Bài giảng Toán học tổ hợp - Chương 6: Nguyên lý bù trừ

Bài giảng Toán học tổ hợp - Chương 6: Nguyên lý bù trừ cung cấp cho người học những kiến thức như: Phương pháp sơ đồ Ven; Nguyên lý bù trừ; Đa thức quân xe. Mời các bạn cùng tham khảo!

TOÁN HỌC TỔ HỢP Chương NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ Đại học Khoa Học Tự nhiên Tp Hồ Chí Minh Chương Nguyên lý bù trừ ❖ LVL c 2020 1/37 Nội dung Chương NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ Phương pháp sơ đồ Ven Nguyên lý bù trừ Đa thức quân xe Chương Nguyên lý bù trừ ❖ LVL c 2020 2/37 6.1 Phương pháp sơ đồ Ven Nhận xét Xét sơ đồ Ven Chương Nguyên lý bù trừ ❖ LVL c 2020 3/37 6.1 Phương pháp sơ đồ Ven Nhận xét Xét sơ đồ Ven Ta ký hiệu U tập vũ trụ Chương Nguyên lý bù trừ ❖ LVL c 2020 3/37 6.1 Phương pháp sơ đồ Ven Nhận xét Xét sơ đồ Ven Ta ký hiệu U tập vũ trụ A phần bù A U Chương Nguyên lý bù trừ ❖ LVL c 2020 3/37 6.1 Phương pháp sơ đồ Ven Nhận xét Xét sơ đồ Ven Ta ký hiệu U tập vũ trụ A phần bù A U |A| số phần tử A Chương Nguyên lý bù trừ ❖ LVL c 2020 3/37 6.1 Phương pháp sơ đồ Ven Nhận xét Xét sơ đồ Ven Ta ký hiệu U tập vũ trụ A phần bù A U |A| số phần tử A Khi |A ∩ B| = |U | − |A| − |B| + |A ∩ B| Chương Nguyên lý bù trừ (1) ❖ LVL c 2020 3/37 Ví dụ Một trường học có 100 sinh viên, có 50 sinh viên học tiếng Anh, 40 sinh viên học tiếng Pháp 20 sinh viên học tiếng Anh tiếng Pháp Hỏi trường có sinh viên không học tiếng Anh lẫn tiếng Pháp? Chương Nguyên lý bù trừ ❖ LVL c 2020 4/37 Ví dụ Một trường học có 100 sinh viên, có 50 sinh viên học tiếng Anh, 40 sinh viên học tiếng Pháp 20 sinh viên học tiếng Anh tiếng Pháp Hỏi trường có sinh viên không học tiếng Anh lẫn tiếng Pháp? Giải Gọi U tập hợp sinh viên trường Chương Nguyên lý bù trừ ❖ LVL c 2020 4/37 Ví dụ Một trường học có 100 sinh viên, có 50 sinh viên học tiếng Anh, 40 sinh viên học tiếng Pháp 20 sinh viên học tiếng Anh tiếng Pháp Hỏi trường có sinh viên khơng học tiếng Anh lẫn tiếng Pháp? Giải Gọi U tập hợp sinh viên trường Gọi A tập hợp sinh viên học tiếng Anh Chương Nguyên lý bù trừ ❖ LVL c 2020 4/37 Ví dụ.(tự làm) Ta cần bố trí người A, B, C, D vào công việc 1, 2, 3, 4, Biết A khơng thích hợp với cơng việc 5; B khơng thích hợp với 5; C khơng thích hợp với 3; D khơng thích hợp với 1, Hỏi có cách phân cơng người với cơng việc thích hợp? Hướng dẫn Ta thêm người E vào người thích hợp với cơng việc Khi tốn đưa việc tìm số cách phân cơng người cho công việc Chương Nguyên lý bù trừ ❖ LVL c 2020 35/37 Ví dụ.(tự làm) Ta cần bố trí người A, B, C, D vào công việc 1, 2, 3, 4, Biết A khơng thích hợp với cơng việc 5; B khơng thích hợp với 5; C khơng thích hợp với 3; D khơng thích hợp với 1, Hỏi có cách phân cơng người với cơng việc thích hợp? Hướng dẫn Ta thêm người E vào người thích hợp với cơng việc Khi tốn đưa việc tìm số cách phân công người cho công việc Đây tốn tìm số hốn vị với vị trí cấm Chương Nguyên lý bù trừ ❖ LVL c 2020 35/37 Ví dụ.(tự làm) Ta cần bố trí người A, B, C, D vào công việc 1, 2, 3, 4, Biết A khơng thích hợp với cơng việc 5; B khơng thích hợp với 5; C khơng thích hợp với 3; D khơng thích hợp với 1, Hỏi có cách phân cơng người với cơng việc thích hợp? Hướng dẫn Ta thêm người E vào người thích hợp với cơng việc Khi tốn đưa việc tìm số cách phân cơng người cho cơng việc Đây tốn tìm số hốn vị với vị trí cấm Bàn cờ × với ô cấm Chương Nguyên lý bù trừ ❖ LVL c 2020 35/37 Gọi B bàn cờ tạo cấm Khi Chương Ngun lý bù trừ ❖ LVL c 2020 36/37 Gọi B bàn cờ tạo ô cấm Khi Đáp án R(B, x) = + 7x + 15x2 + 10x3 + 2x4 Chương Nguyên lý bù trừ ❖ LVL c 2020 36/37 Gọi B bàn cờ tạo cấm Khi Đáp án R(B, x) = + 7x + 15x2 + 10x3 + 2x4 Suy số cách phân công công việc (−1)k (5 − k)! rk (B) = 24 k=0 Chương Nguyên lý bù trừ ❖ LVL c 2020 36/37 Gọi B bàn cờ tạo cấm Khi Đáp án R(B, x) = + 7x + 15x2 + 10x3 + 2x4 Suy số cách phân công công việc (−1)k (5 − k)! rk (B) = 24 k=0 Ví dụ.(tự làm) Cho A = {1, 2, 3, 4} B = {u, v, w, x, y, z} Hỏi có đơn ánh từ A vào B không thỏa tất điều kiện: f (1) = u v; f (2) = w; f (3) = w x; f (4) = x, y, z Chương Nguyên lý bù trừ ❖ LVL c 2020 36/37 Gọi B bàn cờ tạo cấm Khi Đáp án R(B, x) = + 7x + 15x2 + 10x3 + 2x4 Suy số cách phân công công việc (−1)k (5 − k)! rk (B) = 24 k=0 Ví dụ.(tự làm) Cho A = {1, 2, 3, 4} B = {u, v, w, x, y, z} Hỏi có đơn ánh từ A vào B không thỏa tất điều kiện: f (1) = u v; f (2) = w; f (3) = w x; f (4) = x, y, z Hướng dẫn Đặt A = A ∪ {5, 6} Chương Nguyên lý bù trừ ❖ LVL c 2020 36/37 Gọi B bàn cờ tạo ô cấm Khi Đáp án R(B, x) = + 7x + 15x2 + 10x3 + 2x4 Suy số cách phân công công việc (−1)k (5 − k)! rk (B) = 24 k=0 Ví dụ.(tự làm) Cho A = {1, 2, 3, 4} B = {u, v, w, x, y, z} Hỏi có đơn ánh từ A vào B không thỏa tất điều kiện: f (1) = u v; f (2) = w; f (3) = w x; f (4) = x, y, z Hướng dẫn Đặt A = A ∪ {5, 6} Xét tốn tìm tất đơn ánh từ A → B không thỏa điều kiện Chương Nguyên lý bù trừ ❖ LVL c 2020 36/37 Gọi B bàn cờ tạo cấm Khi Đáp án R(B, x) = + 7x + 15x2 + 10x3 + 2x4 Suy số cách phân công công việc (−1)k (5 − k)! rk (B) = 24 k=0 Ví dụ.(tự làm) Cho A = {1, 2, 3, 4} B = {u, v, w, x, y, z} Hỏi có đơn ánh từ A vào B khơng thỏa tất điều kiện: f (1) = u v; f (2) = w; f (3) = w x; f (4) = x, y, z Hướng dẫn Đặt A = A ∪ {5, 6} Xét tốn tìm tất đơn ánh từ A → B không thỏa điều kiện Với cách xây dựng đơn ánh f từ A vào B ta 2! = xây dựng song ánh từ A vào B (vì có chọn ảnh 6) Chương Nguyên lý bù trừ ❖ LVL c 2020 36/37 Gọi B bàn cờ tạo cấm Khi Đáp án R(B, x) = + 7x + 15x2 + 10x3 + 2x4 Suy số cách phân công công việc (−1)k (5 − k)! rk (B) = 24 k=0 Ví dụ.(tự làm) Cho A = {1, 2, 3, 4} B = {u, v, w, x, y, z} Hỏi có đơn ánh từ A vào B không thỏa tất điều kiện: f (1) = u v; f (2) = w; f (3) = w x; f (4) = x, y, z Hướng dẫn Đặt A = A ∪ {5, 6} Xét tốn tìm tất đơn ánh từ A → B không thỏa điều kiện Với cách xây dựng đơn ánh f từ A vào B ta 2! = xây dựng song ánh từ A vào B (vì có chọn ảnh 6) Bài tốn tìm số song ánh từ A → B tốn tìm số hốn vị với vị trí cấm Chương Nguyên lý bù trừ ❖ LVL c 2020 36/37 Đáp án Đa thức quân xe: R(C, x) = + 8x + 21x2 + 20x3 + 4x4 Chương Nguyên lý bù trừ ❖ LVL c 2020 37/37 Đáp án Đa thức quân xe: R(C, x) = + 8x + 21x2 + 20x3 + 4x4 Khi số song ánh từ A → B thỏa điều kiện (−1)k (6 − k)! rk (C) = 152 k=0 Chương Nguyên lý bù trừ ❖ LVL c 2020 37/37 Đáp án Đa thức quân xe: R(C, x) = + 8x + 21x2 + 20x3 + 4x4 Khi số song ánh từ A → B thỏa điều kiện (−1)k (6 − k)! rk (C) = 152 k=0 Như số đơn ánh f từ A vào B thỏa điều kiện toán Chương Nguyên lý bù trừ ❖ 152 = 76 LVL c 2020 37/37 Đáp án Đa thức quân xe: R(C, x) = + 8x + 21x2 + 20x3 + 4x4 Khi số song ánh từ A → B thỏa điều kiện (−1)k (6 − k)! rk (C) = 152 k=0 Như số đơn ánh f từ A vào B thỏa điều kiện toán 152 = 76 Ví dụ.(tự làm) Một xáo trộn (derangement) hoán vị phần tử tập hợp cho khơng có phần tử xuất vị trí ban đầu Ví dụ A = {1, 2, 3, 4, 5}, 21453 xáo trộn, 21543 khơng xáo trộn trùng với vị trí ban đầu Hãy a) tìm số xáo trộn phần tử tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}; b) tìm số xáo trộn phần tử tập hợp A = {1, 2, , n} với n nguyên dương Chương Nguyên lý bù trừ ❖ LVL c 2020 37/37 ... Chương NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ Phương pháp sơ đồ Ven Nguyên lý bù trừ Đa thức quân xe Chương Nguyên lý bù trừ ❖ LVL c 2020 2/37 6.1 Phương pháp sơ đồ Ven Nhận xét Xét sơ đồ Ven Chương Nguyên lý bù trừ. .. cầu tốn tính |A ∩ B| Chương Nguyên lý bù trừ ❖ LVL c 2020 4/37 Ta có |U| = 10!, Chương Nguyên lý bù trừ ❖ LVL c 2020 5/37 Ta có |U| = 10!, |A| = × 9!, Chương Nguyên lý bù trừ ❖ LVL c 2020 5/37... A2 A3 , Chương Nguyên lý bù trừ ❖ LVL c 2020 6/37 Đối với trường hợp tập hợp A1 , A2 A3 , ta viết cơng thức (2) sau: Chương Nguyên lý bù trừ ❖ LVL c 2020 6/37 Đối với trường hợp tập hợp A1 ,