Tuyen sinh 10 TpHCM 2010 2011

a Chứng minh rằng AEMO là tứ giác nội tiếp đường tròn và APMQ là hình chữ nhật.. Chứng minh O, I, E thẳng hàng.[r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP.HCM ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT Năm học: 2010 – 2011 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (2 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau: a) x − 3x − = ⎧ x + y = −1 b) ⎨ ⎩6 x − y = c) x − 13 x + = d) x − 2 x − = Bài 2: (1,5 điểm) a) Vẽ đồ thị (P) hàm số y = − x2 và đường thẳng (D): y = x − trên cùng 2 hệ trục toạ độ b) Tìm toạ độ các giao điểm (P) và (D) phép tính Bài 3: (1,5 điểm) Thu gọn các biểu thức sau: A = 12 − + 21 − 12 2 ⎛ 5⎞ ⎛ 3⎞ B = ⎜⎜ + + − − ⎟⎟ + ⎜⎜ − + + − ⎟ 2⎠ ⎝ ⎟⎠ ⎝ Bài 4: (1,5 điểm) Cho phương trình x − (3m + 1) x + 2m + m − = (x là ẩn số) a) Chứng minh phương trình luôn luôn có nghiệm phân biệt với giá trị m b) Gọi x1, x2 là các nghiệm phương trình Tìm m để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất: A = x12 + x22 − 3x1 x2 Bài 5: (3,5 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB=2R Gọi M là điểm thuộc đường tròn (O) khác A và B Các tiếp tuyến (O) A và M cắt E Vẽ MP vuông góc với AB (P thuộc AB), vẽ MQ vuông góc với AE (Q thuộc AE) a) Chứng minh AEMO là tứ giác nội tiếp đường tròn và APMQ là hình chữ nhật b) Gọi I là trung điểm PQ Chứng minh O, I, E thẳng hàng c) Gọi K là giao điểm EB và MP Chứng minh hai tam giác EAO và MPB đồng dạng Suy K là trung điểm MP d) Đặt AP = x Tính MP theo R và x Tìm vị trí M trên (O) để hình chữ nhật APMQ có diện tích lớn BÀI GIẢI Bài 1: (2 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau: a) x − 3x − = (1) Δ = + 16 = 25 − −1 3+5 (1) ⇔ x = = hay x = =2 4 ⎧ y = −3 (1) ⎧4 x + y = −1 (1) ⎧ x + y = −1 ⎪ b) ⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ ( pt (2) + pt (1)) ⎩6 x − y = (2) ⎩14 x = ⎪⎩ x = c) x − 13 x + = (3), đđặt u = x2, phương trình thành : 4u2 – 13u + = (4) 13 − 11 13 + 11 (4) có Δ = 169 − 48 = 121 = 112 (4) ⇔ u = = hay u = =3 8 Do đó (3) ⇔ x = ± hay x = ± 2 d) x − 2 x − = (5) Δ' = 2+ = −2 2+2 Do đó (5) ⇔ x = hay x = 2 Bài 2: a) Đồ thị: học sinh tự vẽ 1⎞ ⎛ Lưu ý: (P) qua O(0;0), ⎜ ±1; − ⎟ , ( ±2; −2 ) 2⎠ ⎝ 1⎞ ⎛ (D) qua ⎜1; − ⎟ , ( −2; −2 ) 2⎠ ⎝ 1⎞ ⎛ Do đó (P) và (D) có điểm chung là : ⎜1; − ⎟ , ( −2; −2 ) 2⎠ ⎝ b) PT hoành độ giao điểm (P) và (D) là − x2 ⇔ x = hay x = −2 = x −1 ⇔ x2 + x − = 2 1⎞ ⎛ Vậy toạ độ giao điểm cảu (P) và (D) là ⎜1; − ⎟ , ( −2; −2 ) 2⎠ ⎝ Bài 3: A = 12 − + 21 − 12 = (3 − 3) + 3(2 − 3) = − + (2 − 3) = ⎛ 5⎞ ⎛ 3⎞ B = ⎜⎜ + + − − ⎟⎟ + ⎜⎜ − + + − ⎟ 2⎠ ⎝ ⎟⎠ ⎝ 2B = ( 4+2 + 6−2 − ) ( + 4−2 + 6+2 − ) =5 ) +( ( (1 + 3) + ( − 1) − ( ) + (( 2 = (1 + 3) + ( − 1) − 2 ( − 1) + ( + 1) − 3 − 1) + ( + 1) − ) ) 2 = 5.3 + = 20 ⇒ B = 10 Bài 4: a) Δ = ( 3m + 1) − 8m − 4m + = m + 2m + = (m + 1) + > ∀ m Suy phương trình luôn luôn có nghiệm phân biệt với m b) Ta có x1 + x2 = 3m + và x1x2 = 2m2 + m – A= x12 + x22 − 3x1 x2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 1 25 = (3m + 1) − 5(2m + m − 1) = − m + m + = + − (m − ) = − (m − ) 4 25 Đạt m = Do đó giá trị lớn A là : Bài 5: n = 90O = EAO n I a) Ta có góc EMO => EAOM nội tiếp Tứ giác APMQ có góc vuông : n = APM n = PMQ n = 90o EAO => Tứ giác APMQ là hình chữ nhật b) Ta có : I là giao điểm đường chéo AM và PQ hình chữ nhật APMQ nên I là trung điểm AM B O Mà E là giao điểm tiếp tuyến M và A nên theo định lý ta có : O, I, E thẳng hàng c) Cách 1: hai tam giác AEO và MPB đồng dạng vì chúng là tam giác vuông có góc n = ABM n , vì AE // BM vuông là AOE AO AE (1) => = BP MP KP BP Mặt khác, vì KP//AE, nên ta có tỉ số (2) = AE AB Từ (1) và (2) ta có : AO.MP = AE.BP = KP.AB, mà AB = 2.OA => MP = 2.KP Vậy K là trung điểm MP EK AP (3) AE // KP, Cách : Ta có = EB AB EI AP (4) tam giác EOA và MAB đồng dạng mặt khác, ta có = EO AB EK EI So sánh (3) & (4), ta có : = EB EO M Q E K I P x A Theo định lý đảo Thales => KI // OB, mà I là trung điểm AM => K là trung điểm MP d) Ta dễ dàng chứng minh : ⎛a+b+c+d⎞ abcd ≤ ⎜ ⎟ (*) ⎝ ⎠ Dấu “=” xảy và a = b = c = d MP = MO − OP = R − (x − R)2 = 2Rx − x Ta có: S = SAPMQ = MP.AP = x 2Rx − x = (2R − x)x S đạt max ⇔ (2R − x)x đạt max ⇔ x.x.x(2R – x) đạt max x x x ⇔ (2R − x) đạt max 3 x Áp dụng (*) với a = b = c = x x x ⎛x x x R4 ⎞ Ta có : (2R − x) ≤ ⎜ + + + (2R − x) ⎟ = 3 ⎝3 3 16 ⎠ x Do đó S đạt max ⇔ = (2R − x) ⇔ x = R Hoàng Hữu Vinh (Trường Cao đẳng Kinh tế TP.HCM)