Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phương trình chính tắc của elip E biết E có chu vi hình chữ nhật cơ sở là 122 + , có đỉnh B thuộc tia Oy và hai tiêu điểm của E lập thành một tam [r]
(1)TÔI SẼ ĐỖ ĐẠI HỌC ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2014 - Lần Môn: TOÁN; khối: A - A1 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề I.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu (2,0 điểm) Cho hàm số: y = x – 3x + a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho b) Gọi d là đường thẳng qua A(2;4) và có hệ số góc là k Tìm k để d cắt (C) ba điểm phân biệt A, B, C cho tam giác OBC cân O (với O là gốc tọa độ) Câu (1,0 điểm) Giải phương trình: 2sin(2x + ) + 7sinx + sin(x + ) – = Câu (1,0 điểm) Giải phương trình: x(4x + 1) + (x – 3) = (x R) Câu (1,0 điểm) Tính tích phân: I = dx Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, SA = AD = 2a Biết hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và tính khoảng cách hai đường thẳng AC và SD Câu (1,0 điểm) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = + + II.PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh làm hai phần riêng (phần A phần B) A Theo chương trình Chuẩn Câu 7a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x + y + 2x – 4y – 20 = và điểm A(5; –6) Từ A vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (C) với B, C là các tiếp điểm Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Câu 8a (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;1;0), phương trình mặt phẳng (P): 2x – 3y + z – = và đường thẳng d: = = Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A vuông góc với (P) và cắt d B cho AB = Câu 9a (1,0 điểm) Tìm số phức z biết |z – 1| = và số phức (1 + i)( – 1) có phần ảo B Theo chương trình Nâng cao Câu 7b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phương trình chính tắc elip (E) biết (E) có chu vi hình chữ nhật sở là 12(2 + ), có đỉnh B thuộc tia Oy và hai tiêu điểm (E) lập thành tam giác Câu 8b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(4;0;0) và M(6;3;1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và M cho (P) cắt ba trục Oy, Oz B, C và thể tích tứ diện OABC Câu 9b (1,0 điểm) Gọi z, z là các nghiệm phức phương trình z – 2z + = Hãy viết dạng lượng giác các số phức z, z và tính giá trị biểu thức A = z + z - HẾT Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh: ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN - NĂM 2014 - KHỐI A Câu ( 2,0 điểm) Đáp án Cho hàm số y = x - 3x + (1) a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho Tập xác định: D = R Sự biến thiên: y' = 3x - 3; y' = x - = Giới hạn: y = + và y = - Hàm số đồng biến trên khoảng (-;-1) và (1;+) Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1;1) Hàm số đạt cực đại (-1;4) và đạt cực tiểu (1;0) Điểm 0.25 0.25 (2) (1,0 điểm) (1,0 điểm) Bảng biến thiên: 0.25 Đồ thị: 0.25 b) Gọi d là đường thẳng qua A(2;4) và có hệ số góc là k Tìm k để d cắt (C) ba điểm phân biệt A, B, C cho tam giác OBC cân O (với O là gốc tọa độ) Đường thẳng d qua A(2;4) vói hệ số góc k có phương trình là: y = kx - 2k + 0.25 Phương trình hoành độ giao điểm (C) và d là: x - 3x + = kx - 2k + (x - 2)(x + 2x - k + 1) = (1) x = x + 2x - k + = (g(x) = x + 2x - k + 1) (d) cắt (C) điểm phân biệt phương trình (1) có nghiệm phân biệt 0.25 phương trình g(x) = có nghiệm phân biệt khác (2) Mặt khác, để O, B, C lập thành tam giác O, B, C không thẳng hàng Od k ≠ (3) Đặt Với x, x là hai nghiệm phương trình g(x) = 0.25 Theo hệ thức Vi-et phương trình g(x) = ta có OBC cân O OB = OC x + y = x + y x - x = y - y (4) Mặt khác y - y = (kx - 2k + 4) - (kx - 2k + 4) = k(x - x) 0.25 Và y + y = kx - 2k + + kx - 2k + = k(x + x) - 4k + = - 6k + Do đó (4) (x - x)(x + x) = (y - y)(y + y) -2(x - x) = k(x - x)(8 - 6k) = k(8 - 6k) (do x ≠ x) 6k - 8k + = k = hay k = (nhận vì thỏa (2) và (3)) Vậy giá trị k thỏa yêu cầu bài toán là k = hay k = Giải phương trình: 2sin(2x + ) + 7sinx + sin(x + ) - = (*) Ta có: sin(2x + ) = sin2xcos + cos2x.sin = (sin2x + cos2x) 0.25 Và sin(x + ) = sinx.cos + cosx.sin = - cosx Do đó (*) (sin2x + cos2x) + sinx - cosx - = 0.25 2sinxcosx + cos2x + 7sinx - cosx - = 2sinxcosx - cosx + - 2sinx + 7sinx - = (2sinxcosx - cosx) - (2sinx - 7sinx + 3) = cosx(2sinx - 1) - 2(sinx - )(sinx - 3) = (2sinx - 1)cosx - (2sinx - 1)(sinx - 3) = (2sinx - 1)(cosx - sinx + 3) = Với (1), ta có sinx = = sin (k Z) 0.25 Với (2), ta có sinx - cosx = (vô nghiệm + < 3) 0.25 Vậy phương trình có hai họ nghiệm là x = + k2 hay (k Z) Giải phương trình: x(4x + 1) + (x - 3) = (x R) ■ Điều kiện: x Phương trình đã cho tương đương với 2x(4x + 1) = 2(3 - x) 2x(4x + 1) = [(5 - 2x) + 1] (1) 0.25 0.25 (3) ■ Đặt u = 2x, v = 2x (v 0) Phương trình (*) trở thành u(u2 + 1) = v(v2 + 1) (2) ■ Xét hàm số f(t) = t(t2 + 1) f /(t) = 3t2 + > 0, t Do đó f(t) đồng biến trên R, nên (1) f(u) = f(v) u = v Từ đó, PT đã cho 2x = 0.25 0.25 x = (thỏa điều kiện) (1,0 điểm) (1,0 điểm) Vậy nghiệm phương trình là x = Tính tích phân: I = dx I = dx = dx =2 + dx 0.25 I = 2(x) + dx = + I 0.25 Với I= dx , đặt t = xe + dt = x(e + 1)dx 0.25 Đổi cận x = t = 1, x = 1 t = e + Vậy I = = lnt= ln(e + 1) Do đó I = + I = + ln(e + 1) 0.25 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, SA = AD = 2a Biết hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và tính khoảng cách hai đường thẳng AC và SD 0.25 ■ Gọi O là tâm hình chữ nhật ABCD Vì hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và (SAC) (SBD) = SO, nên ta có SO (ABCD) ■ AC = AB + BC = 5a AC = a OA = SO = = Từ đó V = SO.S = a.2a = (đvtt) ■ Gọi M là trung điểm SB, Ta có OM // SD (ACM) // SD Do đó: d(AC,SD) = d(SD,(ACM)) = d(D;(ACM)) = Ta có V = V = V = V = ■ Ta có OA = OB = OC = SB = SC = SA = 2a SBC đều, đó MC = = a Trong SAB có AM = - = AM = Từ đó cosAMC = = sinAMC = = Suy S = MA.MC.sinAMC = a = Vậy d(AC,SD) = = = (1,0 điểm) 7.a (1,0 điểm) 0.25 0.25 0.25 Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = + + Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: (y + z) (1 + 1)(y + z) = 2(1- x) 0.25 ( đẳng thức xảy y = z) Do đó (1) Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương 2x, 1- x, - x ta được: 0.25 = x(1 - x) x (2) ( đẳng thức xảy 2x = - x x = ) Từ (1), (2) suy x (3) 0.25 Tương tự ta có y (4) và z (5) Từ (3), (4), (5) suy P = + + (x + y + z) = 0.25 Đẳng thức xảy x = y = z = Vậy minP = và x = y = z = Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho phương trình đường tròn (C): x + y + 2x - 4y - 20 = và điểm A(5; -6) Từ A vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (C) với B, C là các tiếp điểm Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC (4) Đường tròn (C) có tâm I(-1;2) và bán kính R = 0.25 Suy IA = 10 Gọi H là giao điểm BC và IA, ta có: IH.IA = IB IH = = = H(; 0) cosAIB = AIB = 60 nên ABC là tam giác tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC trùng với trọng tâm 0.25 0.25 Gọi G là trọng tâm ABC 8.a (1,0 điểm) 9.a (1,0 điểm) 7.b (1,0 0.25 = G(2; -2) Vậy tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC là G(2; -2) Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;1;0), mặt phẳng (P): 2x - 3y + z - = và đường thẳng d: = = Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A vuông góc với (P) và cắt d B cho AB = Do B d B(1 - b, - - b, + 2b) (b R) 0.25 Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến = (2;-3;1) Gọi là vectơ pháp tuyến mặt phẳng (Q) AB = AB = t + (t + 2) + (2t + 2) = 0.25 6t + 12t + = t = - B(2;0;0) ta chọn = ; = (1;1;1) 0.25 Vậy phương trình mặt phẳng (Q) là (Q): x + y + z - = 0.25 Tìm số phức z biết |z - 1| = và số phức (1 + i)( - 1) có phần ảo Gọi z = x + yi (x,y R, i = -1) và = x - yi 0.25 Ta có |z - 1| = (x - 1) + y = (1) Ta có (1 + i)( - 1) = (x + y - 1) + (x - y - 1)i 0.25 Vì (1 + i)( - 1) có phần ảo nên x - y - = x - = y + (2) Thay (2) vào (1) ta (y + 1) + y = 2y + 2y = 0.25 Với y = x = z = 0.25 Với y = -1 x = z = - i Vậy có hai số phức z là z = và z = - i Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phương trình chính tắc elip (E) biết (E) có chu vi hình chữ nhật sở là 12(2 + ), có đỉnh B thuộc tia Oy và hai tiêu điểm (E) lập thành tam giác (5) điểm) 0.25 Gọi phương trình chính tắc elip (E) có dạng (E): + = và FF = 2c độ dài tiêu cự, (a = b + c (1)) Giả sử MNPQ là hình chữ nhật sở (E) 2(2a + 2b) = 12(2 + ) a + b = 3(2 + ) (2) 8.b (1,0 điểm) 9.b (1,0 điểm) Giả sử đỉnh B (E) lập với tiêu điểm F, F thành BFF 0.25 OB = b = c (3) Từ (1), (2), (3) ta có hệ phương trình: (I) (b > 0) 0.25 Giải hệ (I) ta Vậy phương trình elip thỏa yêu cầu bài toán là: (E): + = 0.25 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(4;0;0) và M(6;3;1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và M cho (P) cắt ba trục Oy, Oz B, C và thể tích tứ diện OABC Đặt B(0;b;0) và C(0;0;c) là giao điểm mặt phẳng (P) với Oy, Oz 0.25 Do (P) qua A(4;0;0) (P) là mặt phẳng chắn ba trục tọa độ (P): + + = (*) (b, c ≠ 0) Mặt phẳng (P) qua (6;3;1) + + = + = 3c + b = (1) V = ; = |bc| = 0.25 Với bc = 3c + b = -3 b = - 3c - = -3(c + 1) 0.25 Do đó (c + 1)c = -2 c + c + = (vô nghiệm) Với bc = -6 3c + b = b = - 3c = 3(1 - c) 0.25 Do đó (1 - c)c = -2 c - c - = Vậy có hai phương trình mặt phẳng (P) thỏa yêu cầu bài toán là: (P): + + = hay (P): + + = Gọi z, z là các nghiệm phức phương trình z - 2z + = Viết dạng lượng giác các số phức z, z và tính giá trị biểu thức A = z + z Ta có ' = - = -1 = i Nên phương trình (1) có nghiệm phức là z = - i và z = + i Ta có: z = - i = 2( - i) = 2[cos( ) + isin()] z = + i = 2( + i) = 2[cos() + isin()] z = 2[cos(- ) + isin(-)] z = 2(cos + isin) A=z+z=2 Thí sinh có cách giải khác đáp án đúng đáp số thì điểm tối đa 0.25 0.25 0.25 0.25 (6) (7)