Chứng minh: a/ AD.AB = AE.AC b/ AM DE c/ Tam giác ABC phải có thêm điều kiện gì để diện tích tứ giác AEHD bằng một nửa diện tích tam giác ABC?. A..[r]
(1)ĐỀ THI SƠ TUYỂN CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ YÊN BÁI Tháng năm 2015 (Thời gian làm bài 90 phút không kể giao đề) Câu 1: (4 điểm) a/ Tìm số tự nhiên n để đơn thức – 7xn+1y6 chia hết cho 4x5yn b/ Chứng tỏ f(x) = (x2 – 3x +1)31 - (x2 – 4x +5)30 + chia hết cho x – Câu 2: (4 điểm) Giải các phương trình sau: a/ 4x – 10.2x + 16 = b/ x4 + x3 – 4x2 + 5x – = Câu 3: (3 điểm) Năm học 2015 – 2016 có 480 học sinh thi trúng tuyển vào trường trung học phổ thông A và B với tỷ lệ trúng tuyển là 96% Xét riêng thì trường A có tỷ lệ học sinh dự thi trúng tuyển là 94%, trường B có tỷ lệ học sinh dự thi trúng tuyển là 99% Hỏi trường có bao nhiêu học sinh trúng tuyển? Câu 4: (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x x Câu 5: (2 điểm) Không dùng máy tính hãy so sánh 2 B A 11 96 và 1 Câu 6: (5 điểm) Cho ABC vuông A, đường cao AH, trung tuyến AM Gọi D và E thứ tự là hình chiếu H trênAB và AC Chứng minh: a/ AD.AB = AE.AC b/ AM DE c/ Tam giác ABC phải có thêm điều kiện gì để diện tích tứ giác AEHD nửa diện tích tam giác ABC? ………………………… Hết ………………………… (2) HƯỚNG DẪN Câu Cách giải a/ Tìm số tự nhiên n để đơn thức – 7xn+1y6 chia hết cho 4x5yn n 6 n x y Để đơn thức chia hết cho thì n – ≥ và – n ≥ ≤ n ≤ n {4; 5; 6} (vì n N) ( 7x n+1 y ) : (4x y n ) b/ Chứng tỏ f(x) = (x2 – 3x +1)31 - (x2 – 4x +5)30 + chia hết cho x – Ta có f(2) = (22 – 3.2 + 1)31 – (22 – 4.2 + 5)30 + = Theo định lý Bơzdu, f(x) có chứa đa thức (x - 2) f(x)(x – 2) a/ Giải phương trình 4x – 10.2x + 16 = 4x – 10.2x + 16 = (22)x – 10.2x + 16 = 22x – 2.2x – 8.2x + 16 = (2x)2– 2.2x – 8.2x + 16 = (2x– 2)( 2x– 8) = từ đó tìm x = 1, x = b/Giải phương trình x4 + x3 – 4x2 + 5x – = x4 + x3 – 4x2 + 5x – = (x – 1)(x + 3)(x2 – x + 1) = x = 1; x = - Năm học 2015 – 2016 có 480 học sinh thi trúng tuyển vào trường trung học phổ thông A và b với tỷ lệ trúng tuyển là 96% Xét riêng thì trường A có tỷ lệ học sinh dự thi trúng tuyển là 94%, trường B có tỷ lệ học sinh dự thi trúng tuyển là 99% Hỏi trường có bao nhiêu học sinh trúng tuyển? Gọi số h/s trúng tuyển vào trường A là x (h/s), đk x N, x < 480 Số học sinh trúng tuyển vào trường B là 480 – x (h/s) Vì tỷ lệ trúng tuyển vào trường là 96% nên số học sinh dự thi ban đầu là 96 480 : 100 = 500 (h/s) 100x Số h/s trúng tuyển vào trường A và trường B là x : 94% = 94 (h/s) và 100(480 x) 99 (480 – x): 99% = (h/s) Theo bài ta có phương trình: 100x 100(480 x) 94 + 99 = 500 Giải pt tìm x = 282 t/m đk ẩn Vậy số h/s trúng tuyển vào trường A là 282 và vào trường B là 198 (3) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x x A = A x x x x x x 1 Dấu “=” xảy (x – 2)(3 – x) ≥ Ta lập bảng xét dấu tích nhị thức: x x–2 - + / + 3–x + / + - (x – 2)(3 – x) - + - Từ bảng xét dấu trên ta thấy A(min) = ≤ x ≤ Không dùng máy tính hãy so sánh 2 B A 11 96 và 1 Ta có A 11 96 11 (2 3) 2 2 2(1 3) 2(1 3) B 1 (1 3)(1 3) 2 Có >1A>B Cho ABC vuông A, đường cao AH, trung tuyến AM Gọi D và E thứ tự là hình chiếu H trênAB và AC Chứng minh: a/ AD.AB = AE.AC b/ AM DE c/ Tam giác ABC phải có thêm điều kiện gì để diện tích tứ giác AEHD nửa diện tích tam giác ABC? A E D 1 C H M B (4) a/ Có B H1 (cùng phụ với BAH ) mà E1 H1 (ADHE là hình chữ nhật) E B ABC AB AC AED (g.g) AE AD AB.AD = AE.AC b/ Có AM là trung tuyến ABC vuông A (gt) AM = BM = CM ABM cân M A2 B E1 A2 D1 E1 D1 90 Hay AM DE c/ Có SAEHD = 2.SADE 2.SAEHD = SABC 4.SADE= SABC Vì ABC S ADE S ABC S AED ED ED BC S BC 2 ABC AED (1) Mặt khác theo t/c hình chữ nhật có AH = ED (2) Từ (1) và (2) 2.AH = BC mà 2AM = BC (t/c trung tuyến tam giác vuông) AH = AM H M ABC có đường cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC đồng thời là trung tuyến nên cân A Vậy ABC vuông A có thêm đk cân A thì t/m đk đề bài (5)