Bài giảng Toán học tổ hợp - Chương 7: Số đếm nâng cao

Bài giảng Toán học tổ hợp - Chương 7: Số đếm nâng cao cung cấp cho người học những kiến thức như: Số Catalan; Số Stirling loại hai; Số Bell. Mời các bạn cùng tham khảo!

TOÁN HỌC TỔ HỢP Chương SỐ ĐẾM NÂNG CAO http://bit.do/toanhoctohop Đại học Khoa Học Tự nhiên Tp Hồ Chí Minh Toán học tổ hợp Chương Số đếm nâng cao ❖ c 2020 1/26 Nội dung Chương SỐ ĐẾM NÂNG CAO Số Catalan Số Stirling loại hai Số Bell Toán học tổ hợp Chương Số đếm nâng cao ❖ c 2020 2/26 7.1 Số Catalan Ví dụ Có cách chia ngũ giác thành tam giác cách dùng đường chéo không cắt nhau? Đáp án Câu hỏi tương tự cho lục giác Toán học tổ hợp Chương Số đếm nâng cao ❖ c 2020 3/26 Định nghĩa Số Catalan thứ n (ký hiệu Cn ) số cách chia đa giác n + đỉnh thành tam giác cách dùng đường chéo không cắt Quy ước C0 = C1 = Các số Catalan n Cn Toán học tổ hợp 1 2 14 Chương Số đếm nâng cao ❖ c 2020 4/26 Tìm cơng thức truy hồi cho Cn Xét đa giác n + đỉnh Ta chọn cố định cạnh đa giác Khi với đỉnh không trùng với hai đỉnh cạnh chọn ta vẽ tam giác Tam giác chia đa giác ban đầu thành hai đa giác Ví dụ trường hợp lục giác (n = 4) ta có Gọi k + (k ≥ 0) số đỉnh đa giác bên trái Khi đa giác bên phải có n − k + đỉnh Đa giác bên trái có Ck cách chia thành tam giác Đa giác bên phải có Cn−k−1 cách chia thành tam giác Vậy với k ta có Ck × Cn−k−1 cách chia đa giác ban đầu thành tam giác Toán học tổ hợp Chương Số đếm nâng cao ❖ c 2020 5/26 Vì có n cách chọn đỉnh nên ta có n cách chọn giá trị k từ đến n − Do số Catalan thứ n n−1 Ck × Cn−k−1 Cn = k=0 Ví dụ Ck × C4−k C5 = k=0 = C0 C4 + C1 C3 + C2 C2 + C3 C1 + C4 C0 = × 14 + × + × + × + 14 × = 42 Ví dụ.(tự làm) Tìm giá trị C6 Đáp án 132 Toán học tổ hợp Chương Số đếm nâng cao ❖ c 2020 6/26 Catalan, 1830s Có cách xếp n cặp dấu ngoặc đơn "( )"? Ví dụ Với n = 0, có cách Với n = có cách { ()(), (()) } Với n = có cách { ()()(), ()(()), (())(), (()()), ((())) } Giải Gọi Cn số cách xếp n cặp ngoặc đơn Ta xem cách xếp chuỗi n dấu ( n dấu ) Rõ ràng chuỗi bắt đầu ( có dạng ( A ) B Trong A chuỗi có k cặp dấu ngoặc đơn (với ≤ k ≤ n − 1) B chuỗi có n − k − cặp dấu ngoặc đơn Như để tính Cn ta cần xem xét chuỗi A B Như n−1 Ck × Cn−k−1 Cn = k=0 Đây lý mà người ta gọi Cn số Catalan thứ n (theo tên nhà toán học Catalan) Toán học tổ hợp Chương Số đếm nâng cao ❖ c 2020 7/26 Ví dụ Chúng ta muốn di chuyển tới điểm cách vị trí đứng n bước hướng bắc n bước hướng đơng Có cách để di chuyển đến vị trí mong muốn yêu cầu thời điểm số bước hướng bắc không nhiều số bước hướng đông Lưu ý bước hướng bắc hướng đông Giải Dùng N để ký hiệu bước hướng bắc E bước hướng đơng Sau 2n bước ta có dãy gồm n ký tự N n ký tự E Thay N dấu ) thay E dấu ( Khi có cách xếp n cặp ngoặc đơn Do thời điểm số dấu ) không lớn số dấu ( nên cách xếp n cặp dấu ngoặc đơn Vậy tổng cộng có Cn cách tới điểm mong muốn Toán học tổ hợp Chương Số đếm nâng cao ❖ c 2020 8/26 Ví dụ.(tự làm) Cây nhị phân có gốc (rooted binary tree) có gốc mà đỉnh có đỉnh Hỏi có nhị phân có gốc có n đỉnh trong? Hướng dẫn Với n = 0, 1, ta dễ thấy Với n ≥ 1, ta bỏ đỉnh gốc Khi có hai nhị phân có gốc Số đỉnh bên trái k với ≤ k ≤ n − 1, số đỉnh phải phải n − k − Như đáp án toán Cn Toán học tổ hợp Chương Số đếm nâng cao ❖ c 2020 9/26 Hàm sinh dãy {Cn }n≥0 Gọi G(x) = n≥0 Cn x n hàm sinh dãy {Cn }n≥0 Ta có Cn x n G(x) = n≥0 Cn xn = C0 + n≥1 n−1 Ck × Cn−k−1 xn =1+ n≥1 k=0 n−1 Ck × Cn−k−1 xn−1 =1+x n≥1 k=0 n Ck × Cn−k xn =1+x n≥0 (thay n − n) k=0 = + x(G(x)) Toán học tổ hợp Chương Số đếm nâng cao ❖ c 2020 10/26 7.2 Số Stirling loại hai Bài tốn chia kẹo Có cách chia n viên kẹo khác cho k đứa trẻ cho đứa trẻ có kẹo? Nhận xét Xét ánh xạ liên kết viên kẹo với đứa trẻ nhận Bởi đứa trẻ có kẹo nên ánh xạ tồn ánh Bài tốn trở thành: Có ánh xạ tồn ánh từ tập n phần tử vào tập k phần tử? Định nghĩa Số Stirling loại hai số cách xếp n vật khác vào k hộp giống cho hộp có vật n Ký hiệu k Toán học tổ hợp Chương Số đếm nâng cao ❖ c 2020 12/26 Lưu ý Vì k đứa trẻ (trong toán chia kẹo) khác nên số cách chia kẹo số Stirling loại hai nhân với k! (số hoán vị k đứa n trẻ) Vậy số cách chia kẹo k! k Quy ước Nhận xét 0 n k = n = n n = n < k =1 Ví dụ Hãy tìm cơng thức n n−1 với n ≥ Giải Để xếp n vật vào n − hộp giống hộp có hai vật hộp cịn lại có vật n n hộp có hai vật Như = n−1 Toán học tổ hợp Chương Số đếm nâng cao ta cần xếp Số cách xếp cho n ❖ c 2020 13/26 Mệnh đề Cho số nguyên n ≥ Khi n = 2n−1 − Chứng minh Ta xét tốn tìm số cách xếp n vật khác vào hộp khác Vì vật có lựa chọn nên số cách 2n Để tính n số Stirling ta cần xem xét hộp giống hộp có vật Do n = (2n − 2) = 2n−1 − 2! Định lý [Công thức hồi quy Stirling] n k Toán học tổ hợp = n−1 k−1 +k n−1 k Chương Số đếm nâng cao ❖ c 2020 14/26 Chứng minh Chúng ta cần xếp n vật phân biệt {o1 , o2 , , on } vào k hộp giống hộp có vật Giả sử xếp n − vật {o1 , o2 , , on−1 } cần xếp vật cuối on vào hộp Khi có hai khả xảy ra: Còn hộp chưa có vật nào, on buộc phải xếp vào hộp Vì trước xếp n − vật vào k − hộp nên có n−1 cách k−1 Tất hộp có vật, ta cần chọn hộp để xếp vật on vào Ta có k cách chọn hộp Vì trước n−1 xếp n − vật vào k hộp nên ta có k cách k Như n k Toán học tổ hợp = n−1 k−1 +k n−1 k Chương Số đếm nâng cao ❖ c 2020 15/26 Ví dụ Tính số Stirling Giải = +3 3 = (23−1 − 1) + × = Dựa vào cơng thức truy hồi số Stirling loại hai ta sử dụng bảng tương tự bảng tam giác Pascal để tính Tam giác Stirling Chọn phần tử Nhân phần tử với số cột (k) cộng với phần tử bên trái phần tử đó, ta phần tử nằm bên cột với phần tử chọn Ví dụ 90 = 25 × + 15 Tốn học tổ hợp Chương Số đếm nâng cao ❖ c 2020 16/26 Định nghĩa Cho S tập hợp gồm n phần tử Mỗi phân hoạch S tập hợp gồm k tập S1 , S2 , , Sk khác rỗng, đôi khác S hợp chúng lại S Cụ thể k Với ≤ i = j ≤ k, Si = ∅, Si ∩ Sj = ∅ S = Si , i=1 Ví dụ Cho S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Ta có { {1, 2, 3}, {3, 4}, {5}, {6} } phân hoạch S Nhận xét Số Stirling loại hai n k số phân hoạch tập hợp n phần tử thành k tập Ví dụ Hỏi có cách phân tích 7590 thành tích ba nhân tử lớn 1? Toán học tổ hợp Chương Số đếm nâng cao ❖ c 2020 17/26 Giải Ta phân tích 7590 thành tích số ngun tố Ta có 7590 = × × × 11 × 23 Do nhân tử phân tích số 7590 tích phần tử tập khác rỗng {2, 3, 5, 11, 23} Do số cách phân tích 7590 số phân hoạch {2, 3, 5, 11, 23} thành tập Như ta có = 25 cách phân tích Định lý Cho n, k r số ngun khơng âm Khi r rn = k=0 n k r! (r − k)! Chứng minh Ta xét tốn tìm số cách xếp n vật khác vào r hộp khác Để giải toán ta có hai cách sau: Cách Vì vật có r cách chọn hộp nên số cách xếp rn Toán học tổ hợp Chương Số đếm nâng cao ❖ c 2020 18/26 Cách Với ≤ k ≤ r, ta xét trường hợp có k hộp khơng có vật Khi số cách xếp trường hợp r k (r − k)! n r−k = n k r! (r − k)! Vậy số cách xếp r k=0 n k r! (r − k)! Dựa vào cách cách ta có điều phải chứng minh Ví dụ Cho n = r = Ta có 4! = · + · + 31 · 12 + 90 · 24 + 65 · 24 k (4 − k)! k=0 = 4096 = 46 Toán học tổ hợp Chương Số đếm nâng cao ❖ c 2020 19/26 Ví dụ Hãy viết đa thức x3 thành tổ hợp tuyến tính đa thức 1, x, x(x − 1) x(x − 1)(x − 2) Giải Sử dụng công thức Định lý với n = r = x ta có x x3 = k=0 k x! (x − k)! = · + · x + · x(x − 1) + · x(x − 1)(x − 2) = x + 3x(x − 1) + x(x − 1)(x − 2) Ví dụ.(tự làm) Hãy viết đa thức x4 thành tổ hợp tuyến tính đa thức 1, x, x(x − 1), x(x − 1)(x − 2) x(x − 1)(x − 2)(x − 3) Toán học tổ hợp Chương Số đếm nâng cao ❖ c 2020 20/26 7.3 Số Bell Hỏi Có phân hoạch tập hợp n phần tử? Ví dụ Tìm số phân hoạch tập {1, 2, 3} Giải Ta có phân hoạch {1, 2, 3} sau: {{1, 2, 3}} {{1}, {2, 3}}, {{2}, {1, 3}}, {{3}, {1, 2}} {{1}, {2}, {3}} Như có phân hoạch {1, 2, 3} Định nghĩa Cho n ≥ Số Bell thứ n, ký hiệu Bn , số phân hoạch tập hợp n phần tử Quy ước B0 = Nhận xét Số cách chia n vật thành nhóm Bn Tốn học tổ hợp Chương Số đếm nâng cao ❖ c 2020 21/26 n Mệnh đề Cho n ≥ Ta có Bn = k=0 Ví dụ B4 = k=0 k n k = + + + + = 15 Ví dụ Có cách phân tích số 210 thành tích số nguyên lớn Giải Ta phân tích 210 thành tích số ngun tố Ta có 210 = × × × Do nhân tử phân tích số 210 tích phần tử tập khác rỗng {2, 3, 5, 6} Do số cách phân tích 210 số phân hoạch {2, 3, 5, 6} Như ta có B4 = 15 cách phân tích Tốn học tổ hợp Chương Số đếm nâng cao ❖ c 2020 22/26 Định lý [Công thức hồi quy số Bell] Cho n ≥ Ta có n Bn+1 = k=0 n k Bk Chứng minh Đặt S = {o1 , o2 , o3 , , on , on+1 } Khi Bn+1 số cách phân hoạch S Vì phân hoạch S có tập hợp A mà chứa on+1 Để tính số phân hoạch S ta xem xét tập hợp A số phân hoạch tập hợp S \ A Với ≤ k ≤ n, A có k + n phần tử số cách chọn tập hợp A Số phần tử tập hợp k S \ A n − k Do số phân hoạch S \ A Bn−k Vì phân hoạch S tạo từ phân hoạch S \ A hợp với {A} nên số phần hoạch S n Bn+1 = k=0 Toán học tổ hợp n k Bk Chương Số đếm nâng cao ❖ c 2020 23/26 Ví dụ Tính B5 Giải Sử dụng cơng thức hồi quy số Bell, ta có B1 = 0 B0 = B2 = B0 + 1 B1 = + = B3 = B0 + B1 + 2 B2 = + × + = B4 = B0 + B1 + B2 + 3 B3 B2 + B3 + = + × + × + = 15 B5 = B0 + B1 + = + × + × + × + 15 = 52 Tốn học tổ hợp Chương Số đếm nâng cao ❖ c 2020 4 B4 24/26 Tam giác Bell Việc xây dựng tam giác Bell thực sau: Dòng có số Dịng có nhiều số so với dòng liền trước Phần tử dòng phần tử cuối dòng liền trước Phần tử khác phần tử dòng tính tổng phần tử bên trái phần tử phía phần tử bên trái Khi phần tử cuối dịng số Bell tương ứng với dịng Tốn học tổ hợp Chương Số đếm nâng cao ❖ c 2020 25/26 Ví dụ.(tự làm) Tính giá trị B7 B8 cách dùng tam giác Bell Đáp án B7 = 877 B8 = 4140 Toán học tổ hợp Chương Số đếm nâng cao ❖ c 2020 26/26 ...Nội dung Chương SỐ ĐẾM NÂNG CAO Số Catalan Số Stirling loại hai Số Bell Toán học tổ hợp Chương Số đếm nâng cao ❖ c 2020 2/26 7.1 Số Catalan Ví dụ Có cách chia ngũ giác... xếp rn Toán học tổ hợp Chương Số đếm nâng cao ❖ c 2020 18/26 Cách Với ≤ k ≤ r, ta xét trường hợp có k hộp khơng có vật Khi số cách xếp trường hợp r k (r − k)! n r−k = n k r! (r − k)! Vậy số cách... thức x4 thành tổ hợp tuyến tính đa thức 1, x, x(x − 1), x(x − 1)(x − 2) x(x − 1)(x − 2)(x − 3) Toán học tổ hợp Chương Số đếm nâng cao ❖ c 2020 20/26 7.3 Số Bell Hỏi Có phân hoạch tập hợp n phần