C thuộc cung nhỏ MB C khác B, M, AC cắt MN tại D a Chứng minh tứ giác BIDC nội tiếp b Chứng minh AD.AC=R2 c Khi C chạy trên cung nhỏ MB chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác[r]
(1)THI THỬ VÀO THPT LẦN 12 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài : 120 phút Bài ( 1,5 điểm) a) Tính : A=2 √ 16 − √ 49 a+ √ a a−√a 1− b) Rút gọn biểu thức B= 1+ √ a+1 √ a −1 Câu2 (2,5 điểm) a) Giải phương trình : x −7 x+ 3=0 ( b) Giải hệ phương trình )( ) với a ≥ ; a ≠1 ¿ x+ y =4 x + y=2 ¿{ ¿ c) Cho phương trình x2 +2(m+1)x +m2 = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đó có nghiệm -2 ; Câu (1,5 điểm) Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 100 m Nếu tăng chiều rộng m và giảm chiều dài m thì diện tích mảnh vườn giảm m2 Tính diện tích mảnh vườn Câu (3,5 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R Gọi I là trung điểm OA, qua I kẻ dây MN vuông góc với OA C thuộc cung nhỏ MB (C khác B, M), AC cắt MN D a) Chứng minh tứ giác BIDC nội tiếp b) Chứng minh AD.AC=R2 c) Khi C chạy trên cung nhỏ MB chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CMD luôn thuộc đường thẳng cố định Câu 5: (1,0 điểm) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = a2 b2 c2 Chứng minh rằng: a b b c c a - Hết -Họ và tên thí sinh :…………………………………………Số báo danh………… (2) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI THỬ VÀO THPT LẦN 12 Môn : TOÁN Câu Nội dung a) A = - = √ a (1+ √ a) 1− √ a (√ a −1) b) B= 1+ √ a+1 √ a −1 B=( 1+ √ a ) ( − √ a ) = - a ( )( ) Phương trình có nghiệm phân biệt: x1 = 7−5 =¿ ; x2 = ⇔ ¿ y=1 x+ 1=2 ¿{ ¿ ⇔ ¿ x =1 y=1 ¿{ ¿ ¿ x+ y =4 x + y=2 ¿{ ¿ ⇔ ¿ y=2 x+ y=2 ¿{ ¿ 0,75 Δ ’ = (m+1)2 – m2 = m2 + 2m + – m2 = 2m + Δ ’>0 ⇔ 2m + > ⇔ m>- 0,5 (*) Vì phương trình có nghiệm là -2 nên thay x = -2 vào (1) ta được: (-2)2 + 2(m+1)(-2) + m2 = ⇔ – 4m + m2 = ⇔ m(m - 4) = ⇔ m = m = (**) Từ (*) và (**) suy m = ; m = thỏa mãn đề bài 0,5 3; b) Ta có: c) 0,5 a) Ta có: Δ = 49 – 24 = 25 > +5 =¿ Điểm 0,5 Gọi x (m) là chiều rộng mảnh vườn ( 0< x < 25) Chiều dài mảnh vườn là: 50 - x Diện tích mảnh vườn là: x(50 - x) Nếu tăng chiều rộng 3m thì chiều rộng là x + (m); Giảm chiều dài 4m thì chiều dài là 46- x (m) Diện tích mảnh vườn là: (x+3)(46 - x) Theo bài ta có phương trình: x(50 - x) - (x + 3)(46 - x) = 50x - x2 - 43x + x2 – 138 = 7x = 140 x = 20 (TM) Vậy diện tích mảnh vườn là 20(50-20)=600 m2 0,5 0,25 0,25 0,75 0,5 (3) Vẽ hình C M DH A I 0,5 B O ∠ ACB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) a) Ta có : hay ∠ DCB = 900; N ∠ Lại có DIB = 90 (gt) Tứ giác BIDC có ∠ DCB + ∠ DIB = 900 +900= 1800 Tứ giác BIDC là tứ giác nội tiếp b) Xét Δ AID và Δ ACB có ∠ B chung và ∠ AID = ∠ ACB = 900 Nên Δ AID dồng dạng Δ ACB(g.g) <=> AD.AC = AI.AB <=> AD.AC = ⇒ AI AD = AC AB 1 R 2R = R2 ; c) Dễ thấy Δ AMD đồng dạng với Δ ACM (g.g) ⇒ AM AD = AC AM ⇒ AM2=AC.AD ⇒ AM là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác CMD mà AM vuông góc với MB suy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CMD luôn thuộc đường thẳng BM cố định Áp dụng BĐT Cô Si cho các số thực dương a, b, c ta có: a2 a b a; a b b2 b c b; b c c2 c a c c a Suy a2 b2 c2 a b b c c a a b c (a b c) ( ) a b b c c a 4 2 2 a b c Vậy a b b c c a 0,5 0,5 (4)