Một số tính chất của trường thực

1 VINH – 2010 u nn n s s v t u ts 46 : VINH – 2010 Mục lục Trang mở đầu Ch-ơng Một số kiến thức sở 1.1 Tr-ờng thứ tự 1.2 Mở rộng đại số Mở rộng đại số 10 1.3 Tr-ờng đóng đại số 15 Ch-ơng Các tr-ờng thực 23 2.1 Tr-ờng thùc Tr-êng ®ãng thùc ………………………………… 23 2.2 Bao ®ãng thùc tr-ờng 27 2.3 Các nghiệm thực ®ång cÊu ……………………………… 33 KÕt ln ………………………………………………………… 39 Tµi liƯu tham khảo 40 mở đầu Tr-ờng Lý thuyết đặt móng cho việc nghiên cứu lĩnh vực khác toán học Xin phép nhắc lại tên tuổi nhà toán học có liên quan đến lĩnh vực nh- : Galois, Gauss, Abel, Hinbe, Lindemann, Dedekind Liouville, Hermite… CÊu tróc tr-ờng đ-ợc nghiên cứu toán học từ ng-ời ta chứng minh đ-ợc tồn nhiỊu hƯ thèng sè nh- sè h÷u tû, sè thùc, sè phøc, sè p adic Më réng tr-êng lµ néi dung đ-ợc nghiên cứu Lý thuyết tr-ờng Cách thức tổng quát bắt đầu với tr-ờng sở, ng-ời ta xây dựng tr-ờng rộng chứa tr-ờng sở thỏa mÃn số tính chất cần thiết Bài toán mở rộng tr-ờng xuất phát từ toán giải ph-ơng trình đại số Định lý Đại số khẳng định tồn tr-ờng số phức tr-ờng phân rà đa thức x tr-ờng số thực Tổng quát hơn, Lý thuyết tr-ờng ta có Định lý tồn tr-ờng phân rà đa thức tr-ờng sở, nh- khái quát Định lý Đại số Các hiểu biết Lý thuyết tr-ờng góp phần làm cho hiểu sâu sắc ch-ơng trình toán phổ thông đặc biệt ch-ơng trình toán Trung học phổ thông, góp phần tích cực bồi d-ỡng học sinh giỏi toán Với lý trên, đà chọn đề ti Một số tính chất tr-ờng thực Đây l nội dung cần quan tâm tìm hiểu Lý thuyết trường Một tr-ờng K đ-ợc gọi tr-ờng thực tổng bình ph-ơng K Tr-ờng số thực , tr-ờng số đại số c¸c vÝ dơ vỊ tr-êng thùc C¸c tr-êng kh¸c ®Ịu cã tÝnh chÊt ®Ỉc tr-ng cđa tr-êng ®ã Tr-êng thực có tính chất nh- tính liên tục; lấy đạo hàm; Định lý giá trị trung bình; đa thức bất khả quy; nghiệm đa thức; ánh xạ đồng cấu tính chất quan trọng toán học, đ-ợc trình bày luận văn Luận văn đ-ợc chia thành hai ch-ơng: Trong ch-ơng 1, trình bày khái niệm sở mở rộng tr-ờng; tr-ờng thứ tự; tr-ờng đóng đại số, tr-ờng phân rà đa thức Ch-ơng nội dung luận văn bao gồm: Tr-ờng thực; tr-ờng đóng thực bao đóng thực; tính chất tr-ờng thực nghiệm đa thức tr-ờng thực; đồng cấu, chứng minh số Định lý nhằm làm rõ cấu trúc tr-ờng thực Luận văn đà giới thiệu tính chất đặc tr-ng tr-ờng thực; nội dung sau n đề 2.1.3 Giả sử K trường thực (i) Nếu a  K , K  a  K   a  trường thực Nếu a tổng bình phương K, trường K  a  thực Nếu K  a  khơng phải trường thực,  a tổng bình phương K (ii) Nếu f ( x) đa thức bất khả quy bậc n lẻ thuộc K [ x]  nghiệm f ( x) K ( ) trường thực ện đề 2.1.4 Giả sử R trường cho R  R R  R    Khi ®ã, R thực, đóng thực ịn l 2.1.5 Giả sử R trường đóng thực a, b  R f ( x) đa thức thuộc R[ x] , f (a)  f (b)  Khi ®ã, tồn phần tử c a b mà f (c)  ịn l 2.2.2 Tính chất bao đóng thực (i) Mọi trường thực K có bao đóng thực (ii) Trường đóng thực R thứ tự cách (iii) Mọi phần tử dương thuộc R bình phương (iv) Mọi đa thức bậc lẻ thuộc R[ x] có nghiệm R (v) Ta có đẳng thức R  R    e S y c c ịn n ĩa d tu c tr n trườn t ực 2.2.5 G ả sử f ( x) ộc mộ ó ộc R có ứ c R , khơng có dãy Stuyếc ố m , f ( x) k ả u v ức ầ mộ [u, v] ố ức S =  f ( x) = f0 ( x), f1 '( x)  f1 ( x), , f m ( x) , có tính c ấ sau: () ức c ố cù mộ ằ k ác k ô ( ) V mọ  j  m 1 ề k ô x  [u, v] , cho f j ( x)  f j  ( x)  ( ) N x [u, v] f j ( x)  f m ( x) ó j {1, ., m - 1} , f j  ( x) f j  ( x) có dấ trái (iv) Ta có f j (u)  f j (v)  ố , ầ k mọ j = 0, ., m x  [u, v] ùy WS ( x) k ô số ( ầ ) số b dấ ức f j ( x) dãy f1 ( x), , f m ( x) , dãy ó có ịn l m củ bấ kỳ y dấ  f ( x), ọ WS ( x) ả s tu c 2.2.6 Số nghiệm đa thức f ( x) , nằm u v, hiệu WS (u)  WS (v) với dãy Stuyếc S tùy ý bả ứ b ó c củ s ứ ịn l 2.2.8 Giả sử K trường thứ tự R, R ' bao đóng thực nó, cảm sinh thứ tự cho K Khi đó, tồn đẳng cấu  : R R ', K xác định cách nhất, đẳng cấu bảo tồn th t Định lý 2.3.1 Giả sử E tr-êng, K  E ( x1 , , xn ) mở rộng hữu hạn sinh Giả thiết E đ-ợc thứ tự Giả sử R E bao đóng thực tr-ờng E, cảm sinh thứ thự E nh- K Khi đó, tồn đồng cấu : E [ x1 , , xn ]  R E , trờn E Luận văn đ-ợc thực d-ới h-ớng dẫn nghiêm túc chu đáo PGS.TS Nguyễn Thành Quang Nhân dịp tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo h-ớng dẫn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới PGS.TS Lê Quốc Hán, PGS.TS Ngô Sỹ Tùng, TS Nguyễn Thị Hồng Loan, TS Mai Văn T- thầy cô giáo Bộ môn Đại số Khoa Toán, Khoa Đào tạo Sau Đại học tr-ờng Đại học Vinh đà tận tâm dạy bảo chúng em thêi gian häc tËp võa qua, d-íi m¸i tr-ờng Đại học Vinh thân yêu Qua tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới ng-ời bạn học viên cao học khoá 16 chuyên ngành Đại số Lý thuyết số, đà tận tình giúp đỡ suốt trình học tập hoàn thành luận văn Mặc dù đà cố gắng, song khỏi thiếu sót luận văn Tác giả vô biết ơn nhận đ-ợc ý kiến đóng góp bảo thầy cô giáo bạn học viên Tác giả Trong ch-ơng này, trình bày khái niệm tính chất liên quan tíi tr-êng s¾p thø tù, më réng tr-êng, më réng ®¹i sè, nghiƯm cđa ®a thøc, tr-êng ®ãng ®¹i sè, bao đóng đại số, tr-ờng phân rà đa thức 1.1 1.1.1 Đặc số tr-ờng Cho K tr-ờng với đơn vị Nếu n1  , víi mäi sè tù nhiªn n  , ta nói tr-ờng K có đặc số Trong tr-ờng hợp ng-ợc lại, ta gọi số nguyên d-ơng p bé cho p1 đặc số tr-ờng K Đặc số tr-ờng K đ-ợc ký hiệu char(K) Ví dụ Các tr-ờng , , có đặc số Tr-ờng P có đặc số p Nhận xét Nếu tr-ờng K có đặc số p p số nguyên tố 1.1.2 nh ngha Giả sử K tr-ờng Một thø tù tr-êng K lµ mét tËp P cđa K cã c¸c tÝnh chÊt: () V mọ ầ ã cho x  K , ók ẫ ặc x  P , Nó mộ k ác, K ặc x  , ặc  x  P , ợ củ ợ b k ả P, {0}  P (ii) NÕu x, y  P , x y P xy P Phần tử x K đ-ợc gọi phần tử d-ơng x Gọi P tập hợp phần tử d-ơng K Ta nói K đ-ợc thứ tự P G ả sử K x  (  x) d ặc ợc s ặc x  P , bằ ứ V mọ x  K , x  ặc  x  P N y, ổ ầ bì x2 d ơ VÝ dơ Tr-êng sè h÷u tØ NhËn xÐt Tr-êng sè phøc tr-ờng số thực tr-ờng thứ tự tr-ờng thứ tự Chứng minh Ta biÕt r»ng nÕu ( X , ) lµ mét tr-ờng thứ tự thì: , ỡ c a  X , a  0; a  vµ  12  , suy   NÕu cã mét quan hÖ thø tù  cho ( , ) lµ mét tr-ờng thứ tự ta phải có i  Nh-ng    i mâu thuẫn Vậy quan hệ thứ tự để trở thành tr-ờng thứ tự 1.1.3 Định nghĩa Tr-ờng thứ tự X đ-ợc gọi thứ tự Acsimet với x, y  X , x  tån t¹i mét sè tù nhiªn n cho nx  y Ví dụ Tr-ờng số hữu tỉ Chứng minh i) Giả sư vµ tr-êng sè thùc a c c lµ hai sè h÷u tØ, víi ,  b d d NÕu a c c a    , ta cã b d d b NÕu a  , ta lÊy sè tù nhiªn n  b Vậy tr-ờng thứ tự Acsimet cho nbc ad đ-ợc a c n b d tr-ờng thứ tự Acsimet ii) Giả sử a, b hai số thực với a  NÕu b  th× b  1a  a NÕu b  , ta đặt b phần nguyên b Ta lu«n cã b   b NÕu a  th× 1 1  1,     , a a a ®ã b  b    b   a a 1    b         a a  NÕu a  th× b  b a Vậy 1.1.4 tr-ờng thứ tù Acsimet ện đề Giả sử E trường Khi đó, tích tổng bình phương E tổng bình phương Nếu a, b E tổng bình phương b  , a b tổng bình phương 10 Chng minh Khẳng định mệnh đề ổ E, k bì ổ ì a, b, c, d  E bình ó (a  b)(c  d )  ac  ad  bc bd cú c ong E khẳng định b0 ể ổ bì ì ẳ c củ E c ú cđa mƯnh ®Ị ®óng, bì a, b  E ức a b  ab(b1 )2 cũ ổ bình  ịn n 1.1.5 c , ì ĩa Cho K ể mộ s s P  F xác s s ứ ứ mộ P, F ợc ọ F, s thứ tự cảm sinh C ú c c ứ ằ N ề k mộ A c củ k ô , s cs (i) (ii) củ : ứ ứ â ,  0, cđa vành A có ức ó a, b  A a, b  a b, cũ ợc ọ ì d d ể ằ ó có ó ả ể s s 1.1.6 MƯnh ®Ị Cho X vành giao hoán Các tính chất sau t-ơng -ơng a) X vành thứ tự; b) Tồn phận P X khác rỗng, cho: i) a  P vµ b  P  a  b  P ; ii) a  P vµ b  P  ab  P ; iii) P  ( P)  {0}; P  ( P)  X víi  P  { x | x  P} TËp hỵp P  P  {0} đ-ợc gọi tập d-ơng X Chứng minh a)  b) Gi¶ sư  X ,  vành thứ tự Khi ta ®Ỉt P   x  X | x  , điều kiện b) đ-ợc thoả mÃn b) a) Đảo lại, P tập d-ơng X thỏa mÃn tính chất: ể mộ a  P vµ b  P  a  b  P ợc Ak ô ể mở ộ d , dụ ể d ứ 29 ức c ứ g ( x) â y ( ,   R) , ức bấ k ả b c ì ó ổ h( x)  x   x   , ấ bì , cụ ể   2 ,  h( x )   x        2    nên 4   ử, y c ổ dấ củ ó, m d 216 f ( x) xảy ằ d ó có c ổ dấ củ mộ m ằm â ữ a b  ện đề Giả sử K trường thứ tự, K’ mở rộng nó, khơng có hệ thức dạng 1  n a , i i i 1 với  K ,  ,  K ' Giả sử L trường thu từ K’ cách ghép thêm bậc hai tất phần tử dương trường K Khi đó, L trường thực Chứng minh N Lk ô ả c, 1  n a i i 1  K ,  ,  L ( có ể có ì i , ể  ) G ả sử r  i ằm ức K' ó bj  K , bj  N ức  c số L có  b1 , , br , i  xi  yi br , ó xi , yi  K '  b1 , , br   , 1   ( xi  yi  e ả  a (x br k ô i i ằm br )   xi yi K'  br  yi2br )  b1 , , br     a i x i2  ố a b y i r ể củ r §iỊu ph¶i chøng minh. i y bé ấ m 30 221 ịn n 22 Ó ĩa G ả sử K mộ ó K c L L VÝ dơ Tr-êng sè thùc 222 c mở ộ bao đóng thực củ s K ví dụ bao đóng thùc cđa chÝnh nã ịn l Tính chất bao đóng thực (i) Mọi trường thực K có bao đóng thực (ii) Trường đóng thực R thứ tự cách (iii) Mọi phần tử dương thuộc R bình phương (iv) Mọi đa thức bậc lẻ thuộc R[ x] có nghiệm R (v) Ta có đẳng thức R  R    Chứng minh (i) Theo Bổ ề Z ó, mở ộ (ii) Bây k số ả sử R ộc R , ổ c, ợc c ứ K mộ ó c K mộ ó bì c P ì P ợ ó ầ k k ác é cộ phép nhân ề 2.1.3, mọ (iii) Theo M ầ aR mộ s s (iv) Theo M ầ ã c , a  0, ộc P mộ bì ặc a  P , ặc  a  P N R, ố y, P xác ứ ề 2.1.3 mọ ức b c ẻ R có m R (v) Gi¶ sư i  (nói cách khác, i nghiệm đa thøc x  ) Mäi phÇn tư thc R(i) có bậc hai Nếu a bi R(i), a, b R , bậc hai cho bëi biÓu thøc c  di , ®ã c2  a a  b2 vµ d2  a  a  b2 Mỗi vế phải đẳng thức d-ơng, có bậc hai R Sau ta xác định cách dễ dµng dÊu cđa c vµ d cho (c  di)2  a  bi 31 V× R cã đặc số 0, mở rộng hữu hạn tách đ-ợc Mọi mở rộng hữu hạn tr-ờng R(i) đ-ợc chứa mở rộng R Vậy ta cã R  R    Định lý đ-ợc chứng minh. 223 qu Gi s K trường thực a phần tử thuộc K, khơng phải tổng bình phương Khi đó, tồn thứ tự trường K a phần tử âm ề 2.1.3 ta có K   a  Chứng minh Theo M ứ mộ  a  0, 224 c củ b ó c c củ ó ố d ó có s s s s ứ ó a âm. ổ đề Giả sử K trường trường thứ tự E   E phần tử đại số K nghiệm đa thức f ( x)  x n  an - 1x n - + + a0 , với hệ tử thuộc K Khi đó,    an 1   a0 Chứng minh Ta cã E phần tử đại số K nghiệm đa thức f ( )   n  an  1 n    a0  N   1, khẳng định N , ta có ể  f ( )   n  an 1 n 1   a0    n  an 1 n 1   a0    n  an  1 n    a0   n  an  1 n 1   a0  an   n    a0 ta chia hai vÕ cho  n ta đ-ợc an  a0  n 1   nªn ta cã    an  a0 Bổ đề đ-ợc chứng minh  NhËn xÐt Mộ cù ố ầ số ó mộ s ứ ók ô ể ô 32 225 ịn n ó ĩa dãy Stuyếc G ả sử f ( x) c R, k có ức m , u  v dãy Stuyếc ố f ( x) trªn k ả ầ mộ [u, v] ộc mộ ộc R ố có ứ ức S =  f ( x) = f0 ( x), f1 '( x)  f1 ( x), , f m ( x), có tính chÊt sau: () ức c ố f m ( x) ( ) V mọ  j  m 1 ề k ô ( ) N mộ h»ng k ác k ô x [u, v] f j ( x)  v x  [u, v] , cho f j ( x)  f j  ( x)  ó j {1, , m - 1}, f j  ( x) f j  ( x) có dấ tr¸i mọ j = 0, , m (iv) Ta có f j (u)  f j (v)  ố , ầ x  [u, v] ùy k k ô số ( ầ ) WS ( x) 226 ịn l số b m củ bấ kỳ y dấ  f ( x), ọ WS ( x) ả dấ ức f j ( x) dãy f1 ( x), , f m ( x) , dãy ó tu c Số nghiệm đa thức f ( x) , nằm u v, hiệu WS (u)  WS (v) , với dãy Stuyếc S tùy ý Chứng minh C ú 1      r ằ ức f j ( x) u, v , j = 1, , m  , k m ả mở ằ ức f j ( x)  j  m 1 ữ có ú ó, mộ ứ m củ dấ WS ( x) k ô y ổ c ỉ cầ c ứ g 2.1.5)  cho u    v  ầ WS (u)  WS (v) bằ ì ì số b m ó( e ì ợ dãy s ả sử  c e ( )  ầ m củ m củ m củ f j  ( ) f j  ( ) f ( x) f j ( x) dấ bằ ó 33 dấ f ók y  bở u ổ k (u), f j (u), f j  (u) f  k ô m củ j -1 ả củ f ( x) , f (u) f (v) ó ù óc ứ ận xét: k ók , dãy bằ f '(u ) f '(v) cù ó ợ củ c ú mộ dấ f ( x) , WS (u)  WS (v) Bây m ố ử, số b (v), f j (v), f j  (v) bằ dấ dấ củ f (v) D ề k ô j - ặc v ức k ì Á dụ có N y,  m dấ , cụ ể dấ y WS (u) WS (v)   m , Ơc c xây d dãy S y c ợc f ( x)  g1 ( x) f '( x)  f ( x), f ( x)1  g ( x) f ( x)  f3 ( x), f m  ( x)  g m  ( x) f m  ( x)  f m ( x), ó f '( x)  f1 ( x) Vì f ( x) f '( x) khơng có nhân c ó d mộ C ẳ k ác k , Các ức cị ạ, c ố cù dãy c ấ k ác củ dãy S y c cũ ức kề m củ mọ , dãy ó có c s k m, ức c ố cù d ì ó k tiêu 227 ệ Giả sử K trường thứ tự, f ( x) đa thức bất khả quy K bậc Số nghiệm f ( x) hai bao đóng thực K, cảm sinh thứ tự cho K, Chứng minh Dùng Bổ ề 2.2.4, mộ ầ âm ủ ức m củ ứ ãc có ộc K, cho mọ dãy S y c ằm f ( x)  ể v mọ b ó mộ m củ ữ u v c tïy ầ ửd f ( x) ủ mọ u m củ ì WS (u)  WS (v) bằ củ K, cảm s s s số 34 228 ịn l Giả sử K trường thứ tự R, R ' bao đóng thực nó, cảm sinh thứ tự cho K Khi đó, tồn đẳng cấu  : R  R ' K xác định cách nhất, đẳng cấu bảo tồn thứ tự Chứng minh c R K c ứ mộ ỏ ằ é c ứ ỏ ẳ m ữ ãc E ó ả củ R' N S y c y, ẳ cấ xạ  thành  K ( ) lên K (  ) K, m k ác c ì f ( )  theo H f ( x) có mộ G ả sử 1 , ,  n mở ộ c ìm E vào R ' K G ả sử E  K ( ) , ú ả sử f  x   Irr  , K , x  ố củ f ( x) R 1 , , n m k ác củ f ( x) R ' , 1    n s s ứ củ R 1   n s s ứ củ R' k ẳ ằ có vào R ' cho i  i ểc ọ é i  1, , n c ìm  củ ú â ả sử  i y, K (1 , .,  n ) ầ ộc R é cho  i2  i   i i  1, , n  , ả sử E1  K (1 , ,  n ,  , .,  n  ) N chìm  củ E1 vào R ' , c ứ úc ó  i   i m bì ú R' 1    n ề xác ằ i  i củ  K (1 , .,  n ) k ẳ y, ả sử y  K (1 , .,  n ),  y , ầ é óc ứ ác dụ ứ 2  y m ì ú , ề k ằ c ố  bả   R cho K (1 , ,  n ,  , ,  n  ,  ) vào R ' c ìm K, cảm s nh  K (1 , .,  n ) y  y  i  1, , n N ố ó y bì , 35 Bây ẳ cấ dù g Bổ ề Z c, rõ rµng ó bả ứ ợc c ứ VÝ dơ Gi¶ sư , ì óá m ợc ẳ xạ bì cấ R lên R ' K bì tr-ờng số đại số Ta thấy nhận thứ tự thông th-ờng Thành thử hai bao đóng thực tùy ý tr-ờng đẳng cấu với nhau, đẳng cấu đ-ợc xác định cách Các bao đóng thực tất tr-ờng mở rộng thực hữu hạn , đ-ợc chứa có bậc hữu hạn Giả sử K Phần tử thuộc K tổng bình ph-ơng K, phần tử liên hợp với tr-ờng số thực d-ơng, t-ơng đ-ơng với điều đó, phần tử liên hợp với trong bao đóng thực d-ơng 36 2.3 T-ơng tự với việc chúng đà ta phát triển lý thuyết mở rộng đồng cấu tr-ờng đóng đại số thu đ-ợc Định lý Hinbe nghiệm tr-ờng đóng đại số, ta muốn phát triển lý thuyết cho tr-ờng hợp giá trị nhận đ-ợc nằm tr-ờng đóng thực Một Định lý 2.3.1 Định lý Giả sử E lµ mét tr-êng K  E ( x1 , , xn ) , lµ mét më réng hữu hạn sinh Giả thiết E đ-ợc thứ tự Giả sử R E bao đóng thực tr-ờng E, cảm sinh thứ thự E nh- K Khi đó, tồn đồng cấu  : E [ x1, , xn ] R E , E 2.3.2 Hệ Giả sử ký hiệu Định lý, giả sö y1 , , ym  E  x , ®ã y1  y2   ym , thứ tự đà cho tr-êng K Khi ®ã, ®ång cÊu  cã thĨ chän cho  y1    ym Chøng minh Gi¶ sư  i2  yi   yi , ®ã  i  K ThÕ th× tr-êng K ( , .,  m  ) cã sù s¾p thø tự, cảm sinh thứ tự đà cho K áp dụng Định lý vào vành E [ x1, , xn ,  11, ,  1m  1,  1, ,  m  ] 2.3.3 HƯ qu¶ (Actin) Gi¶ sư E lµ mét tr-êng thùc chØ nhËn mét sù thứ tự thứ tự Acsimet Gi¶ sư f ( x1 , , xn )  E( x) hàm hữu tỉ không nhận giá trị ©m: f (a)  víi mäi (a)  (a1 , , a n ) E (n) f a xác định Khi đó, f ( x) tổng bình ph-ơng E ( x) Chứng minh Giả sử mệnh đề không Theo Hệ 2.2.3 tồn thứ tự E ( x) cho f ( x) âm áp dụng Hệ 2.3.2 vào vành 37 E[x1, , xn , h( x)1 ] , h( x) mÉu thøc cđa f ( x) Ta cã thĨ tìm đồng cấu từ vành vào R E (đồng E) cho ( f )  Nh-ng  ( f )  f ( x1 , .,  xn ) Vì R E phần tử vô bé E, nên ta tìm đ-ợc phần tö  E, i  1, ., n gần với xi theo tính chất liên tục, f (a1 , ., an )  , mâu thuẫn Nhận xét Hệ không thứ tự E không giả thiết thứ tự Acsimet Chẳng hạn, giả sử tr-ờng số hữu tỉ, t biến; (t ) ta xác định thứ tự mà t đại l-ợng vô bé Giả sử K bao đóng thực cđa tr-êng gian, (t ) vµ E   Ei , Ei tr-ờng trung (t ) Ei K , không nhận mở rộng bậc hai K Đặt f ( x)  x3  t   t 2.3.4 Bổ đề Giả sử R tr-ờng đóng thực R tr-ờng đóng đại số R (tức tr-ờng mà phần tử thuộc R không nằm R siêu việt R ) Khi đó, R đóng thực Chứng minh Giả sử f ( x) đa thức bất khả quy trờn R Nó phân tích đ-ợc R thành nhân tử tuyến tính nhân tử bậc hai Các hệ tử chúng nằm R , phần tử đại số R , nằm R Nh- vËy, chÝnh f ( x) tuyến tính, tam thức bậc hai bất khả quy R Theo Định lý giá trị trung bình, tr-ờng hợp thứ hai ta cã thĨ gi¶ thiÕt r»ng f ( x) xác định d-ơng, tức f (a) với a R Không làm tính tỉng qu¸t, cã thĨ coi f ( x)  x2  b2 , víi phÇn tư b  R Mọi nghiệm tùy ý đa thức có chứa mở rộng đại số R R Điều chứng minh R đóng thực. 38 Nhận xét Ta ký hiệu R K đóng thực tr-ờng K, cảm sinh thứ tự K, ký hiệu R bao đóng đại số E R K Theo Bổ đề R đóng thực Ta xét tr-ờng R ( x1 , , xn ) NÕu ta cã thể chứng minh Định lý 2.3.1 vành R [x1 , , xn ] tìm ®-ỵc ®ång cÊu  : R [x1 , , xn ]  R , th× sau xét đẳng cấu : R0 R K , E (tồn theo Định lý 2.2.8) đặt , ta đ-ợc lời giải toán E Nh- Định lý đ-ợc đ-a tới tr-ờng hợp E đóng thực Bây giả sử F tr-ờng trung gian, K F E , K cã bËc siªu viƯt Ta ký hiƯu R F bao đóng thực F, đ-ợc chứa R K Nếu Định lý ta mở rộng có số chiều 1, ta tìm đồng cấu : R F [x1 , , xn ]  R F Chó ý r»ng tr-êng E( x1 , , xn ) có bậc siêu việt n tr-ờng thực, đ-ợc chứa R F Nh- vậy, theo qui nạp, định lý đ-ợc đ-a tới tr-ờng hợp K có số chiều E ®ãng thùc nh- ®· thÊy ë trªn MƯnh ®Ị cđa đ-ợc minh họa hình học nh- sau Có thĨ coi K  R(x, y) , ®ã x siêu việt R x, y nghiệm đa thức bất khả quy f ( x, y) thuộc R[ x, y] , thùc chÊt ta muèn chøng minh r»ng cã v« sè ®iĨm trªn ®-êng cong f ( x, y)  với tọa độ nằm R , tức vô số điểm thực ý chỗ tìm điểm (a, b) R (2) cho f (a , b)  , nh-ng D2 f (a , b)  Khi ®ã ta áp dụng Định lý giá trị trung bình Hiển nhiên f (a, b h) đổi dấu giá trị d-ơng bé h đ-ợc thay phần tử âm bé thuộc R Nếu lấy phần tử a ' R gần với a, f (a ', b h) đổi dấu với h bé, 39 f (a ', y) có nghiệm R với a ' đủ gần a Bằng cách ta thu đ-ợc vô số nghiệm Để tìm điểm nói trên, ta xét f ( x, y) nh- mét ®a thøc cđa mét biÕn y víi hệ tử thuộc R( x) Ngoài ra, không làm mÊt tÝnh tỉng qu¸t, ta cã thĨ coi hƯ tư cao Ta xây dựng dÃy Stuyếc đa thức đó, chẳng hạn {f (x, y), f1 ( x, y), , f m ( x, y)} Đặt d deg f ( x) ký hiÖu A( x)  (ad 1 ( x), ., a0 ( x)) , hệ tử f ( x, y) Từ thuật toán Ơclit ta thấy hệ tử đa thức dÃy Stuyếc biểu thị đ-ợc d-ới dạng hàm hữu tỉ {G ( A( x))} , ad  ( x), ., a0 ( x) Gi¶ sư  ( x)   ad 1 ( x)   a0 ( x) s , s số nguyên d-ơng đó, dấu đ-ợc chọn cho hạng tử tổng phải tham gia nh- phần tử d-ơng Đặt u( x) v( x) chọn x cho u v nghiệm đa thức tùy ý d·y Stuc ®èi víi f ( x) Để tiếp tục, ta cần Bổ đề sau 2.3.5 Bổ đề Giả sử R tr-ờng đóng thực hi ( x) tập hữu hạn hàm hữu tỉ biến với hệ tử thuộc R Giả thiết tr-ờng hàm hữu tỉ R( x) đ-ợc thứ tự cách đó, cho hàm hi ( x) ứng với dấu Khi đó, có vô số giá trị a cđa biÕn x R , cho víi i tùy ý đại l-ợng hi (a) đ-ợc xác định cã cïng dÊu víi hi ( x) Chøng minh Nếu xét riêng tử thức mẫu thức hàm hữu tỉ trên, ta giả thiết mà không làm tính tổng quát, hi ( x) đa thức Thế hi ( x)  c ( x   ) p( x) , 40 ®ã tÝch thø nhÊt lÊy theo mäi nghiƯm đa thức hi ( x) , tích thứ hai lấy theo nhân tử bậc hai xác định d-ơng R Đối với R tùy ý, p( ) d-ơng Vì cần chứng minh với giữ nguyên dấu cña ( x   ) thay x bëi tập vô hạn giá trị a Nếu thứ tự tất giá trị x, ta đ-ợc x , phải bỏ x bé lớn tựy ý Giá trị tùy ý a x R , chọn thỏa mÃn đòi hỏi Bổ đề Để áp dụng Bổ đề vào chứng minh tồn điểm nói trên, ta lấy tập hợp hàm hữu tỉ {h i ( x)} gồm tất hƯ tư ad  ( x), ., a0 ( x) , tất cảc hàm hữu tỉ G ( A( x)) , tất hàm f j ( x, u( x)), f j ( x, v( x)) mà số biến dấu th mÃn Định lý Stuyếc Ta tìm đ-ợc vô số giá trị a biến x R mà giữ nguyên dấu hàm hữu tỉ Thế đa thức f (a, y ) có nghiệm R , giá trị a, trừ số hữu hạn, nghiệm có bội Bây việc làm túy kỹ thuật ta chứng tỏ đ-ợc với tất cả, trừ số hữu hạn điểm đ-ờng cong, phần tử x1 , , xn nằm vành địa ph-ơng ®ång cÊu R [x, y]  R chuyÓn  x , y thành điểm a, b mà f (a , b)  nh-ng D2 f (a , b) Nh- ta thu đ-ợc ®ång cÊu R[x1 , , xn ]  R Nh- từ kết Định lý 2.3.1 đ-ợc chứng minh 2.3.6 Định lý Giả sử E lµ mét tr-êng thùc K  E ( x1 , ., xn , y)  E ( x, y) , mở rộng hữu hạn sinh nó, cho phần tử x1, , xn độc lập đại số E, y phần tử đại số E x Giả sử f ( x, y ) đa thức bất khả quy thuộc E [ x, y] mà f ( x, y) Hơn nữa, giả sử R tr-ờng đóng đại số chứa E, 41 tồn a, b  R ( n  1) cho f (a , b)  , nh-ng Dn  f (a , b) Khi đó, K tr-êng thùc Chøng minh Gi¶ sư t1 , , tn độc lập đại số R Theo qui nạp, ta thứ tự R t1 , , tn cho ti vô bé R Giả sử R ' bao đóng thực tr-ờng R  t1 , , tn  b¶o tån thứ tự Đặt ui ti víi i  1, ., n ThÕ th× f (u, b h ) với giá trị âm d-ơng bé h thuộc R có dấu khác nhau, f (u, y ) có nghiệm R ' , chẳng hạn v Vì đa thức f ( x) bất khả quy, nên đẳng cấu từ E ( x) lên E (u) , chuyển xi thành ui , đ-ợc mở rộng tới phép nhúng chìm E ( x, y) vào R ' , tr-ờng K thực Ta có điều phải chứng minh 42 Kết luận Luận văn đà giới thiệu số nội dung sau: Định nghĩa cácbtính chất tr-ờng thực; tr-ờng đóng thực bao đóng thực; nghiệm đa thức tr-ờng thực, tồn đồng cấu tr-ờng thực (Định nghĩa 2.1.1, 2.2.1, Mệnh đề 2.1.3, 2.1.4, Định lý 2.2.2) Diễn đạt chứng minh Định lý giá trị trung bình tr-ờng thực (Định lý 2.1.5) số tính chất đa thức tr-ờng thực Định nghĩa dÃy Stuyếc tính chất dÃy Stuyếc tr-ờng thực (Định nghĩa 2.2.5, Định lý 2.2.6) Tính bảo toàn thứ tự bao đóng thực tr-ờng thứ tự (Định lý 2.2.8, Định lý 2.3.1) H-ớng mở rộng luận văn tiếp tục nghiên cứu yếu tố Giải tích Số học tr-ờng thực để làm rõ c¸c tÝnh chÊt cđa tr-êng thùc to¸n häc 43 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Tự C-ờng, (2003), Giáo trình đại số đại, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Hữu Việt H-ng, (1999), Đại số đại c-ơng, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội [3] S Lang, (1974), Đại số, Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hµ Néi [4] Ngun Thµnh Quang, (2003), Sè häc hiƯn đại, Tr-ờng Đại học Vinh [5] Nguyễn Thành Quang, (2005), Lý thuyết tr-ờng Lý thuyết Galois, Tr-ờng Đại học Vinh TiÕng Anh [6] Z I Borevic, I R Safarevic, (1966), Numbers Theory, Acamedic Press [7] R Hartshorne, (1977), Algebra Geometry, Springer ... ti Một số tính chất tr-ờng thực Đây l nội dung cần quan tâm tìm hiểu Lý thuyết trường Một tr-ờng K đ-ợc gọi tr-ờng thực tổng bình ph-ơng K Tr-ờng số thực , tr-ờng số đại số ví dụ tr-ờng thực. .. tr-ờng thực Luận văn đà giới thiệu tính chất đặc tr-ng tr-ờng thực; nội dung sau n 2.1.3 Gi s K trường thực (i) Nếu a  K , K  a  K   a  trường thực Nếu a tổng bình phương K, trường K  a  thực. .. thùc 222 c mở ộ bao đóng thực củ số K lµ mét vÝ dơ vỊ bao ®ãng thùc cđa chÝnh nã ịn l Tính chất bao đóng thực (i) Mọi trường thực K có bao đóng thực (ii) Trường đóng thực R thứ tự cách (iii)