độ bài toán cụ thể Vì www.vnmath.com 54 vËy, qu¸ tr×nh d¹y häc gi¶i to¸n nãi chung, d¹y häc gi¶i ph-¬ng tr×nh nãi riêng là điều kiện thuận lợi để phát triển t- thuật giải cho học sinh Quy tr×nh d¹y häc rÌn luyÖn kü n¨ng gi¶i ph-¬ng tr×nh Trong qu¸ tr×nh d¹y häc gi¶i ph-¬ng tr×nh, t- thuËt gi¶i ®-îc vËn dụng theo các cấp độ sau: Cấp độ 1: Những quy tắc, ph-ơng pháp có tính chất thuật toán: giải các ph-ơng trình đã có thuật giải Cấp độ 2: Những quy tắc, ph-ơng pháp có tính chất phi thuật toán: tiến tr×nh gi¶i mét bµi to¸n (th«ng th-êng qua b-íc); gi¶i to¸n b»ng ph-¬ng ph¸p lËp tr×nh, Cấp độ 3: Những quy tắc, ph-ơng pháp có tính chất tìm đoán: quy lạ vÒ quen, kh¸i qu¸t hãa, trõu t-îng hãa, ph-¬ng ph¸p t×m lêi gi¶i c¸c bµi to¸n, ‚Tính chất tìm đoán‛ đây là gợi ý giải vấn đề không phải là thuật toán đảm bảo chắn thành công cấp độ này đòi hỏi t- toán học học sinh hoạt động tích cực, đặc biệt là t- sáng t¹o Th«ng qua mß mÉm, dù ®o¸n ph-¬ng ph¸p gi¶i mµ rÌn luyÖn t- s¸ng t¹o cña häc sinh: tÝnh mÒm dÎo, tÝnh linh ho¹t, kh¶ n¨ng biÕt ®iÒu chØnh ph-¬ng h-íng vµ ph-¬ng ph¸p cÇn thiÕt Tõ nh÷ng nhËn xÐt vÒ vai trß cña t- thuËt gi¶i gi¶i to¸n ph-¬ng tr×nh, chóng t«i ®-a quy tr×nh d¹y häc theo h-íng ph¸t triÓn t- thuËt gi¶i gåm c¸c b-íc nh- sau: B-íc TËp luyÖn cho häc sinh thãi quen ph©n tÝch bµi to¸n, nhËn d¹ng ph-¬ng tr×nh Nếu ph-ơng trình cần giải là ph-ơng trình đã có thuật gi¶i th× tiÕn hµnh thùc hiÖn theo thuËt gi¶i (T1) Ng-îc l¹i ta chuyÓn sang b-íc www.vnmath.com 55 B-ớc Rèn luyện cho học sinh biến đổi ph-ơng trình dạng quen thuộc Trong b-ớc này, giáo viên cần gợi động cơ, h-ớng đích, lôi học sinh tích cực tìm tòi ph-ơng pháp biến đổi ph-ơng trình dạng quen thuộc Đây là khâu quan trọng và khó khăn hoạt động giải ph-ơng trình Giáo viên cần h-ớng dẫn để học sinh huy động kiến thức tổng hợp để tìm ph-ơng pháp biến đổi thích hợp B-íc Cho häc sinh tiÕn hµnh gi¶i ph-¬ng tr×nh nhËn ®-îc Sau đã biến đổi đ-a ph-ơng trình dạng quen thuộc, học sinh phải vạch ch-ơng trình giải thực ch-ơng trình đó Bài giải phải đảm bảo yêu cầu: không có sai lầm (lời giải không nên sai sót kiến thức to¸n häc, vÒ ph-¬ng ph¸p suy luËn, kü n¨ng tÝnh to¸n, vÒ ký hiÖu vµ ng«n ngữ diễn đạt); lập luận có chính xác (trong b-ớc biến đổi ph-ơng trình có sở lý luận); lời giải đầy đủ (xem xét đầy đủ các khả năng, kh«ng bá sãt mét tr-êng hîp nµo) B-íc KiÓm tra lêi gi¶i, kÕt qu¶ Giải ph-ơng trình là hoạt động toán học tổng hợp bao gồm nhiều hoạt động, nhiều khâu: hiểu và vận dụng đ-ợc khái niệm có liên quan, nắm vững định lý, công thức biến đổi đồng nhất, biến đổi t-ơng đ-ơng, biến đổi hÖ qña ph-¬ng tr×nh; lËp luËn vµ thÓ hiÖn c¸c thao t¸c t- logic, ph©n chia tr-ờng hợp, tính toán cụ thể và cách diễn đạt, thể lời giải d-ới dạng văn bản, ứng với hoạt động, khâu Trong quá trình tìm tòi lời giải và trình bày lời giải học sinh có thể mắc sai lầm Do đó giáo viên cần l-ờng tr-ớc để sai lầm học sinh th-ờng mắc phải, đồng thời phân tích nguyên nhân dẫn đến sai lầm đó và đề biện pháp khắc phục B-íc RÌn luyÖn cho häc sinh kh¶ n¨ng nghiªn cøu lêi gi¶i Nghiªn cøu - khai th¸c - ph©n tÝch vµ t×n tßi lêi gi¶i khoa häc nhÊt sÏ gióp häc sinh cã thãi quen tËp d-ît nghiªn cøu khoa häc, n¾m ®-îc b¶n chÊt vấn đề giải toán Hoạt động này có ý nghĩa quan trọng, nó góp phần phát triển hoạt động (T5) (phát thuật giải tối -u) www.vnmath.com 56 B-íc H-íng dÉn häc sinh t×m c¸c bµi to¸n liªn quan, më réng bµi to¸n b»ng t-¬ng tù hãa, kh¸i qu¸t hãa Trong b-íc nµy, gi¸o viªn cÇn ph¸t triÓn kh¶ n¨ng suy ®o¸n vµ rÌn luyÖn c¸c thao t¸c t- cho häc sinh Muèn vËy, gi¸o viªn cÇn chó ý cho häc sinh lµm quen vµ cã ý thøc sö dông nh÷ng quy t¾c suy ®o¸n, t-¬ng tù hãa, kh¸i qu¸t hãa, ph©n tÝch, tæng hîp vµ so s¸nh Gi¸o viªn cÇn tËp d-ît cho học sinh các thao tác t-ơng tự đơn giải, biết so sánh bài toán với bài toán t-ơng tự, tìm đặc điểm chung hình thức, nội dung ph-ơng pháp số dạng ph-ơng trình đơn giản, từ đó xây dựng thuật giải gi¶i mét sè d¹ng ph-¬ng tr×nh tæng qu¸t VÝ dô Gi¶i ph-¬ng tr×nh 3x   0 x2 x2 x 4 B-íc §©y lµ ph-¬ng tr×nh chøc Èn ë mÉu vµ ch-a cã thuËt gi¶i B-ớc Tìm tập xác định ph-ơng trình: D = R\  2;2 Quy đồng mẫu thức với mẫu thức chung: x2 - 4, ta đ-a về: x x     x    0 x2  3x  x     3x  x   x 4  x   B-íc Gi¶i ph-¬ng tr×nh: 3x2 - 5x - =   x  Đối chiếu với tập xác định Vậy ph-ơng trình có nghiệm x   B-íc Häc sinh cã thÓ m¾c nh÷ng sai lÇm sau: + Khi giải học sinh có thể quên không tìm tập xác định ph-ơng trình, dẫn đến trả lời ph-ơng trình có nghiệm x   www.vnmath.com vµ x =2 57 + Khi gi¶i t×m ®-îc x   và x = nh-ng không đối chiếu với điều kiện để chọn nghiệm thích hợp + Trong quá trình quy đồng mẫu thức và biến đổi học sinh có thể sai lÇm kh«ng n¾m v÷ng phÐp to¸n céng trõ hai ph©n thøc kh«ng cïng mÉu vµ thùc hiÖn phÐp tÝnh ch-a ®-îc chÝnh x¸c B-ớc Tr-ớc giải, cho học sinh nhận xét đặc điểm nhận dạng ph-¬ng tr×nh (ph-¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu, ph-¬ng tr×nh chøa c¸c ph©n thøc kh«ng cïng mÉu) Từ đặc điểm ph-ơng trình, ta thấy để giải ph-ơng trình tr-ớc tiên cần tìm tập xác định ph-ơng trình, sau đó tìm mẫu thức chung, thực phép quy đồng mẫu thức, biến đổi đ-a ph-ơng trình ph-ơng trình Tiến hành giải ph-ơng trình thu đ-ợc, tìm nghiệm thuộc tập xác định ph-¬ng tr×nh B-íc §©y lµ ph-¬ng tr×nh thuéc d¹ng (3) (ph-¬ng tr×nh quy vÒ ph-¬ng tr×nh c¬ b¶n) D¹ng ph-¬ng tr×nh nµy g©y cho häc sinh rÊt nhiÒu khã kh¨n qu¸ tr×nh gi¶i CÇn cho häc sinh n¾m v÷ng tuÇn tù c¸ch gi¶i ph-¬ng tr×nh d¹ng nµy VÝ dô Gi¶i ph-¬ng tr×nh: Sinx + sin 2x + sin 3x = B-ớc Đây là ph-ơng trình ch-a có thuật giải Ta cần biến đổi để đ-a ph-ơng trình đã có thuật giải B-ớc áp dụng các công thức l-ợng giác để biến đổi đ-a ph-ơng tr×nh vÒ d¹ng (3) (ph-¬ng tr×nh d¹ng tÝch) theo c¸c c¸ch sau: Cách Nhóm sin3x với sinx, áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích để xuất thừa số chung sin2x, từ đó đ-a ph-ơng trình dạng tích Gi¶i ph-¬ng tr×nh d¹ng tÝch quy vÒ gi¶i ph-¬ng tr×nh c¬ b¶n C¸ch Lµm xuÊt hiÖn thõa sè chung sinx b»ng c¸ch sö dông c«ng thức nhân đôi, nhân ba Chuyển giải ph-ơng trình www.vnmath.com 58 B-íc Gi¶i ph-¬ng tr×nh theo c¸ch nh- sau: C¸ch sinx + sin 2x + sin3x = 
 (sin3x + sinx) + sin2x = 
 2sin2xcosx + sin2x = 
 sin2x(2cosx + 1) = sin x  sin x    2 cos x   cos x   2   C¸ch sinx + sin 2x + sin3x = 
 sinx + 2sinxcosx + 3sinx - 4sin3x = 
 sinx(4 + 2cosx - 4sin2x) = 
 sinx(4cos2x + 2cosx) = 
 2sinxcosx(2cosx + 1) = 
 sin2x(2cosx + 1) = sin x  sin x     cos x   cos x     Gi¶i ta ®-îc: x  k  vµ x   2  k 2 , k  Z  B-ớc Học sinh có thể mắc phải sai lầm biến đổi (do nhớ sai công thức) không lấy đ-ợc tập nghiệm đúng nh- học sinh biến đổi ph-¬ng tr×nh thµnh: sinx (4cos2x + 2cosx) =  sin x  sin x     cos x  cos x  cos x    cos x    www.vnmath.com 59   x  k     x   k   2 x    k 2 , k  Z   NghiÖm cña ph-¬ng tr×nh: x  k ; x  k  vµ x   2  k 2 B-íc Trong c¸ch gi¶i trªn, c¸ch ng¾n gän h¬n nh-ng kh«ng ¸p dụng đ-ợc cho bài toán tổng quát Còn cách có thể áp dụng để xây dựng thuËt gi¶i cho bµi to¸n tæng qu¸t (xem môc 2.3, ch-¬ng 2) B-ớc Một số bài toán liên quan đến bài toán trên Bµi to¸n Gi¶i ph-¬ng tr×nh: sinx + sin2x + sin3x + sin4x = Bµi to¸n Gi¶i ph-¬ng tr×nh: asinx + bsin2x + csin3x = 0, (a, b, c  R) Bµi to¸n Gi¶i ph-¬ng tr×nh: sinx + sin2x + + sinnx = Bµi to¸n Gi¶i ph-¬ng tr×nh: a1 sin x  a2 sin x   an sin nx  0, n  N * Bµi to¸n Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh: cos x  cos x  cos 3x  cos x  cos x  cos 3x  cos x     cos x  cos x   cos nx  Bµi to¸n Gi¶i ph-¬ng tr×nh: cosx + cos2x = sinx + sin2x Bµi to¸n 7: Gi¶i ph-¬ng tr×nh: sinx + sin2x + + sinnx = cosx + cos2x + + cosnx VÝ dô Gi¶i ph-¬ng tr×nh: sinx + cosx = www.vnmath.com 60 Đây là ph-ơng trình l-ợng giác đã có thuật giải, học sinh có thể xây dùng mét ch-¬ng tr×nh gi¶i b»ng c¸ch lùa chän c¸c ph-¬ng ph¸p vµ c«ng cô (kiến thức l-ợng giác) phù hợp để giải Häc sinh cã thÓ gi¶i bµi to¸n nµy theo 10 c¸ch sau: Cách Sử dụng ph-ơng pháp đặt ẩn phụ Đặt t = tan C¸ch Xem  tan x  , ®-a vÒ ph-¬ng tr×nh: sin x  tan  cos x   sin x    C¸ch Dïng gãc phô: sin   2  4 ; cos   C¸ch Sö dông kiÕn thøc c¬ b¶n: sin2 x + cos2x = 1, råi ®-a vÒ ph-ơng trình bậc hai sinx và cosx Cách áp dụng công thức nhân đôi: x x sin x  sin cos , 2 cos x  cos x 1 Cách Biến đổi đại số: Bình ph-ơng hai vế đ-a ph-ơng trình d¹ng tÝch: sinx.cosx = Cách Đ-a giải hệ ph-ơng trình bậc sinx và cosx sin x  cos x   sin x cos x  C¸ch Sö dông ph-¬ng ph¸p h×nh häc: dïng ®-êng trßn l-îng gi¸c Cách Sử dụng ph-ơng pháp đồ thị hàm số Cách 10 Sử dụng ph-ơng pháp đánh giá sin x  sin x  cos x  cos x Tõ c¸c c¸ch gi¶i ph-¬ng tr×nh: sinx + cosx = 1, ta cã thÓ gi¶i ®-îc c¸c ph-¬ng tr×nh sau: www.vnmath.com 61 Bµi tËp Gi¶i ph-¬ng tr×nh: asinx + bcosx = c (a, b, c  R, ab  0) Bµi tËp Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh: a sin3x + cos3x = b sin4x + cos4x = c sin6x + cos6x = d sin2007x + cos2007x = Bµi tËp Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh: a sinnx + cosnx = 1, (n  N * ) b sin2nx + cos2nx = 1, (m, n  Z * ) Bµi tËp Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh sau: a a sin x  b cos x  c  b a sin x  b cos x  c  Sö dông quy tr×nh d¹y häc nªu trªn qu¸ tr×nh d¹y häc gi¶i ph-ơng trình giúp học sinh định h-ớng đ-ợc ph-ơng pháp giải đứng tr-ớc bài toán và việc thực đúng quy trình giải toán góp phần phát triển các hoạt động t- thuật giải 2.2.2 Tổ chức luyện tập cho học sinh giải các ph-ơng trình đã biết thuËt gi¶i Trong ch-¬ng tr×nh to¸n trung häc phæ th«ng, häc sinh ®-îc giíi thiÖu mét sè ph-¬ng tr×nh vµ c¸ch gi¶i chóng Tuy nhiªn s¸ch gi¸o khoa ch-a nêu cách giải các dạng ph-ơng trình đó d-ới dạng thuật giải Sau đây chúng tôi trình bày chi tiết các thuật giải đó và đ-a số bài tập cụ thể để học sinh nắm vững cách giải các ph-ơng trình này nhằm thực tốt b-ớc quy trình dạy học giải ph-ơng trình, đó chính là hoạt động thực thuật giải (T1) Giáo viên cần cho học sinh hiểu rõ vấn đề: nhớ và vËn dông thµnh th¹o c¸c quy tr×nh, thuËt to¸n cã s½n lµ mét viÖc lµm cÇn thiÕt nh-ng ch-a đủ Trong học tập phải có thói quen không nên dễ dàng chấp nhận điều đã có sẵn mà cần phải luôn có ý thức và niềm say mê huy www.vnmath.com 62 động tích cực vốn tri thức và lực thân để tìm ph-ơng pháp khác ph-ơng pháp tối -u đứng tr-ớc vấn đề cần gi¶i quyÕt Ph-¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn: ax + b = (a  0) Ph-¬ng tr×nh bËc hai mét Èn: ax2 + bx + c = (a  0) VÝ dô Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh sau: a 2x2 - 5x + = b 4x2 -12x + = c x2 - 3x + = d 5x2 - 4x - = Đây là các ph-ơng trình đơn giản, học sinh dễ dàng giải các ph-ơng tr×nh nµy theo thuËt gi¶i Ph-¬ng tr×nh l-îng gi¸c c¬ b¶n (Xem vÝ dô 3, biÖn ph¸p 1) Ph-ơng trình bậc và bậc hai hàm số l-ợng giác ThuËt gi¶i 4.1 Gi¶i ph-¬ng tr×nh f(sinx) = hoÆc f(cosx) = B-ớc đặt sin x = t, (cosx = t)   t   t  ti B-íc Gi¶i ph-¬ng tr×nh Èn t:   f t   B-íc Gi¶i ph-¬ng tr×nh: sinx = ti, (cosx= ti) VÝ dô Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh: a 2cosx - =0 b c 2cos2x – 3cosx + = sinx - = d – sin2x + sinx + = Các ph-ơng trình này nhằm tập luyện cho học sinh hoạt động giải toán theo thuật giải đã nêu ThuËt gi¶i 4.2 Gi¶i ph-¬ng tr×nh f(tanx) = vµ f(cotx) = B-íc §Æt tanx = t, (cotx = t) B-íc Gi¶i ph-¬ng tr×nh Èn t: f(t) =  t = ti B-íc Gi¶i ph-¬ng tr×nh: tanx = ti, (cotx = ti) VÝ dô Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh sau: a tan 3x   b   tan x   tan x   c cot2x – cotx – 10 = www.vnmath.com 63 VÝ dô Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh sau: 
 cos2x – 6cosx + =  2sin x  sin x  sin x b 1 2sin x cos x  c  sin x  3tan x  cos x C¸c ph-¬ng tr×nh nµy ch-a thÓ ¸p dông ®-îc thuËt gi¶i §Ó gi¶i ph-ơng trình đòi hỏi học sinh phải vận dụng công thức l-ợng giác phù hợp để đ-a ph-ơng trình ph-ơng trình đã có thuật giải Gi¶i: Ph-¬ng tr×nh (a): cos2x – 6cosx + = 
 cos2x – 3cosx + = B-íc 1: §Æt cosx = t   t    t    B-íc 2: (a)    t   t 1 t  t    t   B-íc 3: Gi¶i ph-¬ng tr×nh: cosx =  x = k 2 Ph-¬ng tr×nh (b) : §iÒu kiÖn: 2sinxcosx –   sin x   x    k , k  Z (b)   2sin x  sin x  sin x  sin x 1  sin x  sin x   B-íc 1: §Æt sinx= t   t   t  2  2t  2t     x   m2  B-íc 3: Gi¶i ph-¬ng tr×nh: sin x   x  3  m2 , m  Z  B-íc 2: (b)   www.vnmath.com 64 §èi chiÕu víi ®iÒu kiÖn hä nghiÖm x  VËy ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ x    m2 kh«ng tho¶ m·n 3  m2 cos x   x  Ph-¬ng tr×nh gi¸o dôc: §iÒu kiÖn: (c)     k , k  Z sin x  3tan x  cos x.cos x   tan x 1  tan x   3tan x   tan x  tan x  tan x      tan x  1 tan x  tan x   tan x    tan x  tan x   
 Ph-ơng trình bậc sinx và cosx asinx + bcosx = c, (a, b, c  R, ab  0) Sách giáo khoa chỉnh lý năm 2000 đề cập đến cách giải Sách giáo khoa đại số và giải tích 11 nâng cao nêu cách giải Sau đây chúng tôi đ-a thuËt gi¶i chi tiÕt ThuËt gi¶i 5.1: B-íc 1: KiÓm tra: a2 + b2  c2 NÕu sai, kÕt luËn ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm ChuyÓn sang b-íc Nếu đúng, chuyển sang b-ớc B-íc 2: Chia c¶ hai vÕ cho a2  b2 www.vnmath.com 65 B-íc 3: §Æt a  cos    a2  b2   b sin    a2  b2 B-íc 4: Gi¶i ph-¬ng tr×nh sin x     c a2  b2 B-íc 5: KÕt thóc VÝ dô 4: Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh sau: a 3sinx + 4cosx = b 2sin2x – 2cos2x = c 5cos2x – 12sin2x = 13 ¸p dông thuËt gi¶i chi tiÕt ë trªn, häc sinh dÔ dµng gi¶i ®-îc c¸c ph-¬ng tr×nh nµy VÝ dô Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh sau: a sin x  sin x  ; b 5sin2x – 6cos2x = 13; c sin x  sin x  2cos x  C¸c ph-¬ng tr×nh nµy häc sinh kh«ng thÓ ¸p dông thuËt gi¶i mµ phải biến đổi cách áp dụng công thức hạ bậc: cos x   cos x ; sin x   cos x 
 Ph-ơng trình bậc hai sinx và cosx asin2x + bsinxcosx + cos2x = 0, (a, b, c  R) Trong s¸ch gi¸o khoa nªu hai c¸ch gi¶i ph-¬ng tr×nh nµy Tõ h-íng dÉn häc sinh gi¶i ph-¬ng tr×nh 5c Chóng t«i ®-a thuËt gi¶i: ThuËt gi¶i 6.1 B-ớc 1: Biến đổi: sin x   cos x ; cos x  1  cos x ; sin x cos x  sin x 2 www.vnmath.com 66 B-íc 2: Gi¶i ph-¬ng tr×nh: b ca ac sin x  cos x  2 B-íc 3: Thùc hiÖn thuËt gi¶i 5.1 VÝ dô 6: Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh: a 3sin2x + 8sinxcosx +( - 9)cos2x = b 4sin2x + 3 sin2x – 2cos2x = c 3sin22x – sin2xcos2x – 4cos22x = Ph-ơng trình đối xứng sinx và cosx: a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c (a, b, c  R) ThuËt gi¶i 7.1 B-íc 1: §Æt t = sinx + cosx   t    t 1 sin x cos x   B-ớc 2: Đ-a ph-ơng trình đại số: bt2 + 2at – (b + 2c) = 0, (*) với   t  B-íc 3: Gi¶i ph-¬ng tr×nh (*), t×m nghiÖm t0 B-íc 4: Gi¶i ph-¬ng tr×nh: sinx + cosx = t0 VÝ dô Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh sau: a 3(sinx + cosx) + 2sin2x + = b 5sin2x + sinx + cosx + = VÝ dô Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh sau: a sinx – cosx + 4sinxcosx + = b sin3x + cos3x = c sin3x + cos3x = sin2x + sinx + cosx 2.2.3 Sö dông hîp lý h×nh thøc d¹y häc ph©n hãa www.vnmath.com 67 Sö dông hîp lý h×nh thøc d¹y häc ph©n ho¸ (néi t¹i) nh»m kÝch thÝch học sinh học tập với nỗ lực trí tuệ phù hợp với trình độ và lực nhËn thøc cña b¶n th©n D¹y häc ph©n ho¸ xuÊt ph¸t tõ sù biÖn chøng cña thèng nhÊt vµ ph©n hoá, từ yêu cầu đảm bảo thực tốt các mục tiêu dạy học tất học sinh là đào tạo ng-ời lao động tự chủ, động, sáng tạo, tạo điều kiện cho thành viên hoạt động lĩnh vực phù hợp với lực c¸ nh©n, khai th¸c tiÒm n¨ng, t¹o ®iÒu kiÖn tèi -u cho sù ph¸t triÓn n¨ng lùc cña hä Ph©n ho¸ néi t¹i (cßn gäi lµ ph©n ho¸ trong), tøc lµ dïng nh÷ng biÖn ph¸p ph©n ho¸ thÝch hîp mét líp häc thèng nhÊt víi cïng mét kÕ ho¹ch häc tËp, cïng mét ch-¬ng tr×nh vµ s¸ch gi¸o khoa Để việc dạy học phân hoá theo h-ớng phát triển t- thuật giải đạt hiệu cao đòi hỏi phải xác định đ-ợc mức độ tập luyện sát với trình độ học sinh Muốn cần phải thực phân bậc hoạt động t- thuật giải Sự phân bậc hoạt động dựa vào các sau: Ph©n bËc theo b×nh diÖn nhËn thøc Đặc tính cụ thể hay trừu t-ợng đối t-ợng là để phân bậc hoạt động t- thuật giải Bậc thấp: Tiến hành hoạt động trên đối t-ợng cụ thể VÝ dô Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh: a x2 – x – = 0; b 2x2 – 3x + = 0; c 4x2 + 12x + =0 Bậc cao: Tiến hành hoạt động t- thuật giải trên đối t-ợng trừu t-îng h¬n VÝ dô Gi¶i vµ biÖn luËn ph-¬ng tr×nh bËc hai víi hÖ sè chøa tham sè Ch¼ng h¹n: Gi¶i vµ biÖn luËn ph-¬ng tr×nh sau theo tham sè m: mx2 – 2(m + 3)x + m + = (*) www.vnmath.com 68 Gi¶i: HÖ sè a = m, nªn ta xÐt hai tr-êng hîp: + Tr-ờng hợp Nếu m = Khi đó ph-ơng trình có dạng: 6x + = x + Tr-êng hîp NÕu m  Ta cã :   m  3  mm  1  5m  * NÕu     5m    m    ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm  ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp 5 * NÕu    5m    m    ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm ph©n biÖt * NÕu     5m    m    m  3  5m   x1  m   m  3  5m   x2  m  KÕt luËn: + m =  ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm x  + m    ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm  ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp m   +   ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm ph©n biÖt m    + m Phân bậc theo nội dung hoạt động t- thuật giải www.vnmath.com 69 Các hoạt động t- thuật giải có thể đ-ợc phân bậc dựa trên nội dung hoạt động Nội dung hoạt đọng là tri thức liên quan tới hoạt động và điều kiện khác hoạt động BËc thÊp: M« t¶ thuËt gi¶i b»ng ng«n ng÷ to¸n häc: Chẳng hạn sách giáo khoa đại số 10 (năm 2000) đã nêu thuật gi¶i gi¶i ph-¬ng tr×nh: ax2 + bx + c = vµ : ax + b = Sách giáo khoa đại số - Giải tích 11 nêu thuật giải giải các ph-ơng trình: ph-¬ng tr×nh l-îng gi¸c c¬ b¶n, ph-¬ng tr×nh bËc nhÊt vµ ph-¬ng tr×nh bậc hai hàm số l-ợng giác: ph-ơng trình asinx + bcosx = c; asin2x + bsinxcosx + c.cos2x = 0; a (sinx+cosx) + bsinxcosx = c; ph-¬ng tr×nh mò c¬ b¶n; ph-¬ng tr×nh logarit c¬ b¶n Bậc cao: Mô tả thuật giải ngôn ngữ sơ đồ khối ngôn ngữ pháng tr×nh B¾t ®Çu NhËp c¸c hÖ sè a, b, c, ,  R; k Z www.vnmath.com a<>0 b<>0 HÖ sè a, b kh«ng tho¶ m·n gi¶ thiÕt 70 www.vnmath.com BËc cao h¬n n÷a: M« t¶ thuËt gi¶i b»ng ng«n ng÷ lËp tr×nh 2.2.3.3 Phân bậc theo phức hợp hoạt động t- thuật giải www.vnmath.com 71 Sự phức hợp hoạt động là để phân bậc các hoạt động t- thuật giải 
 BËc thÊp: X©y dùng mét thuËt gi¶i BËc cao: X©y dùng thuËt gi¶i tèi -u h¬n VÝ dô Gi¶i ph-¬ng tr×nh: sinx + cosx = Có thể giải ph-ơng trình này theo thuật giải đã có sách giáo khoa Tuy nhiên, ta cần h-ớng dẫn học sinh tìm thuật giải tối -u để giải ph-¬ng tr×nh nµy nh- sau: B-íc §¸nh gi¸: sin x  sin x (1) cos x  cos x (2) B-íc thùc hiÖn céng hai vÕ (1) vµ (2) ta cã: sin x  cos x  sin x  cos x Hay sinx + cosx   x  k 2 DÊu ‚=‛ x°y    x    l 2 , k , l  Z   Chúng ta cần cho học sinh so sánh thuật giải này với thuật giải đã biết ë s¸ch gi¸o khoa ¸p dông vµo gi¶i ph-¬ng tr×nh ThuËt gi¶i trªn tèi -u chỗ ngắn gọn và đặc biệt là có thể áp dụng cho bài toán tổng quát giải ph-¬ng tr×nh: sinnx + cosnx = C¸ch gi¶i: B-íc NhËp n; B-íc NÕu n < th×: B-íc 2.1 NhËn xÐt: sinn x  sin2 x (1) cosn x  cos2x (2) B-ớc 2.2 Thực cộng theo hai vế bất đẳng thức (1), (2) Ta đ-ợc: sin n x  cos n x   x  k 2 www.vnmath.com    x    l 2 , k , l  Z   72 Bước 2.3 Dấu ‚=‛ x°y Ng-îc l¹i B-íc NÕu n  th×: B-íc 3.1 NhËn xÐt: sinn x  sin2 x (1) cosn x  cos2x (2) B-ớc 3.2 Thực cộng theo hai vế bất đẳng thức (1), (2) Ta đ-ợc: sin n x  cos n x   x  k 2 Bước 3.3 Dấu ‚=‛ x°y    x    l 2 , k , l  Z   Ng-îc l¹i: x  k  , k  Z  Có thể phân bậc phức hợp hoạt động t- thuật giải theo cứ: b BËc thÊp: BiÕt c¸ch lµm trªn mét lo¹t tr-êng hîp t-¬ng tù víi tr-êng hợp đã làm BËc cao: Kh¸i qu¸t ho¸ c¸ch lµm trªn c¸c tr-êng hîp cô thÓ thµnh c¸ch lµm cho tr-êng hîp tæng qu¸t VÝ dô Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh: a 2x   x  b x  3x   x  c x  x   Tõ c¸ch gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh trªn, ta ®-a thuËt gi¶i ph-¬ng tr×nh tæng qu¸t nh- sau: B-ớc Biến đổi ph-ơng trình thành dạng: f x   g x  B-íc §Æt ®iÒu kiÖn g x   B-íc Khö c¨n thøc b»ng c¸ch b×nh ph-¬ng hai vÕ www.vnmath.com 73 B-íc Gi¶i ph-¬ng tr×nh f x   g x  B-íc T×m nghiÖm tho¶ m·n ®iÒu kiÖn b-íc B-íc Tr¶ lêi 2.2.3.4 Phân bậc theo chất l-ợng hoạt động t- thuật giải Sự phân bậc các hoạt động t- thuật giải còn dựa trên chất l-ợng hoạt động 
 Bậc thấp: Biết tiến hành hoạt động t- thuật giải Bậc cao: Có kỹ tiến hành hoạt động t- thuật giải Bậc cao nữa: Có kỹ xảo tiến hành hoạt động t- thuật giải C¸ch kh¸c b Bậc thấp: Tiến hành hoạt động t- thuật giải với giúp đỡ gi¸o viªn Bậc cao: Độc lập tiến hành hoạt động t- thuật giải Bảng sau đây cho biết hoạt động t- thuật giải th-ờng đ-ợc phân bậc theo kh¶ n¨ng nµo Hoạt động t- Kh¶ n¨ng ph©n bËc thuËt gi¶i T1 3.1; 3.4 T2 3.1; 3.3a; 3.4a; 3.4b T3 3.1; 3.3b; 3.4a; 3.4b T4 3.1; 3.2; 3.4a; 3.4b T5 3.1; 3.3a; 3.4a; 3.4b Sự phân bậc các hoạt động t- thuật giải giúp cho giáo viên nắm bắt đ-ợc tình hình hoạt động toán học học sinh quá trình dạy học giải toán ph-ơng trình Trên sở nhận thức học sinh để giáo viên lựa chọn các hoạt động phát triển t- thuật giải phù hợp với trình độ nhận thøc cña häc sinh Rèn luyện kỹ biến đổi ph-ơng trình cho học sinh www.vnmath.com 74 Biến đổi ph-ơng trình đã cho ph-ơng trình đã có thuật giải là việc quan trọng Hầu hết các ph-ơng trình cho dạng phức tạp, gây khó khăn cho học sinh quá trình giải Do đó để giải ph-ơng trình đòi hỏi học sinh phải có kỹ biến đổi ph-ơng trình Kỹ biến đổi ph-ơng trình đ-ợc hiểu là khả thực các phép biến đổi sở để đ-a ph-ơng trình dạng đơn giản cách có định h-ớng Chúng ta có thể chia việc rèn luyện kỹ biến đổi ph-ơng trình theo hai cấp độ Kỹ biến đổi các tri thức liên quan đến việc giải ph-ơng trình Ví dụ Sau dạy xong các phép biến đổi t-ơng đ-ơng hai ph-ơng trình, giáo viên có thể bài tập để học sinh tập luyện và nắm vững các phép biến đổi t-ơng đ-ơng Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh sau: a x  x    x  b x  2x 1  x 1 x 1 §ång thêi tËp luyÖn cho häc sinh ph¸t hiÖn c¸c sai lÇm ¸p dông VÝ dô Gi¶i ph-¬ng tr×nh: x x 2x   2x  3 x  x  1x  3 Ta cho häc sinh kiÓm tra lêi gi¶i sau, yªu cÇu häc sinh t×m sai lÇm cña lêi gi¶i vµ c¸ch kh¾c phôc sai lÇm Lêi gi¶i  x  1 Điều kiện xác định:  1x  Ph-¬ng tr×nh    2x  3 2x  1 x  1x  3  x  1  x  3  www.vnmath.com 75  2x – =  x =3 VËy ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm: x = Ví dụ Khi dạy công thức l-ợng giác, phần công thức biến đổi tích thµnh tæng, gi¸o viªn yªu cÇu häc sinh lµm c¸c bµi tËp 1.TÝnh: a sin 5  sin 24 24 b cos 7 5 sin 12 12 Biến đổi thành tổng các biểu thức: a A = cos5x.cos3x b B = 4sinx.sin2x.sin3x Bài tập (1) giúp học sinh tập luyện hoạt động thứ t- thuật giải Bài tập (2) tập luyện hoạt động quy lạ quen, giúp học sinh củng cố ®-îc kiÕn thøc mét c¸ch bÒn v÷ng Trong quá trình dạy học các công thức liên quan đến đến việc giải ph-ơng trình, cần chú ý đến hoạt động nhận dạng và thể công thức nh»m kh¾c phôc t×nh tr¹ng häc mét c¸ch m¸y mãc, thuéc vÑt c«ng thøc mµ không hiểu đúng chất công thức Chẳng hạn học công thức: 2   1 sin sin 2cos cos   ,1ta®-a c«ng thøc sin  cos vµ hái häc sinh b»ng 2    cos  bao nhiªu, th× häc sinh cã thÓ tr¶ lêi: sin 2 Hay dạy công thức nhân đôi: sin2a = 2sinacosa nh-ng học sinh lại kh«ng biÕt biÓu diÔn sin a theo sin a a vµ cos 2 §Ó kh¾c phôc ®iÒu nµy, gi¸o viªn cÇn cho häc sinh tËp luyÖn c¸c ho¹t động nhận dạng và thể công thức theo hai chiều xuôi và ng-ợc Giáo viªn cã thÓ cho häc sinh: (1) NhËn xÐt vµ rót dÊu hiÖu b¶n chÊt cña c«ng thøc (2) §èi chiÕu chÝnh x¸c, ch¾c ch¾n mäi chi tiÕt cña c«ng thøc (3) Biến đổi và tập sử dụng thành thạo đồng thức www.vnmath.com 76 VÝ dô Gi¸o viªn h-íng dÉn häc sinh chiÕm lÜnh c«ng thøc: sin2x + cos2x = theo các hoạt động sau Các công thức nào cho d-ới đây là đúng? a cos22x + sin22x = b sin c cos x x  cos  2   sin  1 d sin2(a-b)+ cos2(a-b) =1 (§óng) (Sai) (Sai) (§óng) e cos2x + sin2x = (Sai) g sin4x – cos4x = (Sai) Ta vào hoạt động (1) để nhận biết (a) và (d) Hoạt động (2) nhận đ-ợc (b), (c), (e) và hoạt động (3) nhận đ-ợc (g) Từ hoạt động (2), giáo viên yêu cầu học sinh rút dấu hiệu để nhận biÕt c«ng thøc lµ: * Trong c«ng thøc ph¶i cã hai hµm sè sin vµ cos * C¸c hµm sin vµ cos cña cïng mét gãc (hoÆc cïng mét cung) * Sè mò lµ * Tæng b»ng §Ó t¨ng c-êng kh¶ n¨ng nhËn d¹ng vµ thÓ hiÖn c«ng thøc, gi¸o viªn yêu cầu học sinh: Số ‚1‛ có thể viết dạng công thức lượng giác n¯o? = sin2x + cos2x cos2x = – sin2x sin2x = – cos2x Nh- vậy, việc rèn luyện cho học sinh kỹ biến đổi các tri thức liên quan đến ph-ơng trình mặt phát triển các hoạt động t- thuật giải (sử dụng đúng phép biến đổi t-ơng đ-ơng, vận dụng thành thạo công thức chính là phát triển hoạt động (T1) t- thuật giải), đồng thời có kỹ biến đổi thì học sinh hiểu và thực tốt các dạng ph-ơng trình đã có www.vnmath.com 77 thuật giải nh- xây dựng thuật giải để giải các dạng ph-ơng trình ch-a cã thuËt gi¶i Ví dụ Nếu quá trình dạy học công thức biến đổi tổng thành tích, giáo viên cho học sinh vận dụng để biến đổi: sinx + cosx thành     sin x  cos x  cos x    sin x   4 4   và tập luyện cho học sinh nắm vững công thức nhân đôi, công thức hạ bậc th× sÏ t¹o ®iÒu kiÖn thuËn lîi cho viÖc thùc hiÖn c¸c thuËt gi¶i 5, 6, (môc 2.2.2.) VÝ dô Gi¶i ph-¬ng tr×nh sin x  cos x   cos x B-íc H¹ bËc vÕ tr¸i: sin 2 x sin x  cos x   sin x cos x   4 2 B-íc TiÕp tôc h¹ bËc vÕ tr¸i ta cã: sin 2 x  cos x 1  1 B-íc §-a ph-¬ng tr×nh vÒ d¹ng: 1  cos x  cos x  4  cos6x + cos4x = B-íc §-a ph-¬ng tr×nh vÒ d¹ng tÝch 2cos5x.cosx = B-ớc Giải các ph-ơng trình đặc biệt    x   k  cos x  10   cos x    x    l  Rèn luyện kỹ biến đổi ph-ơng trình Kh«ng ph¶i ph-¬ng tr×nh nµo còng cã thÓ nh×n ®-îc cÇn sö dụng phép biến đổi hay công thức nào để biến đổi mang lại kết Do đó, www.vnmath.com 78 rèn luyện kỹ biến đổi ph-ơng trình chính là rèn luyện cách nhìn nhận ph-ơng trình d-ới nhiều góc độ khác Một số cách biến đổi ph-ơng trình th-ờng áp dụng Biến đổi ph-ơng trình từ dạng phức tạp thành dạng đơn giản Đặc biệt hoá để dự đoán kết bài toán Rèn luyện kỹ biến đổi ph-ơng trình vừa là mục đích dạy học nội dung ph-¬ng tr×nh võa gãp phÇn ph¸t triÓn t- thuËt gi¶i cña häc sinh TruyÒn thô cho häc sinh nh÷ng tri thøc ph-¬ng ph¸p vÒ t- thuËt giải tổ chức, điều khiển tập luyện các hoạt động thông qua dạy häc gi¶i ph-¬ng tr×nh Trong d¹y häc sinh x©y dùng thuËt gi¶i cô thÓ cho mét d¹ng ph-ơng trình nào đó, giáo viên cần phải truyền thụ cho học sinh kinh nghiÖm vµ nghÖ thuËt ph-¬ng ph¸p suy nghÜ, gióp häc sinh tù x©y dùng ®-îc thuËt gi¶i nh÷ng t×nh huèng míi Qu¸ tr×nh x©y dùng mét thuËt gi¶i còng lµ qu¸ tr×nh gi¶i mét bµi to¸n ch-a cã thuËt gi¶i V× vËy, nh÷ng tri thøc ph-¬ng ph¸p vÒ t- thuËt gi¶i ph¶i lµ bé phËn hîp thµnh tri thøc ph-¬ng ph¸p gi¶i bµi to¸n nãi chung vµ phải phản ánh đ-ợc nét đặc thù riêng biệt quá trình này Sau đây là nh÷ng tri thøc ph-¬ng ph¸p cÇn truyÒn thô cho häc sinh: + Tìm hiểu bài toán cách tổng hợp, phát đặc thù, dấu hiÖu riªng biÖt cña bµi to¸n + Phân tích bài toán để thấy rõ giả thiết và kết luận bài toán + Ph©n tÝch bµi to¸n thµnh tõng bé phËn hoÆc thµnh nh÷ng bµi to¸n đơn giản + Mß mÉm vµ dù ®o¸n b»ng c¸ch ph©n chia thµnh c¸c tr-êng hîp Xem xÐt c¸c tr-êng hîp (kÕt hîp víi suy luËn) b»ng c¸ch xÐt c¸c tr-êng hîp đặc biệt, t-ơng tự, khái quát + Quy l¹ vÒ quen + KiÓm tra vµ nghiªn cøu lêi gi¶i, t×m c¸ch gi¶i hîp lý h¬n b»ng c¸ch khắc phục điều ch-a hợp lý lời giải cũ thay đổi cách nhìn www.vnmath.com 79 bài toán; sử dụng kết hay cách giải bài toán cho bài toán khác; đề xuất bµi to¸n míi T×m hiÓu bµi to¸n mét c¸ch tæng hîp Tìm hiểu bài toán cách tổng hợp, phát đặc điểm, dấu hiÖu riªng biÖt cña bµi to¸n VÝ dô Gi¶i ph-¬ng tr×nh x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 24 Míi nh×n ta thÊy ph-¬ng tr×nh cã d¹ng kh«ng b×nh th-êng Tuy nhiªn, để ý kỹ ta thấy ph-ơng trình có đặc điểm đặc biệt là: VÕ tr¸i = x(x + 3)(x + 1)(x + 2) = (x2 + 3x)(x2 + 3x + 3) Từ đặc điểm này ta đặt: t = x2 + 3x, với điều kiện t   th× ph-¬ng tr×nh ®-a vÒ d¹ng: t( t2 + 3) = 24 Hay t2 + 3t - 24 = VÝ dô Gi¶i ph-¬ng tr×nh: x x   48     48   14     Tho¹t nh×n th× cã lÏ còng ho¶ng sî v× tr-íc m¾t chóng ta lµ mét ph-¬ng tr×nh mò v« tû víi c¬ sè phøc t¹p Nh-ng nÕu ta xem xÐt kü hai c¬ sè thì thấy chúng có mối liên hệ đặc biệt:   48 .  48      Từ đặc điểm này, ta thấy có thể biểu diễn  48   48 vµ ta ®-a x ph-¬ng tr×nh vÒ d¹ng t   14 víi t =   48  , t > hay t2 - 14t + =   t Nh- vËy, mét sè ph-¬ng tr×nh chóng ta sÏ t×m ®-îc thuËt gi¶i nÕu xem xét kỹ để phát đặc điểm riêng biệt chúng Ph©n tÝch gi¶ thiÕt vµ kÕt luËn cña bµi to¸n Trong mét sè bµi to¸n th× gi¶ thiÕt vµ kÕt luËn bao giê còng cã mèi liªn hÖ víi ë mét sè bµi to¸n mèi liªn hÖ Êy dÔ dµng thÊy ®-îc nh-ng còng www.vnmath.com 80 cã nhiÒu bµi to¸n míi nh×n qua khã cã thÓ thÊy d-îc mèi liªn hÖ Êy V× vËy, việc phân tích bài toán để thấy ró giả thiết và kết luận để từ đó tìm mối liªn hÖ gi÷a chóng sÏ gãp phÇn x©y dùng thuËt gi¶i VÝ dô: Cho ph-¬ng tr×nh: x2 + 5x + = cã nghiÖm x1, x2 Kh«ng gi¶i ph-¬ng tr×nh h·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: M = x13 + x23 Ph©n tÝch: Ta thÊy biÓu thøc M chøa hai nghiÖm x1, x2 cña ph-¬ng trình đã cho Để tính giá trị biểu thức M ta cần phải tính giá trị cụ thể nghiÖm x1, x2 Nh-ng yªu cÇu bµi to¸n lµ kh«ng gi¶i ph-¬ng tr×nh cã nghÜa lµ kh«ng ®-îc tÝnh cô thÓ x1, x2 b»ng bao nhiªu th× ta còng ph¶i tÝnh ®-îc gi¸ trÞ cña biÓu thøc M Ta để ý đến đặc điểm biểu thức M dẫn đến chúng ta biến đổi biểu thøc M nh- sau: M =(x1 + x2)(x12 - x1x2 + x22) MÆt kh¸c theo gi¶ thiÕt x1, x2 lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh nªn:  x1  x  5   x1 x  Điều này gợi ý cho ta biến đổi biểu thức M chứa (x1+ x2) và (x1.x2) Từ đó, ta tiếp tục biến đổi M   x1  x2   x1  x2   3x1 x2    Tõ sù ph©n tÝch trªn, ta ®-a thuËt gi¶i tÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc M nh- sau: B-ớc 1: Biến đổi biểu thức M chứa tổng (x1 + x2) và tính x1.x2: M = (x1 + x2)(x12 - x1x2 + x22) = (x1 + x2)[(x1 + x2)2 - 3x1x2] B-íc 2: TÝnh tæng (x1 + x2) vµ x1.x2 theo Viet:  x1  x  5   x1 x  B-íc 3: Thay vµo biÓu thøc M vµ rót gän Ph©n tÝch bµi to¸n thµnh tõng bé phËn §èi víi nh÷ng ph-¬ng tr×nh phøc t¹p (chøa c¨n thøc, chøa dÊu gi¸ trÞ tuyệt đối, chứa nhiều hàm số l-ợng giác, số mũ lớn ) th-ờng gây nhiều khã kh¨n cho häc sinh qu¸ tr×nh gi¶i V× vËy, qu¸ tr×nh d¹y häc www.vnmath.com 81 giải ph-ơng trình, giáo viên cần rèn luyện cho học sinh cách đơn giản hoá bài toán phân chia thành các bài toán riêng lẻ để dễ tìm cách giải VÝ dô Gi¶i ph-¬ng tr×nh: cos 3x  sin 3x   5 sin x    cos x   sin x   Khi gặp bài toán này, cách giải học sinh th-ờng dùng là quy đồng mẫu hai vế Với cách làm này dẫn đến học sinh cùng lúc thực nhiều phép biến đổi và áp dụng nhiều công thức l-ợng giác Cách làm này đ-a học sinh gặp nhiều khó khăn và dễ mắc sai lầm biến đổi Giáo viên có thể tách thành nhiều bài toán nhỏ từ bài toán này để với bài toán đó học sinh thực ít phép tính, phép biến đổi đơn giản, áp dụng ít công thức và cuối cùng đ-a biểu thức đơn giản Với định h-ớng đó, giáo viên yêu cầu học sinh gi¶i lÇn l-ît nh- sau: B-íc 1: §Æt ®iÒu kiÖn: 1  sin x   sin x   B-íc 2: Rót gän biÓu thøc: sin x  cos 3x  sin 3x sin x  sin x sin x  cos 3x  sin 3x   sin x  sin x  sin x  cos x  cos3 x  cos3 x  sin x  2sin x  2sin x cos x  cos x cos x 1  2sin x    cos x  2sin x  2sin x B-íc 3: Gi¶i ph-¬ng tr×nh: 5cosx = cos2x +  2cos2x – 5cosx + = cos x   cos x   Víi cosx =2 ( lo¹i) Víi cos x    x    k 2 , k  Z  sin x   www.vnmath.com 82 + §èi chiÕu víi ®iÒu kiÖn: T×m nghiÖm thÝch hîp VËy nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh lµ: x     k 2 , k  Z  RÌn luyÖn n¨ng lùc ph¸n ®o¸n Mß mÉm vµ dù ®o¸n c¸ch gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch ph©n chia thµnh c¸c tr-ờng hợp, xét tr-ờng hợp đặc biệt, t-ơng tự, khái quát, VÝ dô Gi¶i ph-¬ng tr×nh: sin2nx + cos2m x = , (m, n  N ) * Ta xét số tr-ờng hợp đặc biệt n và m + NÕu m = n = Ph-¬ng tr×nh cã d¹ng: sin2x + cos2x =1 VËy ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm víi mäi x + NÕu m = n = Ph-¬ng tr×nh cã d¹ng: sin4x + cos4x = Ta cã nhËn xÐt: sin4x  sin2x cos4x  cos2x 
 sin4x + cos4x  sin2x + cos2x = DÊu ‚ = ‛ x°y sin x    x  k cos x     xk   x   l sin x    cos x   + Ta xÐt c¸c tr-êng hîp tæng qu¸t: m = n > 2, ph-¬ng tr×nh cã d¹ng: sin2nx + cos2mx = LËp luËn t-¬ng tù, ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm x  k  Từ đó ta có thể khái quát cho tr-ờng hợp tổng quát m, n với m, n N* RÌn luyÖn n¨ng lùc “quy l¹ vÒ quen“ Phần lớn các ph-ơng trình không có dạng có thể sử dụng các thuật giải quen thuộc mà đòi hỏi ng-ời giải phải biết phân tích, biến đổi, biết nhận số đặc điểm đặc biệt ph-ơng trình để có thể đ-a ph-ơng www.vnmath.com 83 trình ph-ơng trình đã biết thuật giải Đối với các ph-ơng trình dạng này, qu¸ tr×nh d¹y häc gi¸o viªn cÇn rÌn luyÖn cho häc sinh kü n¨ng huy động các thuật giải đã biết Để đạt đ-ợc mục đích này, ph-ơng pháp quen thuéc hay sö dông lµ x©y dùng hÖ thèng bµi to¸n gèc cho tõng d¹ng ph-¬ng trình (Vấn đề này đ-ợc đề cập kỹ mục 2.3 ch-ơng) Sau đây là số ví dụ minh hoạ đơn giản: VÝ dô Gi¶i ph-¬ng tr×nh: x  3x  12  x  3x (1) §©y lµ ph-¬ng tr×nh ch-a cã thuËt gi¶i nh-ng chóng ta cã thÓ chuyÓn ph-ơng trình đã có thuật giải nh- sau: (1)  x  3x  12  x  3x  12  12 §Æt t = x  3x  12, ®iÒu kiÖn: t > Ph-ơng trình có dạng: t2 – t - 12 = (Đây là ph-ơng trình đã có thuật giải) t1  3  t  Víi t = - (lo¹i) Víi t =  x  3x  12  x   x  3x      x  4 VÝ dô Gi¶i ph-¬ng tr×nh; sin x  sin 5x  cos x (2) Míi nh×n, ta thÊy ph-¬ng tr×nh ch-a cã d¹ng quen thuéc nµo, nh-ng chóng ta cã thÓ ®-a nã vÒ d¹ng quen thuéc nÕu qu¸ tr×nh d¹y häc gi¸o viªn cho häc sinh tËp luyÖn tèt c¸c yªu cÇu cña biÖn ph¸p Gi¸o viªn lµm nh- chính là đã truyền cho học sinh tri thức ph-ơng pháp quy lạ quen Theo định h-ớng đó, chúng ta đ-a ph-ơng trình dạng: sinx + cosx = sin5x www.vnmath.com 84    sin x    sin x (Quy vÒ ph-¬ng tr×nh d¹ng gÇn c¬ b¶n: sinx = sin) 4     x   k  16  x    k   VÝ dô Gi¶i ph-¬ng tr×nh: 52x+1- 3x+1 = 52x + 3x (3) §©y còng lµ mét ph-¬ng tr×nh kh«ng cã d¹ng quen thuéc Tuy nhiªn chóng ta cã thÓ ®-a vÒ ph-¬ng tr×nh d¹ng quen thuéc (3)  5.52x - 3.3x = 52x + 3x  4.52x = 4.3x  25x = 3x x  25     (Quy vÒ ph-¬ng tr×nh d¹ng: ax = c)  x =   KiÓm tra kÕt qu¶ vµ ph¸t hiÖn thuËt gi¶i tèi -u KiÓm tra l¹i kÕt qu¶, t×m c¸ch gi¶i hîp lý h¬n b»ng c¸ch kh¾c phôc chỗ ch-a hợp lý lời giải cũ thay đổi cách nhìn bài toán Sử dụng kết hay cách giải bài toán này cho bài toán khác, đề xuất bài toán Việc nhận và khắc phục chỗ ch-a hợp lý lời giải để tìm cách giải hợp lý góp phần phát triển hoạt động (T5) t- thuật giải (hoạt động tìm thuật giải tối -u) VÝ dô Sau d¹y thuËt gi¶i gi¶i ph-¬ng tr×nh: asinx + bcosx = c Gi¸o viªn cã thÓ nªu c©u hái ? Víi ®iÒu kiÖn nµo cña a, b, c, th× ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm? c c Ph-¬ng tr×nh sin x     cã nghiÖm  1 2 a  b2 a b   a2  b2  c  a2  b2 www.vnmath.com 85 Tõ ®iÒu kiÖn nªu trªn, ta cã:  a  b  a sin x  b cos x  a  b Gi¸o viªn cã thÓ cho häc sinh nh×n nhËn bµi to¸n: asinx + bcosx = c d-ới góc độ khác nh-: Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ biểu thức: y = asinx + bcosx Giáo viên còn có thể h-ớng dẫn học sinh áp dụng bài toán trên để giải bµi to¸n: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: y = Asin2x + Bsinxcosx + Ccos2x Nh- đề xuất bài toán từ bài toán đã có thuật giải là cách để nắm vững thuật giải, biết biến đổi linh hoạt thực thuật giải Do đó, sau dạy thuật giải nào đó (có thể là quy tắc, mét c«ng thøc ), gi¸o viªn cã thÓ cho häc sinh mét sè bµi to¸n míi ®-îc suy từ thuật giải đã biết h-ớng dẫn học sinh đề xuất bài toán việc làm này là biện pháp tốt để phát triển t- thuật giải cho học sinh VÝ dô Gi¶i ph-¬ng tr×nh: cos2x + cos22x + cos23x =1 §øng tr-íc bµi to¸n nµy, häc sinh cã thÓ gi¶i nh- sau:  cos x  cos x  cos x   1 2  + cos2x + cos4x + cos6x =  2cos2x + 2cos5xcosx = 
 cosx (cos5x + cosx) = 
 2cosxcos2x.cos3x =     x  k     x  2l  1   §èi víi häc sinh, c¸ch gi¶i trªn lµ phï hîp víi nhËn thøc cña hä đứng tr-ớc bài toán này Tuy nhiên, giáo viên có thể h-ớng dẫn học sinh tìm cách giải tối -u và có thể áp dụng để giải cho bài toán tổng quát nh- sau: www.vnmath.com 86 Sau biến đổi đ-a ph-ơng trình dạng: + cos2x + cos4x + cos6x = Giáo viên gợi động để học sinh hoạt động biến đổi ph-ong trình thµnh d¹ng tÝch theo c¸ch sau: Nh©n c¶ hai vÕ cña ph-¬ng tr×nh víi 2sinx  ta ®-îc: 2sinx + cos2xsinx + 2cos4xsinx + 2cos6xsinx =  2sinx + sin3x – sinx + sin5x – sin3x + sin7x – sin5x =  sinx + sin7x = Tõ c¸ch gi¶i nµy, häc sinh cã thÓ x©y dùng thuËt gi¶i cho bµi to¸n tæng qu¸t h¬n (xem thuËt gi¶i 9, môc 2.3)  X©y dùng thuËt gi¶i cho mét sè d¹ng ph-¬ng tr×nh Trong qu¸ tr×nh d¹y häc gi¶i ph-¬ng tr×nh, cã nh÷ng ph-¬ng tr×nh thuộc dạng ph-ơng trình đã có thuật giải Nh-ng đa số ph-ơng trình chúng ta gÆp ch-a cã thuËt gi¶i §Ó gi¶i nh÷ng d¹ng ph-¬ng tr×nh nµy, chóng ta phải biến đổi để đ-a ph-ơng trình đã có thuật giải Đối với ph-ơng tr×nh nµy cã thÓ h-íng dÉn häc sinh c¸ch suy nghÜ, c¸ch t×m tßi lêi gi¶i vµ h-ớng đến xây dựng thuật toán cho bài toán đó có thể Theo A.N Kolmogrov (X« viÕt b¸ch khoa to¯n th­ tËp 2) th×: ‚Trong tr-ờng hợp có thể đ-ợc, việc tìm các algôrit giải là mục đích thực toán học‛ Do đó, việc phát v¯ xây dựng các algôrit l¯ vấn đề quan trọng việc tìm các algôrit ngày càng tổng quát để giải lớp các bài toán ngày càng rộng theo cách thống Trong khu«n khæ cña luËn v¨n, dï rÊt muèn cã mét thuËt gi¶i tæng quát để giải ph-ơng trình nh-ng điều đó là ảo t-ởng Vì chúng tôi đề xuất h-ớng xây dựng số quy trình có tính chất thuật giải cho sè d¹ng to¸n gi¶i ph-¬ng tr×nh Th«ng qua viÖc rÌn luyÖn cho häc sinh biÕt cách xây dựng và vận dụng các quy trình đó thì t- thuật giải các em sÏ ®-îc ph¸t triÓn Sau ®©y, chóng t«i ®-a thuËt gi¶i mét sè d¹ng ph-¬ng tr×nh th-êng gÆp ë ch-¬ng tr×nh to¸n phæ th«ng www.vnmath.com 87 X©y dùng thuËt gi¶i cho mét sè ph-¬ng tr×nh quy vÒ bËc hai Khi d¹y néi dung Ph-¬ng tr×nh, bÊt ph-¬ng tr×nh quy vÒ bËc hai, d¹ng ph-¬ng tr×nh chøa c¨n thøc bËc hai lµ d¹ng ph-¬ng tr×nh g©y cho häc sinh rÊt nhiều khó khăn Tuy nhiên sách giáo khoa đã nêu hai ph-ơng pháp khử là bình ph-ơng hai vế và đặt ẩn phụ Cách nói sách giáo khoa mang tính chung chung, ch-a h-íng dÉn cho häc sinh cô thÓ d¹ng ph-¬ng tr×nh nµo th× bình ph-ơng hai vế, dạng ph-ơng trình nào thì đặt ẩn phụ Trong qúa trình dạy, giáo viên có thể cho học sinh nhận dạng loại và từ đó h-ớng dẫn học sinh tìm thuật giải cho dạng ph-ơng trình đó Chẳng hạn: VÝ dô Gi¶i ph-¬ng tr×nh: x  3x   x  Gi¸o viªn cã thÓ h-íng dÉn häc sinh gi¶i ph-¬ng tr×nh nµy nh- sau: B-íc 1: §Æt ®iÒu kiÖn: x –   x  B-íc 2: B×nh ph-¬ng hai vÕ cña ph-¬ng tr×nh: 2x2 – 3x + = (x – 1)2 B-ớc 3: Biến đổi ph-ơng trình dạng: x2 – x = x  B-íc 4: Gi¶i ph-¬ng tr×nh: x2 – x =   x  B-íc 5: §èi chiÕu víi ®iÒu kiÖn: x = lµ nghiÖm B-íc 6: KÕt luËn: Ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm: x = T-¬ng tù, gi¸o viªn yªu cÇu häc sinh gi¶i bµi tËp sau: VÝ dô 2: Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh sau: a x  x   b c x2  x   x    x  3 x2   x2  Gi¸o viªn h-íng dÉn häc sinh gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh trªn: www.vnmath.com 88 (a)  x   x  (b)  x2  x   x  (c)   x  3  x   x2   x      x   x   Tõ h-íng dÉn gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh trªn, gi¸o viªn cã thÓ h-íng dÉn häc sinh ®-a thuËt gi¶i gi¶i ph-¬ng tr×nh d¹ng: f x   g x  ThuËt gi¶i 1: B-íc 1: §Æt ®iÒu kiÖn: g(x)  B-íc 2: B×nh ph-¬ng hai vÕ cña ph-¬ng tr×nh: f(x) = g2(x) B-ớc 3: Biến đổi ph-ơng trình dạng: h(x) = B-íc 4: Gi¶i ph-¬ng tr×nh: h(x) = B-íc 5: T×m nghiÖm tho¶ m·n b-íc B-íc 6: KÕt luËn Víi thuËt gi¶i 1, gi¸o viªn cã thÓ h-íng dÉn häc sinh ®-a thuËt gi¶i ph-¬ng tr×nh tæng qu¸t h¬n, d¹ng: f x   g x   hx  nÕu f(x), g(x), h(x) lµ c¸c biÓu thøc bËc nhÊt ThuËt gi¶i  f x    B-íc 1: §Æt ®iÒu kiÖn:  g  x   h  x    B-íc 2: B×nh ph-¬ng hai vÕ: f x   g x   f x .g x   h x  B-ớc 3: Biến đổi ph-ơng trình dạng: k  x   R x  B-íc 4: ¸p dông thuËt gi¶i VÝ dô Gi¶i ph-¬ng tr×nh: a x2  4 x  www.vnmath.com 89 b x   1 x  1 2x c x   x 1  x VÝ dô 4: Gi¶i ph-¬ng tr×nh: x  6x   x2  6x  Gi¸o viªn huíng dÉn gi¶i theo tr×nh tù sau: B-íc §Æt ®iÒu kiÖn: x   x – 6x +     x   B-íc §Æt Èn phô: t  x  x  , ( t  0) B-íc Gi¶i ph-¬ng tr×nh: t2 – 4t + = t   t  B-íc 4: §èi chiÕu víi ®iÒu kiÖn cña t ë b-íc 2: t = vµ t = tho¶ m·n B-íc 5: Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh: + + x  6x   x  6x   x  x   x  6x     x      x  6x    x   B-íc 6: T×m nghiÖm tho¶ m·n ®iÒu kiÖn b-íc x = 1, x = 5, x =3  tho¶ m·n B-íc 7: KÕt luËn: VËy ph-¬ng tr×nh cã c¸c nghiÖm: x = 1, x = 5, x =3  Gi¸o viªn cã thÓ yªu cÇu häc sinh gi¶i c¸c bµi to¸n sau: VÝ dô 5: Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh sau: a x  x  2 x  x  b  x  1 x  2  x2  3x  www.vnmath.com 90 c x  3x  1  4x  3 x 1 5 x 3 Tõ c¸c vÝ dô nµy, gi¸o viªn cã thÓ h-íng dÉn häc sinh ®-a thuËt gi¶i cho ph-¬ng tr×nh tæng qu¸t d¹ng: Af(x) + B f x  + C = ThuËt gi¶i 3: B-íc 1: §Æt ®iÒu kiÖn: f(x)  B-íc 2: §Æt Èn phô: t = f x  , (t  0) B-íc 3: Gi¶i ph-¬ng tr×nh: At2 + Bt + C = B-íc 4: T×m nghiÖm thÝch hîp t0 tho¶ m·n b-íc B-íc 5: Gi¶i ph-¬ng tr×nh: f x   t  f(x) = t02 B-íc 6: T×m nghiÖm tho¶ m·n ®iÒu kiÖn b-íc B-íc 7: Tr¶ lêi Nh- vËy, nÕu qu¸ tr×nh d¹y häc gi¶i ph-¬ng tr×nh, gi¸o viªn cã thể h-ớng dẫn học sinh nhận dạng ph-ơng trình để từ đó học sinh tìm thuật giải ph-ơng trình Đây là biện pháp tốt để rèn luyện và phát triển t- thuËt gi¶i cho häc sinh Khi d¹y häc sinh gi¶i ph-¬ng tr×nh - bÊt ph-¬ng tr×nh quy vÒ bËc hai th× mét sè d¹ng ph-¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu g©y cho häc sinh gÆp rÊt nhiÒu khã kh¨n §èi víi nh÷ng ph-¬ng tr×nh d¹ng nµy, chóng ta cÇn cho häc sinh theo trình tự và trên các ví dụ t-ơng tự Trên sở đó cho học sinh nhận dạng ph-ơng trình và quy trình giải ph-ơng trình, từ đó rút thuật giải cho d¹ng ph-¬ng tr×nh tæng qu¸t Ch¼ng h¹n: VÝ dô 1: Gi¶i ph-¬ng tr×nh: 2x 7x  1 3x  x  3x  x  2 Gi¸o viªn cã thÓ h-íng dÉn häc sinh gi¶i ph-¬ng tr×nh nh- sau: B-ớc 1: Tìm tập xác định ph-ơng trình  x  1 §iÒu kiÖn: 3x +5x+2 ≠    x   www.vnmath.com 91 B-íc 2: NhËn xÐt x = kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh, chia c¶ hai vÕ cho x ≠ ta ®-îc 2 3x   x  3x   x B-íc 3: §Æt t  3x  x B-íc 4: Gi¶i ph-¬ng tr×nh: 1   víi t ≠ vµ t ≠ -5 t 1 t  t  11  t  t  22   Ph-¬ng tr×nh t   B-íc 5: Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh  11  97  11  x  x + 3x    3x  x   0, ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm x  11  97 B-íc 6: Tr¶ lêi, ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm x  VÝ dô Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh sau: + 3x  a 4x 3x   1; x  x  x  10 x  b 3x 7x   4 x  3x  x  x  Tõ hai vÝ dô trªn ta h-íng dÉn häc sinh ®-a bµi to¸n tæng qu¸t vµ thuật giải cho bài toán đó nh- sau: ThuËt gi¶i ThuËt gi¶i ph-¬ng tr×nh: mx nx   p, víi p ≠ ax  bx  d ax  cx  d B-ớc 1: Tìm tập xác định ph-ơng trình B-íc 2: NhËn xÐt x = kh«ng ph¶i lµ nghiÖm, chia c¶ hai vÕ cho x ≠ ta ®-îc m d ax  b  x  n d ax  c  x p www.vnmath.com 92 m n d  p , ph-¬ng tr×nh cã d¹ng: t  b t  c x m n B-íc 4: Gi¶i ph-¬ng tr×nh: t  b  t  c  p t×m nghiÖm t0 B-íc 3: §Æt t  ax  d  t0 x B-íc 6: §èi chiÕu nghiÖm x0 víi ®iÒu kiÖn ë B-íc B-íc 5: Gi¶i ph-¬ng tr×nh: ax  B-íc 7: Tr¶ lêi X©y dùng thuËt gi¶i cho mét sè ph-¬ng tr×nh l-îng gi¸c Khi d¹y néi dung: c¸c ph-¬ng tr×nh l-îng gi¸c th-êng gÆp, häc sinh đã biết thuật giải ph-ơng trình: asinx + bcosx = c Giáo viên có thể yêu cầu häc sinh gi¶i bµi to¸n sau: VÝ dô Gi¶i ph-¬ng tr×nh: 3sinx + 4cosx = 4sin3x – 3cos3x §©y lµ ph-¬ng tr×nh ch-a cã thuËt gi¶i Tuy nhiªn gi¸o viªn h-íng dÉn häc sinh quy vÒ gi¶i ph-¬ng tr×nh d¹ng quen thuéc nh- sau: Ta thÊy: 32 + 42 = 42 + (-3)2 = 25, nªn chia c¶ hai vÕ cña ph-¬ng t×nh cho 32     3 ta ®-îc: 4 sin x  cos x  sin 3x  cos 3x 5 5 2 2  3  4  4  3 NhËn thÊy:              5  5  5  5  cos     §Æt sin    vµ  cos     sin     Thay vµo ph-¬ng tr×nh ta ®-îc: sin x cos   cos x sin   sin 3x cos   cos 3x sin  sinx     sinx    (§©y lµ ph-¬ng tr×nh gÇn c¬ b¶n) www.vnmath.com 93 Víi c¸ch gi¶i vÝ dô trªn, gi¸o viªn cã thÓ h-íng dÉn häc sinh ®-a thuËt to¸n gi¶i ph-¬ng tr×nh tæng qu¸t h¬n sau: asin(kx) + bcos(kx) = csin(mx) + dcos(mx) ThuËt to¸n 5: B-íc 1: KiÓm tra ®iÒu kiÖn: a2 + b2 = c2 + d2 B-íc 2: Chia c¶ hai vÕ cña ph-¬ng tr×nh cho: a2  b2  c2  d c  cos    c2  d  vµ  d sin    c2  d a  cos    a2  b2  B-íc 3: §Æt  b sin    a2  b2 B-íc 4: Gi¶i ph-¬ng tr×nh: sin(kx + ) = sin(mx + ) VÝ dô 2: Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh: a cosxcos2x = b cosx.cos2x.cos4x = Gi¶i: §øng tr-íc ph-¬ng tr×nh: cosxcos2x = (a) , häc sinh cã thÓ gi¶i nh- sau:  2cosxcos2x =  cos3x + cosx – =0 
 4cos3x – 2cosx – = §Æt t = cosx, t  4t3 – 2t -2 = 
 (t – 1)(4t2 + 4t + 2) = t    4t  4t   Víi t – =  t = www.vnmath.com 94 Víi 4t2 + 4t + =  ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm Víi t =  cosx =  x  k 2 Cách giải này phù hợp với trình độ nhận thức học sinh Tuy nhiên, áp dụng cách giải này để giải ph-ơng trình (b) thì học sinh gặp nhiÒu khã kh¨n Chóng ta cã thÓ h-íng dÉn häc sinh c¸ch gi¶i ph-¬ng tr×nh (a) đơn giản hơn, từ đó có thể áp dụng cho ph-ơng trình (b) + NÕu sinx = 0, ph-¬ng tr×nh (a) v« nghiÖm + Nh©n c¶ hai vÕ cña ph-¬ng tr×nh víi 2sinx  0, ta ®-îc: 
  2sinxcosx.cos2x = sinx  2sin2xcos2x = sinx 
 sin4x = sinx Đây là ph-ơng trình đã có thuật giải, học sinh dễ dàng áp dụng thuật giải để giải ph-ơng trình Lµm t-¬ng tù nh- trªn, häc sinh dÔ dµng gi¶i ®-îc ph-¬ng tr×nh (b) Từ đó chúng ta có thể h-ớng dẫn học sinh đ-a thuật giải giải ph-ơng trình tæng qu¸t: cosx.cos2x.cos4x cos2n-1x = 2n ThuËt gi¶i 6: B-íc 1: NhËn xÐt sinx = kh«ng tho¶ m·n ph-¬ng tr×nh B-íc 2: Nh©n c¶ hai vÕ cña ph-¬ng tr×nh víi 2sinx  B-ớc 3: Biến đổi ph-ơng trình dạng: 1 n sin x  sin x 2n 2n B-íc 4: Gi¶i ph-¬ng tr×nh: sin2nx = sinx B-íc 5: Tr¶ lêi www.vnmath.com 95 phần tr-ớc, chúng ta đã biết thuật giải ph-ơng trình: sinx + sin2x + sin3x = Dùa vµo thuËt gi¶i ph-¬ng tr×nh nµy, gi¸o viªn cã thÓ h-íng dÉn häc sinh ®-a thuËt gi¶i cho bµi to¸n tæng qu¸t ThuËt gi¶i 7: Gi¶i ph-¬ng tr×nh: asinx + bsin2x + csin3x = nh- sau: B-íc 1: BiÓu diÔn sin2x, sin 3x qua sinx B-ớc 2: Biến đổi ph-ơng trình dạng tích sinx(4c.cos2x + 2b.cosx + a – c ) = B-íc 3: Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh l-îng gi¸c c¬ b¶n + sinx = (1) + 4c.cos2x + 2b.cosx + a – c ) = (2) B-íc 4: LÊy hîp cña hai hä nghiÖm (1) vµ (2) Chúng ta đã h-ớng dẫn cho học sinh đ-a thuật giải ph-ơng trình trên Thế nh-ng chúng ta không thể áp dụng thuật giải này để giải ph-ơng trình: sinx + sin2x + sin3x + sin4x = Bëi v× ta t¨ng sè h¹ng cña ph-ơng trình lên thì việc biến đổi ph-ơng trình dạng tích càng phức tạp và càng không thể thực đ-ợc ph-ơng trình dạng tổng quát Điều đó cã nghÜa lµ n > 3, chóng ta cÇn t×m thuËt gi¶i phï hîp cho ph-¬ng tr×nh: n  sin ix = i 1 §Ó x©y dùng thuËt gi¶i cho ph-¬ng tr×nh nµy, chóng ta cã thÓ h-íng dÉn häc sinh gi¶i c¸c bµi to¸n sau: Bµi to¸n: Rót gän biÓu thøc sau: A = sinx + sin2x + sin3x + + sinnx Rót gän biÓu thøc A thùc chÊt lµ tÝnh tæng cña A V× biÓu thøc A chøa n số hạng nên chúng ta không thể biến đổi thông th-ờng mà ta phải đ-a quy luật biến đổi để các số hạng tổng có thể khử đ-ợc lẫn www.vnmath.com 96 B»ng kü thuËt nh©n vµ chia cho 2sin x  0, chúng ta biến đổi biểu thức A nh- sau: A= x x x   sin x sin  sin x sin   sin nx sin   x 2 2 sin  sin n  1x sin nx 2 x sin 0, x  k 2  n  1x nx  sin sin VËy A =  2 , x  k 2  x sin   Tõ kÕt qu¶ bµi to¸n trªn, gi¸o viªn cã thÓ h-íng dÉn häc sinh ®-a ®-îc thuËt gi¶i gi¶i ph-¬ng tr×nh sau: ThuËt gi¶i 8: Gi¶i ph-¬ng tr×nh: sinx + sin2x + sin3x+ + sinnx = B-íc 1: XÐt sin x =  x = k2 cã lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh kh«ng Víi x = k2  sinnx =  ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm x = k2 B-íc 2: Víi sin x   x  k2 Biến đổi ph-ơng trình dạng: sin n  1x sin nx sin B-íc 3: Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh: nx k 2  sin 0 x n  sin x  n  1 x   x  2k n 1 B-íc 4: KÕt luËn: Ph-¬ng tr×nh cã c¸c nghiÖm lµ: 2k k 2 vµ x  n 1 n B»ng c¸ch lµm t-¬ng tù, ta tÝnh ®-îc tæng: x= www.vnmath.com =0 97 n, x  k 2  nx  sin cos n  1x * cosx + cos2x + cos3x + + cosnx =  2 , x  k 2  x sin   n  1, x  k 2  n  1x nx  sin cos , x  k 2 * + cosx + cos2x + cos3x + + cosnx =  2  x sin   Vµ h-íng dÉn häc sinh t×m ®-îc thuËt gi¶i gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh: * cosx + cos2x + cos3x + + cosnx = * sinx + sin2x + sin3x + + sinnx = cosx + cos2x + cos3x + + cosnx * + cosx + cos2x + cos3x + + cosnx = Dùa vµo tæng thø 3, gi¸o viªn h-íng dÉn häc sinh nªu c¸c b-íc gi¶i ph-¬ng tr×nh: + cos2x + cos4x + cos6x = 0, (1) nh- sau: B-íc 1: NhËn xÐt: sinx = kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña (1) B-íc 2: Nh©n c¶ hai vÕ cña ph-¬ng tr×nh víi 2sinx  0, ta ®-îc: 
  2sinx + 2cos2xsinx + 2cos4xsinx + 2cos6xsinx =  2sinx = sin3x – sinx + sin5x – sin3x + sin7x – sin5x =  sinx + sin7x = 
 2sin4xcos3x = B-íc 3: Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh: * sin4x =  x  k x =k0 
  cos3x  B-íc 4: §èi chiÕu víi ®iÒu kiÖn ë b-íc 2: Ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm: x = k vµ x =  víi k  4m, m  Z  k  www.vnmath.com  98 Tõ c¸ch gi¶i ph-¬ng tr×nh (1), chóng ta x©y dùng thuËt gi¶i gi¶i ph-¬ng tr×nh tæng qu¸t h¬n nh- sau: ThuËt gi¶i Gi¶i ph-¬ng tr×nh: cos2x + cos22x + + cos2nx = n 1 B-ớc 1: Hạ bậc hạng tử: cos2ix =  cos 2ix Ph-¬ng tr×nh t-¬ng ®-¬ng víi:  cos x  cos x  cos 2nx n      2 2 B-ớc 2: Biến đổi ph-ơng trình dạng: + cos2x + cos4x + + cos2nx = B-íc 3: NhËn xÐt: sinx = th× ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm B-ớc 4: Nhân hai vế ph-ơng trình với 2sinx  Biến đổi thu đ-ợc ph-¬ng tr×nh: sinx + sin(2n + 1)x = B-íc 5: §-a ph-¬ng tr×nh vÒ d¹ng tÝch: sin(n + 1)x cosnx = B-íc 6: Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh: + sin(n + 1) = + cosnx = B-íc 7: §èi chiÕu nghiÖm víi ®iÒu kiÖn ë b-íc B-íc 8: KÕt luËn §Ó rÌn luyÖn kü n¨ng ¸p dông thuËt gi¶i vµ x©y dùng thuËt gi¶i, gi¸o viªn yªu cÇu häc sinh gi¶i bµi to¸n sau: Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh sau: a cos2x + cos22x = b cos2x + cos22x + cos23x = c cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = www.vnmath.com 99 H·y x©y dùng thuËt gi¶i gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh sau: a sin2x + sin22x + + sin2nx = n b.sin2x + sin22x + + sin2(n + 1)x = cos2x + cos22x + cos22nx C¸c ph-¬ng tr×nh sau cã thÓ gi¶i theo thuËt gi¶i trªn hay kh«ng a cos2x + cos22x + cos23x = b cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 2.3.3 X©y dùng thuËt gi¶i cho mét sè ph-¬ng tr×nh mò Trong c¸c t×nh huèng d¹y häc th× d¹y häc gi¶i ph-¬ng tr×nh lµ t×nh tốt để phát triển t- thuật giải học sinh Thông qua hệ thèng bµi tËp t-¬ng tù, häc sinh cã thÓ kh¸i qu¸t ho¸ thµnh thuËt gi¶i tæng quát cho dạng ph-ơng trình đó, đồng thời rèn luyện các hoạt động thành phÇn cña t- thuËt gi¶i cña häc sinh VÝ dô: Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh sau: x x a              b   tan x   52  tan x  10 Từ đặc điểm ph-ơng trình và cách giải các ph-ơng trình trên, chóng ta ®-a thuËt gi¶i gi¶i ph-¬ng tr×nh nh- sau: ThuËt gi¶i 10 Gi¶i ph-¬ng tr×nh: A.af(x) + C.bf(x) = B B-íc 1: KiÓm tra: ab = B-íc 2: §Æt t = af(x), t > B-íc 3: Gi¶i ph-¬ng tr×nh: At + C t = B hay: At2 – Bt + C = B-íc 4: T×m nghiÖm t0 tho¶ m·n b-íc B-íc 5: Gi¶i ph-¬ng tr×nh: af(x) = t0 B-íc 6: KÕt luËn Bµi tËp ¸p dông: Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh sau: www.vnmath.com 100 x x a   48     48   14     x     x b  21   21  x3 2.4 KÕt luËn ch-¬ng Trong ch-ơng này chúng tôi đã đ-a các nguyên tắc dạy học theo h-ớng phát triển t- thuật giải và dựa trên hệ thống các nguyên tắc đó đề định h-ớng phát triển t- thuật giải cho học sinh thông qua dạy học néi dung ph-¬ng tr×nh Để phát triển t- thuật giải cho học sinh đạt hiệu cao đòi hỏi ng-êi gi¸o viªn ph¶i cã kü n¨ng s- ph¹m, cã nghÖ thuËt biÕn qu¸ tr×nh d¹y học nói chung thành hệ thống làm việc định hình, có tổ chức, kiểm soát chặt chẽ các hoạt động Toán học học sinh mang tính thuật giải nhxây dựng thuật giải Một yếu tố hình thành và phát triển t- thuËt gi¶i cho häc sinh cã hiÖu qu¶ lµ qu¸ tr×nh d¹y häc gi¸o viªn ph¶i x©y dùng ®-îc c¸c quy tr×nh d¹y häc theo h-íng ph¸t triÓn t- thuËt gi¶i, cho học sinh hoạt động tích cực các tình dạy học đó Nh- vËy, viÖc ph¸t triÓn t- thuËt gi¶i cho häc sinh qu¸ tr×nh d¹y häc m«n To¸n nãi chung vµ d¹y häc néi dung ph-¬ng tr×nh nãi riªng lµ quan trọng Nó giúp chúng ta đạt đ-ợc mục đích giáo dục và yêu cầu xã hội đặt www.vnmath.com 101 Ch-¬ng Thùc nghiÖm s- ph¹m 3.1 Mục đích thực nghiệm Thực nghiệm s- phạm nhằm mục đích kiểm tra tính khả thi và tính hiệu việc sử dụng các định h-ớng phát triển t- thuật giải cho học sinh qu¸ tr×nh d¹y häc néi dung ph-¬ng tr×nh (§Æc biÖt lµ c¸c quy tr×nh d¹y häc theo h-íng ph¸t triÓn t- thuËt gi¶i) 3.2 Tæ chøc vµ néi dung thùc nghiÖm 3.2.1 Tæ chøc thùc nghiÖm Thùc nghiÖm s- ph¹m ®-îc tiÕn hµnh t¹i tr-êng trung häc phæ th«ng DiÔn Ch©u 3, huyÖn DiÔn Ch©u Líp thùc nghiÖm: 11A3 Lớp đối chứng: 11A4 Cả hai lớp này học theo Ban khoa học tự nhiên Thời gian thực nghiệm đ-ợc tiến hành từ 15 tháng đến 20 tháng 10 n¨m 2007 Gi¸o viªn d¹y líp thùc nghiÖm: ThÇy NguyÔn V¨n Dòng www.vnmath.com 102 Gi¸o viªn d¹y líp thùc nghiÖm: ThÇy NguyÔn §¨ng Qu¶ng Đ-ợc đồng ý Ban giám hiệu tr-ờng Trung học phổ thông Diễn Châu 3, chúng tôi đã tìm hiểu kết học tập các lớp khối 11 tr-ờng và nhận thấy trình độ chung môn Toán hai lớp 11A3 và 11A4 là t-ơng đ-ơng Trên sở đó, chúng tôi đ-ợc thực nghiệm lớp 11A3 và lấy lớp 11A4 làm đối chứng Ban gi¸m hiÖu nhµ tr-êng, c¸c thÇy (c«) tæ to¸n, thÇy tæ tr-ëng và các thầy dạy hai lớp 11A3, 11A4 chấp nhận đề xuất này và tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi tiến hành thực nghiệm Việc dạy thực nghiệm và đối chứng thực đúng kế hoạch giảng dạy nhà tr-ờng 3.2.2 Néi dung thùc nghiÖm Thùc nghiÖm ®-îc tiÕn hµnh bµi vµ bµi Ch-¬ng1: Hµm sè l-îng gi¸c vµ ph-¬ng tr×nh l-îng gi¸c (S¸ch §¹i sè & Gi¶i tÝch 11, N©ng cao) Sau d¹y thùc nghiÖm, chóng t«i cho häc sinh lµm bµi kiÓm tra Sau đây là nội dung đề kiểm tra §Ò kiÓm tra thùc nghiÖm: (Thêi gian 60 phót) C©u 1: (4 ®iÓm) H·y nªu c¸c b-íc gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh sau 
 2sin2x - 3cosx = b sin x  sin x 1  2 C©u 2: (3 ®iÓm) Gi¶i ph-¬ng tr×nh Sin2x + sin22x + sin23x = C©u 3: (3 ®iÓm) cos x b Hãy nêu bài toán tổng quát và thuật giải cho bài toán đó a Gi¶i ph-¬ng tr×nh: cosx.cos2x.cos4x = 3.2.3 ý định s- phạm đề kiểm tra www.vnmath.com 103 Đề kiểm tra đ-ợc với dụng ý kiểm tra tímh hiệu các định h-íng ph¸t triÓn t- thuËt gi¶i cho häc sinh vµ sù thÓ hiÖn t- thuËt gi¶i cña häc sinh gi¶i to¸n Câu nhằm kiểm tra kỹ vận dụng các thuật giải đã biết đồng thời kiểm tra kỹ thực các hoạt động (T1), (T2) và (T4) học sinh Tuy nhiên, học sinh phải biết biến đổi ph-ơng trình ph-ơng trình đã biết thuật giải Câu nhằm mục đích kiểm tra kỹ biến đổi ph-ơng trình, kỹ quy l¹ vÒ quen Câu nhằm kiểm tra kỹ thực các hoạt động (T3), (T4) và (T5) cña häc sinh 3.3 §¸nh gi¸ kÕt qu¶ thùc nghiÖm 3.3.1 Đáp án đề kiểm tra C©u 1a B-íc1: BiÓu diÔn sin2x theo cos2x sin2x = - cos2x B-ớc 2: Biến đổi ph-ơng trình dạng cosx(2cosx + 3) = B-íc 3: Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh c¬ b¶n + cosx =  x  + cos x     k  ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm B-íc 4: Tr¶ lêi Ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm x  C©u 1b   k  B-íc 1: BiÓu diÔn x   k theo cosx x  cos x sin  2 B-ớc 2: Biến đổi ph-ơng trình dạng sin x  cos x  www.vnmath.com 104 B-íc 3: KiÓm tra c¸c hÖ sè a, b, c C¸c hÖ sè a, b, c tho¶ m·n a2 + b2 ≥ c2 B-íc 4: Chia c¶ hai vÕ cho sin x  5 cos x   cos x    B-íc 5: §Æt sin x    B-íc 6: Gi¶i ph-¬ng tr×nh sin x      x  B-íc 7: Tr¶ lêi Ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm x  C©u sin x  sin 2 x  sin 3x       k 2    k 2  (1- 2sin2x) + (1- 2sin22x) + (1- 2sin23x) =  cos2x + cos4x + cos6x = 
 2cos4x.cos2x + cos4x = 
 cos4x(2cos2x + 1) =    cos x  x   k   cos x      x     l   KÕt luËn: ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm x   k  vµ x   C©u 3a cos x  2(cos3x + cosx)cos4x = cos7x 
 C¸ch 1: cosx.cos2x.cos4x =  2cos3x.cos4x + 2cosx.cos4x = cos7x  cos7x + cosx + 2cosx.cos4x = cos7x www.vnmath.com   l 105  cosx(2cos4x + 1) =   cos x   x   k   cos x     x     l    
 C¸ch 2: NhËn xÐt sinx = th× ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm Nh©n c¶ hai vÕ ph-¬ng tr×nh víi 2sinx  0, ta ®-îc 8sinx.cosx.cos2x.cos4x = 2sinx.cos7x  4sin2x.co2x.co4x = 2sinx.cos7x  2sin4x.cos4x = 2sinx.cos7x  sin8x = sin8x – sin6x  sin6x =  x  m  §èi chiÕu víi ®iÒu kiÖn sinx   m 6k Ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm x  m  víi m  6k C©u 3b Bµi to¸n tæng qu¸t   cos n  x Gi¶i ph-¬ng tr×nh: cosx.cos2x.cos4x cos2 x = n 1 ThuËt gi¶i: n-1 B-íc 1: NhËn xÐt sinx = kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh B-íc 2: Nh©n c¶ hai vÕ cña ph-¬ng tr×nh víi 2sinx  0, ta ®-îc 2nsinx.cosx.cos2x.cos4x cos2n-1x = 2sinx.cos(2n-1)x  sin(2n-2)x = B-íc 3: Gi¶i ph-¬ng tr×nh sin(2n-2)x = B-íc 4: §èi chiÕu nghiÖm t×m ®-îc víi ®iÒu kiÖn ë B-íc B-íc 5: Tr¶ lêi 3.3.2 §¸nh gi¸ kÕt qu¶ thùc nghiÖm www.vnmath.com 106 KÕt qu¶ lµm bµi kiÓm tra cña häc sinh líp thùc nghiÖm (TN) vµ häc sinh lớp đối chứng (ĐC) đ-ợc thống kê thông qua bảng sau: §iÓm 10 Tæng sè HS TN 0 0 12 16 10 48 §C 0 18 14 0 48 Líp Líp TN: YÕu (2,1%); Trung b×nh (58,3%); Kh¸ (31,3%); Giái (8,3%) Líp §C: YÕu (12,5%); Trung b×nh (66,7%); Kh¸ (20,8%); Giái (0%) NhËn xÐt KÕt qu¶ thèng kª ë b¶ng cho ta thÊy sè häc sinh líp thùc nghiệm làm bài kiểm tra tốt hẳn học sinh lớp đối chứng Sự hẳn đó lµ hîp lý v× nh÷ng lý sau: Thứ nhất: nội dung bài kiểm tra phản ánh đầy đủ các yêu cầu dạy học theo quy định ch-ơng trình Thø hai: C¸c ph-¬ng tr×nh ®-îc theo h-íng ph¸t triÓn t- thuËt gi¶i Thứ ba: Học sinh đã đ-ợc làm quen với các dạng bài tập nêu các đề kiểm tra Việc làm quen với các dạng bài tập không làm giảm kỹ n¨ng gi¶i to¸n mµ tr¸i l¹i cñng cè ph¸t triÓn kü n¨ng nµy cïng víi c¸c thµnh tè cña t- thuËt gi¶i Thø t-: Bªn c¹nh thùc hiÖn c¸c yªu cÇu to¸n häc, häc sinh líp thùc nghiÖm cßn ®-îc khuyÕn khÝch ph¸t triÓn c¸c yÕu tè cña t- thuËt gi¶i Häc sinh ®-îc häc gi¶i to¸n theo mét quy tr×nh hîp lý v.v 3.4 KÕt luËn chung vÒ thùc nghiÖm Qu¸ tr×nh thùc nghiÖm cïng víi nh÷ng kÕt qu¶ thu ®-îc tõ thùc nghiệm cho thấy mục đích thực nghiệm đã đ-ợc hoàn thành, tính khả thi và hiệu việc dạy học theo h-ớng phát triển t- thuật giải đã đ-ợc khẳng định Điều đó góp phần quan trọng vào việc nâng cao hiệu dạy häc néi dung ph-¬ng tr×nh m«n to¸n ë tr-êng phæ th«ng www.vnmath.com 107 KÕt luËn C¸c kÕt qu¶ chÝnh cña luËn v¨n lµ: Gãp phÇn lµm s¸ng tá néi dung kh¸i niÖm t- thuËt gi¶i vµ vai trß, vÞ trÝ cña viÖc ph¸t triÓn t- thuËt gi¶i d¹y häc to¸n Xác định đ-ợc các nguyên tắc dạy học theo h-ớng phát triển t- thuËt gi¶i Xác định đ-ợc số định h-ớng dạy học theo h-ớng phát triển tduy thuật giải thông qua dạy học nội dung ph-ơng trình Xây dựng đ-ợc số thuật giải để giải số dạng ph-ơng trình Đã tổ chức thực nghiệm s- phạm để minh hoạ tính khả thi và hiệu qu¶ cña c¸c nguyªn t¾c d¹y häc theo h-íng ph¸t triÓn t- thuËt gi¶i còng nh- các định h-ớng dạy học theo h-ớng phát triển t- thuật giải Nh- có thể khẳng định mục đích nghiên cứu đã đ-ợc thực hiện, nhiệm vụ nghiên cứu đã hoàn thành và giả thiết khoa học đã nêu phần më ®Çu lµ chÊp nhËn ®-îc www.vnmath.com 108 Tµi liÖu tham kh¶o NguyÔn ThÞ Thanh B×nh (2002), Gãp phÇn ph¸t triÓn t- thuËt gi¶i cña häc sinh THPT th«ng qua d¹y häc néi dung l-îng gi¸c, LuËn v¨n th¹c sü gi¸o dôc häc NguyÔn VÜnh CËn, Lª Thèng NhÊt, Phan Thanh Quang (2002), Sai lÇm phæ biÕn gi¶i to¸n, NXB gi¸o dôc Phan §øc ChÝnh, Ph¹m TÊn D-¬ng, Lª §×nh ThÞnh (1988) TuyÓn tËp c¸c bµi to¸n s¬ cÊp (tËp 2), NXBGD Phan §øc ChÝnh, Vò D-¬ng Thôy, §µo Tam, Lª Thèng NhÊt (1999), C¸c bµi gi¶ng luyÖn thi m«n to¸n, TËp 1, 2, NXB Gi¸o dôc Hoµng Chóng (1978), Ph-¬ng ph¸p d¹y häc to¸n häc, NXBGD Doãn Minh C-ờng (1997), Nhận dạng hoạt động dạy học giải ph-¬ng tr×nh l-îng gi¸c, NCGD sè 10/1997 Do·n Minh C-êng (1997), VÒ c¸c sai lÇm cña häc sinh gi¶i bµi tËp ph-¬ng tr×nh l-îng gi¸c, NCGD www.vnmath.com 109 Ng« ViÕt DiÔn (2000), Ph-¬ng ph¸p chän läc gi¶i to¸n hµm sè mò vµ l«garit, NXB§HQG Lª M¹nh Dòng (12/2001), Nãi chuyÖn víi b¹n trÎ yªu to¸n, Tin häc vµ nhµ tr-êng 10 Hå Sü §µm, Hå CÈm Hµ, TrÇn §ç Hïng, NguyÔn Xu©n My, NguyÔn §øc NghÜa, NguyÔn Thanh Tïng, Ng« ¸nh TuyÕt (2006), Tin häc 10, NXBGD 11 Hå Sü §µm, Hå CÈm Hµ, TrÇn §ç Hïng, NguyÔn §øc NghÜa, NguyÔn Thanh Tïng, Ng« ¸nh TuyÕt (2006), Tin häc 11, NXBGD 12 NguyÔn §øc §ång (2000), TuyÓn tËp 599 bµi to¸n l-îng gi¸c chän läc, NXB H¶i Phßng 13 Ph¹m Gia §øc, NguyÔn M¹nh C¶ng, Bïi Huy Ngäc, Vò D-¬ng Thôy (2001), Ph-¬ng ph¸p d¹y häc m«n to¸n, TËp 1,2, NXBGD 14 TrÞnh Thanh H¶i (8/2000), Hç trî h×nh häc 10 b»ng gi¶i bµi tËp th«ng qua ng«n ng÷ lËp tr×nh Pascal, NCGD 15 TrÇn V¨n H¹o, Cam Duy LÔ (2000), §¹i sè 10, NXBGD 16 TrÇn V¨n H¹o, Cam Duy LÔ, Ng« Thóc Lanh, Ng« Xu©n S¬n, Vò TuÊn (2000), §¹i sè vµ Gi¶i tÝch 11, NXBGD 17 TrÇn V¨n H¹o, Cam Duy LÔ, Ng« Thóc Lanh, Ng« Xu©n S¬n, Vò TuÊn (2000), Bµi tËp §¹i sè vµ Gi¶i tÝch 11, NXBGD 18 NguyÔn Th¸i Hße (1998), RÌn luyÖn t- qua viÖc gi¶i bµi tËp to¸n, NXBGD 18 NguyÔn Xu©n Huy (1988), ThuËt to¸n, NXB thèng kª 20 NguyÔn Xu©n Huy (4/1992), ThuËt to¸n vµ m¸y turing, THTT 21 Hoµng KiÕm (2001), Gi¶i mét bµi to¸n trªn m¸y tÝnh nh- thÕ nµo (T1), NXBGD 22 NguyÔn B¸ Kim, Lª Kh¾c Thµnh (1993), D¹y häc mét sè yÕu tè cña to¸n häc tÝnh to¸n vµ tin häc (dïng cho líp 10 THPT), H GD 23 NguyÔn B¸ Kim (2006), Ph-¬ng ph¸p d¹y häc m«n to¸n, NXB§HSP www.vnmath.com 110 24 NguyÔn B¸ Kim (1999), LËp tr×nh gi¶i to¸n THPT (Tµi liÖu båi d-ìng th-êng xuyªn chu kú 1997-2000), H GD 25 Nguyễn Bá Kim (1999), Học tập hoạt động và hoạt động, NXBGD 26 NguyÔn B¸ Kim, Vò D-¬ng Thôy (2000), Ph-¬ng ph¸p d¹y häc m«n to¸n (TËp 1), NXBGD 27 NguyÔn B¸ Kim (2001), Gi¸o tr×nh gi¸o dôc tin häc, NXBGD 28 Phan Huy Kh¶i (1997), To¸n n©ng cao cho häc sinh, §¹i sè 10, NXB §HQG Hµ Néi 29 Hµ Huy Kho¸i (1997), NhËp m«n sè häc thuËt to¸n, H KHKT 30 TrÇn V¨n Kû (1996), Ph-¬ng ph¸p gi¶i to¸n l-îng gi¸c, NXBTPHCM 31 NguyÔn V¨n Léc (1997), Quy tr×nh gi¶i c¸c bµi to¸n b»ng ph-¬ng ph¸p vect¬, NXBGD 32 Tr-¬ng Quang Linh (2001), Ph-¬ng ph¸p míi gi¶i to¸n l-îng gi¸c, NXBGD 33 §ç Xu©n L«i (2000), CÊu tróc d÷ liÖu vµ gi¶i thuËt, NXBGD 34 V-¬ng D-¬ng Minh (20/1990), Nh÷ng yÕu tè néi dung vµ ph-¬ng ph¸p ph¸t triÓn t- thuËt gi¶i d¹y häc to¸n ë tr-êng phæ th«ng, T¹p chÝ th«ng tin KHGD, ViÖn KHGD 35 V-ơng D-ơng Minh (1/1991), TDTG và quan điểm hoạt động, Thông báo khoa häc, §HSP Hµ Néi 36 V-¬ng D-¬ng Minh, Oukchiªng (11/1998), Ph¸t triÓn TDTG m«n to¸n, NCGD 37 V-¬ng D-¬ng Minh (1996), Ph¸t triÓn t- thuËt gi¶i cña häc sinh d¹y häc c¸c hÖ thèng sè ë tr-êng phæ th«ng, LuËn ¸n PTS khoa häc s- ph¹m - t©m lý 38 V M M«nakhèp (1978), H×nh thµnh v¨n hãa thuËt gi¶i cho häc sinh d¹y häc m«n to¸n, NXB ‚Tia s¸ng‛, MOSKAVA www.vnmath.com 111 39 Phan Träng Ngä (2005), D¹y häc vµ ph-¬ng ph¸p d¹y häc nhµ tr-êng, NXB§HSP 40 Qu¸ch TuÊn Ngäc (1993), Ng«n ng÷ lËp tr×nh Pascal, Tr-êng §HBKHN H 41 G.Polia (1968), To¸n häc vµ nh÷ng suy luËn cã lý, NXBGD 42 G.Polia (1975), Gi¶i mét bµi to¸n nh- thÕ nµo, NXBGD 43 G.Polia (1975), S¸ng t¹o to¸n häc, NXBGD 44 NguyÔn §¹o Ph-¬ng, Phan Huy Kh¶i, Lª Thèng NhÊt (1999), C¸c ph-¬ng ph¸p gi¶i to¸n l-îng gi¸c, NXB Hµ Néi 45 TrÇn Ph-¬ng, NguyÔn §øc TÊn (2004), Sai lÇm th-êng gÆp vµ c¸c s¸ng t¹o gi¶i to¸n, NXB Hµ Néi 46 NguyÔn V¨n Quý, NguyÔn TiÕn Dòng, NguyÔn ViÖt Hµ (1998), Gi¶i to¸n trªn m¸y vi tÝnh, NXB §µ N½ng 47 §oµn Quúnh, NguyÔn Huy §oan, NguyÔn Xu©n Liªm, §Æng Hïng Th¾ng, TrÇn V¨n Vu«ng (2006), §¹i sè 10 n©ng cao, NXBGD 48 §oµn Quúnh, NguyÔn Huy §oan, NguyÔn Xu©n Liªm, §Æng Hïng Th¾ng, TrÇn V¨n Vu«ng (2006), §¹i sè vµ Gi¶i tÝch 11 n©ng cao, NXBGD 49 Lê Văn Tiến (12/2000), Vai trò giải gần đúng các ph-ơng trình d¹y häc to¸n ë tr-êng phæ th«ng, NCGD 50 NguyÔn C¶nh Toµn (1997), Ph-¬ng ph¸p luËn vËt biÖn chøng viÖc häc, d¹y, nghiªn cøu to¸n häc, NXB§HQG Hµ Néi 51 Nguyễn Cảnh Toàn (10/1995), Thế nào là đại dạy và học toán, NCGD 52 Nguyễn Cảnh Toàn (1998), Những vấn đề chiến l-ợc thời kỳ CNH HĐH, H GD 53 NguyÔn ThÞ H-¬ng Trang (7/1998), Gi¶i bµi tËp l-îng gi¸c theo h-íng ph¸t huy tÝnh s¸ng t¹o cña häc sinh PTTH, NCGD www.vnmath.com 112 54 Nguyễn Thị H-ơng Trang (1/2000), Một số vấn đề rèn luyện lực gi¶i to¸n cho häc sinh THPT, NCGD 55 NguyÔn ThÞ H-¬ng Trang (11/2001), Mèi liªn hÖ gi÷a t- s¸ng t¹o vµ t- thuËt to¸n d¹y häc gi¶i to¸n THPT, NCGD 56 Trần Thúc Trình (1998), T- và hoạt động toán học, Viện KHGD 57 Đào Văn Trung (2001), Làm nào để học tốt môn toán phổ thông, NXB§HQG Hµ Néi 58 Ngô Việt Trung (4/1992), Sử dụng máy tính để giải các vấn đề số häc, THTT sè 184 59 §inh H¶i TruyÒn (1998), H×nh Thµnh vµ ph¸t triÓn TDTG cña häc sinh th«ng qua d¹y häc c¸c ph©n m«n to¸n, LuËn v¨n th¹c sü khoa häc gi¸o dôc Môc lôc Trang Më ®Çu 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu 3 Gi¶ thuyÕt khoa häc NhiÖm vô nghiªn cøu Ph-¬ng ph¸p nghiªn cøu §ãng gãp cña luËn v¨n CÊu tróc luËn v¨n Ch-ơng 1: T- thuật giải và vấn đề phát triển t- thuật giải cho häc sinh th«ng qua m«n To¸n 1.1 C¬ së lý luËn 1.1.1 Quan điểm hoạt động ph-ơng pháp dạy học 1.1.2 Mét sè quan ®iÓm kh¸c www.vnmath.com 113 1.2 Kh¸i niÖm thuËt to¸n 1.2.1 Nghiªn cøu kh¸i niÖm thuËt to¸n 1.2.2 Các đặc tr-ng thuật toán 11 1.2.3 C¸c ph-¬ng ph¸p biÓu diÔn thuËt to¸n 13 1.2.4 §é phøc t¹p cña thuËt to¸n 19 1.3 Kh¸i niÖm t- thuËt gi¶i 20 1.3.1 Kh¸i niÖm thuËt gi¶i 20 1.3.2 Kh¸i niÖm t- thuËt gi¶i 21 1.3.3 Mét sè vÝ dô d¹y häc ph¸t triÓn t- thuËt gi¶i d¹y néi 22 dung ph-¬ng tr×nh 1.4 Vấn đề phát triển t- thuật giải dạy học Toán 30 1.4.1 Vai trß cña viÖc ph¸t triÓn t- thuËt gi¶i d¹y häc To¸n ë 30 tr-êng phæ th«ng 1.4.2 Những t- t-ởng chủ đạo để phát triển t- thuật giải dạy 32 häc To¸n 1.5 KÕt luËn ch-¬ng 33 Ch-ơng 2: Một số định h-ớng góp phần phát triển t- thuật 34 gi¶i cho häc sinh th«ng qua d¹y häc mét sè néi dung ph-¬ng tr×nh 2.1 Mét sè nguyªn t¾c d¹y häc theo h-íng ph¸t triÓn t- thuËt gi¶i 34 cho häc sinh 2.2 Một số định h-ớng s- phạm góp phần phát triển t- thuật giải 36 cho häc sinh th«ng qua d¹y häc néi dung ph-¬ng tr×nh 2.2.1 X©y dùng quy tr×nh d¹y häc ph-¬ng tr×nh theo h-íng ph¸t triÓn 37 t- thuËt gi¶i 2.2.2 Tổ chức luyện tập cho học sinh giải các ph-ơng trình đã biết 61 thuËt gi¶i 2.2.3 Sö dông hîp lý h×nh thøc d¹y häc ph©n ho¸ 66 2.2.4 Rèn luyện kỹ biến đổi ph-ơng trình cho học sinh 73 2.2.5 TruyÒn thô cho häc sinh nh÷ng tri thøc ph-¬ng ph¸p vÒ t- 77 thuật giải tổ chức, điều khiển các hoạt động thông qua dạy www.vnmath.com 114 häc gi¶i ph-¬ng tr×nh 2.3 X©y dùng thuËt gi¶i cho mét sè d¹ng ph-¬ng tr×nh 85 2.3.1 X©y dùng thuËt gi¶i cho mét sè ph-¬ng tr×nh quy vÒ bËc hai 86 2.3.2 X©y dùng thuËt gi¶i cho mét sè ph-¬ng tr×nh l-îng gi¸c 91 2.3.3 X©y dùng thuËt gi¶i cho mét sè ph-¬ng tr×nh mò 97 2.4 KÕt luËn ch-¬ng 98 Ch-¬ng 3: Thùc nghiÖm s- ph¹m 100 3.1 Mục đích thực nghiệm 100 3.2 Tæ chøc vµ néi dung thùc nghiÖm 100 3.3 §¸nh gi¸ kÕt qu¶ thùc nghiÖm 101 3.4 KÕt luËn chung vÒ thùc nghiÖm 105 KÕt luËn 106 Tµi liÖu tham kh¶o 107 www.vnmath.com